Aula 03 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO PLANIMETRIA (1)

Prévia do material em texto

23/05/2017
1
2101.000.336-6
2101.000.517-2
2101.001.038-9
2101.001.179-2
Topografia 
Dr. Geovani Ferreira Alves
8 - LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO
– PLANIMETRIA
8.1 – Introdução
 Durante um levantamento
topográfico, normalmente são
determinados pontos de apoio ao
levantamento (pontos
planimétricos, altimétricos ou
planialtimétricos), e a partir destes,
são levantados os demais pontos
que permitem representar a área
levantada.
8.2 - Cálculo de Coordenadas na
Planimetria
 Nesta fase, será detalhado o
desenvolvimento necessário para a
determinação das coordenadas
planas
 ou seja, as coordenadas x e y
8.2 - Cálculo de Coordenadas na
Planimetria
 As projeções planas são obtidas em
função da distância entre os
vértices de um alinhamento e o
azimute ou rumo, magnético ou
geográfico, deste mesmo
alinhamento.
8.2 - Cálculo de Coordenadas na
Planimetria
Sendo:
 d01: distância horizontal entre os
vértices 0 e 1;
 A01: azimute da direção 0-1;
 ∆X: projeção da distância d01 sobre
o eixo X ;
 ∆Y: projeção da distância d01 sobre
o eixo Y;
23/05/2017
2
= 𝒅𝟎𝟏 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝑨𝟎𝟏
= 𝒅𝟎𝟏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑨𝟎𝟏
8.2 - Cálculo de Coordenadas na
Planimetria
 Considerando a poligonal
representada na figura acima, as
coordenadas dos vértices da
mesma são obtidas através da
soma algébrica das projeções.
 Logo:
 𝑋௜ = ∑ 𝑋௜ᇱ e 𝑌௜ = ∑ 𝑌௜ᇱ
Exemplo:
 Obter as coordenadas cartesianas
da poligonal seguinte:
 Unidade em metros
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
23/05/2017
3
A
B
C
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑌
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑋
A
B
C
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑌
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑋
A
B
C
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑋
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑌
A
B
C
X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X Y
AB 063d26'06" 44.7214 A 40.00 40.00
BC 194d02'10" 41.2311 B
CD 303d41'24" 36.0555 C
A
AL
IN
HA
M
EN
TO
Distâncias Azimutes
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Projeções
(m)
CA
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑋
23/05/2017
4
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑐𝑜 ℎ𝑖𝑝⁄
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑍஺஻ = 𝑐𝑜 ℎ𝑖𝑝⁄
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑌
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
cos 𝛼 = 𝑐𝑎 ℎ𝑖𝑝⁄
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
cos 𝐴𝑍𝐴𝐵 = 𝑐𝑎 ℎ𝑖𝑝⁄
A
B
C
40
20
23/05/2017
5
X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X Y
AB 063d26'06" 44.7214 40.00 20.00 A 40.00 40.00
BC 194d02'10" 41.2311 B 80.00 60.00
CD 303d41'24" 36.0555 C
A
AL
IN
HA
M
EN
TO
Distâncias Azimutes
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Projeções
(m)
CA
A
B
C
- 4
0
- 10
X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X Y
AB 063d26'06" 44.7214 40.00 20.00 A 40.00 40.00
BC 194d02'10" 41.2311 -10.00 -40.00 B 80.00 60.00
CD 303d41'24" 36.0555 C 70.00 20.00
A
AL
IN
HA
M
EN
TO
Distâncias Azimutes
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Projeções
(m)
CA
A
B
C
- 30
20
X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X Y
AB 063d26'06" 44.7214 40.00 20.00 A 40.00 40.00
BC 194d02'10" 41.2311 -10.00 -40.00 B 80.00 60.00
CD 303d41'24" 36.0555 -30.00 20.00 C 70.00 20.00
A 40.00 40.00
AL
IN
HA
M
EN
TO
Distâncias Azimutes
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Projeções
(m)
CA
8.3 - Cálculo de Azimutes a Partir
de Coordenadas Planimétricas
de dois Pontos
 Conhecendo-se as coordenadas
planimétricas de dois pontos é
possível calcular o azimute da
direção formada entre eles.
23/05/2017
6
= 𝒅𝟎𝟏 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝑨𝟎𝟏
= 𝒅𝟎𝟏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑨𝟎𝟏
8.3 - Cálculo de Azimutes a Partir
de Coordenadas Planimétricas
de dois Pontos
𝑡𝑔 𝐴଴ଵ =
∆𝑋
∆𝑌
𝐴଴ଵ = 𝑎𝑟𝑡𝑔
∆𝑋
∆𝑌
∆𝑋 = 𝑋1 − 𝑋0 
∆𝑌 = 𝑌1 − 𝑌0
8.3 - Cálculo de Azimutes a Partir
de Coordenadas Planimétricas
de dois Pontos
Para realizar posterior análise de
quadrante, é importante que ∆X e ∆Y
sejam obtidos fazendo-se sempre a
coordenada do segundo ponto menos
a coordenada do primeiro
8.3.1 - Exercícios
1) Calcular o azimute da direção 1-2
conhecendo-se as coordenadas:
X1 = 459,234m Y1 = 233,786 m
X2 = 778,546m Y2 = 451,263 m
23/05/2017
7
8.3.1 - Exercícios
Neste caso ∆𝑋 = 319,312 e ∆𝑌 =
217,477 são positivos, portanto, o
azimute da direção 1-2 está no 1º
quadrante, entre 0º e 90º e é igual a
55º 44’ 31’’.
8.3.1 - Exercícios
2) Calcular o azimute da direção 2-3
sendo:
X2 = 459,234 m Y2 = 233,786 m
X3 = 498,376 m Y3 = 102,872 m
8.3.1 - Exercícios
∆𝑋 = + 39,142 m
∆𝑌 = - 130,914 m
Como ∆𝑋 é positivo e ∆𝑌 é negativo,
sabe-se que o azimute da direção 2-3
está no 2º quadrante, ou seja, entre 90º
e 180º
8.3.1 - Exercícios
Para obter-se o azimute da direção 2-3
no 2º quadrante, extrai se o arco-
tangente do módulo do quociente
(∆𝑋 / ∆𝑌 ), obtendo-se um arco no 1º
quadrante:
8.3.1 - Exercícios
A2-3 = 16º 38’ 46’’ (1º. quadrante)
A seguir, faz-se a redução ao 2º
quadrante:
A2-3 (2º Quadrante) = 180º - [arco(1º
quadrante)]
A2-3 (2º Quadrante) = 180º - 16º 38’ 46’’
A2-3 (2º Quadrante) = 163º 21’ 14’’
23/05/2017
8
8.3.1 - Exercícios
3) Calcular o azimute da direção 3-4
sendo:
X3 = 459,234m Y3 = 233,786 m
X4 = 285,550 m Y4 = 99,459 m
8.3.1 - Exercícios
∆𝑋 = - 173,684 m
∆𝑌 = - 134,327 m
Como ∆𝑋 e ∆𝑌 são negativos o azimute
da direção 3-4 está no 3º quadrante,
entre 180º e 270º
8.3.1 - Exercícios
A 3-4 = 52º 16’ 54’’ (1º quadrante)
Reduzindo ao 3º quadrante:
A 3-4 (3º Quadrante) = 180º + [arco (1º
quadrante)]
A 3-4 (3º Quadrante) = 180º + 52º 16’ 54’’
A 3-4 (3º Quadrante) = 232º 16’ 54’’
8.3.1 - Exercícios
4) Calcular o azimute da direção 4-5
sendo:
X4 = 459,234m Y4 = 233,786 m
X5 = 301,459 m Y5 = 502,591 m
8.3.1 - Exercícios
4) Calcular o azimute da direção 4-5
sendo:
X4 = 459,234m Y4 = 233,786 m
X5 = 301,459 m Y5 = 502,591 m
Neste caso, ∆𝑋 = −157,775 é negativo e
∆𝑌 = 268,805 é positivo e o azimute da
direção 4-5 está no 4º quadrante, entre
270º e 360º
23/05/2017
9
8.3.1 - Exercícios
A 4-5 = 30º 24’ 39’’ (1º quadrante)
Fazendo-se a redução ao 4º
quadrante:
A 4-5 (4º Quadrante) = 360º - [arco (1º
quadrante)]
A 4-5 (4º Quadrante) = 360º - 30º 24’ 39’’
A 4-5 (4º Quadrante) = 329º 35’ 21’’
A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X Y
AB 063d26'06" 44.7214 40.00 20.00 A 40.00 40.00
BC 194d02'10" 41.2311 -10.00 -40.00 B 80.00 60.00
CD 303d41'24" 36.0555 -30.00 20.00 C 70.00 20.00
A 40.00 40.00
AL
IN
HA
M
EN
TO
Distâncias Azimutes
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Projeções
CA
X Y
A 40.00 40.00
B 80.00 60.00
C 70.00 20.00
A 40.00 40.00
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
∆X ∆Y
X Y X(n+1)-X(n) Y(n+1)-Y(n) RAIZ(∆X²+∆Y²) ATAN|(∆X/∆Y)| Direção
A 40.00 40.00 AB
B 80.00 60.00 BC
C 70.00 20.00 CA
A 40.00 40.00
Azimutes
Ângulos 
Internos
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas Distâncias Rumos
AL
IN
HA
M
EN
TO Projeções
23/05/2017
10
∆X ∆Y
X Y X(n+1)-X(n) Y(n+1)-Y(n) RAIZ(∆X²+∆Y²)
A 40.00 40.00 AB 40.00 20.00
B 80.00 60.00 BC -10.00 -40.00
C 70.00 20.00 CA -30.00 20.00
A 40.00 40.00
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
AL
IN
HA
M
EN
TO Projeções
∆X ∆Y
X Y X(n+1)-X(n) Y(n+1)-Y(n) RAIZ(∆X²+∆Y²)
A 40.00 40.00AB 40.00 20.00 44.7214
B 80.00 60.00 BC -10.00 -40.00 41.2311
C 70.00 20.00 CA -30.00 20.00 36.0555
A 40.00 40.00
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
AL
IN
HA
M
EN
TO Projeções Distâncias 
∆X ∆Y
X Y X(n+1)-X(n) Y(n+1)-Y(n) RAIZ(∆X²+∆Y²) ATAN|(∆X/∆Y)| Direção
A 40.00 40.00 AB 40.00 20.00 44.7214 063d26'06" NE
B 80.00 60.00 BC -10.00 -40.00 41.2311 014d02'10" SW
C 70.00 20.00 CA -30.00 20.00 36.0555 056d18'36" NW
A 40.00 40.00
Rumos
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
AL
IN
H
AM
EN
TO Projeções Distâncias 
∆X ∆Y
X Y X(n+1)-X(n) Y(n+1)-Y(n) RAIZ(∆X²+∆Y²) ATAN|(∆X/∆Y)| Direção
A 40.00 40.00 AB 40.00 20.00 44.7214 063d26'06" NE 063d26'06"
B 80.00 60.00 BC -10.00 -40.00 41.2311 014d02'10" SW 194d02'10"
C 70.00 20.00 CA -30.00 20.00 36.0555 056d18'36" NW 303d41'24"
A 40.00 40.00
Rumos
Azimutes
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
AL
IN
HA
M
EN
TO Projeções Distâncias 
Cálculo do ângulos internos ou
externos de uma poligonal
𝑨𝒁𝒊ି𝟏,𝒊 = 𝑨𝒁𝒊,𝒊ା𝟏 + 𝜷𝒊 + 𝟏𝟖𝟎°
𝜷𝒊 = 𝑨𝒁𝒊ି𝟏,𝒊 − 𝑨𝒁𝒊,𝒊ା𝟏 − 𝟏𝟖𝟎°
𝜷𝑨 = 𝑨𝒁𝑪,𝑨 − 𝑨𝒁𝑨,𝑩 − 𝟏𝟖𝟎°
𝜷𝒊= i ésimo ângulo interno da poligonal
Cálculo do ângulos internos ou
externos de uma poligonal
𝜷𝑨 = 𝑨𝒁𝑪,𝑨 − 𝑨𝒁𝑨,𝑩 − 𝟏𝟖𝟎°
𝜷𝑩 = 𝑨𝒁𝑨,𝑩 − 𝑨𝒁𝑩,𝑪 − 𝟏𝟖𝟎°
𝜷𝑪 = 𝑨𝒁𝑩,𝑪 − 𝑨𝒁𝑪,𝑨 − 𝟏𝟖𝟎°
Se maior que 360 °, Subtrair 360 °
Se negativo, somar 360 °
23/05/2017
11
∆X ∆Y
X Y X(n+1)-X(n) Y(n+1)-Y(n) RAIZ(∆X²+∆Y²) ATAN|(∆X/∆Y)| Direção
A 40.00 40.00 AB 40.00 20.00 44.7214 063d26'06" NE 063d26'06" 060d15'18"
B 80.00 60.00 BC -10.00 -40.00 41.2311 014d02'10" SW 194d02'10" 049d23'56"
C 70.00 20.00 CA -30.00 20.00 36.0555 056d18'36" NW 303d41'24" 070d20'46"
A 40.00 40.00 180d00'00"
Rumos
Azimutes
Ângulos 
Internos
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
A
LI
N
H
A
M
EN
TO Projeções Distâncias 
9 - TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO
PLANIMÉTRICO
 A poligonação é um dos métodos mais
empregados para a determinação de
coordenadas de pontos em
Topografia, principalmente para a
definição de pontos de apoio
planimétricos.
 Uma poligonal consiste em uma série
de linhas consecutivas onde são
conhecidos os comprimentos e
direções, obtidos através de medições
em campo.
9 - TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO
PLANIMÉTRICO
 Poligonal principal: poligonal que
determina os pontos de apoio
topográfico de primeira ordem
 Poligonal secundária: aquela que,
apoiada nos vértice da poligonal
principal determina os pontos de
apoio topográfico de segunda
ordem
9 - TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO
PLANIMÉTRICO
 Poligonal auxiliar: poligonal que,
baseada nos pontos de apoio
topográfico planimétrico, tem seus
vértices distribuídos na área ou faixa
a ser levantada
9 - TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO
PLANIMÉTRICO
 As poligonais levantadas em campo
poderão ser fechadas, enquadradas
ou abertas.
23/05/2017
12
9.1.2 - Cálculo de uma Poligonal
Fechada
 A partir dos dados medidos em
campo ângulos e distâncias),
orientação inicial e coordenadas do
ponto de partida é possível calcular
as coordenadas de todos os pontos
da poligonal.
 Inicia-se o cálculo a partir do ponto
de partida (costuma-se empregar a
nomenclatura OPP)
23/05/2017
13
9.1.2.1 - Verificação do Erro de
Fechamento Angular
 Para a poligonal fechada, antes de
calcular o azimute das direções, é
necessário fazer a verificação dos
ângulos medidos.
 Uma vez que a poligonal forma um
polígono fechado é possível verificar
se houve algum erro na medição
dos ângulos.
9.1.2.1 - Verificação do Erro de
Fechamento Angular
 Em um polígono qualquer, o
somatório dos ângulos externos
deverá ser igual a:
Somatório dos ângulos medidos
= (n + 2) × 180º
 Onde n é o número de estações da
poligonal.
 O erro angular (ea) cometido será
dado por:
 ea = ∑ ângulos medidos - (n+2)× 180º
9.1.2.1 - Verificação do Erro de
Fechamento Angular
 Para ângulos internos o somatório
dos mesmos deverá ser igual ao
número de estações menos dois,
multiplicado por 180º.
 Somatório dos ângulos medidos
(n - 2) × 180º 
9.1.2.1 - Verificação do Erro de
Fechamento Angular
 Este erro terá que ser menor que a
tolerância angular (𝜺𝒂), que pode ser
entendida como o erro angular
máximo aceitável nas medições.
 Se o erro cometido for menor que o
erro aceitável, deve-se realizar uma
distribuição do erro cometido entre
as estações e somente depois
realizar o cálculo dos azimutes.
9.1.2.1 - Verificação do Erro de
Fechamento Angular
 É comum encontrar a seguinte
equação para o cálculo da tolerância
angular:
 𝜺𝒂 = p× m
 Onde m é o número de ângulos
medidos na poligonal e p é precisão
nominal do equipamento de medição
angular.
 Em uma poligonal fechada o número
de estações é igual ao número de
ângulos medidos, portanto, m = n.
9.1.2.1 - Verificação do Erro de
Fechamento Angular
Caso o erro cometido seja maior que
o erro tolerável é necessário refazer
as medições angulares
23/05/2017
14
9.1.2.2 - Cálculo dos Azimutes
Como a orientação é determinada
apenas para uma direção da
poligonal, é necessário efetuar o
cálculo dos azimutes para todas as
demais direções da poligonal
9.1.2.2 - Cálculo dos Azimutes
𝑨𝒁𝒊,𝒊ା𝟏 = 𝑨𝒁𝒊ି𝟏,𝒊 + 𝜶𝒊 − 𝟏𝟖𝟎°
𝜶𝒊 = 𝑨𝒁𝒊,𝒊ା𝟏 − 𝑨𝒁𝒊ି𝟏,𝒊 + 𝟏𝟖𝟎°
𝜶𝒊= i ésimo ângulo externo da poligonal
Se maior que 360 °, Subtrair 360 °
Se negativo, somar 360 °
Ângulos internos
𝑨𝒁𝒊ି𝟏,𝒊 = 𝑨𝒁𝒊,𝒊ା𝟏 + 𝜷𝒊 + 𝟏𝟖𝟎°
𝜷𝒊 = 𝑨𝒁𝒊ି𝟏,𝒊 − 𝑨𝒁𝒊,𝒊ା𝟏 − 𝟏𝟖𝟎°
𝜷𝒊= i ésimo ângulo interno da poligonal
Se maior que 360 °, Subtrair 360 °
Se negativo, somar 360 °
Exercício
 Calcular os azimutes das direções
consecutivas em função dos
ângulos horizontais medidos no
sentido horário.
23/05/2017
15
9.1.2.4 - Verificação do Erro de
Fechamento Linear
 A partir do ponto de partida (0PP),
calculam-se as coordenadas dos
demais pontos até retornar ao ponto
de partida.
 A diferença entre as coordenadas
calculadas e as fornecidas para este
ponto resultará no chamado erro
planimétrico ou erro linear cometido
 Como os ângulos foram ajustados, este
erro será decorrente de imprecisões na
medição das distâncias.
9.1.2.4 - Verificação do Erro de
Fechamento Linear
O erro planimétrico pode ser
decomposto em uma componente
na direção X e outra na direção Y
9.1.2.4 - Verificação do Erro de
Fechamento Linear
Os valores de ex e ey podem ser
calculados por:
 𝑒௫ = 𝑋ை௉௉஼ − 𝑋ை௉௉
 𝑒௬ = 𝑌ை௉௉஼ − 𝑌ை௉௉
 O erro planimétrico ep será dado por:
 𝑒௣ = 𝑒௫ଶ + 𝑒௬ଶ
଴,ହ
9.1.2.4 - Verificação do Erro de
Fechamento Linear
 É necessário verificar se este erro
está abaixo de uma determinada
tolerância linear.
 Normalmente esta é dada em forma
de escala, como por exemplo,
1:1000. O significado disto é que, em
uma poligonal com 1000 m o erro
aceitável seria de 1 m.
23/05/2017
16
9.1.2.4 - Verificação do Erro de
Fechamento Linear
 𝑒௣ =
ଵ
௓
 𝑍 = ∑ ௗ
௘ೣమା௘೤మ
 ∑ 𝑑 = é o perímetro da poligonal
(somatório de todas as distâncias da
poligonal)
9.1.2.4 - Verificação do Erro de
Fechamento Linear
Os valores de erro de fechamento
linear e tolerância linear são dados,
verificar o levantamento efetuado.
 ∑ 𝑑 = 1467,434 m
 ex = 0,085 m
 ey = -0,094 m
 tolerância linear = 1:10000
11579,03
11579,03
9.1.2.6 - Resumo de Cálculo da Poligonal
Fechada
 Determinação das coordenadas do ponto de
partida;
 Determinação da orientação da poligonal;
 Cálculo do erro de fechamento angular pelo
somatório dos ângulos internos ou externos
(sentido horário ou anti-horário);
 Distribuição do erro de fechamento angular;
 Cálculo dos Azimutes;
 Cálculo das coordenadas parciais (X, Y);
 Cálculo do erro de fechamento linear;
 Cálculo das coordenadas definitivas(XC, YC).
9.1.2.7 – Exercício
 Dada a caderneta de campo abaixo,
utilizada para o levantamento de uma
poligonal, determinar as coordenadas
dos pontos que formam a mesma.
 São dados:
Azimute da direção OPP-1: 106º 52’ 07’’
Coordenadas da estação OPP:
XOPP = 224,19 m YOPP = 589,25 m
Tolerâncias: Angular: 10'' 𝒏 ; Linear: 1:2000
23/05/2017
17
9.1.2.6 - Resumo de Cálculo da Poligonal
Fechada
 Determinação das coordenadas do ponto de
partida;
 Determinação da orientação da poligonal;
 Cálculo do erro de fechamento angular pelo
somatório dos ângulos internos ou externos
(sentido horário ou anti-horário);
 Distribuição do erro de fechamento angular;
 Cálculo dos Azimutes;
 Cálculo das coordenadas parciais (X, Y);
 Cálculo do erro de fechamento linear;
 Cálculo das coordenadas definitivas (XC, YC).
2) Correção do erro angular
 O sinal da correção deve ser
contrário ao sinal do erro
 Distribuir igualmente entre as
estações.
3) Cálculo dos Azimutes
𝑨𝒁𝒊,𝒊ା𝟏 = 𝑨𝒁𝒊ି𝟏,𝒊 + 𝜶𝒊 − 𝟏𝟖𝟎°
23/05/2017
18
Ponto Direção
 Ângulo Corrig 
Horizontal(Ext)
Azimutes 
Corrigido
OPP OPP 106d52’07’’
1 1-2 246d47'28" 173d39'35"
2 2-3 261d29'37" 255d09'12"
3 3-4 301d45'14" 016d54'26"
4 4-OPP 148d28'34" 345d23'00"
5-OPP 301d29'07" 106d52'07"
1260d00'00"
4) Cálculo das coordenadas
provisórias
 Projeções em X e Y
 Coordenadas, coordenada do
ponto anterior somada as projeções
do ponto seguinte.
X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X Y
OPP OPP 106d52’07’’
1 1-2 173d39'35"
2 2-3 255d09'12"
3 3-4 016d54'26"
4 4-OPP 345d23'00"
5-OPP 106d52'07"
Diferença 0.0000 0.0000
Ponto
Projeções AZCORR Coordenadas 
AZCORRDireção
Azimutes 
Corrigido X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X Y
OPP OPP 106d52’07’’ 95.8695 -29.0700 224.1900 589.2500
1 1-2 173d39'35" 12.7881 -115.0917 320.0595 560.1800
2 2-3 255d09'12" -112.7846 -29.8973 332.8477 445.0883
3 3-4 016d54'26" 26.6539 87.6886 220.0630 415.1910
4 4-OPP 345d23'00" -22.4744 86.1776 246.7169 502.8796
5-OPP 106d52'07" 224.2426 589.0572
Diferença 0.0526 -0.1928
Ponto
Projeções AZCORR Coordenadas 
AZCORRDireção
Azimutes 
Corrigido
5) Verificação do erro linear
 Erro linear
 𝑒௣ =
ଵ
௓
 𝑍 = ∑ ௗ
௘ೣమା௘೤మ
5) Verificação do erro linear
 Erro linear
 Erro linear 0,199818
 Expressando em forma de escala
2569,186952
 Menor 1:2000 ok
23/05/2017
19
6) Cálculo das coordenadas
corrigidas
 O sinal da correção deve ser
contrário ao sinal do erro
 Distribuir proporcionalmente entre as
estações, entre as distâncias lineares
das estações
6) Cálculo das coordenadas
corrigidas
 Estabelecer as proporções
 ௗ௜௦௧೔,೔శభ
ௗ
ௗ௜௦௧â௡௖௜௔ ௗ௢ ௔௟௜௡௛௔௠௘௡௧௢ 
௉௘௥௜௠௘௧௥௢
6) Cálculo das coordenadas
corrigidas
 Estabelecendo o valor da correção
 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒çã𝑜 𝑥௜ାଵ = 𝑒௫
ௗ௜௦௧೔,೔శభ
ௗ
∗
 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒çã𝑜 𝑦௜ାଵ = 𝑒௬
ௗ௜௦௧೔,೔శభ
ௗ
∗
 * multiplicar por −𝟏, troca de sinal
 Quando atingir o número de
vértices da poligonal retorna ao
ponto original
6) Cálculo das coordenadas
corrigidas
 Coordenada corrigida consiste em,
a partir do ponto da coordenada
do ponto inicial, XOPP = 224,19 m
YOPP = 589,25 m, refazer as
coordenadas dos demais pontos da
poligonal, incluindo além da
projeção em ∆ X ou ∆ Y o erro
proporcional em X ou Y para cada
alinhamento.
X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X CorreX Y CorreY
OPP 0-1 106d52’07’’ 95.8695 -29.0700 224.1900 -0.0103 589.2500 0.0376
1 1-2 173d39'35" 12.7881 -115.0917 320.0493 -0.0119 560.2176 0.0435
2 2-3 255d09'12" -112.7846 -29.8973 332.8256 -0.0119 445.1694 0.0438
3 3-4 016d54'26" 26.6539 87.6886 220.0290 -0.0094 415.3159 0.0344
4 4-0 345d23'00" -22.4744 86.1776 246.6735 -0.0091 503.0389 0.0334
OPP 106d52'07" 224.1900 589.2500
Diferença 0.000 -0.0526 0.000 0.1928
Ponto Direção
Azimutes 
Corrigido
Projeções AZCORR
Coordenadas Linheares AZCORR X Y
distxsen(AZ) distxcos(AZ) X CorreX Y CorreY
OPP 0-1 95.8695 -29.0700 224.1900 -0.0103 589.2500 0.0376
1 1-2 12.7881 -115.0917 320.0493 -0.0119 560.2176 0.0435
2 2-3 -112.7846 -29.8973 332.8256 -0.0119 445.1694 0.0438
3 3-4 26.6539 87.6886 220.0290 -0.0094 415.3159 0.0344
4 4-0 -22.4744 86.1776 246.6735 -0.0091 503.0389 0.0334
OPP 224.1900 589.2500
Diferença 0.000 -0.0526 0.000 0.1928
Ponto Direção
Projeções AZCORR
Coordenadas Linheares AZCORR
23/05/2017
20
9.2 - Poligonal Enquadrada
 A característica principal das
poligonais enquadradas consiste em
unir pontos topográficos de
coordenadas conhecidas.
9.3 – Irradiação
 Consiste em, a partir de uma linha
de referência conhecida, medir um
ângulo e uma distância.
23/05/2017
21
9.3 – Irradiação
 1) Para ângulos horizontais medidos
no sentido HORÁRIO, calcular as
coordenadas dos pontos A1, P1 e
B1.
9.3 – Irradiação
 Cálculo das distâncias horizontais
entre a estação 1 e os pontos A1, P1
e B1.
9.3 – Irradiação
 Cálculo dos azimutes entre a
estação 1 e os pontos A1, P1 e B1
 (A1-detalhe = A0=PP-1 + ângulo
horizontal - 180º)
9.3 – Irradiação
 Cálculo dos azimutes entre a
estação 1 e os pontos A1, P1 e B1
 (A1-detalhe = A0=PP-1 + ângulo
horizontal - 180º)
 Azimute da direção 1-A1
 A 1-A1 = 106º52’07’’+ 11º 07’ 15’’- 180º
 A 1-A1 = 297º 59’ 22’’
9.3 – Irradiação
 Azimute da direção 1-P1
 A 1-P1= 106º52’07’’+ 220º 40’ 32’’-
180º
 A 1-P1 = 147º 32’ 39’’
 Azimute da direção 1-B1
 A 1-B1 = 106º52’07’’+ 290º 37’ 24’’-
180º
 A 1-B1 = 217º 29’ 31’’
23/05/2017
22
9.3 – Irradiação
 Cálculo das coordenadas
cartesianas retangulares dos
pontosA1, P1 e B1.
X Y
320.05 560.22
1 A1 106º52’07’’ 297d59'22"
1 P1 106º52’07’’ 147d32'39"
1 B1 106º52’07’’ 217d29'31"
Coordenadas 
Estação Ponto Azimute 
Azimute 
Estações
∆X ∆Y
9.3 – Irradiação
9.3 – Irradiação
 Cálculo das coordenadas
cartesianas retangulares dos
pontosA1, P1 e B1.
X Y
320.05 560.22
1 A1 297d59'22" -51.53 27.39 268.52 587.60
1 P1 147d32'39" 12.07 -18.97 332.12 541.24
1 B1 217d29'31" -28.50 -37.16 291.55 523.06
Coordenadas 
Estação Ponto 
Azimute 
Detalhe
∆X ∆Y
CÁLCULO DE ÁREAS
23/05/2017
23
10 - CÁLCULO DE ÁREAS
 A avaliação de áreas é uma
atividade comum na Topografia.
 Basicamente os processos para
determinação de áreas podem ser
definidos como analíticos, gráficos,
computacionais e mecânicos.
10.1 - Processo Gráfico
 Neste processo a área a ser
avaliada é dividida em figuras
geométricas, como triângulos,
quadrados ou outras figuras, e a
área final será determinada pela
somatória de todas as áreas das
figuras geométricas.
10.2 - Processo Computacional
 Atualmente é uma forma bastante
prática para o cálculo de áreas.
 Baseado no emprego de algum
programa gráfico do tipo CAD, no
qual são desenhados os pontos que
definem a área levantada e o
programa calcula esta área, por
métodos analíticos.
10.3 - Processo Mecânico
 Utiliza-se um equipamento
denominado de planímetro
 Este consiste em dois braços
articulados, com um ponto fixo
denominado de pólo e um cursor
na extremidade dos braços, o qual
deve percorrer o perímetro do
polígono que se deseja calcular a
área.
23/05/2017
24
10.4 - Processos Analíticos
 Neste método a área é avaliada
utilizando fórmulas matemáticas
que permitem, a partir das
coordenadas dos pontos que
definem a feição, realizar os
cálculos desejados.
10.4 - Processos Analíticos
 O cálculo da área de poligonais,
por exemplo, pode ser realizado a
partir do cálculo da área de
trapézios formados pelos vértices da
poligonal (fórmula de Gauss).
23/05/2017
25
10.4 - Processos Analíticos
 fórmula de Gauss
 Ao invés da área, temos 2 vezes a
mesma, ou seja:
𝟐𝑨 = ෍ 𝑿𝒊 + 𝑿𝒊ା𝟏 𝒀𝒊 − 𝒀𝒊ା𝟏
𝒏
𝒊ୀ𝟏
10.4 - Processos Analíticos fórmula de Gauss
𝟐𝑨 = ෍ 𝑿𝒊 𝒀𝒊ି𝟏 − 𝒀𝒊ା𝟏
𝒏
𝒊ୀ𝟏
𝟐𝑨 = ෍ 𝒀𝒊 𝑿𝒊ା𝟏 − 𝑿𝒊ି𝟏
𝒏
𝒊ୀ𝟏
10.4 - Processos Analíticos
 fórmula de Gauss
𝟐𝑨 = ∑ 𝒀𝒊 𝑿𝒊ା𝟏𝒏𝒊ୀ𝟏 -∑ 𝑿𝒊 𝒀𝒊ା𝟏𝒏𝒊ୀ𝟏
𝟐𝑨 = ∑ 𝒀𝒊 𝑿𝒊ା𝟏𝒏𝒊ୀ𝟏 -∑ 𝑿𝒊 𝒀𝒊ା𝟏𝒏𝒊ୀ𝟏
23/05/2017
26
Exercícios
 1) determine a área da poligonal
através dos 4 estimadores
apresentados anteriormente. A
B
C
63°26'6"NE
14°2'10"SW
56°18'36"NW
44,7
2
41
,2
3
36,06
X Y
A 40.00 40.00
B 80.00 60.00
C 70.00 20.00
A 40.00 40.00
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
1 2 Produto
X Y Xi+X(i+1) Yi-Y(i+1) 1*2
A 40.00 40.00
B 80.00 60.00
C 70.00 20.00
A 40.00 40.00
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Área Gauss (1)
1 2 Produto
X Y Xi+X(i+1) Yi-Y(i+1) 1*2
A 40.00 40.00 120.00 -20.00
B 80.00 60.00 150.00 40.00
C 70.00 20.00 110.00 -20.00
A 40.00 40.00
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Área Gauss (1)
1 2 Produto
X Y Xi+X(i+1) Yi-Y(i+1) 1*2
A 40.00 40.00 120.00 -20.00 -2400
B 80.00 60.00 150.00 40.00 6000
C 70.00 20.00 110.00 -20.00 -2200
A 40.00 40.00
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Área Gauss (1)
23/05/2017
27
1 2 Produto
X Y Xi+X(i+1) Yi-Y(i+1) 1*2
A 40.00 40.00 120.00 -20.00 -2400
B 80.00 60.00 150.00 40.00 6000
C 70.00 20.00 110.00 -20.00 -2200
A 40.00 40.00 Soma (2A) 1400
A 700
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Área Gauss (1)
m2
1 2 Produto
X Y Xi Yi-1-Y(i+1) 1*2
A 40.00 40.00
B 80.00 60.00
C 70.00 20.00
A 40.00 40.00
Área Gauss (2)
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
1 2 Produto
X Y Xi Yi-1-Y(i+1) 1*2
A 40.00 40.00 40.00 -40.00 -1600
B 80.00 60.00 80.00 20.00 1600
C 70.00 20.00 70.00 20.00 1400
A 40.00 40.00 Soma (2A) 1400
A 700
Área Gauss (2)
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
m2
1 2 Produto
X Y Xi+1-X(i-1) Yi 1*2
A 40.00 40.00
B 80.00 60.00
C 70.00 20.00
A 40.00 40.00
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Área Gauss (3)
1 2 Produto
X Y Xi+1-X(i-1) Yi 1*2
A 40.00 40.00 10.00 40.00 400
B 80.00 60.00 30.00 60.00 1800
C 70.00 20.00 -40.00 20.00 -800
A 40.00 40.00 Soma (2A) 1400
A 700
ES
TA
ÇÕ
ES Coordenadas
Área Gauss (3)
m2
1 2
X Y Yi X(i+1) Xi Y(i+1)
A 40.00 40.00
B 80.00 60.00
C 70.00 20.00
A 40.00 40.00
Coordenadas
Área Gauss (4)
ES
TA
ÇÕ
ES
23/05/2017
28
1 2
X Y Yi X(i+1) Xi Y(i+1)
A 40.00 40.00 3200.00 2400.00
B 80.00 60.00 4200.00 1600.00
C 70.00 20.00 800.00 2800.00
A 40.00 40.00 8200.00 6800.00
Diferença 1400
A 700
Coordenadas
Área Gauss (4)
ES
TA
ÇÕ
ES
m2
Exercícios
 2) determine as distâncias entre os
alinhamentos e a área da poligonal
seguinte que foram realizadas as
correções anteriormente.
∆X ∆Y
X Y X(n+1)-X(n) Y(n+1)-Y(n) RAIZ(∆X²+∆Y²)
OPP OPP-1 301°29'07" 058°30'41" 224.1900 589.2500
1 1-2 246°47'28" 113°12'35" 320.0493 560.2176
2 2-3 261°29'37" 098°30'26" 332.8256 445.1694
3 3-4 301°45'14" 058°14'49" 220.0290 415.3159
4 4-OPP 148°28'34" 211°31'29" 246.6735 503.0389
5-OPP 301°29'07" 058°30'57" 224.1900 589.2500
1260°00'00" 540°00'00"
Projeções
Distâncias 
Ponto Direção
 Ângulo 
Externo
Ângulos 
Internos
Coordenadas
∆X ∆Y
X Y X(n+1)-X(n) Y(n+1)-Y(n) RAIZ(∆X²+∆Y²)
OPP OPP-1 301°29'07" 058°30'41" 224.1900 589.2500 95.8593 -29.0324 100.1593
1 1-2 246°47'28" 113°12'35" 320.0493 560.2176 12.7763 -115.0482 115.7554
2 2-3 261°29'37" 098°30'26" 332.8256 445.1694 -112.7966 -29.8535 116.6804
3 3-4 301°45'14" 058°14'49" 220.0290 415.3159 26.6445 87.7230 91.6802
4 4-OPP 148°28'34" 211°31'29" 246.6735 503.0389 -22.4835 86.2111 89.0947
5-OPP 301°29'07" 058°30'57" 224.1900 589.2500
1260°00'00" 540°00'00"
Projeções
Distâncias 
Ponto Direção
 Ângulo 
Externo
Ângulos 
Internos
Coordenadas
X Y
224.1900 589.2500 544.2393 29.03240993 15800.57746
320.0493 560.2176 652.8748 115.0482326 75112.09378
332.8256 445.1694 552.8545 29.85346748 16504.62423
220.0290 415.3159 466.7024 -87.72302185 -40940.54912
246.6735 503.0389 470.8635 -86.2110882 -40593.65356
224.1900 589.2500 Soma (2A) 25883.0928
Área 12941.5464
X i +X i+1 Y i -Y i+1 Produto
Coordenadas
X Y
OPP OPP-1 224.1900 589.2500 -12818.8879
1 1-2 320.0493 560.2176 46112.9039
2 2-3 332.8256 445.1694 48226.9881
3 3-4 220.0290 415.3159 -12732.9780
4 4-OPP 246.6735 503.0389 -42904.9333
5-OPP 224.1900 589.2500 25883.0928
Área 12941.5464
Ponto Direção
Coordenadas
SomaX i (Y i -1-Y i+1 )
23/05/2017
29
X Y
OPP OPP-1 224.1900 589.2500 43236.6780
1 1-2 320.0493 560.2176 60859.5464
2 2-3 332.8256 445.1694 -44525.9742
3 3-4 220.0290 415.3159 -35780.3213
4 4-OPP 246.6735 503.0389 2093.1638
5-OPP 224.1900 589.2500 25883.0928
Área 12941.5464
Ponto Direção
Coordenadas
SomaY i (X i+1 -X i-1 ) X Y
OPP OPP-1 224.1900 589.2500 188589.0299 125595.1815
1 1-2 320.0493 560.2176 186454.7279 142476.1260
2 2-3 332.8256 445.1694 97950.1518 138227.7398
3 3-4 220.0290 415.3159 102447.4185 110683.1298
4 4-OPP 246.6735 503.0389 112776.2936 145352.3519
5-OPP 224.1900 589.2500 688217.6218 662334.5290
Área 12941.5464
X i Y i+1Y i X i+1Ponto Direção
Coordenadas