Resumo Matemática 5

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2003	DOREA	3ª PP
Resumo Matemática 5 – Análise Combinatória
Diferenças entre Permutação (com repetição, circular, simples), Arranjo e Combinação:
	Permutação
	Arranjo
	Combinação
	Troca simples entre todos os elementos do grupo. Usado para anagrama
	De um determinado grupo, escolhem-se certos e elementos e faz-se a combinação entre eles.
	De um determinado grupo, escolhem-se certos e elementos e faz-se a combinação entre eles.
	Tanto faz a ordem
	A ordem importa
	A ordem não importa
	Exemplos: Para fazer anagramas (permutação entre letras da palavra).
	Exemplos: Para pares ordenados onde a ordem importa. O par ordenado (1,2) é diferente do (2,1).
	Exemplos: Para subconjuntos onde a ordem não importa. O subconjunto {1,2} é igual ao {2,1}
Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Pode ser utilizado para muitos problemas e não é necessário fórmulas. Exemplos:
1) Num campeonato onde participam 6 pessoas, quantas são as possibilidades do pódio(1º,2º,3º lugares).
	Para o primeiro lugar você tem 6 chances, como você já “gastou” uma pessoa, você tem 5 pessoas para o segundo lugar, como “gastou” duas pessoas, você tem 4 pessoas. Logo você multiplica 6x5x4 e acha a resposta: 120. Se você quiser, pode fazer por arranjo também (a ordem importa, pois um pódio ABC é diferente do BCA), pela fórmula de arranjo você acharia A6,3=6!/(6-3)!=6!/3!=6x5x4=120.
2)Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras essa sala pode ser aberta.
	Você tem que interpretar da seguinte forma: cada porta tem a chance de ficar aberta ou fechada (duas opções). Exemplos: Você pode abrir a primeira, segunda portas ou a primeira e a quinta. Cada porta de duas possibilidades, logo:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2x2x2x2x2x2x2x2x2x2=210, só que você tem que excluir uma possibilidade(todas as portas fechadas), logo a resposta é 210-1=1023.
Diagrama da Árvore
Alguns problemas, geralmente envolvendo pequenas possibilidades, você pode utilizar o diagrama da árvore.
Problema 39 do livro:
Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada, ele ganha ou perde 1000. Começará com 1000 e parará de jogar antes de 5 vezes, se perder todo dinheiro ou se ganhar 3000, isto é, se tiver 4000. De quantas maneiras o jogo poderá se desenrolar?
Cada traço preto representa uma jogada, e cada final de ramificação representa uma possibilidade, logo são 11 possibilidades.
Permutação
	É utilizada para anagramas;
	Existe a circular e a com repetição;
	Para se inverter a ordem de uma sequencia.
	
	Anagramas:
	Quantos anagramas pode se fazer com a palavra LEI e MATEMÁTICA.
	Primeiro o que é um anagrama – É inverter as letras da palavra e ver quantas podem formar (não necessariamente uma palavra uma sequencia de letras).
	Segundo – Verifica-se se tem alguma letra repetida, LEI não tem e MATEMÁTICA tem, então com lei você utiliza a fórmula de permutação simples. Pn=n!, logo P3=3!=3x2x1=6(LEI,LIE,ELI,EIL,ILE,IEL). No caso de MATEMÁTICA, você utiliza permutação com repetição: Pnx,y,z...=n!/x!y!z!..., logo 3 letras se repetem(A,T e M), o A se repete 3 vezes, T se repete 2 vezes e o M se repete 2 vezes, logo fica assim: P103,2,2=10!/3!2!2!=3628800/6x2x2=3628800/24=151200
	Permutação circular
	É utilizada em qualquer situação que se ideia de círculo ou pessoas sentadas em volta de algo. A fórmula é Pn=(n-1)!, existem 5 crianças e você quer coloca-las em uma mesa redonda: só que você deve perceber que a sequencia ABCDE e EABCD são iguais, pois eles estão em uma mesa redonda e não importa da onde comece a sequencia que ela será igual, logo para cada sequencia você tem 5 iguais(ABCDE, EABCD, DEABC, CDEAB e BCDEA), então se você fizer permutação, tem que dividir por 5 no final: 5!/5=4!, por isso a fórmula (n-1)!. A resposta é 4!=4x3x2x1=24
	Ordem de uma sequencia
	Uma sequencia com 6 números: 123456 e você quer saber quantas você pode formar, é só utilizar permutação simples: 6!=720.
	Arranjo
	A DIFERENÇA ENTRE ARRANJO E COMBINAÇÃO É JUSTAMENTE A ORDEM, NO ARRANJO A ORDEM IMPORTA.
	Exemplos:
	Número 51 do livro: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é formado por uma sequencia de 3 dígitos. Se uma pessoa tenta abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo.(Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos).
	Primeiro – Analisar o problema(para verificar se é permutação, arranjo ou combinação). Você, logo, descarta permutação, pois é um conjunto de 10 algarismos e você quer apenas 3.
	Segundo – Verificado que não é permutação, você tem que saber se é arranjo ou combinação. O segredo 123 é diferente do 213, logo é arranjo.
	Terceiro – Aplicação da fórmula: An,p=n!/(n-p)!. A10,3=10!/7!=10x9x8=720
	Perceber que se esta informação: “Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos” não fosse informada não seria arranjo, pois no arranjo não tem dígitos repetido, se isso não fosse informado a resposta seria 103. Pois:
	_ _ _
	10 10 10=103
Combinação
	A DIFERENÇA ENTRE COMBINAÇÃO E ARRANJO É JUSTAMENTE A ORDEM, NA COMBINAÇÃO A ORDEM NÃO IMPORTA.
	Exemplos:
	Problema 153 do livro:
	Um químico possui 10(dez) tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6(seis) dessas substâncias, se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?
	Primeiro – Analisar o problema(para verificar se é permutação, arranjo ou combinação). Você, logo, descarta permutação, pois é um conjunto de 10 algarismos e você quer apenas 6.
	Segundo - Verificado que não é permutação, você tem que saber se é arranjo ou combinação. A combinação ABCDEF é IGUAL a ABCDFE. Então é combinação.
	Terceiro – Aplicar a fórmula para saber quantas combinações são possíveis C10,6=10!/6!(10-6)!=210, porém você achou o número total de combinações, sendo que duas substâncias não podem estar juntas, pois são explosivas. Logo você tem que observar as combinações que contem as duas para subtrair do total. 
	Você fixa as duas substâncias que não podem ficar juntas e permuta as outras, como você utilizou duas, sobraram outras 8 para você combinar 4 a 4. C8,4=8!/4!(8-4)!=70
	Quarto – Você subtrai 210(total)-70(combinação entre as que faltam) e achará a resposta.
	OBS.: Fazer exercícios do livro, lista da Carolzinha(segundo ela está bem acima da prova).