p2 poli 2010

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Questão Alternativa
1 e
2 c
3 b
4 e
5 b
6 b
7 e
8 c
9 e
10 d
11 e
12 a
13 d
14 a
15 c
16 b
 
Questão http://itamaraty.ime.usp.br/mat/2457/Gabaritos/P2/Gabarito-P2-0-2010...
1 de 1 11/02/2011 19:01
Em todas as questo˜es da prova considera-se fixado um sistema
de coordenadas Σ = (O,E) em E3, sendo E uma base ortonormal
positiva de V3.
Q1. Considere os pontos:
A = (1, 2, 0), B = (3, 2, 1), C = (2, 1, 1), D = (0, 1, 3).
O volume do tetraedro ABCD e´ igual a:
(a) 3;
(b) 6;
(c) 2;
(d) 12;
(e) 1.
Q2. Considere as retas:
r :
x− 1
2
=
y − 1
3
= z − 2, s :
{
x+ y − z = 0,
2x− y + z − 3 = 0.
Pode-se afirmar que r e s sa˜o:
(a) concorrentes e perpendiculares;
(b) reversas;
(c) concorrentes e na˜o perpendiculares;
(d) paralelas e distintas;
(e) coincidentes.
Q3. Seja pi o plano de equac¸a˜o vetorial:
X = (0,−1, 2) + s(1, 3, 1) + t(2, 2, 1), t, s ∈ R.
Para cada α ∈ R, seja Aα o ponto
(
α,−α, 1+α2
)
. Pode-se afirmar que:
(a) d(A1, pi) = 5
√
2
6 e d(A3, pi) 6= d(A4, pi);
(b) d(A1, pi) = 5
√
2
6 e d(A3, pi) = d(A4, pi);
(c) d(A1, pi) = 5
√
2
3 e d(A3, pi) = d(A4, pi);
(d) d(A1, pi) = 5
√
2
3 e d(A3, pi) 6= d(A4, pi);
(e) d(A1, pi) = 5
√
2
2 e d(A3, pi) 6= d(A4, pi).
Q4. Sejam ~u,~v, ~w ∈ V 3 vetores. Sabendo-se que:
‖~u‖ = 2, ‖~v‖ = 3, ‖~w‖ = 5,
que ~w e´ ortogonal a ~u e a ~v e que o volume do paralelep´ıpedo determinado
por ~u, ~v e ~w e´ igual a 15, pode-se afirmar que a medida do aˆngulo entre ~u e
~v e´ igual a:
(a) pi3 ;
(b) pi4 ;
(c) pi2 ;
(d) 2pi3 ;
(e) pi6 .
Q5. Considere os pontos:
A = (2, 3, 1), B = (0, 1,−1), C = (2, 3, 4), D = (3, 2, 1).
Seja pi o plano que conte´m A, B e C e seja pi′ o plano que conte´m A, B e
D. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) os planos pi e pi′ sa˜o ortogonais;
(II) o plano pi′ e´ ortogonal a` reta X = (0, 1, 2) + t(1, 1,−2), t ∈ R;
(III) qualquer vetor normal a pi e´ paralelo a` reta:
X = (2, 1, 0) + t(−1, 1, 0), t ∈ R.
Assinale a alternativa correta:
(a) nenhuma das afirmac¸o˜es e´ verdadeira;
(b) todas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
Q6. A distaˆncia da reta:
r : X = (1, 2,−1) + α(1, 0,−1), α ∈ R,
ao plano pi : x− 2y + z = 0 e´ igual a:
(a)
√
6
3 ;
(b) 2
√
6
3 ;
(c)
√
6;
(d) 4
√
6
3 ;
(e) 5
√
6
3 .
Q7. Sejam ~a1,~b1,~a2,~b2 ∈ V 3 vetores tais que ~a1 e ~b1 sejam linearmente
independentes e tais que ~a2 e ~b2 sejam linearmente independentes. Sejam
A1, A2 ∈ E3 pontos. Seja pi1 o plano de equac¸a˜o vetorial:
X = A1 + s~a1 + t~b1, s, t ∈ R,
e seja pi2 o plano de equac¸a˜o vetorial:
X = A2 + s~a2 + t~b2, s, t ∈ R.
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se ~a1 = ~a2 e se ~b1 e ~b2 sa˜o ortogonais enta˜o os planos pi1 e pi2 sa˜o
ortogonais;
(II) se [~a1,~b1,~a2] = [~a1,~b1,~b2] = 0 enta˜o os planos pi1 e pi2 sa˜o paralelos
(distintos ou coincidentes);
(III) se ~a1 · ~a2 = ~a1 ·~b2 = 0 enta˜o os planos pi1 e pi2 sa˜o ortogonais.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
Q8. Considere as retas:
r : X = (0, 2,−1) + λ(1, 3, 1), λ ∈ R, s : X = (0, 2, 1) + µ(3, 3, 2), µ ∈ R.
Assinale a alternativa correta:
(a) a distaˆncia entre as retas r e s e´ 3√
46
;
(b) r e s sa˜o retas concorrentes e, portanto, a distaˆncia entre elas e´ zero;
(c) a distaˆncia entre as retas r e s e´ igual a 12√
46
;
(d) o u´nico ponto de r que dista 12√
46
de s e´ (0, 2,−1);
(e) o u´nico ponto de s que dista 3√
46
de r e´ (0, 2, 1).
Q9. Uma equac¸a˜o geral para o plano que conte´m a reta:
r :
{
y = 1,
x+ z = 0,
e e´ paralelo a` reta s : x− 1 = y = z − 1 e´:
(a) x− 2y + 2z − 2 = 0;
(b) x− 2y + 2z + 2 = 0;
(c) 2x− y − z − 2 = 0;
(d) 2x− y + z − 2 = 0;
(e) x− 2y + z + 2 = 0.
Q10. Sejam ~a,~b,~c ∈ V 3 vetores e α, β, γ ∈ R escalares. Considere as se-
guintes afirmac¸o˜es:
(I) se [~a,~b,~c ] = 0 e α~a+β~b+γ~c = ~0, pode-se concluir que α = β = γ = 0;
(II) se ~a = α~b+ β~c, pode-se concluir que [~a,~b,~c ] = 0;
(III) se ~c = ~a∧~b enta˜o [~a,~b,~c ] 6= 0 se e somente se ~a e ~b na˜o sa˜o paralelos.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
Q11. Considere o ponto P = (1, 1, 1) e a reta:
r : X = (1,−3, 5) + λ(1,−1, 0), λ ∈ R.
Pode-se afirmar que:
(a) o ponto P pertence a` reta r;
(b) uma equac¸a˜o vetorial para a reta que passa por P e e´ paralela a` reta r
e´ X = (1, 1, 1) + β(−1, 1, 3), β ∈ R;
(c) a reta X = (1, 1, 1) + γ(−1, 1, 1), γ ∈ R, e´ concorrente com a reta r;
(d) uma equac¸a˜o geral de um plano que conte´m P e r e´ x+ y + z + 1 = 0;
(e) uma equac¸a˜o vetorial para a reta que passa por P e e´ perpendicular a`
reta r e´ X = (2, 2,−1) + α(1, 1,−2), α ∈ R.
Q12. Seja pi o plano que passa pelo ponto A = (−3, 4, 0) e e´ paralelo a`s
retas:
r1 : X = (2, 3, 2)+ t(1, 2, 1), t ∈ R, r2 : X = (2,−1,−2)+ t(2, 1, 0), t ∈ R.
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) o plano pi e´ perpendicular a` reta X = (2, 1, 0) + t
(−13 , 1,−1), t ∈ R;
(II) o plano pi conte´m o ponto (−6, 1, 1);
(III) o plano pi e´ paralelo a` reta X = (4,−2, 2) + t(3, 2, 13), t ∈ R.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(c) nenhuma das afirmac¸o˜es e´ verdadeira;
(d) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
Q13. Sejam a, b,m, n ∈ R escalares. Considere a reta:
r : X = (1, 0, 1) + λ(a, 1, b), λ ∈ R,
o plano pi : x+my − nz + 2 = 0 e as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) se a+m− bn = 0 enta˜o r e´ paralela a pi ou esta´ contida em pi;
(II) se m = 0 e n = 1 enta˜o a projec¸a˜o ortogonal do ponto R = (1, 0, 1)
sobre o plano pi e´ o ponto (0, 0, 1);
(III) a distaˆncia do ponto R = (1, 0, 1) ao plano pi e´ igual a |3− n|.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamente verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira;
(e) todas as afirmac¸o˜es sa˜o necessariamente verdadeiras.
Q14. Assinale a alternativa contendo uma equac¸a˜o vetorial para a reta
perpendicular comum a`s retas:
r : X = (3, 2, 7) + λ(1, 2, 0), λ ∈ R, s : x− 1
2
= −y + 3 = z − 2
5
.
(a) X = (3, 2, 7) + µ(2,−1,−1), µ ∈ R;
(b) X = (3, 2, 7) + µ(2, 1,−1), µ ∈ R;
(c) X = (3, 2, 7) + µ(2,−1, 5), µ ∈ R;
(d) X = (1, 3, 2) + µ(2, 1,−1), µ ∈ R;
(e) X = (1, 3, 2) + µ(2,−1,−1), µ ∈ R.
Q15. Sejam α, β ∈ R e considere os planos pi, pi′ com equac¸o˜es gerais dadas
por:
pi : αx+ (α− 1)y + αz − α = 0, pi′ : βx+ (β + 1)y + (1− β)z − β − 2 = 0.
Pode-se afirmar que:
(a) pi e pi′ sa˜o paralelos (distintos ou coincidentes) se e somente se α = −12
e β = 32 ;
(b) pi e pi′ sa˜o ortogonais se e somente se α = 2 e β = −3;
(c) a intersec¸a˜o de pi e pi′ e´ uma reta se e somente se α 6= −12 ou β 6= 12 ;
(d) pi e pi′ sa˜o ortogonais se e somente se αβ + β − 1 = 0;
(e) a intersec¸a˜o de pi e pi′ e´ uma reta se e somente se α 6= 32 e β 6= 12 .
Q16. Sejam α ∈ R um escalar, pi o plano de equac¸a˜o geral:
2αx+ (3− α)y − z + 1 = 0,
e r areta de equac¸a˜o sime´trica:
x+ 1
2
= y − 1 = z
3
.
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) r e´ paralela a pi se e somente se α = 0;
(II) r e pi sa˜o concorrentes, para todo α ∈ R;
(III) r e pi sa˜o ortogonais se e somente se α = 23 .
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
(b) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
(c) apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira;
(e) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.