Circuitos Elétricos II - Poli - Lista 4 - indutâncias mútuas e transformadores

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PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Lista 4: Indutâncias Mútuas e Transformadores 
 
1 – No esquema da Figura 1, em qual terminal da bobina 2 deve ser colocada a marca de 
polaridade correspondente àquela da bobina 1? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 
 
2 – Quando a chave da Figura 2, há muito tempo na posição 1, passa bruscamente para a 
posição 2, o ponteiro do voltímetro DC move-se no sentido anti-horário da escala 
(leitura negativa). Indique onde devem ser colocadas as marcas de polaridade das 
bobinas. Calcule também a tensão v2(t) para t  0, considerando o voltímetro ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2 
 
3 – a) Mostre que os indutores da Figura 3, acoplados magneticamente, são 
equivalentes a um único indutor, com indutância 
 
 Lab = 2
1 2
1 2
L L M
L L 2 M

 
 
 
 b) Como se modifica o resultado acima se a polaridade de L2 for invertida? 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3 
 
a 
|M| 
L2 
b 
L1 
N1 N2 
a 
b 
1 
2 
E 
R 
voltímetro DC 
t = 0 
 |M| 
v2 L1 L2 
2 
 
4 – Escreva as equações de análise de malhas transformadas do circuito da Figura 4, 
com condições iniciais quiescentes. Determine v2(t), t  0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – a) Dado o circuito da Figura 5, com condições iniciais indicadas, escreva as 
equações transformadas de análise de malhas. 
b) Supondo vg (t) = 100.cos(2t) (V, s), determine ig(t) em regime permanente 
senoidal. 
 
 
6 – Para o circuito da Figura 6, pede-se: 
 
a) Escreva a equação matricial de análise de malhas, no domínio de Laplace, para 
condições iniciais nulas. 
b) Determine os valores de r para os quais o circuito é assintoticamente estável. 
c) Supondo agora que não existe acoplamento magnético entre as duas bobinas, e 
para uma transresistência de r = 2 , determine tensão de saída vs(t) para uma 
entrada eg(t) = δ(t) ( V, s ) e condições iniciais nulas. 
d) Nas mesmas condições do item c), determine a resposta vs(t) em regime 
permanente senoidal, para eg(t) = 10cos ( 2t + 30 ) ( V, s ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 
eg 
2 
1 
2 
1H 2H 
r ix 
ix 
i2 i1 
vs(t) 
1H 
 M = 0,6 H 
Figura 4 
v2(t) 
20 0,4 H 
0,04 F 5H(t) 
( V ) 
j1 
0,9 H 
|M| 
Figura 5 
|M| 
vg 
4H j1 = 1A 
ig 
6 
20 9H 
8 j2 = 2A 
 M = 4,5 H 
3 
 
 
7 – Para o circuito da Figura 7, pede-se: 
 
a) Escreva a equação matricial de análise de malhas no domínio de Laplace, 
considerando i1(0- ) = 1 A, i2(0- ) = 0 A e vc(0- ) = 3 V. 
b) Determine o equivalente de Thévenin em regime permanente senoidal para o 
sub-circuito à esquerda dos terminais AB ( na Figura 7 ). 
c) Repita o item b) substituindo os indutores acoplados por um transformador ideal 
com n1/n2 = 2 ( Figura 8 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 es(t) = 300cos1000t ( V,s ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 – No circuito da Figura 9, a tensão inicial no capacitor é vc ( 0- ) = vco e a corrente 
inicial de todos os indutores é nula. 
 
a) Mostre que a equação para análise de malhas do circuito, transformada segundo 
Laplace, é: 
 
1 s
5
s
R I s E s
v
s
s
co  
L
NM
O
QP  b g b g b g
. 
 
b) Determine as condições a serem observadas por  e R para que o circuito 
tenha somente frequências complexas próprias reais e que seja 
assintoticamente estável. 
 
c) Determine o valor da função de rede 

V
E
0
s
 para  = 2 rad/s e R = 10 ,  = 0,5. 
500 600 0,1 H 
A 2 : 1 
B 
es(t) ~ 
Figura 8 
600 
0,1H es(t) ~ 
500 0,1H 
vc 
B 
2 mF 0,4H 
A |M| = 0,1H 
i1 i2 
Figura 7 
4 
 
 
 L1 = L3 = 1 H 
 L2 = 2 H 
 Mi, j  = 0,5 H 
 
 
 
 
i 1,2
j 2,3
i j



R
S|
T|
 C = 0,2 F 
 Figura 9 
 
 
9 – No circuito da Figura 10, com um transformador ideal de relação 5:1, operando em 
uma frequência de 60 Hz, sabe-se que 
I2
 = 0,5 0 ampères eficazes. 
 
a) Determine o fasor 
I1
. 
b) Determine o fasor 
Vef
. 
c) Se as ligações do secundário forem invertidas, qual o novo valor de
Vef
, para que 
continue 
I2
 = 0,5 0 ampères eficazes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 
 
 
Exercício com o Simulador Numérico 
 
Considere o Exercício 5 b). Confira sua resposta determinando ig(t) em regime 
permanente senoidal com um simulador numérico de circuitos elétricos. 
 
 
Instruções (para o Multisim 14.0): 
 
 Desenhe o seguinte circuito no schematic do Multisim 14.0: 
5  
5 : 1 
~ 
10 
I2
 
20 
I1
 
Vef
 
es 
L1 
L2 
L3 
v0 M12  R 
M23  
M13  
i vL2 v0 
vc 
C 
5 
 
 
Figura 11: Montagem do circuito elétrico. 
 
(a) Os componentes podem ser selecionados em Place → Component. 
 a fonte de tensão senoidal pode ser encontrada no Group: Sources, 
Family: SIGNAL_VOLTAGE_SOURCES, Component: 
AC_VOLTAGE. Configure os parâmetros da fonte que são relevantes 
para a análise AC: Frequency, AC analysis magnitude e AC analysis 
phase. 
 o componente que introduz a indutância mútua pode ser encontrado 
no Group: Basic, Family: TRANSFORMER, Component: 
INDUCTOR_COUPLING. Nas configurações do componente, liste 
os indutores em que há acoplamento magnético e insira o coeficiente 
de acoplamento adequado. 
(b) A simulação deve ser uma análise AC de uma única frequência, que calcula 
o módulo e a fase de tensões e correntes de um circuito em regime 
permanente senoidal. Configure a simulação em Simulate → Analyses and 
simulation. Em Active Analysis, selecione Single Frequency AC. 
 Na aba Frequency parameters, insira a frequência cíclica em que a 
análise será feita, correspondente à frequência angular de 2 rad/s. 
Adote o formato de módulo e fase para os números complexos. 
 Na aba Output, selecione a corrente correspondente a 
gIˆ
 no 
schematic. Não esqueça que o Multisim adota a convenção do 
receptor para o gerador de tensão. Prossiga clicando em ►Run. 
(c) A janela do Grapher View deverá mostrar os valores de módulo e fase de 
gIˆ
. 
1 
 
PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Solução da Lista 4: Indutâncias Mútuas e Transformadores 
 
1 – Colocar a marca de polaridade no terminal b. 
 
2 – Cálculo de v2(t): 
 
 
 
 
 
 
 
Usando inicialmente as convenções da figura, temos: 
1
E
i (0 )
R
 
 
1
(R/L )t
1
E
i (t) e H(t)
R

 
 
1
(R/L )t1
2
1
M Edi
v (t) M e H(t)
dt L

   
 
 Com as marcas de polaridade da figura e os sentidos de corrente adotados, 
teremos sinal positivo para a mútua na relação constitutiva do indutor 2. Portanto, a 
indicação no voltímetro será negativa – que é o que ocorre segundo o enunciado. 
Logo, as marcas de polaridade devem ser colocadas como indicado na figura. Caso 
tivéssemoserrado a convenção e obtido v2(t) positiva, teríamos que trocar alguma 
das marcas de polaridade adotadas no início. 
 
3 – a) Da figura: 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
L M iv
D
M L iv
    
     
    
  D
21
2
12 1 2
L Mi v1
M Li vL L M
    
          
 
 
  1 21 2 2
1 2
L L 2 M
D i i .v
L L M
 
 

  v 2 2
1 2 1 2
a b
1 2 1 2
L L M L L Mdi
L
L L 2 M dt L L 2 M
 
 
   
 
b) Adota-se sinal negativo para |M|, de modo que Lab = 2
1 2
1 2
L L M
L L 2 M

 
. 
 
 
 
L1 
i i1 
v 
|M| 
i2 
L2 
i1 
i2 
v2 v1 v2 
|M| 
t = 0 R 
E 
2 
 
4 – Equações de análise de malhas transformadas: 
 
 
 0,4s 25 s 0,6s 25 s
25 s 0,6s 25 s 20 0,9s
I
I
5 s
0
1
2
  
   
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP 
L
NM
O
QP
 
 
 
V2(s) = –s|M|I1 + sL2I2  v2(t) = 7,54e-0,1563t cos( 7,9041t – 174,35 ) H(t), ( V, seg ) 
 
5 – a) Análise de malhas: 
 
 
8 9s 8 4,5s 9s
8 4,5s 14 4s 6 4,5s
9s 6 4,5s 26 9s
I
I
I
V s 22,5
13
22,5
1
2
3
g   
    
   
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP



L
N
MMM
O
Q
PPP
b g
 
 
b) ig(t)  4,563 cos( 2t – 44,00 ), ( A, seg ) 
 
6 – a) Vale ix = i1 . Pela 2a LK no domínio do tempo temos ( ver figura! ): 
 
 malha 1: 2i1 + ri1 + 1i1 - i2 + v1 = eg 
 malha 2: 2i2 - ri1 + i2 - i1 - v2 = 0 
 
 
 – relação na mútua: 
 v 1Di 1Di
v 1Di 2 Di
1 1 2
2 1 2
 
 
RST
 
 
 Substituindo e simplificando, 3 r D i D 1 i e
r D 1 i 3 2 D i 0
1 2 g
1 2
    
     
RS|
T|
b g b g
b g b g
 
 
 ou, transformando com condições iniciais nulas, 
 
 3 r s s 1
r s 1 3 2s
I s
I s
E s
0
1
2
g
   
   
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP
b g
b g
b g 
 
b) det Zn (s) = s
2 + ( r + 7 )s + 2 ( r + 4 ) = 0 
 
 – Condições para raízes com parte real negativa: 
 
 r + 7 > 0  r > - 7 ; r + 4 > 0  r > - 4 
 
 Portanto, para estabilidade assintótica devemos ter r > - 4 
 
 
i1 i2 
eg 
v2 v1 
vs 
es 
i2 i1 
C 
L1 
L2 v2 
R 
i1 
i2 
i3 ig j2 
j1 
 
 
 
3 
 
 
c) Com r = 2, M = 0 e eg = (t) as equações do circuito ficam 
 
 s 5 1
3 2s 3
I s
I s
1
0
I s
1,5
s 6,5s 6
1
2
2 2
 
 
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP     
b g
b g b g
 
 
  
V s
3
s 6,5s 6
s 2b g   
  vs(t) = ( 0,7 e-1,114t - 0,7 e-5,386t ) H(t), ( V, seg ) 
 
d) 
 V
3
j2 6,5 j2 6
. Es 2 g
 b g
 
 
Eg
 = 10 30  
V
30 30
2 j13
s 

 = 2,281 - 51,25 
  vs(t) = 2,281cos( 2t - 51,25 ) ( V, s ) 
 
7 – a) Consideraremos i1 e i2 como correntes de malha (ver Figura 7 da Lista 4). 
 A aplicação da 2a LK, transformada segundo Laplace, fornece: 
 
 – malha 1: 
 500 I1( s ) + 0,1s I1( s ) - 0,1 i1( 0- ) + 0,4s I1( s ) - 0,4 i1( 0- ) + 0,1s I2( s ) – 
 – 0,1 i2( 0- ) = Eg( s ) 
 
 – malha 2 : 
 0,1s I2( s ) - 0,1 i2( 0- ) + 0,1s I1( s ) - 0,1 i1( 0- ) + 600 I2(s) + 
1
2.10 s3
 I2(s) – 
 
 
v (0 )
s
0c
 
 
 Ordenando numa equação matricial, 
 
 
500 0,5s
0,1s
0,1s 0,1s 600
500
s
I s
I s
E s 0,5
3
s
0,1
1
2
g

 
L
N
MMMM
O
Q
PPPP
L
N
MMM
O
Q
PPP



L
N
MMMM
O
Q
PPPP
b g
b g
b g
 
 
b) Com a malha 2 em aberto e RPS ( ver figura abaixo ) 
 s  j = j1000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
500 600 0,1 H 
A 
B 
eg(t) ~ 
Z0 
V1
 
V2
 
I1
 
E0
 
I2
 
4 
 
 
 – Tensão em aberto 
0Eˆ
 entre A e B: 
 
 500I j100I j400I E
j100I E
E
j100
500 j500
. E
1 1 1 g
1 0
0 g
   
 
   

U
V|
W|
 

 
 
 

E
j1
5 j5
. 300 42,430
 45 ( V ) 
 – Corrente de curto 
I0
 ( sem capacitor ), de A para B: 
 
500I j100I j400I j100I E1 1 1 2 g
       
 
 
j100I j100 600 I 01 2
   b g
 
 
 Mas 
 I I2 0 
 de modo que, matricialmente, 
 
 500 j500 j100
j100 600 j100
I
I
E
0
1
0
g
 
 
L
NM
O
QP
L
NM
O
QP

L
NM
O
QP



 
 


I
j100 E
10 2,6 j3,5
6,88 . 100
g
5
2

 b g
 36,6 
 – Portanto, 
Z
E
I
616,720
0
0
 


 8,39 = 610,11 + j 90 (  ) 
 
c) Com o gerador desativado, a impedância referida ao secundário é 
 
Z 500 j100 .
1
2
600 725 j250
2
 
F
HG
I
KJ   b g
 (  ) 
 Com o secundário aberto, 
 I 0 I 02 1  
 
 Portanto, 
 
 
 
E V
V
2
E
2
1500 2
1 g   
 0 ( V ) 
 
8 – a) 2a Lei K.: vL1 + vL2 + vL3 + vc + vR - v0 = es 
 
 
v
v
v
L1
L2
L3
L
N
MMM
O
Q
PPP

 
 
 
L
N
MMM
O
Q
PPP
1 0 5 0 5
0 5 2 0 5
0 5 0 5 1
, ,
, ,
, ,
 D.i  vL1 + vL2 + vL3 = 1D i(t) 
 
v
1
C
D i v 5D i vc
1
co
1
co   
 
 
 vR = Ri 
 v0 = vL2 = 1Di 
 
 Substituindo na equação: 
 (1D + 5D-1 + R - D)i = es(t) - vco 
es 
v0 
i 
vR 
vL3 vc 
vL1 
vL2 
v0 
5 
 
 
 
 Transformando por Laplace 
 
 
1   
L
NM
O
QP  b g b g b gs
5
s
R I s E s
v
s
s
co
 
 
b) Equação característica: 
 
1    b gs 5
s
R 0
 
 ( 1 -  )s2 + Rs + 5 = 0  s1, 2 =    

R R2 20 1
2 1


b g
b g
 
 Para FCP reais: R2  20( 1 -  ) 
 Circuito assintoticamente estável: s1,2 < 0  
 
R2 20 1  b g
  R  20( 1 -  )  0 
   1 
 
 2 condições:   1 e R2  20( 1 -  ) 
 
c) RPS: s  j , despreza-se condição inicial 
 
 
1 0 5
5
10  
L
NM
O
QP ,
 ) b g j
j
I ( j Es  
 
 
 
j
5
2 j
10 I j2 E I
E . 2 j
3 j20
s
s 
L
NM
O
QP    
  
b g
 
 
 
   

V V 1 . j2 . I V
4 E
3 j20
0 L2 0
s   


 
  

V
E
4
3 j20
0
s



  0,20 98,53 
 
9 – a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5  
5 : 1 
 ~ 
 
 
 
 
10 
2Iˆ
 
20 
1Iˆ
 
efVˆ
 
 
 
 
 
 
1Vˆ
 
2Vˆ
 
1 2
ˆ ˆI I6 
 
 Transformador ideal: 
 

  I
I
N
N
I I .
1
5
I 0,5 0 .
1
5
1
2
2
1
1 2 1

      
  
  
I1
 = 0,1 180 Aef 
 
b) 2a Lei K 
 
 
     20 I I V 10I 0 V1 2 2 2 2
    d i
 = 17 180 Vef 
 

 V
V
N
N
V V . 51
2
1
2
1 2  
 = 85 180 
 
 2a Lei K  
 ef 1 1 1 2 efˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV 5I V 20 I I V    
 = 97,5 180 Vef 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso: 

I
I
N
N
I1
2
2
1
1 
 = 0,1 0 
 
   V 10I 20 I I2 2 1 2  d i
 = 13 0 
 

 V
V
N
N
V 5 . V1
2
1
2
1 2  
 = 65 0 
  
 ef 1 1 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV 5I V 20 I I   
 = 57,5 0 Vef 
 
5  
5 : 1 
 
 ~ 
 
 
 
10 
2Iˆ
 
20 
1Iˆ
 
efVˆ
 
 
 
 
 
 
 
1Vˆ
 2Vˆ
 
1 2
ˆ ˆI I