MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO 6 PARTE 2

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Aula 5 – Senado Federal – Parte 2 
Estatística ...................................................................................................................................... 2 
Classe ............................................................................................................................................. 8 
Limites de classe ............................................................................................................................ 8 
Amplitude de um intervalo de classe ............................................................................................ 9 
Amplitude total da Distribuição .................................................................................................... 9 
Ponto médio de uma classe .......................................................................................................... 9 
Tipos de frequências ................................................................................................................... 10 
Medidas de Posição ..................................................................................................................... 15 
Médias ......................................................................................................................................... 15 
Propriedades da média aritmética .............................................................................................. 19 
Cálculo Simplificado da Média Aritmética .................................................................................. 21 
Mediana (Md) .............................................................................................................................. 35 
Moda ........................................................................................................................................... 49 
Moda Bruta ................................................................................................................................. 51 
Processo de Czuber ..................................................................................................................... 51 
Processo de King ......................................................................................................................... 52 
Propriedades da Moda ................................................................................................................ 53 
Medidas de dispersão ou variabilidade ...................................................................................... 55 
Desvio Absoluto Médio (Dm) ...................................................................................................... 56 
Desvio padrão e Variância ........................................................................................................... 61 
Propriedades da Variância .......................................................................................................... 68 
Propriedades do Desvio‐padrão .................................................................................................. 69 
Método simplificado para o desvio padrão e variância .............................................................. 71 
Medida de dispersão relativa ...................................................................................................... 77 
Coeficiente de Variação de Pearson (CVP) .................................................................................. 77 
Relação das questões comentadas nesta aula ............................................................................ 80 
Gabaritos ..................................................................................................................................... 93 
 
 
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Estatística 
 
 A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem na história 
do homem. Desde a Antiguidade, vários povos registravam o número de 
habitantes, de nascimentos, de óbitos, distribuíam equitativamente terras ao 
povo. Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades 
tributárias ou bélicas. No início do século XVIII o estudo de tais fatos foi 
adquirindo feição verdadeiramente científica. A palavra foi proposta pela 
primeira vez no século XVII, em latim, por Schmeitzel na Universidade de Lena 
e adotada pelo acadêmico alemão Godofredo Achenwall. 
 As tabelas tornaram-se mais completas, surgiram as representações 
gráficas e o cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser uma 
simples catalogação de dados numéricos para se tornar o estudo de “como 
chegar a conclusões sobre o todo (população), partindo da observação 
de partes do todo (amostras)”. 
 Podemos dizer, então, que a Estatística é uma parte da Matemática 
Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise 
e interpretação de dados para a utilização dos mesmos na tomada de 
decisões. 
 A coleta, organização e a descrição dos dados estão a cargo da 
Estatística Descritiva. A análise e a interpretação dos dados ficam a cargo da 
Estatística Inferencial. 
O aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos inferenciais, 
que permitam obter conclusões que transcendam os dados obtidos 
inicialmente. 
Vamos à primeira fase de um processo estatístico. Imagine que você foi o 
encarregado para fazer uma pesquisa sobre a altura dos alunos do Ponto dos 
Concursos. Como são muitos alunos, você decidiu realizar uma pesquisa com 
apenas 40 alunos. Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às 
estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do 
Ponto, resultando a seguinte tabela de valores: 
 
166 160 161 150 162 160 165 167
164 160 162 161 168 163 156 173
160 155 164 168 155 152 163 160
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155 155 169 151 170 164 154 161
156 172 153 157 156 158 158 161
 
Obviamente, quando você começa a sua pesquisa, os seus dados não estão 
organizados. A esses dados desorganizados denominamos dados brutos. 
A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, 
denominamos tabela primitiva. 
O próximo passo, após realizar a coleta dos dados, é organizar esses dados 
em ordem crescente ou decrescente. Denominamos os dados dispostos em 
ordem crescente ou decrescente de rol. 
Em suma, um rol é um arranjo de dados numéricos brutos em ordem crescente 
ou decrescente. Colocar os dados brutos em rol é uma das fases da 
Estatística Descritiva. 
À diferença entre o maior e o menor número do rol chama-se amplitude total 
dos dados. 
Então vamos lá... Coloquemos os dados em ordem crescente! 
 
150 155 156 160 161 162 164 168
151 155 156 160 161 163 165 169
152 155 157 160 161 163 166 170
153 155 158 160 161 164 167 172
154 156 158 160 162 164 168 173
 
Um pouco melhor ou não? 
Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150 cm) 
e qual a maior (173 cm); que a amplitude total de variação foi de 173 – 150 = 
23 cm. 
01. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – 
FEPESE/2006) Verifique os conjuntos A, B, C e D abaixo, no formato de rol e 
assinale a alternativa correta. 
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a) A amplitude total do conjunto C é igual a 0,28. 
b) Não é possível calcular a amplitude total do conjunto D, pois estamos diante 
de um roldecrescente. 
c) A amplitude de todos os conjuntos é igual a 7. 
d) A amplitude total do conjunto A é 2,1. 
e) A amplitude total do conjunto B é o dobro da amplitude total do conjunto A. 
Resolução 
O primeiro passo é organizar os conjuntos A, B, C e D em formato de rol. Tanto 
faz organizar em ordem crescente ou decrescente. Por questão de costume, 
organizarei em ordem crescente. 
A 0,05 0,5 1 2 3 5 5,1 
B 0,25 0,5 1 3 7 10 10,35 
C 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 
D 1 2 2 3 3 4 5 
A amplitude total de um conjunto é a diferença entre o maior elemento e o 
menor elemento. Assim: 
 
a) A amplitude total do conjunto C é igual a 0,07 – 0,01 = 0,06. A letra A é, 
portanto, falsa. 
 
b) A amplitude total do conjunto D é 5 – 1 = 4. A letra B é, portanto, falsa. 
 
c) A amplitude de todos os conjuntos é igual a 10,35 – 0,01 =10,34. A letra C é, 
portanto, falsa. 
 
d) A amplitude total do conjunto A é igual a 5,1 – 0,05 = 5,05. A letra D é, 
portanto, falsa. 
 
e) A amplitude total do conjunto B é igual a 10,35 – 0,25 = 10,1. Portanto a 
amplitude total do conjunto B é o dobro da amplitude total do conjunto A e a 
alternativa E é verdadeira. 
 
Letra E 
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02. (Auditor Interno do Poder Executivo- Secretarias de Estado da Fazenda e 
da Administração – 2005 – FEPESE) Os pesos de 80 pacientes internados em 
um hospital estão relacionados na tabela abaixo. 
 
Com referência a essa tabela, determine a amplitude total. Assinale a única 
alternativa correta. 
a) 49 
b) 53 
c) 79 
d) 80 
e) 97 
 
Resolução 
 
A amplitude total de um conjunto é a diferença entre o maior elemento e o 
menor elemento. 
 
O maior elemento desse conjunto é 99 (4ª coluna e 6ª linha) e o menor 
elemento é 50 (9ª coluna e 7ª linha). Assim a amplitude total é 
99 – 50 = 49. 
 
Letra A 
 
Vamos começar um estudo pormenorizado das distribuições de frequências, 
seus elementos e propriedades. 
Voltemos ao exemplo inicial de nossa aula para entendermos as próximas 
explicações. 
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Imagine que você foi o encarregado de fazer uma pesquisa sobre a altura dos 
alunos do Ponto dos Concursos. Como são muitos alunos, você decidiu realizar 
uma pesquisa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feito uma coleta de 
dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra 
dos alunos do Ponto, resultando a seguinte tabela de valores: 
 
166 160 161 150 162 160 165 167
164 160 162 161 168 163 156 173
160 155 164 168 155 152 163 160
155 155 169 151 170 164 154 161
156 172 153 157 156 158 158 161
 
Denominamos os dados dispostos em ordem crescente ou decrescente de rol. 
150 155 156 160 161 162 164 168
151 155 156 160 161 163 165 169
152 155 157 160 161 163 166 170
153 155 158 160 161 164 167 172
154 156 158 160 162 164 168 173
 
Denominamos frequência o número de alunos que fica relacionado a um 
determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome 
de distribuição de frequência. 
Por exemplo, temos 4 alunos com 161 cm de altura. Portanto 4 é a frequência 
do dado 161 cm. 
Vamos relacionar cada dado com a sua frequência correspondente. 
 
Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq. 
150 1 158 2 167 1 
151 1 160 5 168 2 
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152 1 161 4 169 1 
153 1 162 2 170 1 
154 1 163 2 172 1 
155 4 164 3 173 1 
156 3 165 1 
157 1 166 1 Total 40 
 
O processo dado é ainda inconveniente, já que exige muito espaço, mesmo 
quando o número de valores da variável é de tamanho razoável. Sendo 
possível, a solução mais aceitável, pela própria natureza da variável contínua, 
é o agrupamento em vários intervalos. 
Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 158 (154 ≤ x< 158), em vez 
de dizermos que a estatura de 1 aluno é 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de 3 
alunos, 156 cm; e de 1 aluno, 157 cm, diremos que 9 alunos têm estaturas 
entre 154, inclusive, e 158 cm, exclusive. Deste modo, estaremos agrupando 
os valores da variável em intervalos, sendo que, em Estatística, preferimos 
chamar os intervalos de classes. 
O símbolo ٟ será muito utilizado e significa que incluímos o limite inferior 
do intervalo e excluímos o limite superior do intervalo. 
Chamando de frequência de uma classe o número de valores da variável 
pertencentes à classe, os dados da tabela acima podem ser dispostos como na 
próxima tabela, denominada distribuição de frequência com intervalos de 
classe: 
Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos 
Estaturas (cm) Frequência
150 154 4 
154 158 9 
158 162 11 
162 166 8 
166 170 5 
170 174 3 
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Total 40 
 
Ao agruparmos os valores da variável em classes, ganhamos em simplicidade, 
mas perdemos em pormenores. Não sabemos mais qual a altura exata de cada 
um dos alunos. 
O que pretendemos com a construção dessa nova tabela, é realçar o que há de 
essencial nos dados e, também tornar possível o uso de técnicas analíticas 
para sua total descrição, até porque a Estatística tem por finalidade específica 
analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados. 
Analisemos, agora, detalhadamente, cada um dos elementos de uma 
distribuição de frequências. 
Elementos de uma distribuição de frequência 
Estaturas de 40 alunos Ponto dos Concursos 
Estaturas (cm) Frequência
150ٟ154 4 
154ٟ158 9 
158ٟ162 11 
162ٟ166 8 
166ٟ170 5 
170ٟ174 3 
Total 40 
 
Classe 
É cada um dos grupos ou intervalos obtidos a partir do agrupamento ou 
conjunto de dados. 
Por exemplo, a terceira classe é 158ٟ162. 
Limites de classe 
Denominamos limites de classe os extremos de cada classe. O menor 
número é o limite inferior da classe ( infl ) e o maior número, o limite superior 
da classe ( supl ). Na segunda classe, por exemplo, temos: 
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inf 154l = e sup 158l = 
Amplitude de um intervalo de classe 
 
Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe 
é a medida do intervalo que define a classe. É obtida pela diferença entre os 
limites superior e inferior dessa classe e designamos por h . Assim, 
sup infh l l= − 
Por exemplo, na terceira classe da tabela acima, temos: 
162 158 4h = − = 
Amplitude total da Distribuição 
 
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da 
última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe 
(limite inferior mínimo). 
máx mínAT l l= − 
Em nosso exemplo, temos: 
174 150 24 24AT AT cm= − = ⇒ = 
É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a rela 
AT K h= ⋅ . Essa expressão é de fácil compreensão, visto que são 6 classes e 
que a amplitude de cada classe é igual a 4. Assim, a amplitude total é igual a 6 
x 4 = 24. 
 
Ponto médio de uma classe 
 
Ponto médio de uma classe ( ix ) é, como o próprio nome indica, o ponto que 
divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Para obtermos o ponto 
médio de uma classe, calculamos a média aritmética dos limites da classe. 
inf suplim lim
2
i i
ix
+= 
Assim, o ponto médio da quarta classe, em nosso exemplo é: 
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www.pontodosconcursos.com.br4 4inf sup
4 4
lim lim 162 166 164
2 2
x x
+ += ⇒ = = 
4 164x cm= 
O ponto médio de uma classe é o valor que a representa. 
Se as amplitudes dos intervalos de classes forem constantes (como 
aconteceu no nosso exemplo), podemos calcular os pontos médios das 
classes da seguinte maneira: 
i) Calculamos o primeiro ponto médio. 
ii) Para calcular os próximos pontos médios, basta adicionar a amplitude 
de cada classe ao ponto médio da classe anterior. 
Dessa forma, como o primeiro ponto médio é 152 cm, o próximo ponto 
médio é 152 + 4 = 156. O terceiro ponto médio é 156 + 4 = 160 cm. 
Estaturas (cm) Xi 
150ٟ154 152 
154ٟ158 156 
158ٟ162 160 
162ٟ166 164 
166ٟ170 168 
170ٟ174 172 
 
Tipos de frequências 
 
Frequências simples ou absolutas ( if ) 
São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. 
A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados. 
1
k
i
i
f n
=
=∑ 
O símbolo ∑ significa somatório. Nesse caso, como k = 6 (número de classes), 
então 
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෍ ௜݂
଺
௜ୀଵ
 ݏ݂݅݃݊݅݅ܿܽ ݍݑ݁ ݋ í݊݀݅ܿ݁ ݅ ݒܽݎ݅ܽ ݀݁ 1 ܽ 6. 
෍ ௜݂
଺
௜ୀଵ
ൌ ଵ݂ ൅ ଶ݂ ൅ ଷ݂ ൅ ସ݂ ൅ ହ݂ ൅ ଺݂ ൌ 4 ൅ 9 ൅ 11 ൅ 8 ൅ 5 ൅ 3 ൌ 40 
 Frequências relativas ( ifr ) 
São os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total, 
normalmente expressas em porcentagem. 
i
iffr
n
= 
Lembre-se que para transformar qualquer fração para a forma percentual 
devemos multiplicá-la por 100%. 
No nosso exemplo, a freqüência relativa da terceira classe é: 
3
3 3
11 100% 27,5% 27,5%
40 40
ffr fr= = ⋅ = ∴ = 
 
Evidentemente o somatório das frequências relativas é igual a 1 (100%). O 
propósito das frequências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as 
comparações de cada classe com o total de observações. 
Frequência absoluta acumulada crescente – “abaixo de” ( fac ) 
É o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do 
intervalo de uma dada classe. 
1 2 ...i ifac f f f= + + + 
O procedimento para o cálculo desta frequência é o seguinte: 
i) Repete-se a frequência absoluta da primeira classe. 
ii) Para calcular a próxima frequência acumulada, devemos somar a frequência 
acumulada anterior com a frequência absoluta da classe correspondente. 
 
 
 
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Estaturas 
(cm) 
if fac 
150 154 4 4 
154 158 9 13 
158 162 11 24 
162 166 8 32 
166 170 5 37 
170 174 3 40 
Total 40 
 
O que significa existirem 24 alunos com estatura abaixo de 162 cm (limite 
superior da terceira classe). 
 Frequência absoluta acumulada decrescente ( fad ) 
É o total das frequências de todos os valores superiores ao limite inferior do 
intervalo de uma dada classe. 
1 ...i i i kfad f f f+= + + + 
O procedimento para o cálculo desta frequência é o seguinte: 
i) Repete-se a frequência absoluta da última classe. 
ii) Para calcular a próxima frequência acumulada (de baixo para cima), 
devemos somar a frequência acumulada anterior com a frequência absoluta da 
classe correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
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Estaturas 
(cm) 
if fad 
150 154 4 40 
154 158 9 36 
158 162 11 27 
162 166 8 16 
166 170 5 8 
170 174 3 3 
Total 40 
 
O que significa existirem 27 alunos com estatura igual ou superior a 158 cm 
(limite inferior da terceira classe). 
Podemos representar essas frequências acumuladas na forma percentual 
(frequência relativa acumulada) dividindo pelo total de observações (n) e 
multiplicando por 100%. 
03. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – 
FEPESE/2006) Em uma pesquisa realizada em uma empresa prestadora de 
serviços de limpeza, obteve-se a distribuição de freqüência apresentada na 
tabela que segue. Analise os dados e assinale a alternativa correta. 
 
 
a) Somente 5% dos empregados recebem o salário com valor superior a R$ 
1.400,00. 
b) O valor médio de salário da empresa é de R$ 799,00. 
c) A porcentagem de empregados que ganham salários dentro da primeira 
classe estabelecida é de 10%. 
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d) A porcentagem de empregados que ganham menos que R$ 1.100,00 por 
mês é de 50 %. 
e) 25% dos empregados recebem um salário entre R$ 1.100,00 e R$ 1.200,00. 
Resolução 
O total de empregados é igual a 96 (basta somar as frequências das classes). 
a) Quantos empregados recebem salário com valor superior a 
R$ 1.400,00? 
A resposta dessa pergunta é a frequência da última classe: quatro. 
Como queremos expressar essa quantidade em termos percentuais, devemos 
dividi-la pelo total de empregados. 
4
96
· 100% ؆ 4,17% 
Falsa 
b) Ainda não estudamos “valor médio”. Esta alternativa também é falsa. 
c) Para calcular a porcentagem de empregados que ganham salários dentro da 
primeira classe, devemos dividir a frequência da primeira classe por 96 e 
multiplicar por 100%. 
8
96
· 100% ؆ 8,34% 
Falsa 
d) Os empregados que ganham menos que R$ 1.100,00 pertencem à primeira, 
segunda, terceira e quarta classes. 
 
Temos 8 + 10 + 16 + 14 = 48 empregados (frequência acumulada crescente). 
Para expressar esse número em termos percentuais, devemos dividir por 96 e 
multiplicar por 100%. 
48
96
· 100% ൌ 50% 
Verdadeiro! 
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e) São 25 empregados que recebem o salário entre R$ 1.100,00 e R$ 1.200,00 
e esse número, em termos percentuais é 
25
96
· 100% ؆ 26,04% 
Falsa 
Letra D 
Medidas de Posição 
 
Nos itens anteriores, vimos como resumir um conjunto de dados em tabelas de 
frequência e também como representá-los graficamente. Agora, a partir dos 
valores assumidos por uma variável quantitativa, vamos estabelecer medidas 
correspondentes a um resumo da distribuição de tais valores. Estabeleceremos 
um valor médio ou central e um valor indicativo do grau de variabilidade ou 
dispersão em torno do valor central. Como valores centrais vamos estudar a 
média, a mediana (e outras medidas separatrizes como o decil, quartil, 
percentil, etc) e a moda. 
Médias 
 
Uma ideia bastante importante é a de média. Estudaremos apenas a média 
aritmética. 
Vejamos um exemplo. 
Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, 
foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos para produção média da semana: 
 
10 14 13 15 16 18 12 98 14
7 7
x + + + + + += = = 
Logo, 14 litrosx = . 
Ou seja, para calcular a média aritmética de uma lista de números, devemos 
somar os valores e dividir pela quantidade de dados. 
1 2 3 ... nx x x xx
n
+ + + += 
Em suma, média aritmética para o rol é o quociente da divisão da soma dos 
valores da variável pelo número deles: 
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ixx
n
= ∑ 
Dados agrupados 
●Sem intervalos de classe 
Consideramos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando 
para variável o número de filhos do sexo masculino. 
Nº de 
meninos 
fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
 
Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de 
cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos 
levaa calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula: 
i ix fx
n
⋅= ∑ 
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma 
coluna correspondente aos produtos i ix f . 
ix if i ix f 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
 78i ix f =∑
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Î A primeira linha nos diz que existem 2 famílias com nenhum filho 
homem, totalizando 0 filhos. 
Î A segunda linha nos diz que existem 6 famílias com 1 filho homem, 
totalizando 6 filhos homens. 
Î A terceira linha nos diz que existem 10 famílias com 2 filhos homens, 
totalizando 20 filhos homens. 
E assim sucessivamente. No total, essas 34 famílias, possuem juntas 78 filhos 
homens. 
Temos, então: 
78 2,3
34
i ix fx
n
= = =∑ 
Isto é, 
2,3 meninosx = 
Observação: Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado 
obtido, 2 meninos e 3 décimos de menino? O valor médio 2,3 meninos sugere, 
neste caso, que o maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, 
sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em 
relação ao número de meninos. 
● Com intervalos de classe 
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um 
determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e 
determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula 
i ix fx
n
= ∑ 
Onde xi é o ponto médio da classe. 
Ora, quando temos dados distribuídos em classes perdemos informações. Não 
temos mais as alturas exatas de cada um dos alunos. Olhe, por exemplo, para 
a segunda classe da tabela seguinte. Temos 9 alunos com a altura entre 154 
(inclusive) e 158 cm. Não sabemos a altura de cada um dos 9 alunos. 
Convencionamos que os 9 alunos possuem 156 cm (ponto médio da classe). 
 
 
 
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Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos 
Estaturas 
(cm) 
Frequência
150 154 4 
154 158 9 
158 162 11 
162 166 8 
166 170 5 
170 174 3 
Total 40 
 
Vamos, inicialmente, abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os 
produtos i ix f . 
Estaturas 
(cm) 
if ix i ix f 
150 154 4 152 608 
154 158 9 156 1404 
158 162 11 160 1760 
162 166 8 164 1312 
166 170 5 168 840 
170 174 3 172 516 
Total 40 6440i ix f =∑
Neste caso, 
 
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6440 161 cm
40
i ix fx
n
= = =∑ 
 
Vamos agora conhecer algumas propriedades importantíssimas sobre média 
aritmética para que possamos garantir alguma eventual questão teórica sobre 
este assunto e aproveitar para aprendermos um método mais fácil para calcular 
média aritmética em distribuições de frequências. 
Propriedades da média aritmética 
 
i) A média aritmética sempre existe e é única. 
ii) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de 
uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa 
constante. 
iii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por 
uma constante c , a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por 
essa constante. 
iv) A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula. 
v) A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média 
aritmética é um valor mínimo. 
 
Vamos verificar essas propriedades através de exemplos. 
Consideremos a sequência de dados (2,4,6,8,10,10,12,12), calculemos sua 
média e verifiquemos as propriedades acima: 
2 4 6 8 10 10 12 12
8
x + + + + + + += 
8x∴ = 
Consideremos uma constante c=2. Adicionando essa constante a todos os 
valores da sequência acima, temos a sequência (4,6,8,10,12,12,14,14). 
E a nova média será: 
4 6 8 10 12 12 14 14'
8
x + + + + + + += 
' 10x∴ = 
Observe que ' 2x x= + . 
Multipliquemos agora a constante c=2 e obtemos a sequência 
(4,8,12,16,20,20,24,24) cuja média é: 
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4 8 12 16 20 20 24 24''
8
x + + + + + + += 
'' 16x∴ = 
Observe que '' 2x x= ⋅ . 
Ainda trabalhando na sequência (2,4,6,8,10,10,12,12). 
Sabemos que a média aritmética desse conjunto de dados é 8x = . 
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de 
um conjunto de valores e a média aritmética. Para o exemplo dado, temos: 
1 1 5 5
2 2 6 6
3 3 7 7
4 4 8 8
6 2
4 2
2 4
0 4
d x x d x x
d x x d x x
d x x d x x
d x x d x x
= − = − = − =
= − = − = − =
= − = − = − =
= − = = − =
 
Facilmente verificamos que a soma dos desvios em relação à média é igual a 
zero. De fato, 
6 4 2 0 2 2 4 0id =− − − + + + + =∑ 
Finalmente, verifiquemos a 5ª propriedade. 
Calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2( 6) ( 4) ( 2) 0 2 2 4 4id = − + − + − + + + + +∑ 
2 96id =∑ 
A propriedade nos diz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínimo. 
Isso porque, se construirmos um conjunto dos desvios 'id formado pela 
diferença entre os elementos ix do conjunto e uma constante que não seja a 
média, ou seja, um conjunto dos desvios em torno de um valor qualquer 
diferente da média e, feito isso, acharmos o conjunto 2( ')id e em seguida 
calcularmos o seu somatório 2( ')id∑ , este último valor será maior do que 96. 
Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação ao 
número 5 (diferente da média aritmética 8). 
2 2 2 2 2 2 2 2 2( ') ( 3) ( 1) 1 3 5 5 7 7id = − + − + + + + + +∑ 
2( ') 168id =∑ 
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Assim, 2 2( ') ( )i id d>∑ ∑ . 
De posse dessas propriedades, vamos aprender um método simplificado 
(através de uma questão resolvida) para o cálculo da média aritmética em 
distribuições de frequências. Esse método só é válido nos casos em que as 
amplitudes das classes são constantes! 
Cálculo Simplificado da Média Aritmética 
 
04. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) A tabela 
abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas 
frequências. Não há observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes (em kgf) Frequências
40 – 50 2 
50 – 60 5 
60 – 70 7 
70 – 80 8 
80 – 90 3 
 
O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é 
(A) 60 
(B) 65 
(C) 67 
(D) 70 
(E) 75 
Resolução I 
Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências, 
convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado 
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio. 
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Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes 
(xi) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas 
frequências. 
O ponto médio é a média aritmética dos extremos da classe. Por exemplo, o 
ponto médio da primeira classe é 
40 50 90 45
2 2
+ = = . 
 
Classes (em kgf) Frequências xi xi.fi 
40 – 50 2 45 90 
50 – 60 5 55 275 
60 – 70 7 65 455 
70 – 80 8 75 600 
80 – 90 3 85 255 
 
Basta-nos agora somar os valores da coluna i ix f e dividir pela quantidade de 
observações. 
 
90 275 455 600 255 1675 67
2 5 7 8 3 25
i ix fx kgf
n
+ + + += = = =+ + + +
∑
 
Letra C 
Resolução II 
Baseado nas propriedades da média aritmética que descrevi na anteriormente, 
podemosagora resolver essa questão usando um artifício: calcular a média 
com o auxílio da variável transformada. 
Este método que irei descrever só poderá ser utilizado se as amplitudes 
de TODAS classes forem iguais. No nosso exemplo, as amplitudes de 
todas as classes são iguais a 10 kgf (50 – 40 = 60 – 50 = ... = 90 – 80 = 10). 
Média aritmética 
i) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante qualquer de todos os 
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou 
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diminuída) dessa constante. 
ii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por 
uma constante qualquer, a média do conjunto fica multiplicada (ou 
dividida) por essa constante. 
 
 A mudança de variável será feita da seguinte forma: subtrairemos 
certa constante a todos os valores da variável. Assim, a média aritmética 
também será subtraída. Em seguida, dividiremos por outra constante 
todos os valores obtidos. Assim, a média aritmética será dividida por 
essa constante. 
 A constante que iremos subtrair será qualquer um dos pontos 
médios. A constante que iremos dividir será a amplitude das classes. 
Daremos origem a uma variável Y definida por 
iX XY
h
−= , onde Xi é o 
ponto médio de uma classe qualquer e h é amplitude das classes. 
Daremos preferência ao ponto médio da primeira classe! Dessa forma, a 
variável transformada será 
45
10
XY −= . 
Assim, 
1
45 45 0
10
Y −= = 2 55 45 110Y
−= = 3 65 45 210Y
−= = 
4
75 45 3
10
Y −= = 5 85 45 410Y
−= = 
Não foi coincidência!! Se fizermos essa mudança de variável (subtrair o 
ponto médio da primeira classe e dividir pela amplitude das classes), a 
variável transformada sempre assumirá os valores 0,1,2,3,4,... 
Construímos a seguinte tabela: 
yi Frequências
0 2 
1 5 
2 7 
3 8 
4 3 
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Calcularemos a média aritmética da variável transformada Y. Para isso, 
multiplicaremos os valores obtidos pelas suas respectivas frequências: 
yi Frequências yi.fi 
0 2 0 
1 5 5 
2 7 14 
3 8 24 
4 3 12 
 
A média será 
0 5 14 24 12 55 2, 2
2 5 7 8 3 25
i iy fy kgf
n
+ + + += = = =+ + + +
∑
. 
 
Essa é a média da variável transformada Y! 
Se 
45
10
XY −= , então concluímos que 10 45X Y= ⋅ + . 
Agora aplicamos as propriedades da média aritmética. A média de X será 
a média de Y multiplicada por 10 e adicionada 45 unidades. 
Se X aY b= + , então X aY b= + 
 
10 2,2 45 67X kgf= ⋅ + = . 
Letra C 
Deixe-me resumir o método (admitindo que escolheremos o primeiro 
ponto médio para a mudança de variável e que as amplitudes de todas as 
classes são iguais): 
i) Construa a coluna da variável transformada Y, constituída pelos 
números naturais 0,1,2,3,4,5... (Você não precisa fazer o cálculo 
para descobrir os valores da variável Y. Eles sempre assumirão 
esses valores.) 
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ii) Multiplique os valores da variável transformada pelas respectivas 
frequências, some os valores e divida por n (n é o somatório das 
frequências). Assim, calculamos a média da variável transformada. 
iii) Para calcular a média da variável original, devemos multiplicar a 
média aritmética encontrada pela amplitude e somar o ponto 
médio da primeira classe. 
 
Vamos resolver novamente a questão utilizando o dispositivo prático. 
Classes (em kgf) Frequências
40 – 50 2 
50 – 60 5 
60 – 70 7 
70 – 80 8 
80 – 90 3 
 
Abrimos a coluna da variável transformada e multiplicamos pelas 
respectivas frequências. 
Classes (em kgf) Frequências yi yi.fi 
40 – 50 2 0 2x0=0 
50 – 60 5 1 5x1=5 
60 – 70 7 2 7x2=14 
70 – 80 8 3 8x3=24 
80 – 90 3 4 3x4=12 
 
0 5 14 24 12 55 2, 2
2 5 7 8 3 25
i iy fy kgf
n
+ + + += = = =+ + + +
∑
 
Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (10) e 
adicionamos o ponto médio da primeira classe (45). 
10 2,2 45 67X kgf= ⋅ + = 
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Vamos calcular novamente a média aritmética das estaturas dos 40 
alunos do Ponto dos Concursos. 
 
Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos 
Estaturas (cm) Frequência 
150 154 4 
154 158 9 
158 162 11 
162 166 8 
166 170 5 
170 174 3 
Total 40 
 
Já que as amplitudes são constantes (154 – 150 = ... = 174 -170 = 4 ), 
podemos aplicar o dispositivo prático com o auxílio da variável 
transformada. 
Abrimos a coluna da variável transformada e multiplicamos pelas 
respectivas frequências. 
Estaturas 
(cm) 
if iy i iy f⋅ 
150 154 4 0 4 x 0 = 0 
154 158 9 1 9 x 1 = 9 
158 162 11 2 11 x 2 = 22 
162 166 8 3 8 x 3 = 24 
166 170 5 4 5 x 4 = 20 
170 174 3 5 3 x 5 =15 
Total 40 90i iy f⋅ =∑
 
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90 2, 25
40
i iy fy
n
= = =∑ 
 
Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (4) e 
adicionamos o ponto médio da primeira classe (
150 154 152
2
+ = ). 
4 2,25 152 161X cm= ⋅ + = . 
05. (Auditor IBGE – CESGRANRIO 2010) A tabela abaixo apresenta a 
distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças. 
 
Classes (em anos) fi 
0 �- 2 5 
2 �- 4 2 
4 �- 6 4 
6 �- 8 2 
8 �- 10 7 
 
A média das idades dessas crianças, em anos, é 
(A) 5,0 
(B) 5,2 
(C) 5,4 
(D) 5,6 
(E) 5,8 
 
Resolução 
Já que as amplitudes são constantes (2 – 0 = 4 – 2 = ... = 10 – 8 = 2), podemos 
calcular a média aritmética com o auxílio da variável transformada. 
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i) Construa a coluna da variável transformada Y, constituída pelos 
números naturais 0,1,2,3,4,5... 
ii) Multiplique os valores da variável transformada pelas respectivas 
frequências, some os valores e divida por n (n é o somatório das 
frequências). Assim, calculamos a média da variável transformada. 
iii) Para calcular a média da variável original, devemos multiplicar a 
média aritmética encontrada pela amplitude e somar o ponto médio 
da primeira classe. 
 
yi fi i iy f⋅ 
0 5 0 
1 2 2 
2 4 8 
3 2 6 
4 7 28 
Total 20 44 
 
44 2, 2
20
i iy fy
n
= = =∑ 
 
Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (2) e 
adicionamos o ponto médio da primeira classe (
0 2 1
2
+ = ). 
2 2, 2 1 5,4X = ⋅ + = . 
Letra C 
06. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a 
seguir, a respeito da média aritmética. 
I - a soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero; 
II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos 
resíduos é mínima; 
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III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos é 
mínima. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
 
(A) II, somente. 
(B) I e II somente. 
(C) I e III somente. 
(D) II e III somente. 
(E) I, II e III. 
Resolução 
Questão puramente teórica! Uma digna aula sobre média aritmética. Vamos 
analisar cada um dos itens: 
I. A soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero. 
(VERDADEIRO)Já justifiquei essa propriedade com um exemplo. Ei-lo novamente. 
Consideremos a sequência de dados (2,4,6,8,10,10,12,12). 
A média aritmética é dada por 
2 4 6 8 10 10 12 12
8
x + + + + + + += 
8x∴ = 
Sabemos que a média aritmética desse conjunto de dados é 8x = . 
Denominamos desvio ou resíduo em relação à média a diferença entre cada 
elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. Para o exemplo 
dado, temos: 
1 1 5 5
2 2 6 6
3 3 7 7
4 4 8 8
6 2
4 2
2 4
0 4
d x x d x x
d x x d x x
d x x d x x
d x x d x x
= − = − = − =
= − = − = − =
= − = − = − =
= − = = − =
 
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Facilmente verificamos que a soma dos desvios em relação à média é igual a 
zero. De fato, 
6 4 2 0 2 2 4 0id =− − − + + + + =∑ . 
 
Obviamente essa não foi uma demonstração matemática. Apenas ilustrei a 
propriedade através de um exemplo. De fato, qualquer que seja a distribuição 
de dados, a soma dos desvios em relação à média sempre é igual a zero! 
II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos 
resíduos é mínima. (FALSO) 
A proposição é falsa, pois é em relação à mediana (estudaremos ainda nesta 
aula) que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínima. 
 III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos 
é mínima. (VERDADEIRO) 
Voltemos ao nosso exemplo: a sequência (2,4,6,8,10,10,12,12). 
Os desvios em relação à media já foram calculados. Para calcular a soma dos 
quadrados, devemos elevar cada resíduo ao quadrado e depois somar. 
2 2 2 2 2 2 2 2 2( 6) ( 4) ( 2) 0 2 2 4 4id = − + − + − + + + + +∑ 
2 96id =∑ 
A propriedade nos diz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínimo. 
Isso porque, se construirmos um conjunto dos desvios 'id formado pela 
diferença entre os elementos ix do conjunto e uma constante que não seja a 
média, ou seja, um conjunto dos desvios em torno de um valor qualquer 
diferente da média e, feito isso, acharmos o conjunto 2( ')id e em seguida 
calcularmos o seu somatório 2( ')id∑ , este último valor será maior do que 96. 
Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação ao 
número 5 (diferente da média aritmética 8). 
2 2 2 2 2 2 2 2 2( ') ( 3) ( 1) 1 3 5 5 7 7id = − + − + + + + + +∑ 
2( ') 168id =∑ 
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Assim, 
2 2( ') ( )i id d>∑ ∑ . 
Letra C 
 
 
07. (MPE-RO CESGRANRIO 2005) A tabela apresenta uma distribuição de 
frequência dos salários dos 200 empregados de certa empresa. 
 
Salário (R$) Frequência 
260 – 520 50 
520 – 1040 100 
1040 – 1560 30 
1560 - 2600 20 
 
O salário médio, aproximadamente, vale: 
(A) R$ 600,00 
 (B) R$ 780,00 
(C) R$ 890,50 
(D) R$ 1 040,00 
(E) R$ 1430,00 
Nessa questão as amplitudes não são constantes!! Portanto, não poderemos 
calcular a média aritmética com o auxílio da variável transformada. 
Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências, 
convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado 
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio. 
Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes 
(xi) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas 
frequências. 
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Lembre-se que para calcular o ponto médio das classes, basta calcular a média 
aritmética dos extremos das classes, por exemplo, o primeiro ponto médio é 
260 520 390
2
+ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.500 78.000 39.000 41.600 178.100 890,50
200 200
i ix fx
n
+ + += = = =∑
 
Letra C 
08. (TCE/SC 2006 – FEPESE) Para um estudo sobre bolsas escolares a serem 
distribuídas em determinada região realizou-se uma pesquisa com 50 famílias, 
apurando-se o número de filhos de cada uma delas. Os dados estão 
representados na tabela abaixo: 
 
 
 
Assinale a alternativa que representa a média do número de filhos na pesquisa 
realizada. 
a) 1,94 
Salário (R$) xi fi xi.fi 
260 – 520 390 50 19.500 
520 – 1040 780 100 78.000 
1040 – 1560 1300 30 39.000 
1560 - 2600 2080 20 41.600 
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b) 0,34 
c) 1,62 
d) 0,62 
e) 1,34 
 
Resolução 
 
Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de 
cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos 
leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula: 
i ix fx
n
⋅= ∑ 
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma 
coluna correspondente aos produtos i ix f . 
ix if i ix f 
0 14 0 
1 16 16 
2 11 22 
3 7 21 
4 2 8 
 ෍ ݔ௜ ௜݂ ൌ 67 
 
Î A primeira linha nos diz que existem 14 famílias com nenhum filho, 
totalizando 0 filhos. 
Î A segunda linha nos diz que existem 16 famílias com 1 filho, totalizando 
16 filhos. 
Î A terceira linha nos diz que existem 11 famílias com 2 filhos, totalizando 
22 filhos homens. 
E assim sucessivamente. No total, essas 50 famílias, possuem juntas 67 filhos . 
Temos, então: 
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ݔҧ ൌ
∑ ݔ௜ ௜݂
݊
ൌ
67
50
ൌ 1,34 
Letra E 
09. (TCE/SC 2006 – FEPESE) Na Figura 1 é possível visualizar o resultado de 
uma pesquisa sobre o tempo despendido pelos funcionários de uma empresa 
no deslocamento de suas residências até o local de trabalho. 
 
 
Assinale a alternativa que representa o tempo médio que os funcionários levam 
para se deslocarem de suas residências até a empresa. 
a) 9,84 minutos 
b) 7,84 minutos 
c) 5,84 minutos 
d) 8 minutos 
e) 4 minutos 
Resolução 
Podemos resolver essa questão pelo “método tradicional” (pelos pontos 
médios) ou pelo método simplificado. Nesta questão, os valores são tão 
“pequenos” (e, além disso, são inteiros) que não vale a pena fazer pelo método 
simplificado. Teríamos apenas trabalho em construir a distribuição de 
frequências. 
O ponto médio da 
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Æ primeira classe é 2. 
Æ segunda classe é 6. 
Æ terceira classe é 10. 
Æ quarta classe é 14. 
 
Devemos multiplicar cada ponto médio pela sua frequência, somar esses 
valores e dividir pelo total de observações (19+32+33+16=100). 
Assim, 
ݔҧ ൌ
2 · 19 ൅ 6 · 32 ൅ 10 · 33 ൅ 14 · 16
100
ൌ 7,84 
Letra B 
Mediana (Md) 
 
A mediana é outra medida de posição definida como número que se encontra 
no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma 
ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados 
segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto 
que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
Dados não-agrupados 
Dada uma série de valores, como, por exemplo: 
5,10,13,12,7,8,4,3,9. 
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da 
ordenação (colocar os dados brutos em rol) dos valores. 
3,4,5,7,8,9,10,12,13. 
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de 
elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o número 8, 
já que, nessa série, há 4 elementos acima dele e quatro abaixo. 
Temos então, 
Md=8. 
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Se, porém a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por 
definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais 
da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio. 
Assim, a série de valores 2,6,7,10,12,13,18,21 tem para mediana a média 
aritmética entre 10 e 12. 
Logo, 
10 12 11
2
11
Md
Md
+= =
∴ =
 
 
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o 
número de elementos da série, o valor mediano será: 
- o termo de ordem 1
2
n + , se n for ímpar. 
- a média aritmética dos termos de ordem e 1
2 2
n n + , se n for par. 
Observações: 
i) O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. 
Quando o número de elementos da série é ímpar, há coincidência. O 
mesmo não acontece, porém, quando esse número é par. 
ii) A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na 
série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana 
e a média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). 
iii) A mediana é também designada por valor mediano. 
 
Dados Agrupados 
Sem intervalos de classe 
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente 
superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da 
variável que corresponde a tal frequência acumulada. 
Xi fi fac 
2 2 2 
4 6 8 
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6 10 18 
8 12 30 
10 9 39 
 
Verificamos facilmente que o número de elementos da distribuição é ímpar. 
Desta forma, temos apenas uma posição central. 
Posição central: 39 1 20
2
+ = 
Temos então que a mediana será o termo da 20ª posição. Através da 
frequência acumulada temos que Md=8. 
 
Xi fi fac 
2 2 2 
4 6 8 
6 10 18 
8 12 30 
10 10 40 
 
Neste segundo exemplo, o número de elementos da distribuição é par, e, como 
vimos, teremos duas posições centrais: 40 =20 e 20 1 21
2
+ = 
Novamente, através da frequência acumulada verificamos que as duas 
posições centrais são iguais a 8. 
Assim, 8 8 8
2
Md += = . 
E como último exemplo: 
Xi fi fac 
2 2 2 
4 6 8 
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6 10 18 
8 12 30 
10 6 36 
 
Como o número de elementos é par, teremos duas posições centrais. 
36 =18 e 18 1 19
2
+ = . 
O termo de posição 18 é igual a 6 e o termo de posição 19 é igual a 8. Temos 
então que a mediana será 
 
6 8 7
2
Md += = . 
10. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina – 
FEPESE/2006) Ao fazer um levantamento amostral do preço de combustível 
em 5 postos de abastecimento, foram obtidos os seguintes valores (em reais) 
para o litro da gasolina: 2,57; 2,36; 2,60; 2,37 e 2,44. Diante desses dados 
assinale a frase correta: 
a) A diferença entre a média e a mediana é de R$ 0,03. 
b) A média é uma medida que não leva em contra todos os valores do conjunto 
que está sendo analisado, entretanto, para os dados apresentados é uma 
alternativa para a análise estatística dos resultados, pois a amplitude total do 
conjunto de dados é bastante pequena. 
c) A mediana dos dados obtidos é R$ 2,60. 
d) A média é uma medida preferida nos estudos estatísticos, pois ela não é 
afetada pelos maiores valores do conjunto de valores dados. 
e) Como todos os valores obtidos são diferentes pode-se afirmar que os dados 
obtidos tem 5 valores modais. 
 
Resolução 
Para calcular a média aritmética basta somar os valores e dividir por 5. 
 
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ݔҧ ൌ
2,57 ൅ 2,36 ൅ 2,60 ൅ 2,37 ൅ 2,44
5
ൌ 2,468 
 
Para calcular a mediana devemos dispor os dados em rol (ordem 
crescente ou decrescente) e verificar o termo que fica “no meio”. 
 
Rol: 2,36 ; 2,37 ; 2,44 ; 2,57 ; 2,60 
Logo, a mediana é 2,44. 
a) A diferença entre a média e a mediana é de 2,468 – 2,44 = 0,028. 
A alternativa A é falsa. Porém, o gabarito oficial foi justamente esta alternativa. 
Considerando que a moeda Real trabalha com 2 casas decimais, 
“considerando” a média 2,47, então a diferença seria 
2,47 - 2,44 = 0,03. Esta é a alternativa menos errada. 
b) O cálculo da média leva em consideração todos os valores do conjunto. 
Falsa 
c) Falsa, pois a mediana é 2,44. 
d) Falsa. A média é afetada pelos maiores valores do conjunto de valores 
dados. Por exemplo, temos os salários de 5 pessoas: 
R$ 200,00 ; R$ 150,00 ; R$ 400,00 ; R$ 550,00 ; R$ 24.700,00 
A média é igual a R$ 5.200,00 (valor bastante afetado pelo valor extremo R$ 
24.700,00). 
“Estatística: a ciência que diz que se eu comi um frango e tu não comestes 
nenhum, teremos comido, em média, meio frango cada um.” 
Pitigrilli – Italiano (1893-1975)-Escritor 
e) Ainda não estudamos moda estatística. Mas já adiantando: quando todos os 
dados são diferentes, a distribuição é denominada amodal (sem moda). Falsa. 
Em tempo: moda é o termo que aparece com maior frequência em um rol. 
Letra A (gabarito oficial (menos errada)). 
E quanto ao cálculo da mediana em distribuições de frequências? 
Vejamos através das próximas questões resolvidas. 
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11. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) A tabela 
abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas 
frequências. Não há observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
 
O valor aproximado, em 
kgf, do peso mediano do 
conjunto de pessoas é 
(A) 67 
(B) 68 
(C) 69 
(D) 70 
(E) 71 
Resolução 
A mediana é outra medida de posição definida como número que se encontra 
no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma 
ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados 
segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto 
que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
No cálculo da mediana em uma distribuição de frequência não teremos a 
preocupação de determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os 
passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão: 
i) Descobrir a classe mediana. 
ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências. 
Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor 
2
n . Em 
seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta 
acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja 
maior ou igual ao valor de 
2
n . 
No nosso caso, n=2+5+7+8+3=25. Assim, 25 12,5
2 2
n = = . Devemos construir a 
coluna de frequência absoluta acumulada crescente. 
Classes (em kgf) Frequências
40 – 50 2 
50 – 60 5 
60 – 70 7 
70 – 80 8 
80 – 90 3 
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E como se constrói essa coluna? Para a primeira classe devemos 
simplesmente repetir a frequência absoluta. Para as outras, devemos somar a 
frequência absoluta da classe com a frequência acumulada anterior. Deixe-me 
mostrar no exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar a classe mediana, devemos comparar cada uma das 
frequências acumuladas com o valor 12,5. Quando encontrarmos o primeiro 
valor que for maior ou igual a 12,5 teremos determinado a classe mediana. 
 
Classes(em kgf) Frequências Fac 
40 – 50 2 2 
50 – 60 5 2+5=7 
60 – 70 7 7+7=14 
70 – 80 8 8+14=22 
80 – 90 3 3+22=25 
Classes (em kgf) Frequências Fac 
40 – 50 2 2 
50 – 60 5 7 
60 – 70 7 14 
70 – 80 8 22 
80 – 90 3 25 
Classes (em kgf) Frequências Fac 
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Estamos prontos para aplicarmos a fórmula da mediana. 
inf
2 ANT
i
n fac
Md l h
f
⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Precisaremos dos seguintes valores: 
Æ Limite inferior da classe mediana ( inf 60l = ). 
Æ 12,5
2
n = 
ÆFrequência acumulada da classe anterior à classe mediana ( 7ANTfac = ). 
Æ Frequência absoluta da classe mediana ( 7if = ) 
Æ Amplitude da classe mediana ( 70 60 10h = − = ) 
A mediana é dada por: 
inf
12,5 72 60 10 67,85 68
7
ANT
i
n fac
Md l h cm
f
⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤= + ⋅ = + ⋅ ≅ ≅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Letra B 
12. (Auditor IBGE – CESGRANRIO 2010) A tabela abaixo apresenta a 
distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças. 
 
40 – 50 2 2 
50 – 60 5 7 
60 – 70 7 14 
70 – 80 8 22 
80 – 90 3 25 
Classe mediana 
(14 > 12,5) 
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Classes (em anos) fi 
0 �- 2 5 
2 �- 4 2 
4 �- 6 4 
6 �- 8 2 
8 �- 10 7 
 
A mediana da distribuição de frequências apresentada é 
(A) 5,5 
 (B) 5,6 
(C) 5,7 
(D) 5,8 
(E) 5,9 
Resolução 
Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão: 
i) Descobrir a classe mediana. 
ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências. 
Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor 
2
n . Em 
seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta 
acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja 
maior ou igual ao valor de 
2
n . No nosso caso, n = 20. Logo, 20 10
2 2
n = = . 
Devemos construir a coluna de frequência absoluta acumulada crescente. 
 
Classes (em anos) fi Fac 
0 �- 2 5 5 
2 �- 4 2 7 
4 �- 6 4 11 
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Vamos procurar a classe mediana. Basta olhar para a coluna de frequências 
acumuladas e comparar com o valor 10
2
n = . A primeira frequência acumulada 
que for maior ou igual a 10 caracterizará a classe mediana. Verificamos 
facilmente que 11>10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coloquei em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana. 
Precisaremos dos seguintes valores: 
Æ Limite inferior da classe mediana ( inf 4l = ). 
Æ 10
2
n = 
ÆFrequência acumulada da classe anterior à classe mediana ( 7ANTfac = ). 
6 �- 8 2 13 
8 �- 10 7 20 
Classes (em anos) fi Fac 
0 �- 2 5 5 
2 �- 4 2 7 
4 �- 6 4 11 
6 �- 8 2 13 
8 �- 10 7 20 
Classe mediana 
(11 > 10) 
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Æ Frequência absoluta da classe mediana ( 4if = ) 
Æ Amplitude da classe mediana ( 6 4 2h = − = ) 
A mediana é dada por: 
inf
10 72 4 2 5,5
4
ANT
i
n fac
Md l h
f
⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤= + ⋅ = + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Letra A 
 
 
 
 
 
 
(MPE-RO CESGRANRIO 2005) O enunciado a seguir refere-se às 
questões de números 13 e 14. 
A tabela apresenta uma distribuição de frequência dos salários dos 200 
empregados de certa empresa. 
 
Salário (R$) Frequência 
260 – 520 50 
520 – 1040 100 
1040 – 1560 30 
1560 - 2600 20 
13. O salário mediano vale, aproximadamente: 
(A) R$ 600,00 
(B) R$ 780,00 
(C) R$ 890,50 
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(D) R$ 1 040,00 
(E) R$ 1 430,00 
Resolução 
Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão: 
i) Descobrir a classe mediana. 
ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências. 
 
Para descobrir a classe mediana devemos calcular 
2
n . Como n = 200, temos 
que 100
2
n = . E o que fazer agora? Construir a coluna das frequências 
acumuladas. 
 
 
 
 
Salário (R$) Frequência fac 
260 – 520 50 50 
520 – 1040 100 150 
1040 – 1560 30 180 
1560 - 2600 20 200 
 
Novamente em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana. 
Precisaremos dos seguintes valores: 
Æ Limite inferior da classe mediana ( inf 520l = ). 
Æ 100
2
n = 
ÆFrequência acumulada da classe anterior à classe mediana ( 50ANTfac = ). 
Æ Frequência absoluta da classe mediana ( 100if = ) 
Classe mediana 
(150 > 100) 
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Æ Amplitude da classe mediana ( 1040 520 520h = − = ). Observe que nessa 
questão as amplitudes não são constantes. Para o cálculo da mediana 
deveremos utilizar a amplitude da classe mediana!! Cuidado... 
A mediana é dada por: 
inf
100 502 520 520 780
100
ANT
i
n fac
Md l h
f
⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤= + ⋅ = + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Letra B 
14. O terceiro quartil, aproximadamente, vale: 
(A) R$ 600,00 
(B) R$ 780,00 
(C) R$ 890,50 
(D) R$ 1 040,00 
(E) R$ 1 430,00 
 
Resolução 
O método para calcular o terceiro quartil (e as outras medidas separatrizes 
como decis, percentis e os outros quartis) é muito parecido com o da mediana. 
Em tempo: os decis dividem a distribuição em 10 partes de mesma frequência. 
Os percentis dividem a distribuição em 100 partes de mesma frequência. Os 
quartis dividem a distribuição em 4 partes de mesma frequência. A mediana 
divide a distribuição em 2 partes de mesma frequência. 
Diferença: ao invés de calcularmos o valor 
2
n calcularemos 3
4
n . O 
denominador é igual a 4 porque trata-se de um quartil (dividimos a distribuição 
em quatros partes). O numerador é 3n porque estamos calculando o terceiro 
quartil. Então, a única coisa que vai mudar na fórmula, é que ao invés de 
utilizarmos 
2
n utilizaremos 3
4
n . E para calcular a classe do terceiro quartil 
deveremos procurar a frequência acumulada que é maior ou igual a 3
4
n . A 
fórmula do terceiro quartil ficará 
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3 inf
3
4 ANT
i
n fac
Q l h
f
⎡ ⎤−⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Já que n = 200, então 3 3 200 150
4 4
n ⋅= = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
E o que fazer agora? Construir a coluna das frequências acumuladas. 
 
Salário (R$) Frequência fac 
260 – 520 50 50 
520 – 1040 100 150 
1040 – 1560 30 180 
1560 - 2600 20 200 
 
Novamente em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana. 
Precisaremos dos seguintes valores: 
Æ Limite inferior da classe mediana ( inf 520l = ). 
Æ 3 150
4
n = 
Classe do terceiro 
quartil 
(150=150) 
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ÆFrequência acumulada da classe anterior à classe do terceiro quartil (
50ANTfac = ). 
Æ Frequência absoluta da classe do terceiro quartil ( 100if = ) 
Æ Amplitude da classe do terceiro quartil ( 1040 520 520h = − = ). Observe que 
nessa questão as amplitudes não são constantes. Para o cálculo do 
terceiro quartil deveremos utilizar a amplitude da classe do terceiro 
quartil!! Cuidado... 
O terceiroquartil é dado por: 
3 inf
3
150 504 520 520 1040
100
ANT
i
n fac
Q l h
f
⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤= + ⋅ = + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Letra D 
 
 
Moda 
 
Foi Karl Pearson quem introduziu em Estatística pela primeira vez,no século 
XIX, o conceito de moda, talvez baseado no próprio significado da palavra. 
A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maior 
frequência em um rol. Baseado neste contexto, um conjunto de valores pode 
apresentar mais de uma moda. Neste caso dizemos ser plurimodal, caso 
contrário, será unimodal, ou ainda, amodal (quando todos os valores das 
variáveis em estudo apresentarem uma mesma frequência). 
i) Para dados não agrupados em classe 
 
Para a identificação da moda em um conjunto ordenado de valores não 
agrupados em classe, basta verificar, no conjunto, aquele valore que 
aparece com maior frequência. 
Exemplos: 
X1={1,2,3,4,5,6} (Conjunto amodal) 
X2={10,10,12,13,18} Mo=10 (Conjunto Unimodal) 
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X3={100,100,200,200,300,600} Mo=100 e Mo=200 
(Conjunto bimodal) 
ii) Para dados agrupados – não agrupados em classe 
 
Quando os dados estiverem dispostos em uma Tabela de Frequência, não 
agrupados em classe, a localização da moda é imediata, bastando para isso, 
verificar na tabela, qual o valor predominante. 
Estatura 
(m) 
Freq.
1,60 3 
1,62 8 
1,64 12 
1,70 20 
1,73 10 
1,80 7 
1,83 3 
1,88 1 
 
Na tabela o valor modal é 1,70m, isto porque é o resultado que apresenta o 
maior número de alunos (20). 
iii) Dados agrupados em classe 
 
Tratando-se de dados agrupados em classe, a moda não é percebida tão 
facilmente como nos casos anteriores. Para tal, utilizamos diversos processos 
na sua obtenção. Mas qualquer que seja o processo adotado, o primeiro passo 
é identificar a classe que contém a maior frequência. A esta classe 
denominamos classe-modal. 
Aprenderemos a determinar a moda da distribuição de frequências pelo método 
da moda bruta, pelo Método de Czuber e pelo Método de King. 
Se a questão não especificar qual das fórmulas a ser empregada, pedindo 
apenas que se calcule a moda, usaremos a fórmula de Czuber. 
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Consequentemente, só empregaremos a fórmula de King quando assim for 
solicitado expressamente. 
Moda Bruta 
 
 De todos os processos, este é o mais elementar, bastando, para isso, tomar o 
ponto médio da classe modal (aquela que contém a maior frequência). 
Na próxima tabela, verificamos, de imediato, que a distribuição possui apenas 
uma Moda e, que ela está contida na classe 4 � 6 chamada Classe Modal. 
Logo, o ponto médio da classe modal o caso, Nota 5, é conhecida como Moda 
Bruta. 
Notas Classe fi 
0 � 2 27 
2 � 4 16 
4 � 6 34 
6 � 8 17 
 8 �10 16 
 110if =∑
 
Processo de Czuber 
 
O processo utilizado por Czuber leva em consideração as frequências anterior 
e posterior à Classe Modal. 
Moc = Moda (Processos de Czuber) 
1 máx antf fΔ = − 
2 máx postf fΔ = − 
h = amplitude do intervalo de classe 
il = Limite inferior da classe modal 
Assim, a moda de Czuber é dada por 
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1
1 2
C iMo l h
⎡ ⎤Δ= + ⋅⎢ ⎥Δ + Δ⎣ ⎦
 
Observação: A demonstração desta fórmula foi colocada por mim no site do 
Ponto dos Concursos no link 
http://www.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=249&art=5103&idpag=4 
No nosso exemplo, 
1
2
34 16 18
34 17 17
2
4i
h
l
Δ = − =
Δ = − =
=
=
 
Logo, 
184 2 5,0285
18 17
5,0285
C
C
Mo
Mo
⎡ ⎤= + ⋅ =⎢ ⎥+⎣ ⎦
∴ =
 
Processo de King 
 
No processo proposto por King, é considerada a influência sobre a classe 
modal das freqüências das classes anterior e posterior. A inconveniência deste 
processo é justamente não levar em consideração a frequência da classe 
modal. 
 
post
K i
ant post
f
Mo l h
f f
⎡ ⎤= + ⋅⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
 
No nosso exemplo, 
17
16
2
4
post
ant
i
f
f
h
l
=
=
=
=
 
Logo, 
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174 2 5,0303
17 16
5,0303
K
K
Mo
Mo
⎡ ⎤= + ⋅ =⎢ ⎥+⎣ ⎦
∴ =
 
Propriedades da Moda 
 
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma 
variável, a moda do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante. 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante c , a moda do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa 
constante. 
15. (AFRFB 2009 ESAF) Considere a seguinte amostra aleatória das idades 
em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa 
amostra, marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 
26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
 
Resolução 
Média aritmética: 
 
 
 
Rol: 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 
28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41. 
A mediana será o termo de ordem 37 1 19º
2
+ = . Logo, a mediana é 27. 
ixx
n
= ∑
1052 28,43
37
x = ≅
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A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com 
maior frequência em um rol. 
A moda é 27. 
Letra E 
16. (AFRF 1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, 
foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, 
tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o 
dólar americano. 
4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10,1
1,11,12,12,13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23. 
Assinale a opção que corresponde ao preço modal. 
a) 8 
b) 23 
c) 7 
d) 10 
e) 9 
 
Resolução 
Questão muito fácil! 
Basta verificar o valor de maior frequência. Facilmente verifica-se que a moda é 
8, pois ele tem a maior frequência (aparece mais vezes). 
Letra A 
17. (AFRF/ESAF/1996) Para efeito desta questão, considere os seguintes 
dados. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA 
EMPRESA ALFA, EM 01.01.90 
Classes de Idades (anos) if Pontos Médios (PM) 
19,5�24,5 2 22 
24,5�29,5 9 27 
29,5�34,5 23 32 
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34,5�39,5 29 37 
39,5�44,5 18 42 
44,5�49,5 12 47 
49,5�54,5 7 52 
Total 100 
 
Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 
1º/01/90. 
a) 35,97 
b) 36,26 
c) 36,76 
d) 37,03 
e) 37,31 
 
Resolução 
O primeiro passo é determinar a classe modal (maior frequência). A classe 
modal é a quarta classe 34,5�39,5, cuja frequência é 29. A frequência anterior 
à classe modal é 23, e temos que Δ1=29 – 23 = 6. A frequência posterior à 
classe modal é 18 e temos que Δ2=29 – 18 = 11. 
O limite inferior da classe modal é 34,5 e a amplitude da classe modal é 5. 
Assim, a moda de Czuber será 
 
 
Letra B 
 
Medidas de dispersão ou variabilidadeDiscutimos diversas maneiras de obter um valor que fosse representativo para 
os demais em um dado conjunto. Muitas vezes apenas os cálculos ou 
apresentações de um valor específico para um conjunto qualquer não são 
suficientes para caracterizar uma distribuição ou um conjunto de valores. 
O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se (afastar-se) em 
torno de um valor chama-se variação ou dispersão dos dados. Dispõe-se de 
várias medidas de dispersão. Estudaremos as mais importantes. 
1
1 2
C iMo l h
⎡ ⎤Δ= + ⋅⎢ ⎥Δ + Δ⎣ ⎦
634,5 5 36,26
6 11C
Mo ⎡ ⎤= + ⋅ =⎢ ⎥+⎣ ⎦
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Desvio Absoluto Médio (Dm) 
 
Aprendemos que a soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é 
nula. 
Assim, não nos importaria “criar” uma medida de dispersão que utilize a soma 
algébrica dos desvios, pois essa, como sabemos, é sempre zero. 
Temos duas alternativas a tomar: trocar o sinal dos desvios negativos (calcular 
o módulo dos desvios) ou elevar os desvios negativos ao quadrado (pois todo 
número elevado ao quadrado não é negativo). 
Ao tomar a primeira posição, damos origem ao desvio absoluto médio e ao 
tomar a segunda posição damos origem à variância. 
O desvio absoluto médio também é chamado apenas de desvio médio ou 
desvio absoluto. 
Desvio médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios da 
distribuição, em relação a uma medida de tendência central: média ou 
mediana. Na presente aula limitar-nos-emos apenas em relação à média 
aritmética. 
1
n
i
i
X X
Dm
n
=
−
=
∑
 
Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequência 
com dados agrupados em classe ou dados isolados ponderados, utilizaremos a 
seguinte fórmula: 
1
n
i i
i
X X f
Dm
n
=
− ⋅
=
∑
 
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de 
um conjunto de valores e a média aritmética. 
(2,4,6,8,10,10,12,12) 
A média aritmética dessa lista de números é igual a 8. Por exemplo, o desvio 
em relação à média do primeiro número é 2 – 8 = - 6. 
 
 1 1 5 5
2 2 6 6
3 3 7 7
4 4 8 8
6 2
4 2
2 4
0 4
d x x d x x
d x x d x x
d x x d x x
d x x d x x
= − = − = − =
= − = − = − =
= − = − = − =
= − = = − =
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Para calcular o desvio absoluto médio, devemos considerar o valor absoluto 
(módulo) dos valores acima obtidos. 
 
 
 
 
 
 
Onde di é a diferença entre cada valor e a média aritmética. 
 
 
 
 
 
Vejamos um exemplo do cálculo do desvio absoluto médio em uma distribuição 
de frequências. O primeiro passo é calcular a média aritmética da distribuição 
(se possível utilizando o método simplificado). Em seguida, devemos calcular 
cada desvio em relação à média, tomar seus valores absolutos, multiplicar 
cada resultado pela frequência da classe, somar todos os valores e dividir por 
n. 
 
Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequência 
com dados agrupados em classe ou dados isolados ponderados, utilizaremos a 
seguinte fórmula: 
 
 
 
1 5
2 6
3 7
4 8
6 2
4 2
2 4
0 4
d d
d d
d d
d d
= =
= =
= =
= =
idDam
n
= ∑
6 4 2 0 2 2 4 4
8
Dam + + + + + + +=
3Dam =
1
n
i i
i
X X f
Dam
n
=
− ⋅
=
∑
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18. (AFRF 2002.2/ESAF) O atributo do tipo contínuo X, observado como 
um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 
1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: 
 
Classes Frequência (f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo 
X. 
a) 16,0 
b) 17,0 
c) 16,6 
d) 18,1 
e) 13,0 
 
Resolução 
O primeiro passo, como foi dito, é calcular a média aritmética da distribuição. 
Já que as amplitudes são constantes (iguais a 10), então poderemos utilizar o 
método breve. Lembrando que devemos abrir uma coluna para a variável 
transformada y, que é formada pela sequência dos números naturais. 
Classes (f) yi 
29,5-39,5 4 0 
39,5-49,5 8 1 
49,5-59,5 14 2 
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59,5-69,5 20 3 
69,5-79,5 26 4 
79,5-89,5 18 5 
89,5-99,5 10 6 
 
Para calcular a média aritmética, devemos multiplicar os valores da variável 
transformada pelas suas respectivas frequências. Somar os valores e dividir 
por “n”. 
 
Classes (f) yi yi.f 
29,5-39,5 4 0 0 
39,5-49,5 8 1 8 
49,5-59,5 14 2 28 
59,5-69,5 20 3 60 
69,5-79,5 26 4 104 
79,5-89,5 18 5 90 
89,5-99,5 10 6 60 
 
 
 
 
 
Essa é a média da variável transformada. Para calcular a média da variável 
original, devemos multiplicar a média aritmética encontrada pela 
amplitude e somar o ponto médio da primeira classe. 
 
 
 
 
 
 
350 3,5
100
y = =
1x y h x= ⋅ +
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Para calcular o desvio absoluto médio, devemos calcular o módulo da diferença 
entre cada ponto médio e a média aritmética. 
Calculamos o primeiro ponto médio, que é a média aritmética entre 29,5 e 39,5. 
Logo, o primeiro ponto médio é igual a 34,5. 
Para calcular os próximos pontos médios, basta adicionar a amplitude das 
classes. Ou seja, o próximo ponto médio é igual a 34,5 + 10 = 44,5. 
Classes (f) Xi 
29,5-39,5 4 34,5 
39,5-49,5 8 44,5 
49,5-59,5 14 54,5 
59,5-69,5 20 64,5 
69,5-79,5 26 74,5 
79,5-89,5 18 84,5 
89,5-99,5 10 94,5 
 
A média aritmética é igual a 69,5. O desvio da primeira classe é 
34,5 – 69,5 = - 35. O módulo desse desvio é 35. Faremos da mesma maneira o 
cálculo nas próximas classes. 
 
Classes (f) Xi │Xi-X│ 
29,5-39,5 4 34,5 35 
39,5-49,5 8 44,5 25 
49,5-59,5 14 54,5 15 
59,5-69,5 20 64,5 5 
69,5-79,5 26 74,5 5 
3,5 10 34,5x = ⋅ +
69,5x =
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79,5-89,5 18 84,5 15 
89,5-99,5 10 94,5 25 
 
O próximo passo é multiplicar cada desvio pela sua respectiva frequência. 
 
Classes (f) Xi │Xi-X│ │Xi-X│.f
29,5-39,5 4 34,5 35 140 
39,5-49,5 8 44,5 25 200 
49,5-59,5 14 54,5 15 210 
59,5-69,5 20 64,5 5 100 
69,5-79,5 26 74,5 5 130 
79,5-89,5 18 84,5 15 270 
89,5-99,5 10 94,5 25 250 
 
Estamos prontos para calcular o desvio absoluto médio. Basta somar os 
valores da última coluna e dividir por n. 
 
 
 
Letra E 
Desvio padrão e Variância 
 
De todas as medidas de dispersão apresentadas até aqui, o Desvio Padrão é o 
mais utilizado, e cuja definição nada mais é do que a raiz quadrada da média 
aritmética dos quadrados dos desvios. 
O conceito de desvio padrão está intimamente ligado ao estudo da 
variância. Essas duas medidas de dispersão apresentam uma 
1300 13
100
Dam = =
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peculiaridade: teremos que prestar atenção se questão será com 
amostras ou com a população. 
Suponhamos que desejamos conhecer alguma coisa sobre determinada 
população – por exemplo, a média salarial, o desvio padrão das