Unidade 2

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Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 1
Arquitetura e
Organização de Computadores
(CCE0091)
Universidade Estácio de Sá
Graduação – Engenharia / TI
Professor: Affonso C. Junior
Unidade 2 - Sistemas de Numeração, 
Aritmética e Representação de Dados.
Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 2
Sistemas de numeração
Conversão de bases
Aritmética computacional
Tipos de dados
Representação de caracteres
Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 3
Sumário
• Sistemas (bases) de numeração
• Conversão entre bases
• Aritmética computacional
• Representação de dados numéricos
– Inteiros x não-inteiros
• Representação de caracteres
Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 4
• Primeiramente, um pouco de curiosidade histórica:
O Sistema Sexagesimal (chamado por alguns de “base 60”)
Representação da Informação
(bases numéricas, conversão, aritmética, tipos de dados)
foi, muito provavelmente, o primeiro a ser criado,
na antiga Mesopotâmia (sumérios, acádios, etc)
Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 5
• Sistemas de numeração são formas de representação de
valores.
• Existem os sistemas não-posicionais e os posicionais.
• Nos não-posicionais o símbolo não depende da posição.
• Por exemplo, os numerais romanos: o símbolo X vale 10
em qualquer posição que estiver no número, seja IX ou
LXV. Exemplo: LXXX XX IX
• Já nos posicionais, o valor do símbolo muda com a posição.
Por exemplo: o símbolo 6 dentro do número 625 significa o
valor 600, mas no número 461 significa 60.
• Diariamente trabalhamos com o sistema posicional
decimal, assim chamado por ter dez símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Como tem dez símbolos, dizemos também que possui
base 10.
Representação da Informação
(bases numéricas, conversão, aritmética, tipos de dados)
Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 6
• Como sabemos, o computador funciona em binário, ou
seja, representações de número somente com os símbolos
0 e 1.
• Este é um sistema de numeração com base 2 ou binário.
• Na eletrônica ainda é comum trabalhar-se com o sistema
octal, que possui base 8, cujos símbolos são:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Há também o sistema de numeração hexadecimal (de
base 16), formado pelos símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
e muito usado para a exibição de endereços de memória.
• São estes quatro sistemas de numeração que serão o
fundamento do estudo da computação, sendo necessários
para compreensão da organização de sua arquitetura.
• Para compreendermos melhor a relação entre eles,
devemos estudar a conversão de uma base para outra.
Representação da Informação
(bases numéricas, conversão, aritmética, tipos de dados)
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Representação da Informação
(bases numéricas, conversão, aritmética, tipos de dados)
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• Alguns exemplos de valores (compare as mesmas
quantidades, expressas em diferentes sistemas):
Representação da Informação
(bases numéricas, conversão, aritmética, tipos de dados)
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• Quanto vale uma cadeia binária?
(ou: convertendo de binário para decimal)
Pense bem: como sabemos o valor do número abaixo (base 10)?
E em binário (base = 2)? 
Representação da Informação
(bases numéricas, conversão, aritmética, tipos de dados)
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Conversões: binário, octal, e hexadecimal p/ decimal
• Segue-se a regra simples:
• Ou seja, eleva-se a base a converter à potência cujo valor
é sua posição no número e multiplica-se pelo símbolo.
• Assim, de binário (base 2) para decimal (base 10),
podemos fazer, por exemplo:
• Ex1:
• Ex2:
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• Conversão de decimal para binário:
Podemos ter, basicamente 3 casos:
- número inteiro comum. Ex: 97
- número fracionário (< 1). Ex: 0,69
- número com parte inteira e parte fracionária.
Divisões sucessivas do número pela base (no caso, 2), até 
quociente = 0. Pega-se os restos, na ordem inversa.
Dica: faça a última divisão
(1 por 2 = 0, resto 1)
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• É possível converter parte fracionária também?
– SIM
Produtos sucessivos por dois. Ao invés dos restos, pega-se as 
partes inteiras (esquerda da vírgula), de cima para baixo. Paramos 
quando foi atingido o valor 1,00, ou quando as contas não 
convergem, mas já se tem uma precisão (nº de bits satisfatório).
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Como fazer c/ um núm. c/ parte inteira e fracionária?
Vejamos o exemplo (174,25)10:
174 / 2 = 87 resto 0 � (“método da escadinha”)
87 / 2 = 43 resto 1
43 / 2 = 21 resto 1
21 / 2 = 10 resto 1
10 / 2 = 5 resto 0
5 / 2 = 2 resto 1
2 / 2 = 1 resto 0
1 / 2 = 0 resto 1 Logo: parte inteira: 10101110
• 0,25 x 2 = 0,50 (inteiro 0)
• 0,50 x 2 = 1,00 (inteiro 1) ==> parte fracionária: 01
Juntando ambos: (174,25)10 = (10101110,01)2
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Binários também podem representar não inteiros.
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“Micro revisão” de potências (se necessário, reveja em casa)
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Conversão de decimal para binário, octal e hexadecimal
• De decimal para octal: (749,97)10 = ??? (em octal)
749 / 8 = 93 resto 5 (apenas a parte inteira, inicialmente)
93 / 8 = 11 resto 5
11 / 8 = 1 resto 3
1 / 8 = 0 resto 1 (interessante fazer a última divisão.)
• Como na conversão binária, pega-se os restos, de baixo 
para cima. Logo: 749(10) = 1355(8) (ou: 749 d = 1335 o )
• Parte fracionária: mesmo procedimento do binário
0,97 x 8 = 7,76 (parte inteira = 7)
0,76 x 8 = 6,08 (parte inteira = 6)
0,08 x 8 = 0,64 (parte inteira = 0)
==> parte fracionária: 760 Logo: (749,97)10 = (1355,760)8
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� E a conversão de decimal para hexadecimal?
Mesmas regras, outra base (16), contas mais chatas.
Lembre-se: 0, 1, 2, ...., 9, A=10, B=11, C=12,..., F=15
• (155,742)10: = ??? (em hexa)
155 / 16 = 9 resto 11 ( 11 = B )
9 / 16 = 0 resto 9 (interessante fazer a última divisão.)
• Como na conversão binária, pega-se os restos, de baixo 
para cima. Logo: 155(10) = 9B(16) (ou: 749 d = 9B h )
• Parte fracionária: mesmo procedimento do binário
0,742 x 16 = 11,872 (parte inteira 11 (=B) )
0,872 x 16 = 13,952 (parte inteira 13 (=D) )
0,952 x 16 = 15,232 (parte inteira 15 (=F) )
⇒ Logo: parte fracionária= BDF, e (155,742)10 = (9B,BDF)16
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Como pode ver, não é 
muito bom deixar seu 
professor estressado!!
☺
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De binário, octal, e hexadecimal para decimal
• E de octal (base 8) para decimal:• Finalmente, de hexadecimal (base 16) para decimal:
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Conversão de decimal para binário, octal e hexadecimal
• Para converter números da base 10 para outras bases, segue-
se a seguinte regra:
• parte inteira: divide-se o número a ser convertido pela base
desejada; toma-se o quociente resultante e divide-se
novamente pela base até que o quociente seja zero; os restos
das divisões formam a parte inteira do número convertido; o
primeiro resto representa o último dígito da parte inteira do
número; o último quociente representa o primeiro dígito da
parte inteira;
• parte fracionária: multiplica-se a parte fracionária do número
a ser convertido pela base desejada; toma-se a parte
fracionária do número resultante e repete-se a operação; a
parte inteira dos produtos obtidos representam a parte
fracionária do número procurado.
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Representação da Informação
(bases numéricas, conversão, aritmética, tipos de dados)
Como podemos observar, há uma correlação simples
entre cada dígito hexa e um nibble (grupo de 4 bits), e
entre cada dígito octal e um grupo de 3 bits.
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Conversão de binário para octal
• Basta converter cada três símbolos binários em um octal,
partindo-se da vírgula. Caso faltem símbolos para
completar três, completa-se com zeros.
• Exemplo:
(010 101,110 1)2 = (25,64)8
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Conversão de octal para binário
• O oposto do método anterior: pega-se cada valor
e converte-se pela tabela em três símbolos
binários.
• Exemplo:
(356,71)8 = (11 101 110,111 001)2
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Conversão de binário para hexadecimal
• Semelhante a conversão de octal, apenas
pegando cada quatro símbolos binários para um
hexadecimal, convertidos a partir da tabela.
• Exemplo:
(1101 1010 0100,1010 11)2 = (DA4,AC)16
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Conversão de hexadecimal para binário
• Oposto do método anterior. 
• Exemplo:
(CAFE,01)16 = (1100 1010 1111 1110,0000 0001)2
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• Conversão de “hexa” (para os íntimos) para octal:
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• Conversão de octal para hexadecimal:
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Operações Lógicas bit-a-bit
• As operações lógicas que já vimos (AND, OR, NOT, XOR, etc) 
também são definidas sobre cadeias de bits.
• Aplica-se a operação a cada par de bits correspondentes.
• Veja os exemplos2:
A = 1100 1010 B = 0011 1100 C = 1111 0000 D = 0000 1111
NOT A = 0011 0101 (inverte cada bit)
NOT B = 1100 0011
A and B A or B A xor B A or C B and D
1100 1010 1100 1010 1100 1010 1100 1010 0011 1100
0011 1100 0011 1100 0011 1100 1111 0000 0000 1111
------------------------------------------------------------------------
0000 1000 1111 1110 1111 0110 1111 1010 0000 1100
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� Aritmética binária – Adição binária
Tabuada binária
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� Aritmética binária – Subtração binária
Tabuada subtração
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OBS: para nós, não será tão importante. É definida e
estudada matematicamente, mas, como veremos, pode ser
implementada através da adição em “complemento a 2”.
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� Aritmética binária – Multiplicação binária
Tabuada muito simples: 1.o fator x 1 = repete, x 0 = 0
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Exemplo: produto 
'1101010110' x '101101' 
(854 x 45).
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� Aritmética binária – Deslocamentos (shift)
Deslocamento
(shift)
à esquerda e
à direita.
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Ex:
000101112 (23)
<< 1 (desl.1 bit esq)
001011102 (46)
>> 1 (desl.1 bit dir)
000010112 (11)
<< 2 (desl.2 bit esq)
010111002 (92)
Regra geral ���� deslocar uma cadeia binária de:
- n bits à esquerda: resulta em seu valor x (2n)
- n bits à direita: resulta em seu valor / (2n) (e o que “cai” é o resto!)
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• Variáveis e tipos de dados: conceitos chave em programação
• CPU existe para executar programas, que são conjuntos de 
instruções. Programas manipulam dados.
• Instruções e dados devem estar carregados na MP.
• Cada instrução ou dado ocupa 1 ou mais células de memória, 
e possui um endereço de memória.
• Dados são guardados em estruturas de dados (as mais 
simples são chamadas de variáveis de memória).
• Uma variável possui: um nome, um endereço (o da célula 
inicial), um tipo de dados, e um tamanho (em bytes).
• Os tipos de dados disponíveis dependem do nível no qual 
estamos programando (linguagem de alto nível, assembly, 
ou linguagem de máquina), e da linguagem utilizada.
• Toda linguagem de alto nível fornece um conjunto de tipos 
de dados (q, p/ as de 3ª geração, em geral não varia muito).
• Dados: numéricos, inteiros e não-inteiros, e não-numéricos.
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Exemplo: linguagem Pascal
Program Exemplo;
Uses CRT;
Var
a, b : integer;
med : real;
Begin
write(“Digite 2 valores: ”);
read( a, b );
med := (a+b)/2.0;
writeln(“Media = ”, med );
readln;
End.
Ling. C: int, float, double, char
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Tipos de dados (básicos):
INTEGER inteiro “com sinal”
REAL ponto flutuante
CHAR caractere (só 1)
BOOLEAN lógico (True / False)
Tipo Natureza Sinal Bytes Ex:
boolean L x 1 true
integer I S 2 0 7 -2
real R S 4 1.0, 3.5
char A N 1 ‘A’,‘a’
--- variações de integer --
word I N 2
shortint I S 1
byte I N 1
longint I S 4
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• Já sabemos, por exemplo, que 01112 = 7.
• Como representar o valor –7 ?
• Várias formas já foram testadas
• Técnicas mais importantes:
– Sinal-magnitude
– Complemento-a-um (ou complemento)
– Complemento-a-dois
• Sinal magnitude: mais simples.
– Um bit para representar o sinal (1=negativo, 0=não-negativo)
Ex: 0 0000111 = 7 1 0000111 = - 7
35 = 0 0100011 -35 = 1 0100011
Faixa de valores (p/ 8 bits): -127 a +127 (8b -> 0..255)
Vantagens: simplicidade; CPU pode verificar facilmente o sinal.
Desvantagem: dupla representação para o 0
Representaçãoda Informação
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• OBS: repare que, a partir de agora, o tamanho da
cadeia de bits é importante, e deve estar definido.
• Complemento a um (ou complemento):
– Conceitualmente: é o que falta para chegar ao valor
máximo da cadeia de bits (p/ dado número de bits).
– Ex: complemento de 0101 é o que falta para chegar a
1111. Subtrai-se 0101 de 1111 = 1010
– Pois 0101 + 1010 = 1111.
– Para simplificar, basta inverter cada bit (0�1, 1�0)
Ex: -17 = ? 17 = 0001 0001 � 1110 1110
Desvantagens:
- dupla representação para o 0 (0000 e 1111);
- soma de 2 negativos não é simples;
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• OBS: repare que, a partir de agora, o tamanho da
cadeia de bits é importante, e deve estar definido.
• Complemento de dois:
– Calcula-se o complemento de 1, e soma-se 1 à cadeia
resultante.
Ex: 35 = 0010 0011 e o -35 ?
35 = 0010 0011 -> 1101 1100 -> +1 -> 1101 1101
Faixa de valores (p/ 8 bits): -128 a +127
Fórmula geral: p/ n bits � m=n-1 � –2n .. 0 .. +(2n–1)
Vantagens:
CPU pode verificar facilmente o sinal; Representação
única para o 0; Subtração pode ser feita como adição
Exercício: mostre a conta para o caso: 35 - 17
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Complemento 
de dois
Soma ����
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Regra: se houve “vai-1” na
última soma à esquerda, mas
as duas parcelas têm sinais
inversos, não há overflow!
(logo, este vai-1 pode ser
desprezado).
Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 40
Números em “ponto fixo”
• Dados numéricos podem ser: inteiros e ñ-inteiros
• Não-inteiros (decimais) podem ser representados por: 
ponto-fixo ou ponto-flutuante.
• Ponto fixo: números de dígitos fixo para representar: 
parte inteira + parte fracionária
• Cada dígito tem um peso de acordo c/ a posição 
relativa à vírgula decimal (notação posicional).
• Exemplo: 2 bytes, 8 bits p/ cada parte
1,1101 � 00000001 (int) + 11010000 (frac)
Os 2 bytes armazenados: 00000001 11010000
• Não há necessidade de representar a vírgula.
• Cabe à instrução (e ao hardware) reconstruí-lo.
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Números em “ponto flutuante”
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Números em
“ponto flutuante”
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Representação de Caracteres
• Em programação: 1 caracter x 1 cadeia (string)
• Em Pascal: VAR letra : char; nome : string[40];
• Representado através de tabelas, ou “códigos”.
• Principais exemplos:
– BCD e EBCDIC: 
BCD: Binary Coded Decimal – representado pelo seu 
equivalente de 4 bits;
EBCDIC: Extended BCD Interchange Code – igual ao BCD + 4 
bits (campo zonado) que não são usados p/ dados numéricos.
– ASCII: American Standard Code for Information 
Interchange – Princípio igual ao do EBCDIC
Original: 7 bits = 128 símbolos (sem ç, á, õ,...)
ASCII estendido (Latin-1): 8 bits = 256 símbolos
– Unicode: consórcio, 16 bits/caracter � 64K caracteres.
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Representação da Informação
(bases numéricas, conversão, aritmética, tipos de dados)
ASCII 
(versão de 8 bits)
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Representação de Caracteres
• UTF-8: técnica mista – ASCII + Unicode.
• Tudo em Unicode � 2 bytes por caractere � dobro do 
espaço de um texto ASCII � desperdício.
• Um texto guardado em UTF-8 é quase todo em ASCII e, 
quando precisamos de um caractere ‘especial’ do Unicode, 
usamos um caractere especial, que indica "atenção, o 
seguinte caractere é em Unicode".
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