Mecânica I - Poli - P2- 2001

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
PMC 2100 – MECÂNICA A 
Segunda Prova – 26 de outubro de 2001 – Duração: 100 minutos 
(Não é permitido o uso de calculadoras) 
 
 
Questão 1 (3,0 pontos) 
A plataforma esquematizada na figura foi 
instrumentada nos pontos A, B e C com a 
finalidade de registrar seu movimento. A 
velocidade desses pontos num instante vale: 
kviv6v A
rrr
+−= kv3v B
rr
= kvvC
rr
−= 
Pede-se: 
a) Verificar que as velocidades Av
r e Bv
r 
respeitam a condição de corpo rígido da 
plataforma. 
b) Determinar o vetor velocidade angular da 
plataforma 
 kji zyx
rrrr
ω+ω+ω=ω 
 
a) Propriedade fundamental do C.R.: 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
av9av3av6
ka3iakv3ka3iakviv6
BAvBAv BA
=+
+−⋅=+−⋅+−
−⋅=−⋅
rrrrrrr
rr
 
 
⇒ av9av9 = ⇒ Ok! As vels. de A e B respeitam a condição de C.R. da plataforma. 
 
 
b) 
( )
( ) ( )
zxy
zyyx
zyx
BA
3;
a
v2
jaia3kaja3kv2iv6
ka3iakjikv3kviv6
BAvv
ω=ω−−=ω⇒
ω−ω+ω+ω−=−−
+−∧ω+ω+ω+=+−
−∧ω+=
rrrrrr
rrrrrrrr
rrr
 
 
( )
00
ja6kv4kv4
ia2kj
a
v2ikvkv3
CBvv
zx
x
xx
CB
=ω⇒=ω⇒
ω−=
∧





ω−−ω+−=
−∧ω+=
rrr
rrrrrr
rrr
 
 j
a
v2 rr
−=ω 
a/2
a
3a
x
y
z
VC
AV
BV
a
a
a/2
a
a
A
B
C
 
 
 
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 Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
Questão 2 (4,0 pontos) 
O sistema indicado move-se no plano jiO
rr
. A barra OA gira em 
torno de O, de maneira que φ=ωt (ω>0, cte.). No ponto A, as barras estão 
ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do 
eixo jO
r
. Pede-se, expressando os vetores na base i
r
j
r
k
r
: 
a) A posição do CIR da barra AB. 
b) A velocidade de B ( Bv
r ) e a velocidade de A ( Av
r ). 
c) O vetor de rotação (Ω
r
) da barra AB. 
d) A velocidade Mv
r do ponto médio de AB, M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para A e O: 
 ( )jsenLicosLkv A rrrr φ+φ∧ω= 
 
 ( )jcosisenLvA rrr φ+φ−ω= 
 
Para A e CIRAB: 
 ( )
( ) ( )
Ω−=ω⇒
φ−φΩ=φ+φ−ω
φ−φ−∧Ω=
jcosisenLjcosisenL
jsenLicosLkv A
rrrr
rrrr
 
 
 ⇒ k
rr
ω−=Ω 
 
 
 
Para B e CIRAB: 
 ( )icosL2kv B rrr φ−∧ω−= 
 
⇒ jcosL2v B
rr φω= 
 
 
Para M e B: 
 
( )
isen
2
Ljcos
2
LjcosL2v
jsenicos
2
Lkvv
M
BM
rrrr
rrrrr
φω−φω−φω=
φ−φ∧ω−=
 
 ( )jcos3isen
2
Lv M
rrr φ+φ−ω= 
O x
L 
A
B 
L 
y 
φ
 
O x 
 
A 
B 
 
y 
φ 
φ φ 
φ 
M CIRAB 
Perpendicular à vel. de B 
Perpendicular à vel. de A 
 
 
 
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Questão 3 (3,0 pontos) 
A plataforma circular mostrada na figura 
tem velocidade angular ω constante. A barra 
OA e o disco de raio a e centro A giram com a 
plataforma, permanecendo sempre no plano 
Oyz do sistema de coordenadas (O,x,y,z) de 
versores ( i
r
j
r
k
r
) solidário à plataforma. O 
ângulo ϕo é constante. Pede-se, em função de 
θθθ &&&,, e demais dados do problema: 
a) Os vetores velocidade relativa, de 
arrastamento e absoluta do ponto B, 
pertencente à periferia do disco. 
b) Os vetores aceleração relativa, de 
arrastamento e absoluta do mesmo 
ponto B. 
c) O vetor rotação absoluta Ω do disco. 
 ( )kcosjsenaiv rel,B rrr&r θ−θ∧θ= ⇒ ( )ksenjcosav rel,B rr&r θ+θθ= 
 
( ) ( )[ ]kcosasenLjsenacosLkv 00arr,B rrrr θ+ϕ+θ+ϕ∧ω= 
 
( )isenacosLv 0arr,B rr θ+ϕω−= 
 
arr,Brel,BB vvv
rrr
+= ⇒ ( ) ( )ksenjcosaisenacosLv 0B rr&rr θ+θθ+θ+ϕω−= 
 ( ) ( )[ ]kcosjsenaiikcosjsenaia 2rel,B rrrr&rrr&&r θ−θ∧∧θ+θ−θ∧θ= 
 ( ) ( )kcosjsenaksenjcosaa 2rel,B rr&rr&&r θ+θ−θ+θ+θθ= 
 
( ) ( )[ ]{ }kcosasenLjsenacosLkka 002arr,B rrrrr θ+ϕ+θ+ϕ∧∧ω= 
 
( ) jsenacosLa 02arr,B rr θ+ϕω−= 
 ( )ksenjcosak2vk2a rel,Bcor,B rr&rrrr θ+θθ∧ω=∧ω= ⇒ icosa2a cor,B r&r θθω−= 
 
cor,Barr,Brel,BB aaaa
rrrr
++= ⇒ 
( )[ ] ( )kcosasenajsenacosLsenacosaicosa2a 2022B r&&&r&&&r&r θθ+θθ+θ+ϕω−θθ−θθ+θθω−= 
 
relarr ω+ω=Ω
rrr ⇒ ik
r
&
rr
θ+ω=Ω 
 
x
z
y O
L 
A a
θθθ &&&,,
ω
ϕo 
B