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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 
 
EAE 308 – Macroeconomia II 
2º Semestre de 2012 – Diurno e Noturno 
Professores: Gilberto Tadeu Lima, Pedro Garcia Duarte e David Turchick 
 
Lista de Exercícios 3 
 
 
[1] Considere um modelo de crescimento que supõe que a função de produção da economia 
é dada por 
0,2 0,8X K K N 
, em que 
X
 é o produto, 
K
 é o estoque de capital físico e 
N
 
é o número de trabalhadores empregados. 
 
[a] Supondo que a taxa de poupança, 
,s
 é de 15%, enquanto a taxa de depreciação, 

, é de 
10%, derive e represente graficamente a equação da taxa (líquida) de crescimento do 
estoque de capital, 
Kg
, como função somente da relação capital-trabalho, 
/k K N
. Vale 
lembrar que a equação fundamental de um modelo de crescimento como esse é dada por 
( )kg s n   
, em que 
kg
 é a taxa de crescimento da relação capital-trabalho, 

 é a 
relação produto-capital e 
n
 é a taxa de crescimento do número de trabalhadores. 
 
[b] Forneça o conteúdo econômico da função 
( )Kg f k
 representada graficamente no 
item anterior. 
 
[c] Avalie a correção da seguinte proposição: “A intensidade de capital alcançará o steady-
state qualquer que seja a taxa de crescimento da população de trabalhadores”. Justifique sua 
resposta em termos algébricos, gráficos e econômicos. 
 
 
[2] Considere uma economia com a seguinte função de produção agregada: 
.
,
K A N
Y Min
 
 
  
 
. Nesta economia a tecnologia, A, e a população, N, crescem à taxas 
constantes x e n, respectivamente (e não há desemprego). Ademais, a poupança agregada é 
uma fração, s, constante da renda nacional e é sempre igual ao investimento agregado, I. O 
estoque de capital agregado obedece à seguinte lei de movimento: 
K I K 
. 
 
[a] Escreva a função de produção e a lei de movimento do capital em termos por 
trabalhador efetivo (
/ . ; / .y Y A N k K A N 
). Seja cuidadoso em indicar suas passagens 
algébricas. 
 
 
 
2 
 
[b] Considere os seguintes valores para os parâmetros do modelo: 
0,5n x   
, 
0,8s 
, 
0,4 
 e 
0,2 
. Quantos estados estacionários existem nesta economia? Mostre 
graficamente e justifique em termos econômicos se eles são estáveis ou não. Como estas 
respostas se alterariam caso 
0,6n  
 e 
0,8x 
? Volte aos valores originais dos 
parâmetros (
0,5n x   
) e mostre (gráfica e algebricamente) quais são os efeitos um 
aumento em s sobre k e y em estado estacionário. Explique em termos econômicos e faça 
gráficos da evolução de y e c (consumo por trabalhador efetivo) ao longo do tempo. 
 
 
[3] Considere uma economia com a seguinte função de produção agregada: 
 
1
. . yY K A L
 
, sendo 
 0,1 
 e 
yL
 o número de trabalhadores empregados no setor 
de produção do bem de consumo. A poupança agregada é uma fração, s, constante da renda 
nacional e é sempre igual ao investimento agregado, I. O estoque de capital agregado 
obedece à seguinte lei de movimento: 
K I K 
. Nesta economia novas ideias são 
geradas de acordo com a seguinte função de produção: 
. AA p L
, sendo 
AL
 o número 
cientistas e p sua criatividade (um parâmetro fixo). Finalmente, a população total, 
y AL L L 
, cresce à taxa constante n (e não há desemprego): 
 /L L n
. 
 
[a] Escreva a função de produção e a lei de movimento do capital em termos de trabalho 
efetivo 
/ ( ); / ( )y Y AL k K AL 
. Seja cuidadoso em indicar suas passagens algébricas e 
trate 
 /A AL L s
 como um parâmetro. 
 
[b] Mostre algébrica e graficamente os valores de y e k de estado estacionário (eles 
dependem apenas de parâmetros do modelo). 
 
[c] Encontre uma expressão para a taxa de crescimento de A, 
Ag
, como função de 
 /L A
 
(para dados parâmetros do modelo). Faça um gráfico desta função (coloque 
 /L A
 no eixo 
horizontal e 
Ag
 no eixo vertical). Agora encontre o valor de 
Ag
 de estado estacionário 
(explique e justifique como obter este valor). No gráfico já traçado, adicione agora a função 
Ag
 de estado estacionário e discuta gráfica e intuitivamente se o estado estacionário aqui 
encontrado é estável ou não. 
 
[d] Considere que nesta economia há um aumento permanente, no instante 
1t
, da proporção 
de cientistas na população. Utilizando os resultados e gráfico do item [c], mostre o que 
ocorre com a razão 
 /L A
 de estado estacionário, bem como com 
Ag
. Faça um gráfico da 
evolução de 
Ag
 no tempo. Utilizando agora os resultados e gráfico do item [b], mostre o 
que ocorre com os valores de k e y de estado estacionário. Faça um gráfico da evolução de 
 log y
 no tempo. 
 
 
 
3 
 
[e] No item [b] você encontrou qual é y em estado estacionário. Logo, você também sabe 
qual é o nível de produto per capita como função de A. Do item [c] use a expressão de 
Ag
 
para isolar A e substituí-lo (o A) na equação do produto per capita (que será agora uma 
função só de L, para dados parâmetros do modelo). Qual o valor de 
As
 que maximiza o 
produto per capita de estado estacionário? Qual a intuição para este resultado? 
 
 
[4] Considere duas economias, 
A
 e 
B
, que compartilham a mesma função de produção 
dada por 
X KL
, em que 
X
 é o produto, 
K
 é o estoque de capital físico e 
L
 é a 
população. Em função do elevado nível de desenvolvimento tecnológico alcançado por 
essas economias, o estoque de capital físico não se deprecia em nenhuma delas. Além 
disso, elas compartilham o mesmo nível inicial de população, a saber, 
L L
, e as mesmas 
taxas (constantes) de participação da população na oferta de trabalho, a saber, 100%, de 
emprego, a saber, 100%, e de crescimento da população, a saber, 0%. No que diz respeito 
ao investimento agregado, 
/I K dK dt 
, por sua vez, essas economias se comportam de 
acordo com a suposição feita no modelo de crescimento econômico de Solow, qual seja, a 
de que toda a poupança agregada se transforma em investimento agregado. 
 
[a] Avalie a correção da seguinte proposição: “Caso a taxa de poupança na economia 
A
, 
representada por 
0 1As 
, seja superior à taxa de poupança na economia 
B
, representada 
por 
0 1Bs 
, a taxa de crescimento do estoque de capital será mais alta na economia 
A
, 
ou seja, 
A B
K Kg g
, enquanto a taxa de crescimento da renda per capita será a mesma em 
ambas, ou seja, 
A B
x xg g
, já que a taxa de crescimento populacional é a mesma em ambas”. 
Justifique sua resposta em termos algébricos e econômicos. 
 
 
[5] Considere o seguinte modelo de crescimento: 
 
(1) 
1 3 2 3
YY AK L
 
(2) 
/K dK dt sY 
 
(3) 
/ AA dA dt zAL 
 
(4) 
Y AL L L L  
 
(5) 
AL bL
 
 
em que 
Y
 é o produto agregado, 
A
 é o estoque de conhecimento, 
K
 é o estoque de capital 
físico, cuja taxa de depreciação é nula, 
L L
 é o tamanho da força de trabalho, que é igual 
ao tamanho da população, cuja taxa de crescimento é nula, 
YL
 é o volume de trabalhadores 
empregados na geração do produto agregado, 
AL
 é o volume de trabalhadores engajados na 
produção de conhecimento, enquanto 
0z 
 é um parâmetro que define a produtividade 
nesta última atividade. Por fim, 
0 1s 
 é a taxa de poupança, que é exógena e constante, 
enquanto 
0 1b 
 é um parâmetro que define a proporção da força de trabalho engajada na 
produção de conhecimento. 
 
 
4[a] Derive algebricamente a taxa de crescimento da renda per capita no equilíbrio de longo 
prazo, 
*
yg
. 
 
[b] Como base na expressão derivada no item anterior, é correto concluir que uma menor 
produtividade na produção de conhecimento gera uma maior taxa de crescimento da renda 
per capita? Justifique sua resposta em termos algébricos e econômicos. 
 
 
[6] Considere o seguinte modelo de crescimento: 
 
(1) 
(2) 
(3) 
 
em que é o produto agregado real, é a produtividade do trabalho, é o tamanho da 
força de trabalho, que é igual ao tamanho da população, é o volume de trabalhadores 
empregados na geração do produto agregado, é o volume de trabalhadores engajados 
em P&D, enquanto é um parâmetro que define a produtividade nesta última 
atividade. Em equilíbrio, ambas essas atividades – geração de produto e P&D – empregam 
um volume não-nulo de trabalhadores, sendo que a fração da força de trabalho engajada em 
P&D é representada por . Por fim, suponha que a força de trabalho cresce a uma taxa 
exógena e constante representada por . 
 
[a] É correto afirmar que, no equilíbrio de longo prazo (steady state), em que é constante 
e independente de , a renda per capita dessa economia, , cresce a uma taxa 
que é positiva e, além disso, varia positivamente com o tamanho da força de trabalho? 
Justifique sua resposta em termos algébricos e econômicos. 
 
[b] Suponha agora que a função de produção de conhecimento, representada pela equação 
(2), exibe retornos decrescentes, passando a ser dada por , com . De 
que maneira, se alguma, essa suposição alternativa altera os resultados obtidos no item 
anterior? Justifique sua resposta em termos algébricos e econômicos. 
 
 
[7] Considere uma economia em que o processo produtivo é completamente mecanizado, 
de forma que a função de produção que determina o produto agregado é dada por 
X AK
, 
em que 
X
 é o produto, 
K
 é o estoque de capital físico e 
A
 é um parâmetro positivo. Por 
seu turno, 
0 1s 
 e 
0 1 
 denotam, respectivamente, a taxa de poupança e a taxa de 
depreciação do estoque de capital, ambas exógenas e constantes. Quanto ao investimento 
agregado bruto, 
I
, a suposição é aquela feita no modelo de crescimento de Solow, qual 
seja, a de que toda a poupança agregada se transforma em investimento bruto agregado. 
 
YY AL
/ AA dA dt L A 
Y AL L L 
Y A L
YL
AL
0 
s
n
s
L
/y Y L
yg
AA L A
 0 1 
 
 
5 
 
[a] Avalie a correção da seguinte proposição: “Uma vez que o produto agregado depende 
exclusivamente do estoque de capital físico, o fato de a acumulação deste último estar 
sujeita a retornos marginais decrescentes faz com que uma elevação permanente na taxa de 
poupança seja incapaz de gerar um aumento permanente na taxa de crescimento do produto, 
dada por 
( / )(1/ )g dX dt X
”. Justifique sua resposta em termos algébricos e econômicos. 
 
[b] Refaça o item anterior supondo que a taxa de depreciação do estoque de capital é nula. 
É correto afirmar que, com essa hipótese de inexistência de depreciação, a acumulação de 
capital físico deixa de estar sujeita a retornos marginais decrescentes e, portanto, passa a ser 
possível elevar permanentemente a taxa de crescimento do produto através de um aumento 
igualmente permanente na taxa de poupança? Justifique sua resposta em termos algébricos 
e econômicos. 
 
[c] Supondo novamente que a taxa de depreciação do estoque de capital físico é nula, e que 
a taxa de crescimento (exógena, positiva e constante) da população é dada por 
n
, avalie a 
correção da seguinte proposição: “Dado que a taxa de depreciação do estoque de capital é 
nula, a taxa de crescimento do produto per capita, 
yg
, é positiva”. Justifique sua resposta 
em termos algébricos e econômicos.