ELIPSE E SUA EQUAÇÃO

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Cônicas
E L I P S E
P A R Á B O L A
H I P É R B O L E
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O que é uma Elipse ?
 F1
F2
Q
R
 B1
A 2
S
B2
T
A1
Dados dois pontos distintos F1 e F2 e seja 2c(notação) a distância entre eles. Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano ,tais que a soma de suas distâncias aos dois pontos fixos F1 e F2,chamados de focos, é constante e representada pela notação 2 a. { 2a > 2c }
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Elipse no Plano Cartesiano
Y
x
Y
Y
x
x
Elipse com eixo maior, paralelo ao eixo de y
Elipse com eixo maior, paralelo ao eixo de x
Elipse com eixo maior,oblíquo
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Elementos da Elipse
 F1F2 = 2c: distância focal
A1A2 = 2 a: comprimento do eixo maior
B1B2 = 2b: comprimento do eixo menor
K – centro da elipse
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Relação Fundamental da Elipse
F1
F2
B1
A2
A1
B 2
a
b
c
a2 = b2 + c2
Lembre-se: B1 é um ponto da Elipse,portanto B1F1 + B1F2 =2a
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Excentricidade da Elipse
E = c/a , 0< e<1
A excentricidade aproxima-se de 1
A excentricidade aproxima-se de 0
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Equações Cartesianas da Elipse
1º caso: Equação da elipse obtida através do lugar geométrico
Obtemos uma equação de elipse considerando um ponto genérico P(x,y) e impondo que PF1 + PF2 = 2 a (definição)
Elipse de focos F1(-2,-2) e F2(2,2)
e eixo maior 2 a = 6
Equação: 5x2 +5y2 -8xy- 9=0
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Equação Reduzida da Elipse
2º caso: Formas reduzidas da equação 
Impondo a definição já vista na tela anterior, chegaremos as equações nas suas formas reduzidas:
 I) Elipse com eixo focal paralelo ao eixo de x:
	( x – xk)2 ( y – yk )2
 a2 b2
 II) Elipse com eixo focal paralelo ao eixo de y:
	( x – xk)2 ( y – yk )2
 b2 a2
Lembre-se:
a - semi-eixo maior
b - semi-eixo menor
K - centro da elipse
1
1
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Exemplo de Aplicação I
Considere a elipse de centro no ponto K(-2,1) e extremidades do eixo maior em A1(-5,1) e A2( 1,1)
55
(x + 2)2 ( y -1)2
 9 4
=1
Equação:
A1
K
A2
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Exemplo de Aplicação II
Considere a elipse de centro na origem e extremidade do eixo maior em A1 (0,-6) e A2 (0,6)
Equação: x2 y2
 16 36
1
Obs.: Quando a elipse tem
 centro na origem 
 a equação adquire a 
 forma: x2/b2 + y2/a2 = 1
A1
A2
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Construção do Gráfico
(através de uma equação dada)
Dada a elipse de equação: x2/ 64 + y2/16 = 1
Se a2= 64 a=8
Se b2= 16 b=4
K = (0,0) , logo as extremidades da elipse estão em : 
 A1(-8,0) ,A2(8,0) ,B1(0,-4) e B2(0,4)
A1
A2
B1
B2
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A ORBITA DOS PLANETAS 
?
ELIPSE: A ÓRBITA DO PLANETA TERRA
Prof. Marco Antonio Ferreira Agostinho , em 17-07-2007
E=0,017
d= 150.000.000 Km