Mecânica I - Poli - Psub - 2012

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
Mecânica A - PME 2100 
Prova Substitutiva - Duração 100 minutos – 04 de dezembro de 2012 
(Não é permitido o uso de dispositivos eletrônicos) 
 
 
Questão 1 (3,0 pontos) Dado o sistema de forças: jF rr =1 aplicada no ponto A(1, 0, 1), iF
rr
=2 
aplicada no ponto B(0, 1, 1) e kzixF rrr +=3 aplicada no ponto C(1, 1, 0), calcular os valores de x e z 
para que o sistema seja redutível a uma única força aplicada no ponto O(0, 0, 0). 
 
 
 
Questão 2 (3,5 pontos) O conjunto composto por um disco de massa m 
e raio R e uma massa concentrada m presa na posição A, está apoiado na 
articulação O. O conjunto está ligado a uma mola de constante elástica k 
e a outro corpo B de massa m/2, através de fios ideais que se enrolam à 
parte externa do disco, conforme mostrado na figura. O conjunto parte do 
repouso da posição θ = 0, sendo nula a força da mola nessa posição. 
Determine: 
 
a) a velocidade angular ω e a aceleração angular ω& do conjunto em 
função de θ; 
b) a aceleração do baricentro do conjunto G, em função de θ, ω e ω& ; 
c) as componentes de força reativa na articulação O, nas direções ir e 
jr , em função de θ, ω e ω& . 
 
 
 
Questão 3 (3,5 pontos) O disco de massa m e raio R 
está inicialmente em repouso (devido à ação de algum 
dispositivo externo não representado na figura) sobre 
um plano inclinado que forma o ângulo α com a 
horizontal e possui enrolado sobre si um cabo ideal. O 
cabo, por sua vez, é sustentado a partir do suporte fixo 
em A. Sabe-se que o coeficiente de atrito dinâmico 
entre o disco e o plano inclinado é µ. Quando o disco é 
liberado, o cabo se desenrola mantendo-se sempre 
esticado. Nessas condições, pedem-se: 
 
a) o diagrama de corpo livre do disco; 
b) calcular todas as forças atuantes no disco em função 
dos parâmetros dados. 
 
 
 
 
O R 
A 
θ 
k g 
r
i
 
r
j
 
B 
G 
B 
A 
R 
gr
 
α 
 
 
 
 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
Gabarito – Prova Substitutiva PME2100 – 04/04/2012 
 
Questão 1: 
Basta igualar a zero o momento do sistema de forças em relação ao ponto O. 
0
rr
=OM (1,0) 
kxjziz
izkxjzjkik
kzixjiikjjki
FOCFOBFOAM O
rrr
rrrrrrr
rrrrrrrrrr
rrrr
−−+−=
+−−+−−=
+∧++∧++∧+=
∧−+∧−+∧−=
)1()1(
)()()()(
)()()( 321
 (1,0) 
 
⇒ x = 0 e z =1 (1,0) 
 
Questão 2: 
a) TEC: ∆T = T − To( )= τ EXT T = Tdisco + Tmassa A + Tmassa B 
( ) ( ) 222222222
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ωωωωω mRRmRmmRmVmVJT BAo =++





=++= (0,5) 
τmola = −
1
2
kx 2 = − 1
2
k Rθ( )2 ; θτ senRgmhgm AAAmassa == ; τmassa B = −mB g h = −mB g Rθ (0,5) 
TEC, parte do repouso:ω 2 = g
R
senθ − θ
2
 
 
 
 
 
 −
kθ 2
2m
 ; 
m
k
R
g
22
1
cos
2
θθω −





−=& (0,5) 
b) )(cos
2
)(
2
1 jseniROAOG rr θθ +−=−=− (0,5) 
)]([)0( OGGaa OG −∧∧+−∧+= ωωω
rr&rrr
 
jsenRisenRaG
r
&
r
&
r )cos(
2
)cos(
2
22 θωθωθωθω +−++= (0,5) 
c) TMB: ∑= extG Fam
rr2 → jkRjTjmgjYiXam OOG
rrrrrr θ+−−+= 22 
( )θωθω cossen 2−= &mRX O e ( ) θωθωθω kRgRmmgmRYO −++++= )(22sencos 2 && (1,0) 
 
Questão 
3: (1,0) 
b) TMB: 
(x) : mgsenα − T − Fat = maG (1) 
(y) : N = mgcosα 
Condição de escorregamento: 
αµ cosmgatF =
r
 (2) 
Relação cinemática: 
iRiaG
r
&
r
ω= (B é CIR) (3) (0,5) 
 
TMA (pólo B) 
ksenRmgkJaBGm BZB
rr
&
r )cos2()( αµαω −=+∧−
 
)cos2(
2
3 2
αµαω −= senRmgmR & 
ksen
R
g r&r )cos2(
3
2
αµαω −= 
Em (3): 
 
 
 
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isengaG
rr )cos2(
3
2
αµα −= (4) 
Substituindo (2) e (4) em (1): 
isenmgT
rr )cos(
3
αµα += e: (1,0) 
imgatF
rr
αµ cos−= (0,5) 
jmgN rr αcos−= (0,5)