FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL 2 (28)

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FEP2196 � Física para Engenharia II
Prova P3 � 04/12/2008
Nome:.................................................. N
o
USP:................................................
Assinatura:.......................................... Turma/Professor:................................
Observações:
• A prova tem duração de 2 horas.
• Não é permitido o uso de calculadora.
• Preencha de forma legível todas as folhas (inclusive esta) com seu nome, número
USP e turma, e apresente sua identidade ao assinar a lista de presença.
• Resolva cada exercício a partir a frente da folha com o mesmo número.
• Justifique todas as respostas com fórmulas, comentários e cálculos intermediários,
não esquecendo das unidades das grandezas físicas.
• Caso apareça alguma raiz que não seja um quadrado perfeito, deixe indicado (não
é necessário aproximar a resposta).
Formulário
x′ = γ(v)(x− vt) t′ = γ(v)(t− v
c2
x) γ(v) =
1√
1− v
2
c2
x = γ(v)(x′ + vt′) t = γ(v)(t′ +
v
c2
x′)
u′x =
ux − v
1− vux
c2
u′y =
1
γ(v)
uy
1− vux
c2
~p = γ(v)m0~v E = γ(v)m0c2
E2 = p2c2 +m02c4 ν ′ =
√
1∓ v/c
1± v/c ν
sen30◦ = cos 60◦ =
1
2
sen60◦ = cos 30◦ =
√
3
2
sen45◦ = cos 45◦ =
√
2
2
1
S
S
S
S’
S’
S’ 30o
30o x
y S
u
u
A
B
Figura 1: Painel da esquerda (Q. 1): Caixa com espelhos nas extremidades. Os eventos A,
B e C correspondem à emissão do raio de luz no espelho esquerdo, reflexão no espelho direito,
e retorno ao espelho esquerdo, respectivamente. Painel da direita (Q. 4): Partículas A e B
vistas do referencial S, num instante t.
Questão 1
Dois espelhos são colocados nas extremidades de uma caixa de largura própria L0 = 900 m,
como mostra o painel da esquerda da Figura 1. Considere dois observadores: para um deles, o
observador S, essa caixa se move à velocidade v = 0, 8 c para a direita (na direção de x positivo);
o outro observador, S′, está no referencial próprio da caixa. No instante t = t′ = 0 as origens
dos sistemas de coordenadas de S e S′ coincidem e um raio de luz é emitido do espelho esquerdo
da caixa (na origem de S′), em direção ao espelho direito (evento A). Mais tarde, o raio de luz é
refletido pelo espelho direito (evento B) e, finalmente, o raio de luz retorna ao espelho esquerdo
(evento C).
Responda:
(a) Quais as coordenadas (t′, x′) no referencial S′, e (t, x) no referencial S, dos eventos A, B e
C? (0,5)
(b) No referencial próprio da caixa, quanto tempo demora entre o raio de luz ser emitido (A) e
retornar (C) ao espelho esquerdo? (0,5)
(c) Para o observador no referencial S, quanto tempo demora entre o raio de luz ser emitido
(A) e retornar (C) ao espelho esquerdo? (0,5)
(d) O observador no referencial S quer medir o comprimento da caixa. Supondo que o observador
S conhece as coordenadas dos eventos A, B e C, como ele pode fazer para determinar o
comprimento da caixa, e que valor ele obtém? (1,0)
2
Questão 2
Alfa-Centauro é a estrela mais próxima da Terra, situada a uma distânciaD medida no referencial
próprio da Terra. Um astronauta parte da Terra em direção a ela com velocidade 0, 6c. Considere
a estrela em repouso em relação à Terra.
(a) Para o astronauta, qual foi a distância percorrida? (0,5)
(b) Para o astronauta, qual foi o tempo da viagem? (0,5)
(c) Qual a duração da viagem, medida por um observador na Terra? (0,5)
(d) Se na metade da viagem o astronauta emitisse um sinal de luz em direção à Terra, quanto
tempo depois da partida do astronauta esse sinal seria observado na Terra? (0,5)
(e) Existe algum referencial inercial em que a partida do astronauta da Terra e sua chegada em
Alfa-Centauro sejam eventos simultâneos? (0,5)
Questão 3
Considere um elétron e um pósitron (partícula idêntica ao elétron exceto por sua carga elétrica,
que tem mesma magnitude mas sinal oposto), de massas de repouso m0 = 0, 51MeV/c2 e ve-
locidades de mesma magnitude, tal que γ = 5/3 , colidindo de frente segundo um observador no
referencial inercial S. Nesse processo, o elétron e o pósitron se aniquilam, produzindo radiação
gamma (fótons).
(a) Qual o valor das velocidades das partículas segundo o observador em S? (0,5)
(b) É possível que um único fóton seja gerado nesse processo? Ou seja, a reação e
− + e+ −→ γ
pode ocorrer? (0,5)
(c) É possível que dois fótons sejam gerados nesse processo? Ou seja, a reação e
−+e+ −→ γ+γ
pode ocorrer? (0,5)
(d) Calcule a energia e o momento linear do(s) fóton(s) gerado(s), no referencial S (pelo menos
um dos processos dos ítens anteriores é possível). (0,5)
(e) Qual a energia cinética total inicial, no referencial de laboratório? Há conservação da energia
cinética? (0,5)
Questão 4
Em um referencial inercial S, um observador vê duas partículas idênticas (A e B) emergirem da
origem, com velocidades iguais em módulo u = c
√
3/3 , formando ângulos de +30◦ e −30◦ com
o eixo x, conforme o painel da direita da Figura 1.
(a) Qual a velocidade do referencial de centro de massa das duas partículas? (0,5)
(b) Calcule as velocidades de A e B, quando observadas no referencial do centro de massa das
duas partículas. (1,0)
(c) Admita que, num determinado instante, a partícula A emita um sinal luminoso de freqüência
própria ν0, na direção de um observador localizado no centro de massa. Calcule a freqüência
ν do sinal medida por esse observador. (1,0)
3
Gabarito da P3 de 2008 – FEP2196 – F´ısica para
Engenharia II
Q1) v = 0.8 c = 4
5
c ⇒ γ = 5
3
(a) Em S’, as coordenadas dos eventos sa˜o:
t′A = 0 , x
′
A = 0
t′B =
L0
c
= 3µs = 3.× 10−6 s , x′B = 900m
t′C =
2L0
c
= 6µs , x′C = 0
Em S, as coordenadas sa˜o obtidas pelas transformac¸o˜es de Lorentz inversas:
tA = 0 , xA = 0
tB = γ(t
′
B +
v
c2
x′B) = 9µs , xB = γ(x
′
B + vt
′
B) = 2700m
tC = 10µs , xC = 2400m
(b) ∆t′ = t′C − t′A = 6µs
(c) ∆t = tC − tA = 10µs = 53∆t′
(d) O sinal de luz e´ emitido no evento A, e chega na extremidade direita no evento B. Como:
xB = vtB + L
⇒ 2700m = 4
5
c ∗ 9µs+ L
⇒ L = 1
5
2700m = 540m
Q2) v = 0.6c = 3
5
c ⇒ γ = 5
4
(a)
D′ =
D
γ
=
4
5
D
(b)
∆t′ =
D′
v
=
4
5
D
3
5
c
=
4
3
D
c
(c)
∆t =
D
v
=
5
3
D
c
(=
5
4
∆t′)
(d)
t1/2 =
1
2
∗ 5
3
D
c
, x1/2 =
1
2
D
⇒ t2 = 5
6
D
c
+
1
2
D
c
=
4
3
D
c
(e) Nesse referencial hipote´tico (S ′′):
∆t′′ = γ(v′′)(∆t− v
′′
c2
∆x)
= γ(v′′)(
5
3
D
c
− v
′′
c
D
c
)
= γ(v′′)(
5
3
− v
′′
c
)
D
c
Como v′′/c < 1, o termo entre pareˆnteses e´ sempre positivo, e portanto ∆t′′ > 0. Portanto, a
resposta e´ NA˜O: na˜o existe nenhum referencial no qual os dois eventos sa˜o simultaˆneos.
Um outro modo de resolver esse u´ltimo item seria utilizando o intervalo invariante: ∆s2 = c2∆t2−
∆x2, cujo valor e´ o mesmo em qualquer referencial. Podemos calcular esse intervalo tanto no
referencial S quanto no referencial S ′, e seu valor e´:
∆s2 = ∆s′2 = +
(
16
15
D
)2
> 0.
Se existisse um referencial S ′′ no qual o intervalo de tempo ∆t′′ = 0, enta˜o:
∆s2 = ∆s′2 = ∆s′′2 = c2∆t′′2 −∆x′′2 = −∆x′′2 < 0 ?! ⇒ absurdo!