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FÍSICA GERAL III Prof.: Luiz Celoni Assunto: Lei de Gauss LEI DE GAUSS Fluxo de Um Campo Elétrico A figura ao lado mostra uma superfície gaussiana imersa em um campo elétrico E . Os elementos de área A são perpendiculares à superfície e apontam para fora. Assim, o fluxo do campo elétrico para a superfície gaussiana é AE O valor do produto escalar determina se o fluxo através do elemento de área é positivo, negativo ou nulo. Tomando A como um elemento diferencial de área, o somatório torna-se uma integral e temos AdE (fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana) O círculo no sinal da integral indica que a integração deve ser realizada para uma superfície fechada. A unidade de fluxo no SI é o (Nm 2 /C). Substituindo esses resultados na eq. 23-5, obtemos: 0EA0EA (Resposta) Esse resultado já era esperado, já que todas as linhas de campo que representam o campo elétrico atravessam a superfície gaussiana, entrando pela base esquerda e saindo pela base direita, o que significa que o fluxo total deve ser nulo. Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona o fluxo total de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total qenv que é envolvida por essa superfície. env0 q ou env0 qAdE Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica A figura ao lado mostra uma parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de cargas positivas . Vamos obter uma expressão para o módulo do campo elétrico E a uma distância r do eixo da barra. Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro circular de raio r e altura h, coaxial com a barra. O campo elétrico é sempre perpendicular à superfície e, neste caso, apontando para longe da barra. O fluxo de E através da superfície gaussiana é rh2E0cos)rh2(EcosEA O fluxo através das bases é zero pois E é paralelo ao plano das bases. Como hqenv , pela lei de Gauss temos env0 q hrh2E0 r2 E 0 (linha de cargas) Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar A figura ao lado mostra uma parte de uma placa fina infinita, não-condutora, com uma densidade superficial de cargas positivas . Vamos calcular o campo elétrico E a uma distância r da placa. A superfície gaussiana escolhida será um cilindro com eixo perpendicular à placa. Como as linhas de campo são paralelas à superfície lateral do cilindro, o fluxo é nulo. Assim temos env0 qAdE A)EAEA(0 02 E (placa de cargas) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A superfície quadrada da figura ao lado tem 3,2 mm de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E = 1800 N/C e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35º com a normal. Tome esta normal como apontando para fora, como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície. Resposta: -0,015 N m 2 /C 2) O cubo da figura ao lado tem 1,4 m de aresta e está em uma região onde existe um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico através da face direita do cubo se o campo elétrico, em Newton por Coulomb, é dado por (a) 6,00 iˆ ; (b) -2,00 jˆ ; (c) -3,00 iˆ + 4,00 kˆ . (d) Qual é o fluxo total através do cubo nos três casos? Resposta: a) 0 b) -3,92 N m 2 /C c) 0 d) 0 3) Em todos os pontos da superfície do cubo da figura do exercício anterior o campo elétrico é paralelo ao eixo z. O cubo tem 3,0 m de aresta. Na face superior do cubo kˆ34E N/C; na face inferior, kˆ20E N/C. Determine a carga que existe no interior do cubo. Resposta: q = -4,3 x 10 -9 C 4) Uma carga pontual de 1.8 C está no centro de uma superfície gaussiana cúbica de 55 cm de aresta. Qual é o fluxo elétrico através da superfície? Resposta: 2 x 10 5 N m 2 /C 5) Na figura ao lado um próton encontra-se a uma distância vertical d/2 do centro de um quadrado de aresta d. Qual é o módulo do fluxo elétrico através do quadrado? Resposta: 3,01 x 10 -9 N m 2 /C 6) A figura ao lado mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo com 1,40 m de aresta. Determine (a) o fluxo através da superfície; (b) a carga qenv envolvida pela superfície se jˆy00,3E N/C, com y em metros; os valores de (c) e (d) qenv se ]jˆ)y00,300,6(iˆ00,4[E N/C. Resposta: a) 8,23 N m 2 /C b) 7,29 x 10 -11 C 7) Uma linha infinita de cargas produz um campo de módulo 4,5 x 10 4 N/C a uma distância de 2,0 m. Calcule a densidade linear de cargas. Resposta: 5 x 10 -6 C/m 8) Um elétron é liberado a partir do repouso a uma distância perpendicular de 9,0 cm de uma barra não condutora retilínea muito longa com uma densidade de cargas uniforme de 6,0 C /m. Qual é o módulo da aceleração inicial do elétron? Resposta: 2,1 x 10 17 m/s 2 9) A figura ao lado mostra as seções retas de duas placas de grande extensão, paralelas, não condutoras, positivamente carregadas, ambas com distribuição superficial de cargas 1,77 x 10 -22 C/m 2 .Determine o campo elétrico E , em termos dos vetores unitários, (a) acima das placas; (b) entre as placas; (c) abaixo das placas. Resposta: a) (2 x 10 -11 N/C) jˆ b) 0 c) -(2 x 10 -11 N/C) jˆ
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