aula5 - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos - Argolo

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Controle Digital de Sistemas Dinaˆmicos -
Transformada Z - Definic¸a˜o e Propriedades
Prof. Tales Argolo Jesus
tales@cefetmg.br
Sala 303
CEFET-MG
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 1 / 25
Transformada Z
Transformada de Laplace vs. Transformada Z
SLITs cont´ınuos ⇒ Transformada de Lapace
SLITs discretos ⇒ Transformada Z
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 2 / 25
Transformada Z
Transformada de Laplace vs. Transformada Z
Todo SLIT cont´ınuo, descrito por uma equac¸a˜o diferencial linear de
paraˆmetros contantes, pode ser representando por uma func¸a˜o de
transfereˆncia por meio da aplicac¸a˜o da Transformada de Lapace
Todo SLIT discreto, descrito por uma equac¸a˜o de diferenc¸as linear de
paraˆmetros contantes, pode ser representando por uma func¸a˜o de
transfereˆncia por meio da aplicac¸a˜o da Transformada Z
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 3 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z e´ definida pela expressa˜o abaixo:
X (z) = Z {x(kT )} = Z {x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + . . .
ou, de forma mais compacta,
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k .
Note que se trata de uma expressa˜o semelhante a` Transformada de
Laplace:
X (s) = L{x(t)} =
∫
∞
0
x(t)e−stdt
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 4 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z e´ definida pela expressa˜o abaixo:
X (z) = Z {x(kT )} = Z {x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + . . .
ou, de forma mais compacta,
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k .
Note que se trata de uma expressa˜o semelhante a` Transformada de
Laplace:
X (s) = L{x(t)} =
∫
∞
0
x(t)e−stdt
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 4 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z e´ definida pela expressa˜o abaixo:
X (z) = Z {x(kT )} = Z {x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + . . .
ou, de forma mais compacta,
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k .
Note que se trata de uma expressa˜o semelhante a` Transformada de
Laplace:
X (s) = L{x(t)} =
∫
∞
0
x(t)e−stdt
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 4 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z e´ definida pela expressa˜o abaixo:
X (z) = Z {x(kT )} = Z {x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + . . .
ou, de forma mais compacta,
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k .
Note que se trata de uma expressa˜o semelhante a` Transformada de
Laplace:
X (s) = L{x(t)} =
∫
∞
0
x(t)e−stdt
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 4 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z e´ definida pela expressa˜o abaixo:
X (z) = Z {x(kT )} = Z {x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + . . .
ou, de forma mais compacta,
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k .
Note que se trata de uma expressa˜o semelhante a` Transformada de
Laplace:
X (s) = L{x(t)} =
∫
∞
0
x(t)e−stdt
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 4 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z e´ definida pela expressa˜o abaixo:
X (z) = Z {x(kT )} = Z {x(k)} = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + . . .
ou, de forma mais compacta,
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k .
Note que se trata de uma expressa˜o semelhante a` Transformada de
Laplace:
X (s) = L{x(t)} =
∫
∞
0
x(t)e−stdt
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 4 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z Inversa → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z Inversa e´ definida pela expressa˜o abaixo:
x(k) = Z−1 {X (z)} =
1
2pij
∮
Γ
X (z)zk−1dz
ou seja, trata-se de uma integral de linha ao longo de um caminho
fechado de uma func¸a˜o de uma varia´vel complexa!.
Assim como no caso da Transformada de Laplace, veremos alguns
me´todos alternativos para determinar a Transformada Z Inversa sem
precisar resolver a integral de linha acima.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 5 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z Inversa → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z Inversa e´ definida pela expressa˜o abaixo:
x(k) = Z−1 {X (z)} =
1
2pij
∮
Γ
X (z)zk−1dz
ou seja, trata-se de uma integral de linha ao longo de um caminho
fechado de uma func¸a˜o de uma varia´vel complexa!.
Assim como no caso da Transformada de Laplace, veremos alguns
me´todos alternativos para determinar a Transformada Z Inversa sem
precisar resolver a integral de linha acima.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 5 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z Inversa → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z Inversa e´ definida pela expressa˜o abaixo:
x(k) = Z−1 {X (z)} =
1
2pij
∮
Γ
X (z)zk−1dz
ou seja, trata-se de uma integral de linha ao longo de um caminho
fechado de uma func¸a˜o de uma varia´vel complexa!.
Assim como no caso da Transformada de Laplace, veremos alguns
me´todos alternativos para determinar a Transformada Z Inversa sem
precisar resolver a integral de linha acima.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 5 / 25
Transformada Z
Definic¸a˜o da Transformada Z Inversa → Abordagem axioma´tica
A Transformada Z Inversa e´ definida pela expressa˜o abaixo:
x(k) = Z−1 {X (z)} =
1
2pij
∮
Γ
X (z)zk−1dz
ou seja, trata-se de uma integral de linha ao longo de um caminho
fechado de uma func¸a˜o de uma varia´vel complexa!.
Assim como no caso da Transformada de Laplace, veremos alguns
me´todos alternativos para determinar a Transformada Z Inversa sem
precisar resolver a integral de linha acima.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 5 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Degrau Unita´rio
1(k) =
{
1, k ≥ 0
0, k < 0
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k =
∞∑
k=0
z−k = 1 + z−1 + z−2 + . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 6 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Degrau Unita´rio
1(k) =
{
1, k ≥ 0
0, k < 0
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k =
∞∑
k=0
z−k = 1 + z−1 + z−2 + . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 6 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Degrau Unita´rio
Trata-se de uma se´rie geome´trica:
1
1− x
= 1 + x + x2 + . . . , |x | < 1
Logo, tem-se que:
X (z) =
1
1− z−1
,
∣∣z−1∣∣ < 1
X (z) =
z
z − 1
, |z | > 1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 7 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Degrau Unita´rio
Trata-se de uma se´rie geome´trica:
1
1− x
= 1 + x + x2 + . . . , |x | < 1
Logo, tem-se que:
X (z) =
1
1− z−1
,
∣∣z−1∣∣ < 1
X (z) =
z
z − 1
, |z | > 1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 7 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Impulso Unita´rio
δ(k) =
{
1, k = 0
0, k 6= 0
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 1 + 0z−1 + 0z−2 + . . .→ X (z) = 1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 8 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Impulso Unita´rio
δ(k) =
{
1, k = 0
0, k 6= 0
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 1 + 0z−1 + 0z−2 + . . .→ X (z) = 1
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 8 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Impulso Unita´rio deslocado no tempo
δ(k − k0) =
{
1, k = k0
0, k 6= k0
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 0z0+ . . .+0z−(k0−1)+1z−k0 +0z−(k0+1)+ . . .
X (z) = z−k0
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 9 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Impulso Unita´rio deslocado no tempo
δ(k − k0) =
{
1, k = k0
0, k 6= k0
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 0z0+ . . .+0z−(k0−1)+1z−k0 +0z−(k0+1)+ . . .
X (z) = z−k0
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 9 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Exponencialx(k) = eakT
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 1 + eaT z−1 + e2aT z−2 + . . .
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 1 + eaT z−1 +
(
eaT z−1
)2
+ . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 10 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Exponencial
x(k) = eakT
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 1 + eaT z−1 + e2aT z−2 + . . .
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 1 + eaT z−1 +
(
eaT z−1
)2
+ . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 10 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Exponencial
x(k) = eakT
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 1 + eaT z−1 + e2aT z−2 + . . .
X (z) =
∞∑
k=0
x(k)z−k = 1 + eaT z−1 +
(
eaT z−1
)2
+ . . .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 10 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Exponencial
Trata-se de uma se´rie geome´trica de raza˜o eaT z−1. Logo:
X (z) =
1
1− eaT z−1
,
∣∣eaT z−1∣∣ < 1
X (z) =
z
z − eaT
, |z | > eaT
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 11 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Exponencial
Trata-se de uma se´rie geome´trica de raza˜o eaT z−1. Logo:
X (z) =
1
1− eaT z−1
,
∣∣eaT z−1∣∣ < 1
X (z) =
z
z − eaT
, |z | > eaT
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 11 / 25
Transformada Z de alguns Sinais Elementares
Transformada Z do Sinal Exponencial
Trata-se de uma se´rie geome´trica de raza˜o eaT z−1. Logo:
X (z) =
1
1− eaT z−1
,
∣∣eaT z−1∣∣ < 1
X (z) =
z
z − eaT
, |z | > eaT
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 11 / 25
Propriedades da Transformada Z
1. Linearidade
Z {a1x1(k)± a2x2(k)} = a1Z {x1(k)} ± a2Z {x2(k)}
Z {a1x1(k)± a2x2(k)} = a1X1(z)± a2X2(z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 12 / 25
Propriedades da Transformada Z
1. Linearidade
Z {a1x1(k)± a2x2(k)} = a1Z {x1(k)} ± a2Z {x2(k)}
Z {a1x1(k)± a2x2(k)} = a1X1(z)± a2X2(z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 12 / 25
Propriedades da Transformada Z
2. Deslocamento no Tempo (Translac¸a˜o Real)
Z {x(k − k0)1(k − k0)} = z
−k0X (z)
Z {x(k + k0)1(k)} = z
k0
[
X (z)−
k0−1∑
k=0
x(k)z−k
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 13 / 25
Propriedades da Transformada Z
2. Deslocamento no Tempo (Translac¸a˜o Real)
Z {x(k − k0)1(k − k0)} = z
−k0X (z)
Z {x(k + k0)1(k)} = z
k0
[
X (z)−
k0−1∑
k=0
x(k)z−k
]
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 13 / 25
Propriedades da Transformada Z
2. Deslocamento no Tempo (Translac¸a˜o Real) - Exerc´ıcio
Qual e´ a Transformada Z de um degrau de amplitude 7 atrasado em 5
amostras?
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 14 / 25
Propriedades da Transformada Z
2. Deslocamento no Tempo (Translac¸a˜o Real) - Exerc´ıcio
Z {1(k)} =
z
z − 1
Z {7.1(k − 5)} = 7
(
z
z − 1
)
z−5
Z {7.1(k − 5)} =
7
z4(z − 1)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 15 / 25
Propriedades da Transformada Z
2. Deslocamento no Tempo (Translac¸a˜o Real) - Exerc´ıcio
Z {1(k)} =
z
z − 1
Z {7.1(k − 5)} = 7
(
z
z − 1
)
z−5
Z {7.1(k − 5)} =
7
z4(z − 1)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 15 / 25
Propriedades da Transformada Z
2. Deslocamento no Tempo (Translac¸a˜o Real) - Exerc´ıcio
Z {1(k)} =
z
z − 1
Z {7.1(k − 5)} = 7
(
z
z − 1
)
z−5
Z {7.1(k − 5)} =
7
z4(z − 1)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 15 / 25
Propriedades da Transformada Z
3. Multiplicac¸a˜o por sequeˆncia exponencial (translac¸a˜o complexa)
Z
{
eakx(k)
}
= X
(
ze−a
)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 16 / 25
Propriedades da Transformada Z
3. Multiplicac¸a˜o por sequeˆncia exponencial (translac¸a˜o complexa) -
Exerc´ıcio
Determine a transformada Z do sinal x(k) = keak .
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 17 / 25
Propriedades da Transformada Z
3. Multiplicac¸a˜o por sequeˆncia exponencial (translac¸a˜o complexa) -
Exerc´ıcio
Partindo-se do fato de que
Z {k} =
z
(z − 1)2
,
a propriedade de translac¸a˜o complexa pode ser usada para se
determinar X (z):
X (z) =
z
(z − 1)2
∣∣∣∣
z←ze−a
X (z) =
ze−a
(ze−a − 1)2
=
zea
(z − ea)2
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 18 / 25
Propriedades da Transformada Z
3. Multiplicac¸a˜o por sequeˆncia exponencial (translac¸a˜o complexa) -
Exerc´ıcio
Partindo-se do fato de que
Z {k} =
z
(z − 1)2
,
a propriedade de translac¸a˜o complexa pode ser usada para se
determinar X (z):
X (z) =
z
(z − 1)2
∣∣∣∣
z←ze−a
X (z) =
ze−a
(ze−a − 1)2
=
zea
(z − ea)2
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 18 / 25
Propriedades da Transformada Z
3. Multiplicac¸a˜o por sequeˆncia exponencial (translac¸a˜o complexa) -
Exerc´ıcio
Partindo-se do fato de que
Z {k} =
z
(z − 1)2
,
a propriedade de translac¸a˜o complexa pode ser usada para se
determinar X (z):
X (z) =
z
(z − 1)2
∣∣∣∣
z←ze−a
X (z) =
ze−a
(ze−a − 1)2
=
zea
(z − ea)2
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 18 / 25
Propriedades da Transformada Z
4. Teorema do Valor Inicial
x(0) = lim
z→∞
X (z)
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 19 / 25
Propriedades da Transformada Z
5. Teorema do Valor Final
lim
k→∞
x(k) = lim
z→1
(z − 1)X (z)
Este resultado e´ valido desde que o limite do lado esquerdo da
equac¸a˜o exista (seja finito)
Este resultado e´ valido se todos os po´los estiverem dentro do c´ırculo
de raio unita´rio no plano z, com no ma´ximo um po´lo em z = 1.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 20 / 25
Propriedades da Transformada Z
5. Teorema do Valor Final
lim
k→∞
x(k) = lim
z→1
(z − 1)X (z)
Este resultado e´ valido desde que o limite do lado esquerdo da
equac¸a˜o exista (seja finito)
Este resultado e´ valido se todos os po´los estiverem dentro do c´ırculo
de raio unita´rio no plano z, com no ma´ximo um po´lo em z = 1.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 20 / 25
Propriedades da Transformada Z
5. Teorema do Valor Final
lim
k→∞
x(k) = lim
z→1
(z − 1)X (z)
Este resultado e´ valido desde que o limite do lado esquerdo da
equac¸a˜o exista (seja finito)
Este resultado e´ valido se todos os po´los estiverem dentro do c´ırculo
de raio unita´rio no plano z, com no ma´ximo um po´lo em z = 1.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 20 / 25
Propriedades da Transformada Z
Teorema do Valor Inicial e Teorema do Valor Final
Verifique a validade de ambos os teoremas para o sinal x(k) = ak1(k).
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 21 / 25
Propriedades da Transformada Z
6. Teorema da Convoluc¸a˜o
Z {x1(k) ∗ x2(k)} = X1(z)X2(z)
Aplicada ao contexto de sistemas dinaˆmicos:
y(k) = h(k) ∗ u(k)⇒ Y (z) = H(z)U(z)
H(z) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia discreta → Transformada Z da
resposta ao impulso
H(z) =
∞∑
k=0
h(k)z−k
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 22 / 25
Propriedades da Transformada Z
6. Teorema da Convoluc¸a˜o
Z {x1(k) ∗ x2(k)} = X1(z)X2(z)
Aplicada ao contexto de sistemas dinaˆmicos:
y(k) = h(k) ∗ u(k)⇒ Y (z) = H(z)U(z)
H(z) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia discreta → Transformada Z da
resposta ao impulso
H(z) =
∞∑
k=0
h(k)z−k
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 22 / 25
Propriedades da Transformada Z
6. Teorema da Convoluc¸a˜o
Z {x1(k) ∗ x2(k)} = X1(z)X2(z)
Aplicada ao contexto de sistemas dinaˆmicos:
y(k) = h(k) ∗ u(k)⇒ Y (z) = H(z)U(z)
H(z) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia discreta → Transformada Z da
resposta ao impulso
H(z) =
∞∑
k=0
h(k)z−k
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 22 / 25
Propriedades da Transformada Z
6. Teorema da Convoluc¸a˜o
Z {x1(k) ∗ x2(k)} = X1(z)X2(z)
Aplicada ao contexto de sistemas dinaˆmicos:
y(k) = h(k) ∗ u(k)⇒ Y (z) = H(z)U(z)
H(z) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia discreta → Transformada Z da
resposta ao impulso
H(z) =∞∑
k=0
h(k)z−k
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 22 / 25
Propriedades da Transformada Z
6. Teorema da Convoluc¸a˜o
Z {x1(k) ∗ x2(k)} = X1(z)X2(z)
Aplicada ao contexto de sistemas dinaˆmicos:
y(k) = h(k) ∗ u(k)⇒ Y (z) = H(z)U(z)
H(z) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia discreta → Transformada Z da
resposta ao impulso
H(z) =
∞∑
k=0
h(k)z−k
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 22 / 25
Exerc´ıcios de aplicac¸a˜o
Exerc´ıcio 1
Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia do modelo ideal da conta corrente.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 23 / 25
Exerc´ıcios de aplicac¸a˜o
Exerc´ıcio 2
Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia do modelo da conta corrente com uma
taxa dia´ria de 0,2%.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 24 / 25
Exerc´ıcios do livro-texto
Digital Control System Analysis and Design (Phillips and Nagle)
3a edic¸a˜o: 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4.
4a edic¸a˜o: 2.3-1, 2.3-2, 2.3-3 e 2.5-2.
Tales A. Jesus (CEFET-MG) Aula 5 25 / 25
	Introdução