Cap. 2 Otica Geometrica

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Rui F. Marques e Benilde Costa
1
Imagens ópticas (1)‏ - Dióptros
Dióptros
Dióptro : sistema óptico constituído por dois meios transparentes
homogéneos, separados por uma superfície bem definida.
Se a superfície de separação é plana, chama-se-lhe dióptro plano;
se é esférica, constitui um dióptro esférico que (visto do lado da
luz incidente) pode ser côncavo ou convexo ‏.
C centro de curvatura da
superfície esférica
Rui F. Marques e Benilde Costa
2
Imagens ópticas (2)‏ - Dióptros
Na refracção formam-se ...
... imagens reais atrás da superfície (lado da luz refractada) 
... imagens virtuais do lado da luz incidente, em frente à superfície.
Convenção de sinais :
• s>0 objectos do lado da luz incidente
• s’>0 imagens do lado da luz refractada
• r>0 centro de curvatura situado do lado da luz refractada
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (3)‏ - Dióptros
Amplificação linear
s
s
n
n
y
ym ''
2
1-==
Rui F. Marques e Benilde Costa
4
Imagens ópticas (4)‏ - Dióptros
15
133,1
'
33,1
10
1 -
=+
s
Ex.: Aquário esférico, com 15 cm de raio; nágua = 1,33. O gato
espreita, com o nariz a 10 cm da superfície do aquário.
a) Onde se forma a imagem do nariz do gato?
b) Qual a amplificação da imagem?
s’ = - 17,1 cm (imagem virtual)‏
29,1)10(33,1
)1,17(1 == -m
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (5)‏ - Dióptros
s
n
ns
1
2' -=
Outro exemplo: O lago tem superfície plana
« toma-se r infinito
cmms 75,0)1(' 33,1 1 -=-=
n2
n1
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (6)‏ - Espelhos
ss -='
Espelhos
Espelho - superfície de separação de dois meios na qual não ocorre refracção.
Nos espelhos há apenas reflexão e uma absorção de luz (maior ou menor) que
num bom espelho se pode considerar desprezável.
N.B.: Os espelhos correntes reflectem cerca de 95% da luz incidente !
yy ='
Rui F. Marques e Benilde Costa
7
Imagens ópticas (8)‏ - Espelhos
Se a distância ao objecto é grande quando comparada
com o raio de curvatura do espelho, o termo 1/s é
muito menor que 2/r e pode ser desprezado. 
A imagem forma-se então a uma distância chamada
distância focal do espelho, f, e o plano no qual os raios
paralelos incidentes sobre o espelho são focalizados é
o plano focal.
Quando um ponto objecto está muito afastado de um espelho, os raios
são paralelos e as frentes de onda aproximadamente planas.
As ondas reflectidas
parecem vir do ponto
focal atrás do espelho.
Por construção...
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (7)‏ - Espelhos
2/:Notar
2
'
11
rf
rss
=
=+
Na imagem real a luz emana do ponto imagem; esta imagem pode também
ser observada sobre uma tela ou captada uma película fotográfica.
Uma imagem virtual (tal como a formada pelo espelho plano acima
discutido) não pode ser observada sobre uma tela no ponto imagem, porque
não há luz nesse ponto.
s
s
y
y '´
-=
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (9)‏ - Espelhos
Método útil para localizar imagens : diagrama de raios.
Existem três raios principais que se devem usar:
• O raio paralelo, desenhado paralelamente ao eixo e que é
reflectido passando pelo foco.
• O raio focal, desenhado através do foco, e que é reflectido
paralelamente ao eixo.
• O raio radial, desenhado através do centro de curvatura. Esse raio
atinge o espelho perpendicularmente à sua superfície e é assim
reflectido de volta sobre ele mesmo.
Tipicamente, 
desenham-se dois
dos raios
principais para
localizar a 
imagem, e depois
desenha-se o 
terceiro raio
principal de 
modo a verificar
o resultado.
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (10)‏ - Espelhos
Imagem invertida e menor que
o objecto
Imagem virtual, para cima (não
invertida) e maior que o objecto
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (11)‏ - Espelhos
Convenção de sinais para reflexão em espelhos
• s>0 objecto do lado de onde a luz incide no espelho
• s’>0 imagem está do lado para onde sai a luz reflectida no espelho
• r >0 (e f>0) para espelho côncavo (i.e., tal que o centro de curvatura
fica do lado da luz reflectida)‏
O lado da luz incidente e o lado da luz reflectida são obviamente os mesmos. 
Os parâmetros s, s’ e f são positivos se um objecto real está em frente de um 
espelho côncavo que forma uma imagem real. Parâmetro(s) negativo(s), no 
caso contrário. 
Espelho convexo, imagem
entre o foco e o espelho:
Imagem virtual, para cima e 
maior que o objecto
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (12)‏ - Espelhos
Um objecto com 2 cm de 
altura está a 5cm de um 
espelho convexo com 
raio de curvatura de 10 
cm.
(a) Onde está a imagem?
(b) Qual é a sua altura?
f = - 5 cm ; s = 5 cm Þ s’ = - 2,5 cm
s
s
y
y '´
-=
m = +0,5 ; imagem é direita, virtual e reduzida
a metade
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (13)‏ - Lentes
Lentes
Equação igual à dos espelhos! 
Mas… convenção de sinais diferente da
adoptada na reflexão: 
s’>0 imagem do lado da luz refractada, isto é, 
do lado oposto ao da luz incidente.
r>0 centro de curvatura está do mesmo lado
da superfície que a luz refractada
n1 = n2 = nar
s
s
y
ym '' -==
Lentes
Lente dois dióptros – pelo menos um não plano – delimitam região
ESTREITA (lente fina) de n diferente (... em geral n > 1)‏
n1 n2
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Imagens ópticas (13-a)‏ - Dióptros/Espelhos/Lentes
Convenções de sinais a respeitar
LENTES
s>0 objecto do lado da luz incidente
s’>0 imagem do lado da luz refractada (oposto ao da luz
incidente)‏
r>0 centro de curvatura do lado da luz refractada
DIÓPTROS
s>0 objectos do lado da luz incidente
s’>0 imagens do lado da luz refractada
r>0 centro de curvatura situado do lado da luz refractada
ESPELHOS
s>0 objecto do lado de onde sai a luz reflectida no espelho
s’>0 imagem do lado para onde sai a luz reflectida
r >0 (e f>0) para espelho côncavo (i.e., centro de curvatura
do lado da luz reflectida)‏
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (14) - Lentes‏
Lente convergente: ao seu ponto focal corresponde f > 0
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (15)‏ - Lentes
Lente divergente
As ondas que emergem da lente são
divergentes. 
A distância focal é negativa (f < 0)‏
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (16)‏ - Lentes
O ponto objecto para o qual a luz
emerge da lente como um 
feixe paralelo, é o primeiro
ponto focal, F. 
O ponto no qual é focalizada a luz
incidente paralela é o segundo
ponto focal F’.
Para uma lente convergente, F está
do lado da luz incidente e F’
está do lado da luz refractada.
Potência, P – inverso da distância
focal expressa em m.
Unidade: dioptria
f = 0,1 m ↔ P = 10 dioptria
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (17)‏ - Lentes
Diagrama de raios para lentes :
• Ao raio paralelo (que incide paralelamente ao eixo) corresponde o raio
emergente direccionado para o segundo ponto focal da lente.
• O raio central, desenhado passando pelo vértice (ou centro óptico) da lente
não é deflectido.
• O raio focal (que incide passando pelo primeiro ponto focal) emerge 
paralelo ao eixo.
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (18)‏ - Lentes
cmcmmhh
cm
cm
s
sm
hmh
cms
cmscm
8,12,15,1'
5,1
4
6'
'
6'
12
1
'
1
4
1
=´==
=
-
-=-=
=
-=
=+
Dados: 
f = 12 cm
s = 4 cm
h = 1,2 cm
Pedidos: s' = ? h'= ?
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Imagens ópticas (19)‏ - Lentes
Combinação de lentes
• Para duas ou mais lentes, a imagem final dadapelo sistema obtém-se 
determinando a distância imagem para a primeira lente e, adicionando-lhe a 
distância entre as lentes, encontrar então a distância objecto para a segunda
lente (... e assim sucessivamente) ‏
• Assim, cada imagem (real ou virtual!) é objecto para a lente seguinte.
cms
s
fss
9'
6
1
'
1
18
1
1
'
11
2
2
222
=
=+
=+
Ex. anterior + 
lente f=6cm a 
12 cm da 1ª
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (20)‏ - Lentes
Rui F. Marques e Benilde Costa
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Imagens ópticas (21)‏ - Lentes
Duas lentes, cada uma
com distância focal de 
10 cm, estão separadas
de 15 cm. Onde está a 
imagem final de um 
objecto situado a 15 cm 
de uma das lentes ?
s’1 = 30 cm
s’2 = 6 cm
Imagem real, invertida
e menor que o 
objecto
Aberrações:
Quando os raios provenientes 
dum ponto objecto não 
convergem num único ponto 
imagem
Aberração esférica
C: circulo de confusão mínima corresponde 
ao disco mais pequeno de imagem formado 
a partir de um objecto pontual
Correção:
Bloquear a parte mais afastada da lente 
(colimador) melhora mas reduz a 
luminosidade da imagem
No caso dos espelhos: espelhos 
parabólicos em vez de esféricos
Aberração esférica (lentes e espelhos): os raios que chegam à lente 
longe do eixo sofrem maiores desvios
UA 5
Aberrações
Pontos não paraxiais : coma
O mesmo efeito toma a forma de um 
cometa para pontos não paraxiais
Estes efeitos são resultantes da geometria 
das lentes e espelhos (esférica) : as leis 
que usamos são aproximações só válidas 
para raios paraxiais (próximos ao eixo e de 
ângulo não pronunciado com o eixo óptico)
UA 5
Aberrações
Pontos não paraxiais : astigmatismo
Um ponto fora do eixo óptico produz 
dois segmentos de recta imagem 
perpendiculares em planos diferentes
O circulo C vai depender da distância 
do ponto ao eixo e do seu afastamento 
da lente: imagem formado numa 
superficie curva (e não num plano)
UA 5
Aberrações
Aberrações cromáticas
Uma vez que o índice de refracção varia com o comprimento de 
onda da luz, teremos diferentes distâncias focais para a luz 
visível (n luz azul é superior a n luz vermelha). 
Efeito exclusivo das lentes, não existe nos espelhos (porquê?).
Correção: usando espelhos em vez de lentes ou agrupando 
lentes com distânicias focais positivas e negativas.
UA 5
Aberrações
Distorções
Tanto maiores quanto maior a distância ao eixo óptico. Exemplo: espelhos convexos nos 
cruzamentos de estradas.
Como é um efeito reversível se usarmos o mesmo sistema óptico no sentido inverso, 
reproduzimos o objecto original a partir da imagem distorcida.
UA 5
Aberrações
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