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LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a`s 4:43 a.m. Exercı´cios Resolvidos de Termodinaˆmica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Conteu´do 20 Calor e � a Lei da Termodinaˆmica 2 20.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 20.2 Exercı´cios e Problemas . . . . . . . . . 2 20.2.1 A absorc¸a˜o de calor por so´lidos e lı´quidos . . . . . . . . . . . . 2 20.2.2 Alguns casos especiais da pri- meira lei da termodinaˆmica . . . 4 20.2.3 A transfereˆncia de calor . . . . 5 20.2.4 Problemas Adicionais . . . . . 6 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a`s 4:43 a.m. 20 Calor e � a Lei da Termodinaˆmica 20.1 Questo˜es Q-4. O calor pode ser absorvido por uma substaˆncia sem que esta mude sua temperatura. Esta afirmac¸a˜o contradiz o conceito do calor como uma energia no processo de transfereˆncia, devido a uma diferenc¸a de temperatura? � Na˜o. Um sistema pode absorver calor e utilizar es- sa energia na realizac¸a˜o de um trabalho; a temperatura do sistema na˜o muda e na˜o e´ violado o princı´pio da conservac¸a˜o da energia. Q-7. Um ventilador na˜o esfria o ar que circula, mas o esquen- ta levemente. Como pode, enta˜o, lhe refrescar? � O movimento do ar estabelece uma corrente de convecc¸a˜o, com o ar mais quente subindo, e o ar mais frio ocupando-lhe o lugar, refrescando o ambiente. Q-14. Voceˆ po˜e a ma˜o dentro de um forno quente para tirar uma forma e queima seus dedos nela. Entretanto, o ar em torno dela esta´ a` mesma temperatura, mas na˜o quie- ma seus dedos. Por queˆ? � Porque a forma, feita de metal como o alumı´nio, por exemplo, conduz muito melhor o calor do que o ar. Q-20. Os mecanismos fisiolo´gicos, que mante´m a temperatura interna de um ser humano, operam dentro de uma faixa limitada de temperatura externa. Explique como essa faixa pode ser aumentada, para os dois extremos, com o uso de roupas. � No vera˜o, usam-se roupas claras, que refletem a radiac¸a˜o, e soltas, que favorecem a convecc¸a˜o do ar, ventilando o corpo. Com as roupas mais grossas de inverno, a camada de ar junto da pele, aquecida por irradiac¸a˜o do corpo, funciona como isolante te´rmico. Q-27. Discuta o processo pelo o qual a a´gua congela, do ponto de vista da primeira lei da termodinaˆmica. Lembre-se que o gelo ocupa um volume maior do que a mesma massa de a´gua. � Pela primeira lei, tem-se para o processo ����� � �� . O calor Q e´ removido da a´gua, e, portanto, igual a � �� , o calor de fusa˜o do gelo. O trabalho e´ da- do por � ��������� ���fiff , sendo p a pressa˜o atmosfe´rica. �fl� e´ maior que ��� , sendo o trabalho positivo. Enta˜o, a variac¸a˜o da energia interna e´ ���ffi� � ��� � , sendo, portanto, negativa. Q-31. Por que as panelas de ac¸o frequ¨entemente possuem uma placa de cobre ou alumı´nio no fundo? � Porque o cobre e o alumı´nio conduzem mais eficien- temente o calor do que o ac¸o. 20.2 Exercı´cios e Problemas 20.2.1 A absorc¸a˜o de calor por so´lidos e lı´quidos E-6. Quanta a´gua permanece lı´quida apo´s !#"�$&% kJ de calor serem extraı´dos de %('(" g de a´gua, inicialmente no ponto de congelamento? � ´E necessa´rio extrair � �*) � �+�,"�$&%#'-"-ff.�,/(/-/-01ff2�*3�$4'-'65879"(: J para solidificar toda a massa de a´gua. Com os !1$4";%<5=7>" : J extraı´dos, so´ e´ possı´vel solidificar parte da a´gua: )@?fl� � ? � � !A$&"-%65 7>" : /1$&/(/B5 7>"(C ��"1$.7D!#" kg Portanto, �6)E�F) )@?fl�*%('(" 7>!#"G�H7(7>" g permanecem no estado lı´quido. E-13. Um objeto de massa de '�$4"-" kg cai de uma altura de !("1$&" m e, por meio de uma engrenagem mecaˆnica, gira http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a`s 4:43 a.m. uma roda que desloca "�$4'-"(" kg de a´gua. A a´gua esta´ inicialmente a 7D!JI2K . Qual o aumento ma´ximo da tem- peratura da a´gua? � A energia potencial gravitacional perdida pelo objeto na queda e´: � �F)JLAMN�+�,'�$4"-"-ffO�QP1$&3("-ff.�Q!("-ff��R%#P(S-"1T1$ que correspondem a � �VUW";%A$&/#S cal. O aumento de temperatura produzido na a´gua sera´ de: � � )@?9X<�6Y U#"-%A$&/#S�X.Z;[\� �Q'("("]LAff.� 7($&"^XOZ_[ La`<b ffc�dY<� 7D! ` ff 7($97DUe� Y<� 7>! ` Y<� � 7>'1$.7WU ` bgf P-18. Calcule o calor especı´fico de um metal a partir dos se- guintes dados. Um recipiente feito do metal tem massa de /�$4' kg e conte´m 79S kg de a´gua. Uma pec¸a de 7($&3 kg deste metal, inicialmente a 7>3("hIiK , e´ colocada den- tro da a´gua. O recipiente e a a´gua tinham inicialmente a temperatura de 7>'�IiK e a final do sistema foi de 7>3�IWK . � A a´gua absorve parte do calor cedido pela pec¸a: � a´gua � ) a´gua X a´gua �6Y � �j7.S;"("("]LAff.�k7($&" XOZ_[ Ll`<b ffO��%A$4" ` bmff � %(3("-"("^XOZ_[ O recipiente feito do metal absorve outra parte do calor cedido pela pec¸a: �mnporq,sut � ) nporq,sut X nporq,svt �6Y � �,/-'("("]LAff.�Q%A$&" ` bmffkX nporq,svt � U#%("("^X nporq,sut O calor cedido pela pec¸a e´ igual a: � pec¸a �w) pec¸a X metal �xY � �k793-"("iL1ffO�j79';% ` bmff1X metal � %#P17>'("-"^X metal Reunindo as quantidades calculadas, vem: � a´gua y � metal � � pec¸a %(3("("-" y U#%("("^X metal � %#P17>'("-"^X metal %#3-"("-"z� %#3#S-S-"-"^X metal X nporq,svt � "1$4"-P(3^X.Z;[r{>L ` bgf P-24. Um bloco de gelo, em seu ponto de fusa˜o e com massa inicial de !("1$4" kg, desliza sobre uma superfı´cie horizon- tal, comec¸ando a` velocidade de !A$4/-3 m/s e finalmente parando, depois de percorrer %#31$&/ m. Calcule a massa de gelo derretido como resultado do atrito entre o bloco e a superfı´cie. (Suponha que todo o calor produzido pelo atrito seja absorvido pelo bloco de gelo.) � A desacelerac¸a˜o do bloco e´ dada por: |;} � |_} ` %^Z�~ ZB� ��!A$4/-3-ff } ��%(ffO��%#3�$4/(";ff �F"1$v!A7-7)�{# } f O calor produzido pelo atrito e´ dado por: � � � � )Z�~ � ��!#"�$4"�0;L1ffO�Q"1$v!A7(7)�{( } ffO��%#3�$4/("^)ff � U(%#/�$4'17hT A massa de gelo derretido e´: � � ) � ) � U(%#/1$&'17]T /1$&/(/B5 7>" C T�{#0_L ) � "1$&"("-%�0;Lflf P-30. (a) Dois cubos de gelo de !#" g sa˜o colocados num vidro contendo %#"-" g de a´gua. Se a a´gua estava inicialmente a` temperatura de %(!I2K e se o gelo veio diretamente do freezer a 7>!mIiK , qual sera´ a temperatura final do sistema quando a a´gua e o gelo atingirem a mesma tem- peratura? (b) Supondo que somente um cubo de gelo foi usado em (a), qual a temperatura final do sistema? Ignore a capacidade te´rmica do vidro. � (a)Se a a´gua resfriar ate´ "]I>K , o calor fornecido por ela sera´ de � a´gua �F) a´gua X a´gua �6Y � �Q%("("iL1ffO�j7($&" XOZ_[ L�`.b ff.�Q%(! ` bmff � !#"-"("gXOZ_[ Para o gelo chegar a " ` b , necessita-se: �m uofit ` � ) Oort ` X Oort ` �6Y � �j79"-"iLAff.�,"�$&!#/ XOZ_[ Ll`9b ffO�j7>! ` bmff � U#P-!gXOZ_[ http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a`s 4:43 a.m. Para fundir o gelo seriam necessa´rias: � ?fl�F)Oort ` �� �+�k7>"("iL1ffO�rUWP�$&!]XOZ_[r{>L1ff��U#P-!#"gXOZ_[ Enta˜o o calor fornecido derretera´ so´ parte do gelo. O calor disponı´vel sera´: !#"-"(" UWP-!m�FS;%#";!X.Z;[ Com essa quantidade de calor, pode-se fundir ) Oort ` � � � � S_%#";! UWP�$&! �R!#/hL Portanto, ter-se-a´ uma mistura de a´gua e gelo a " ` b , restando 79"-" !#/ �SAU g de gelo. (b) Se apenas um cubo de gelo for adicionado a´ a´gua: � Oort ` �F) Oort ` X uofit ` �6Y � �Q!("-ff.�,"1$v!#/;ffO�," � 7D!(ffjff � /(P_U_$v!hX.Z;[ � Fusa˜o �F) Oort ` � ��!#"iL1ffO�rUWP1$v!]XOZ_[�{DLAff � /-P;U#!hXOZ_[ � Oort ` y � Fusa˜o �FS;/;U#%1$&!("XOZ_[kf Agora o calor fornecido pela a´gua sera´ suficiente para derreter todo o gelo. A temperatura final do sistema es- tara´ algo acima da temperatura de fusa˜o: � ? uofit ` � ) Oort ` X a´gua �6Y � ��!#"iL1ffO�j7($&" XOZ_[ L ` b ff.�dY � " ` ff � !("]Y � �Gc2Ł;v^ � �m uofit ` y � Fusa˜o y � ? uofit ` � S;/;U(%A$&!(" y !#"^Y f �m� ^v^ � ) a´gua X a´gua �6Y � ��%#"-"iLAff.�k7-$4" XOZ_[ L ` b ff.�dY � %(! ` ff � c2Ł;�<v^ y �m ^v^ � " S;/;U#%1$&!(" y !#"]Y<� y %#"("^Yc� !#"-"("� " %(!("#Y � �*'_U#%A$v!#" Y � �R%A$&!17 ` bgf P- /#S�f Dois blocos de metal sa˜o isolados de seu ambiente. O primeiro bloco, que tem massa )��/1$979' kg e tem- peratura inicial Y � �7DUA$4" ` C, tem um calor especı´fico quatro vezes maior do que o segundo bloco. Este esta´ a` temperatura Y } �RS_U ` C e seu coeficiente de dilatac¸a˜o linear e´ 7D!A$&"J579"1fl9{ ` b . Quando os dois blocos sa˜o colocados juntos e alcanc¸am seu equilı´brio te´rmico, a a´rea de uma face do segundo bloco diminui em "1$&"(/-"(" %. Encontre a massa deste bloco. � O calor absorvido pelo primeiro bloco e´: �Gc2Ł;v^ �w)�X9]�dY � Y � ff��F/�$.79'�X92�dY � 7DU ` ff O calor cedido pelo segundo bloco e´: � ^v^ �*) } X9 S �,Y � Y � ff�w) } X9 S �,Y � SAU ` ff A variac¸a˜o na a´rea de uma das faces do segundo bloco e´ expressa por: �B } �� } %^�dY � S_U ` ff �B } } �R%]N�,Y � SAU ` ff�� "1$4"-"("-/ �Q%-ffO�j7>!A$&"B5 7>" fl ffO�dY � SAU ` ff� "1$4"-"("-/ /("B5879" fl Y � 7($jS�75 7>" fl � "1$4"-"("-/ Y<�x� 7($97(75 7>"A /("B5879" �F/;U ` b Equacionando os calores, cedido e absorvido, vem: �m� ^v^ y � ciŁ-�<v^ � " ) } X S �k7>"-ff y /1$979'^X9���%#"-ff� " %A$&!]) } �F'-/1$v% ) } �*%-!A$v%#30;Lflf 20.2.2 Alguns casos especiais da primeira lei da ter- modinaˆmica P-42. Quando um sistema passa de um estado i para f pelo ca- minho iaf na Fig. %#" %#/ , � �R!#" cal. Pelo caminho ibf, � �/(' cal. (a) Qual o trabalho W para o caminho ibf? (b) Se � � 7>/ cal para o caminho curvo de retorno fi, qual e´ Q para esse caminho? (c) Seja �¢¡�£¤D¥�¦ £�7>" cal. Qual e´ �B§ �©¨ q ¦ � ? (d) Se �B§ �ª¨ q ¦ « �R%(% cal, quais os valores de Q para os processos ib e bf? � (a) Da primeira lei tem-se �B§ �ª¨ q � �R �� : �6§ �©¨ q �R!#" %("x�F/-"gX.Z;[ http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a`s 4:43 a.m. /-"G�*/-' ¬� �ª« � �®« ��'1$4"XOZ_[ (b) Dado � �>� � 79/XOZ_[ e sabendo-se do ı´tem (a) que �B§ �ª¨ q ¦ �>� � /-"gX.Z;[ , vem /("m� � �>� � 79/;ff � �>� � S-/gXOZ_[ (c) Dado o valor �B§ �ª¨ q ¦ � � 79"XOZ_[ , com o valor �B§ �ª¨ q �F/("XOZ_[ do ı´tem (a), vem �B§=�ª¨ q ¦ � �B§=�ª¨ q ¦ �2��/("XOZ_[ �B§=�ª¨ q ¦ �x�*S-"XOZ_[ (d) Dado o valor �B§ �ª¨ q ¦ « �+%(%BXOZ_[ , para o processo ib tem-se: �B§ �ª¨ q ¦ �®« �R%(% 7>"G�¯7D%hX.Z;[ �B§ �ª¨ q � � �ª« �� �ª« 7>%� � �ª« '�$4" � �®«°� 7>3XOZ_[ E para o processo bf tem-se: �B§ �ª¨ q ¦ «r� �R�B§ �©¨ q2 �B§ �ª¨ q ¦ �ª« �*/-" 7D%m�ffi793XOZ_[ � «�� �*"�$ � «r� �*�B§ �ª¨ q ¦ «r� �H793XOZ_[kf P- S-/1f Um cilindro possui um pista˜o de metal bem ajustado de %1$4" kg, cuja a´rea da sec¸a˜o reta e´ de %A$&"�±O² } (Fig. 20-24). O cilindro conte´m a´gua e vapor a` temperatura constante. Observa-se que o pista˜o desce lentamente, a` taxa de "1$&/(" cm/s, pois o calor escapa do cilindro pelas suas paredes. Enquanto o processo ocorre, algum vapor se condensa na caˆmara. A densidade do vapor dentro dela e´ de '�$4"5@79"1 :]³ {W±O²� e a pressa˜o atmosfe´rica, de 7($&" atm. (a) Calcule a taxa de condensac¸a˜o do vapor. (b) A que raza˜o o calor deixa a caˆmara? (c) Qual a taxa de variac¸a˜o da energia interna do vapor e da a´gua dentro da caˆmara? � (a) Expressando a massa de vapor em termos da den- sidade e do volume ocupado, ) �c´<� �Fµ �c´<� �B�H�Fµ �c´<� �x¶$ a taxa de condensac¸a˜o de vapor sera´: · ) <c´<� ·^¸ � µ <c´<� · ¶ ·�¸ · ) <c´<� ·^¸ � �,"�$4'm0;L�{D) ffO��%A$&"¢5 7>" :c) } ffp5 �Q/1$&"¢5 7>" fl )�{#Dff · ) <c´<� ·^¸ � /1$&'B5 7>" fl¹ 0;L�{#h�*"�$4/('h)JL1{( (b) O calor deixa a caˆmara a` raza˜o de: · � c´<� ·�¸ � ac´< · ) �c´< ·�¸ · �xc´<� ·�¸ � �Q%-%#'("0flT�{#0_LAff.�,/1$&'B5 7>" fl¹ 0;L�{#Dff � "1$&317hT�{( (c) A taxa de realizac¸a˜o de trabalho e´: · � ·^¸ � )º �®» q�¼s ` L · ¶ ·�¸ · � ·^¸ � �Q%1$4"m0;L1ffO�QP1$43g)�{# } ff.�,/�$4"¢5879" )�{(>ff · � ·^¸ � "1$&"('6T�{# No ı´tem (b), a taxa calculada e´ a do calor que dei- xa a caˆmara, sendo enta˜o negativa, de acordo com a convenc¸a˜o de sinais adotada. Tambe´m no ´item (c), o tra- balho por unidade de tempo e´ realizado sobre o sistema, sendo, portanto, negativo. Reunindo esses resultados na primeira lei, chega-se a` taxa de variac¸a˜o da energia in- terna na caˆmara: · § �ª¨ q ·�¸ � · � ·^¸ · � ·�¸ · § �ª¨ q ·�¸ � "�$4317 � "�$4"-'-ff]� "1$uU#!GT�{#-f 20.2.3 A transfereˆncia de calor E-48. Um basta˜o cilı´ndrico de cobre, de comprimento 7($v% m e a´rea de sec¸a˜o reta de S�$&3�±O² } e´ isolado, para evitar perda de calor pela sua superfı´cie. Os extremos sa˜o mantidos a` diferenc¸a de temperatura de 79"-" I K , um colocado em uma mistura a´gua-gelo e o outro em a´gua fervendo e vapor. (a) Ache a taxa em que o calor e´ conduzido atrave´s do basta˜o. (b) Ache a taxa em que o gelo derrete no extremo frio. � (a) Com os dados fornecidos, mais o valor da condu- tividade te´rmica do cobre, 0��*S-"�7^½{D²f ¾ , tem-se: ¿ � �dS;"17 � {W)RÀ ff.�dS�$4365 7>" : ) } ff.�k7>"("^À8ff 7-$&%i) � 79'�$4" J/s http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a`s 4:43 a.m. (b) Da equac¸a˜o para a conduc¸a˜o do calor vem: · � ·(¸ � ¿ � � · ) Oort ` ·-¸ · ) Oort ` ·-¸ � ¿ � � 7>'1$&"lT�{# /(/(/0flT�{#0;L �Á"1$4"(S-3L1{(-f P-55 Um grande tanque cilı´ndrico de a´gua com fundo de 7($uU m de diaˆmetro e´ feito de ferrogalvanizado de !A$v% mm de espessura. Quando a a´gua esquenta, o aquecedor a ga´s embaixo mante´m a diferenc¸a de temperatura entre as superfı´cies superior e inferior, da chapa do fundo, em %A$&/ ` C. Quanto calor e´ conduzido atrave´s dessa placa em !A$&" minutos? O ferro tem condutividade te´rmica igual a ';Up½{D²w¾ . � A a´rea da chapa e´ R�F · } {DS6�R%A$&%;U m } . A taxa de conduc¸a˜o do calor e´ ¿ � 0lÃ�6Y � �Q';U#ff.�Q%1$&%-U(ffO��%A$4/;ff "1$4"-"-!-% ��';U(%-UA7 � O calor conduzido no intervalo de !1$4" minutos sera´: � � ¿ � ¸ � �Q';U#%;U_7 � ff.�,/-"("�Dff � %1$4"-%65879" ¹ J �\%("1$&% MJ P-58. Formou-se gelo em um chafariz e foi alcanc¸ado o estado estaciona´rio, com ar acima do gelo a !1$4" ` C e o fundo do chafariz a S�$4" ` C. Se a profundidade total do gelo + a´gua for 7-$jS m, qual a espessura do gelo? Suponha que as condutividades te´rmicas do gelo e da a´gua sejam "1$4S-" e "1$97>%p±9Ä#Åd{D²IDKJÆ , respectivamente. � No regime estaciona´rio, as taxas de conduc¸a˜o do ca- lor atrave´s do gelo e da a´gua igualam-se: 0 a´gua �dYcÇ YcÈ-ff a´gua �R0 Oort ` �dYcÈ Y ff ^ Oort ` Mas YcÈ , a temperatura na interface, e´ " ` C: �,"�$.7>%-ffO�,S�$4";ff 7($jS � Oort ` � �,"�$jS;"-ffO��!A$&"-ff Oort ` Oort ` � 7($979/h) f 20.2.4 Problemas Adicionais P-62. Quantos cubos de gelo de %#"�$4" g, cuja temperatura ini- cial e´ 7>" ` C, precisam ser colocados em 7($&" L de cha´ quente, com temperatura inicial de P(" ` C, para que a mistura final tenha a temperatura de 79" ` C? Suponha que todo o gelo estara´ derretido na mistura final e que o calor espec´ifico do cha´ seja o mesmo da a´gua. � Considerando os valores para os calores especı´ficos da a´gua e do gelo, X a´gua �ÉS�7>P("T�{#0_LÀ e X uofit ` � %-%(%("8T�{(0;LÀ , o calor extraı´do do gelo para trazeˆ-lo a´ temperatura de fusa˜o e´: � �F) X �6YÁ�Á) �Q%(%-%#";ffO�k7>"-ff8�\%(%(%("("]) �fiTff Para fundir o gelo: � } �F) � � �\/(/-/("-"("]) �kTffuÊ Para aquecer o gelo derretido de " ` C a 79" ` C: � � ) X a´gua �6Y � ) �dS�7>P("xT�{#0;LÀ8ffO�j79"^À8ff � S�79P("-"]) uofit ` �fiTffuf O calor removido do cha´ e´: � : � ) a´gua X a´gua �xY � �j7($&"0_LAff.�dS�7>P("xT�{#0;LÀ8ffO� 3("^À8ff � /-/-!-%#"(" J f Reunindo todos os valores calculados acima, vem: � y � } y � ¬� : �*" �Q%-%(%#"-" y /-/(/("-"(" y S�79P("-"-ff_) �Ë/(/-!-%#"-" /-P;UW"-"("]) �\/-/-!-%#"(" ) �\"�$43#S-S0_Lflf Como cada cubo tem ) �Ì"1$&"-%#" kg, deve-se acres- centar ao cha´ ÍE�ÌÎ ¦ Ï :4: Î ¦ Î } ÎÑÐ S_% cubos de gelo. P-63. Uma amostra de ga´s se expande a partir de uma pressa˜o e um volume iniciais de 79" Pa e 7($&"a²¢ para um volume final de %A$&"g²¢ . Durante a expansa˜o, a pressa˜o e o vo- lume sa˜o obtidos pela equac¸a˜o �Ã�HZl� } , onde ZJ� 7>" Ò {D² Ï . Determine o trabalho realizado pelo ga´s durante http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 7 LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, a`s 4:43 a.m. a expansa˜o. � O trabalho realizado pela ga´s na expansa˜o e´ dado por · � �Ó� · �Ô�ËZa� } · � Integrando do volume inicial � � ate´ o volume final � � : � � Z Õ DÖ 9× � } · � � � ZlØ �G /ÚÙ >Ö × �\Z@Ø �x � / �m � /ÚÙ � � �j79"^ÛN{D) Ï ff�Ø 3 / 7 / Ù �,)@Ü>ff � � %(/1$4/-/GT1f http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 7
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