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Instituto de Economia- UFRJ Econometria – Introdução à Econometria – PROVA FINAL – 2013.01 Prof. Viviane Luporini/Rudi Rocha NOME:_______________________________________________________________ _______ INSTRUÇÕES: Você deverá responder exatamente QUATRO ITENS DE CADA QUESTÃO. BLOCO A Questão 1 – Suponha que as variáveis Y e X estão relacionadas em uma determinada população de acordo com a relação linear Y=α+βX+u , onde u é um termo de erro estocástico com E[u/X ]=0 e E[u]=0 . Para uma dada amostra aleatória ({Y i, Xi}, i=1, 2, ..., n), um pesquisador estima esse modelo por MQO e obtém α^ e β^ . Responda verdadeiro ou falso para cada item abaixo, justificando sua resposta. a) Como é válida a condição E[u/X ]=0 , é possível afirmar que o estimador de MQO β^ é o mais eficiente na classe dos estimadores lineares. b) Para estimar os parâmetros do modelo por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) é necessário assumir que os erros seguem uma distribuição normal. c) Se assumirmos que os erros seguem uma distribuição normal, conseguiremos estimar o modelo tanto por MQO como por máxima verossimilhança (MV). Suponha que β^MQO seja o coeficiente estimado por MQO, e β^MV seja o encontrado por MV. Nesse caso, podemos afirmar que E( β^MQO|X )=E ( β^MV|X )=β , embora β^MQO≠ β^MV . d) Suponha que o pesquisador tenha adotado o nível de significância de 5% para testar hipóteses sobre os coeficientes estimados. Esse nível de significância representa a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. e) Suponha que os erros do modelo acima sejam heterocedásticos e não- autocorrelacionados. Neste caso, o Teorema de Gauss-Markov garantirá que o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários terá variância mínima. Questão 2 – A Tabela 1 abaixo apresenta o resultado de 2 modelos de regressão distintos, cada qual reportado separadamente em uma coluna. Nos dois modelos, utilizou-se a mesma amostra de 165.650 trabalhadores brasileiros, para os quais temos informações sobre renda mensal (em R$), educação (em número de anos de escolaridade) e idade (em anos). A variável dependente em cada modelo é a renda do trabalhador em R$, enquanto que os coeficientes estimados são apresentados ao longo da coluna, com seus respectivos erros-padrão entre parêntesis. Responda as questões abaixo. a) A primeira coluna da tabela reporta o resultado de uma regressão simples de renda em anos de escolaridade, como descrita na equação: Rendai=α+β Educaçãoi+u1 i Onde o subscrito i identifica o indivíduo i=1,2 ,…,165.650 . Como vemos na tabela, β^=101,011 , enquanto que o erro-padrão deste coeficiente (entre parêntesis) é de 0,738. O coeficiente de intercepto α^=−26,518 tem erro-padrão de 6,599. Encontre uma estatística de teste para testar a hipótese nula de que β=¿ 0. Você rejeitaria essa hipótese ao nível de significância de 0,05? (Use a regra-prática |t| > 2,0) b) Na segunda coluna, reportamos o resultado de uma regressão de renda em duas variáveis, educação e idade, como descrita na equação: Rendai=β0+ β1 Educaçãoi+ β2 Idadei+u2 i Como vemos na coluna (2), encontramos β^1=116,854 (ep = 0,738) e β^2=24,078 (ep = 0,253). Notamos um aumento na magnitude do coeficiente associado à educação ao compararmos β^ estimado na coluna (1) e β^1 estimado na coluna (2). Interprete esse resultado à luz do fato de que idade é positivamente correlacionada com renda (experiência tende a associar-se com rendimentos mais altos no mercado de trabalho), e negativamente correlacionada com escolaridade (as gerações mais velhas de trabalhadores tendem a ter menos escolaridade no Brasil). c) Considere o modelo estimado no item (a). Podemos afirmar com base no Teorema de Gauss-Markov que o estimador de MQO será o melhor estimador linear não- viesado? Explique. d) O modelo do item (b) foi acrescentado da variável idade2 (com o respectivo coeficiente β3 ) para verificar um possível efeito não-linear da idade sobre a renda e testou-se a H 0: β3<0 . Obteve-se um p-valor de 0,59 associado à estatística t calculada. Neste caso, devemos rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 10%? e) Suponha que seu chefe esteja interessado em verificar se além da idade e do nível educacional, o gênero do trabalhador afeta sua renda. Que modelo você você proporia para ser estimado? Tabela 1 – Dois Modelos Estimados por MQO com Base nos Microdados da PNAD 2006 BLOCO B Questão 3. A fim de investigar o comportamento das vendas mensais de bens de consumo duráveis em Pindorama, estimou-se um modelo de regressão linear com os seguintes resultados (erros-padrão entre parênteses): S^D=22.632+0,415DI−12.716 IS−120,5 I+1.530 R−7,46 P (1,775) (0,018) (1,023) (53,8) (726,0) (50,6) R2= 0,99 DW= 0,59 SD = vendas mensais de bens de consumo durável no varejo (US$ milhões) DI = Estoque de duráveis nas lojas de departamento (US$ milhões) IS = razão entre estoques e vendas para os bens duráveis nas lojas de departamento I = taxa de juros (percentual entre 0 e 1) R = remuneração média de uma hora de trabalho (US$) P = índice de preços ao consumidor para bens de consumo durável (2001 = 100) a) Os coeficientes são estatisticamente significativos? b) Interprete o coeficiente estimado para a taxa de juros (I). c) Interprete o coeficiente estimado para a remuneração (R). d) Teste a significância global (geral) da regressão? e) Baseando-se na estatística de Durbin-Watson, você suspeitaria de autocorrelação nos resíduos? Explique. Questão 4. Estimou-se o seguinte modelo de regressão: Y i=β1+ β2 X i+β3Z i+u i a) Suponha que a heterocedasticidade, caso exista, seja proporcional ao valor esperado de Y. Mostre a transformação nos dados que deve ser implementada para que um novo modelo com dados transformados apresentem resíduos homocedásticos. b) Suponha agora a variância de ui seja proporcional a Zi2. Mostre a transformação que torna o modelo homocedástico. c) Você concorda com a afirmação: “A estimação do modelo com os dados transformados (MQG) gera estimadores mais eficientes”? Por que? d) O modelo foi estimado, e os resíduos u^i foram calculados. Em seguida, construiu-se um gráfico com os resíduos u^i no eixo vertical e a variável Y i no eixo horizontal. Verificou-se graficamente que os resíduos tendem a aumentar com Y i . Logo, não parece haver indícios de heterocedasticidade. Verdadeiro ou falso? Discuta.
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