Oitava Lista de Exercícios de Física 1 (Com Soluções) - UnB

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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Oitava Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
Um cão arrasta sua caixa de dormir sobre um piso, aplicando
uma força horizontal de 8, 0N . O módulo da força de atrito
cinético que age sobre a caixa é 5, 0N . Quando a caixa é ar-
rastada por uma distância de 0, 7m, quais são: (a) o trabalho
realizado pela força do cão; (b) o aumento da energia térmica
da caixa e do piso?
Solução
(a) O trabalho realizado será:
W = F.d. cos θ = (8, 0N).(0, 70m).(cos 0o) = 5, 6J
(b) A energia térmica gerada será:
∆Et = Fat.d = (5, 0N).(0, 70m) = 3, 5J
Questão 2
Um operário empurra uma caixa de 27kg, com velocidade cons-
tante, por 9, 2m ao longo de um piso plano, com uma força
orientada 32o abaixo da horizontal. Se o coeficiente de atrito
cinético entre o bloco e o piso é 0, 20, quais são: (a) o trabalho
realizado pelo operário; (b) o aumento da energia térmica do
sistema.
Solução
(a) Como a velocidade é constante, temos que a aceleração é
nula, e portanto a componente horizontal do empurrõ do operá-
rio, F. cos 32o, deve ser igual ao módulo da força de atrito, onde
Fat = µc.N . O somatório das forças verticais também deve ser
nulo, então P = N + F. sin(32o), logo:
F =
µc.N
cos 32o
⇒ F = 55, 5N
O trabalho realizado pelo operário sobre o bloco será:
W = F.d. cos θ = (55, 5N).(9, 2m). cos 32o = 433J
(b) Como Fat = µc.(mg − F. sin 32o)
∆Et = Fat.d = (27.9, 8− 55, 5. sin 32o).0, 2.9, 2 = 433J
Questão 3
Uma corda é usada para puxar um bloco de 3, 57kg com veloci-
dade constante, por 4, 06m, em um piso horizontal. A força que
a corda exerce sobre o bloco é 7, 68N , 15o acima da horizon-
tal. Quais são: (a) o trabalho realizado pela forßa da corda;
(b) a varicação da energia térmica do sistema bloco-piso; (c) o
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso.
Solução
(a) O trabalho realizado no bloco pela força da corda é:
W = F.d. cos θ = (7, 68N).(4, 06m). cos 15o = 31, 1J
(b) Sendo f a magnitude da força de atrito cinético, como a veloci-
dade é constante a acelerção do bloco é zero, e portanto o somatório
das forças é nulo, logo:
f = F. cos 15o
f = 7, 42N
E a variação da energia térmica é:
∆Et = f.d = (7, 42N).(4, 06m) = 30, 1J
(c) Aplicando a Segunda Lei de Newton sobre o bloco, como a ace-
leração é nula:
F. cos 15o − f = 0⇒ N + F. sin 15o −mg = 0,
Onde m é a massa do bloco, F é a força exercida pela corda, f a
força de atrito e N a normal. Como feito no item b, percebemos
que f = 7, 42N . A segunda equação nos dá:
N = mg−F. sin 15o = (3, 75kg)(9, 8m/s2)−(7, 68N). sin 15o = 33, 0N
Logo:
f = µc.N ⇒ µc = f
N
=
(7, 42N)
(33, 0N)
= 0, 225
Questão 4
Uma força horizontal de módulo 35, 0N empurra um bloco de
massa 4, 00kg em um piso no qual o coeficiente de atrito cinético
é 0, 600. (a) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre
o sistema bloco-piso quando o bloco sofre um deslocamento de
3, 00m? (b) Durante esse deslocamento, a energia térmica do
bloco aumenta de 40, 0J . Qual é o aumento da energia térmica
do piso? (c) Qual é o aumento da energia cinética do bloco?
Solução
(a) O trabalho é
W = F.d. cos θ = (35, 0N)(3, 00m). cos 0o = 105J
(b) A quantidade total de energia que foi transferida para forma
termal é:
∆Et = Fat.d = µc.N.d = µc.m.g.d = (0, 600)(4, 00kg)(9, 80m/s
2)(3, 00m) = 70, 6J
Como a energia térmica do bloco aumentou de 40, 0J , então (70, 6−
40, 0)J = 30, 6J foram para o piso.
(c) A maior parte do trabalho foi gasta devido aos 70, 6J de ener-
gia térmica gerados. Mas ainda sobram (105 − 70, 6)J = 34, 4J , os
quais são utilizados no aumento da energia cinética do bloco. Esta
energia aumenta exclusivamente a energia cinética, pois o piso é su-
postamente horizontal, caso ele fosse inclinado, uma parte também
seria transformada em energia potencial.
Questão 5
Durante uma avalanche, uma pedra de 520Kg desliza a par-
tir do repouso descendo a encosta de uma montanha que tem
500m de comprimento e 300m de altura. O coeficiente de atrito
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cinético entre a pedra e a encosta é 0.25. (a) Se a energia poten-
cial gravitacional U do sistema rocha-Terra é nula na base da
montanha, qual é o valor de U imediatamente antes de come-
çar a avalanche? (b) Qual a energia transformada em energia
térmica durante a avalanche? (c) Qual a energia cinética da
pedra ao chegar à base da montanha? (d) Qual é a velocidade
da pedra nesse instante?
Solução
(a) Calcular U antes da avalanche seria calcular a energia potencial
da pedra no topo da montanha, logo:
U = m.g.h
U = (520)(9, 8)(300) = 1, 53.106J
(b) Para calcular a energia térmica produzida pela pedra é neces-
sário calcular primeiramente a força de atrito produzida sobre a
pedra, temos então que, Ilustrando a montanha como um triângulo
retângulo de altura 300 e hipotenusa 500:
Quando a pedra deslizar pela sua encosta produzirá um força da
forma fk = µk.N = µk.m.g. sin(
pi
2
− θ) = µk.m.g. cos θ. O trabalho
realizado pelo atrito então é ∆Eat = fk.d = µk.m.g.d. cos θ, em que
d é a distância percorrida, ou seja, d = 500.
Calculando cos θ como cos θ = x
d
, em que, pelo triângulo retângulo,
x = 400m, temos que ∆Eter = µk.m.g.d. cos θ = µk.m.g.d.
x
d
=
µk.m.g.x = (0.25)(520)(9.8)(400) = 5, 1.10
5J
(c) A energia cinética final da pedra pode ser determinada pela se-
guinte equação:
Kf = Ki + Ui − Uf −∆Eter
Kf = 0 + 1, 53.10
6 − 0− 5, 1.105
Kf = 0 + 1, 02.10
6J
(d) Sabendo que Kf =
1
2
mv2, desenvolvendo, obtemos que v =
63m/s.
Questão 6
Na figura abaixo, um bloco desliza ao longo de uma pista, de
um nível para outro mais elevado, passando por um vale in-
termediário. A pista não possui atrito até o bloco atingir o
nível mais alto, onde uma força de atrito para o bloco em uma
distância d. A velocidade inicial vo do bloco é de 6, 0m/s, a
diferença de altura h é 1, 1m e µk = 0, 60. Determine d.
Solução
Como o percurso que a pedra toma pelo vale não possui nenhuma
força dissipativa (atrito), ao final do percurso a energia cinética ini-
cial se dividiria em energia potencial gravitacional produzida pela
sua variação de altura e energia térmica produzida pelo atrito, mon-
tamos então a seguinte equação:
Ki = ∆U + ∆Eter = m.g.(h+ µ.d),
como Ki =
1
2
mv2, igualando as expressões e dividindo por m, temos
então que:
1
2
v2 = g(h+ µ.d) =⇒ d = v
2
i
2µg
− h
µ
= 1, 2m
Questão 7
Uma pedra que 5, 29N é lançada verticalmente a partir do ní-
vel do solo com uma velocidade inicial de 20m/s e o arrasto do
ar sobre ela é de 0., 65N durante todo o percurso. Determine
(a) a altura máxima alcançada pela pedra e (b) sua velocidade
imediatamente antes de se chocar com o solo.
Solução
(a) Denotaremos altura máxima por h. A energia térmica gerada
pela resistência do ar é da forma ∆Eter = f.h, portanto a energia
da pedra é conservada da seguinte forma:
Kf + Uf + ∆Eter = Ki + Ui
Em que o momento final é quando a pedra atinge sua altura máxima
e o momento inicial é o seu local de lançamento. Temos então que
0 +m.g.h+ f.h =
1
2
.m.v2o
Isolando h, h =
m.v2o
2(m.g+f)
sendo que m = 5,29
9,8
= 0, 54Kg. Então,
h =
m.v2o
2(m.g+f)
= (0,54)(20)
2
2(0,54.9,8+0,265)
= 19, 4m
(b) Notando que a variação de energia térmica em todo o trajeto
equivale a ∆Eter = 2.f.h, temos pela conservação da energia a se-
guinte expressão:
Kf + ∆Eter = Ki
1
2
m.v2 + 2.f.h =
1
2
m.v2o
1
2
m.v2 =
1
2
m.v2o − 2.f. m.v
2
o
2(m.g + f)
v2 = v2o(1− 2.f
(m.g + f)
)
v2 = (20)2(1− 2.0, 265
5, 29 + 0, 265
) =
√
361, 836 = 19m/s
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Questão 8
Um pacote de 4.0Kg começa a subirum plano inclinado de 30o
com uma energia cinética de 128J . Que distância ele percorre
antes de parar, se o coeficiente de atrito cinético entre o pacote
e o plano é 0, 30?
Solução
Considerando d a distância total percorrida pelo pacote antes de
parar, temos a seguinte decomposição de vetores:
Temos portanto a força normal do pacote sendo igual a N =
m.g. cos θ. Portanto,
fk = µk.m.g. cos θ
E pela lei de conervação da energia temos que,
Ki = Kf + ∆U + ∆Eter
Ki = 0 +m.g.d. sin θ + µk.m.g.d. cos θ
Isolando d,
d =
Ki
m.g(sin θ + µk. cos θ)
=
128
4.9, 8.(sin 30o + 0, 3. cos 30o)
= 4, 3m.
Questão 9
Qual é a constante elástica de uma mola que armazena 25J de
energia potencial ao ser comprimida 7, 5cm?
Solução
Substituindo na equação E = 1
2
.k.x2 encontramos que k = 89N/cm.
Questão 10
Um bloco de massa m = 2kg é deixado cair de uma altura
h = 40cm sobre uma mola de cosntante elátisca k = 1960n/m.
Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser
comprimida.
Solução
Ki + Ui = Kf + Uf
0 = −m.g(h+ x) + 1
2
.k.x2
Resolvendo a equação do segundo grau acima, temos
M.g = 19, 6N, h = 0, 4m e k = 1960n/m
e escolhemos a raiz positiva, logo
x = 0, 10m
Questão 11
Em t = 0 uma bola de 1kg é atirada de uma torre com
v = (18m/s)ˆi + (24m/s)jˆ. Quanto é o ∆U do sistema bola-
terra entre t = 0 e t = 6s (ainda em queda livre)?
Solução
∆y = voy .t−
1
2
.g.t2
∆y = −32m
∆U = m.g.∆y = −318J = 3, 2.10−2J
Questão 12
Uma corda uniforme com 25cm de comprimento e 15g de massa
está presa horizontalmente em um teto. Mais tarde é pendu-
rada verticalmente, com apenas uma das extremidades presa no
teto. Qual é a variação da energia potencial da corda devido
a esta mudança de posição? (sugestão: considere um trecho
infinitesimal da corda e use uma integral.)
Solução
Considere um elemento de tamanho dx a uma distância x da ponta
da corda.
Du = −($dx)gx =⇒ $ = m
h
O sinal negativo indica que a energia potencial diminui. Integrando
de 0 até h obtemos:
∆U =
∫
du = −
∫
$gx.dx = −1
2
$.g.h2 = −1
2
.m.g.h
Com m = 15g e h = 25cm, nós temos que ∆U = −0, 018J
Questão 13
A partir do gráfico abaixo:
Determine: (a) U(x), (b) Faça um novo gráfico de U(x) em
função de x.
Solução
Para encontrar o valor de U(x) utilizamos a expressão U(x) =∫
F dx para cada intervalo do gráfico. Sendo:
F (2) =⇒ x ≤ −3, F (x) = 0
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−3 ≤ x ≤ −2, F (x) = −1
−2 ≤ x ≤ −1, F (x) = 2(x+ 1, 5)
−1 ≤ x ≤ −1, F (x) = 1
1 ≤ x ≤ 2, F (x) = 2(x− 1, 5)
2 ≤ x ≤ 3, F (x) = −1
x ≥ 3, F (x) = 0
Encontrando U(x)
para x ≤ 3 e x ≥ 3 =⇒ U(x) = U(0) = 0;
para 0 ≤ x ≤ 1 =⇒ U(x) =
∫ x
0
dx = −x
x = 1 −→ U(1) = 1;
para 1 ≤ x ≤ 2 =⇒ U(x) = −1−
∫ x
1
(2x− 3)dx = [−1(x2 − 3x)]x
1
=
x2 − 3x+ 1
x = 1 −→ U(1) = 1− 3 + 1 = −1
x = 2 −→ U(2) = 4− 6 + 1 = −1;
para 2 ≤ x ≤ 3 =⇒ U(x) = −1 +
∫ x
2
dx = −1 + x− 2 = x− 3
x = 2 −→ U(2) = −1
x = 3 −→ U(3) = 0;
Graficamente, temos:
Questão 14
Uma paríicula está sujeita a uma força associada com a energia
potencial U(x) = 3x2 − x3, onde [x] = metros e [U ] = Joules.
(a) Faça um gráfico de U(x). (b) Determine as posições da
partícula onde ela não sente força alguma. (c) Determine os
sentidos da força no intervalo: −2 ≤ x ≤ 2.
Solução
(a) Para construir o gráfico de uma função você deve encontrar as
raízes da função. Ou seja faça: 3x2 − x3 = 0. Então encontrará
x′ = 0 ou x′′ = 3
A derivada primeira vai lhe fornecer a inclinação da reta tangente
a função inicial e igualando essa inclinação a zero teremos os pon-
tos de máximo ou mínimo. No caso, U ′(x) = 6x − 3x2. Então:
x′ = 0 ou x′′ = 2 (são os pontos de máximo ou mínimo). Substi-
tuindo os ponto na função teremos: U(0) = 0 ou U(2) = 4(essas são
as coordenadas dos ponto de máximo ou mínimo).
(b) Primeiro você tem que encontrar a função da força que é a
derivada primeira de U(x) (energia potencial) em relação a x (de-
formação ou elongação da mola). F (x) = dU(x)
dx
= 6x− 3x2. Depois
de encontrar a função da força você encontra as raízes.
(c) Você teré que construir o gráfico da função da força para analisá-
lo.
Questão 15
A energia potencial de um corpo, de 100g, que gira em torno de
um certo eixo, é dada por U(θ) = 1, 6 sin θ , onde θ é a posição
angular da partícula, em radianos. (a) Faça um gráfico de U(θ)
no intervalo −pi × θ × 3pi. (b) Se o corpo for abandonado na
posiç ao θ = −pi3 , em que posição θ o corpo atingirá sua maior
velocidade? (c) Calcule a maior aceleração sofrida pelo corpo,
sabendo-se que sua trajetória é circular, com raio de 1, 6m.
Solução
(a)
(b) A maior velocidade será alcançada em θ = −pi
2
(c)
F (θ) = −dU(L)
dL
= −dU(Rθ)
d(Rθ)
= − 1
R
dU(θ)
dθ
F (θ) = − 1
1, 6
.1, 6. cos θ
− cos θ = 0, 1a
Aceleração máxima −→ U(θ) máximo
dF
dθ
= 0 −→ sin θ = 0
a = −cos(−
pi
3
)
0, 1
= −5m/s2
Questão 16
Um homem de 75kg sobe em uma escada vertical de 7, 0m para
o telhado de sua casa (que é plano). Depois, ele caminha 12m
no telhado, desce outra escada de 7, 0m e, finalmente, volta,
pelo chão, ao ponto onde estava no início. Qual o trabalho rea-
lizado pela gravidade (a) quando ele sobe a escada; (b) quando
ele desce a escada; (c) quando ele caminha no telhado e no
chão? (d) Qual o trabalho total realizado pela gravidade no
seu percurso? (e) A partir da sua resposta no item (d), a força
gravitacional é ou não conservativa?
Solução
Fórmula geral: W = m.g. cos θ
(a) W = (75kg)(9, 80m/s2)(7, 0m)(cos 180o) = −5100J
(b) W = 75.9, 8.7. cos 0 = 5100J
(c) O ângulo é de 90o em cada caso, ou seja, W = 0 nas duas situa-
ções
(d) O trabalho total realizado pela gravidade é igual à soma de to-
dos os trabalhos parciais realizados por ela, ou seja, Wt = 0.
(e) A força gravitacional é conservativa, pois o trabalho realizado
por ela em um circuito fechado é nulo.
Questão 17
Uma caixa de 10kg é puxada horizontalmente por um cabo em
um círculo em uma superfície horizontal, na qual o coeficiente
de atrito cinético é de 0, 250. Calcule o trabalho realizado pelo
atrito durante uma volta completa se o raio for de (a) 2, 00m
e( b)4, 00m. (c) Explique, mostrando seu raciocínio, porque a
força de atrito não é conservativa.
Solução
Sabendo que θ = 180 em todos os pontos, temos que W =
−m.g.µ.2pir
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(a) W = −(0, 250)(10)(9, 80)(2pi)(2) = −308J
(b) A distância do trajeto dobra, então o trabalho também dobra
W = −616J
(c) O trabalho realizado pela força de atrito não é nulo, portanto
ela não e conservativa.
Questão 18
Um livro de 0, 6kg de massa desliza em uma mesa horizontal.
A força de atrito cinética é constate e tem módulo de 1, 2N .
(a) Qual o trabalho realizado pela força de atrito durante um
deslocamento de 3, 0m para a esquerda? (b) E para a direita,
por 3, 0m retornando ao seu ponto inicial? (c) Qual o traba-
lho total realizado sobre o livro pela força de atrito durante o
percurso completo? (d) A força é conservativa?
Solução
(a) Quando o livro vai para a esquerda, a força de atrito aponta para
a direita, e o trabalho é −(1, 2N)(3, 0m) = −3, 6J
(b) A força, agora, está para a esquerda e o trabalho é de −3, 6J
(c) −7, 2J
(d) Não
Questão 19
Considere a figura a seguir para a questão:
Você e três amigos se sentam nos cantos de uma quadra cu-
jas dimensões estão na figura. Você pega seu livro de física
e o empurra de uma pessoa até a outra. O livro tem uma
massa de 1, 5kg e o coeficiente de atrito estático entre o livro
e o chão é de 0, 25. (a) O livro escorrega de você para Beth
e, depois, de Beth para Carlos, ao longo das linhas que conec-
tam as pessoas na figura. Qual o trabalho realizado pelo atritonesse deslocamento? (b) Você desliza o livro de você até Car-
los pela diagonal. Qual o trabalho realizado pelo atrito? (c)
O livro escorrega de você até Kim e depois ele é retornado à
você. Qual o trabalho realizado? (d) O trabalho realizado pela
força de atrito seria o mesmo se os percursos fossem diferen-
tes? (e) Quando podemos afirmar que o trabalho independe da
trajetória?
Solução
a) W1 = W2 = −(3, 675).(8, 0) = −29, 4J e Wt = W1 +W2 = −59J
b) W = −(3, 675).d, onde d = 11, 3m (diagonal).W = −42J
c) O trabalho de você até Kim é o mesmo de Kim até você e igual
a F.d = −(3, 675).(8, 0) = −29, 4J . O trabalho total vale −59J .
d) Não, pois a força de atrito não é conservativa. Pode até ser que
o trabalho seja igual, mas seria apenas uma coincidência numérica,
não podendo ser generalizada.
e) O trabalho realizado por uma força é o mesmo para qualquer
trajetória entre dois pontos se, e somente se, a força em questão for
conservativa.
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