MECANICA DE FLUINDOS_AULA03

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DISCIPLINA: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Alysson Nunes Diógenes 
 
 
2 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, cara aluna, como alguém que aprende a nadar, hoje 
soltaremos a beirada da piscina e nos aventuraremos entre as águas mais 
profundas. 
Na aula passada, já definimos os referenciais de pressão e aprendemos 
sobre a pressão que um fluido parado provoca. Da mesma forma, entendemos 
como medir essa pressão através de colunas. 
Mas, até o momento, os fluidos estavam parados. O que é uma parte 
pequena da disciplina, pois estamos conhecendo a mecânica dos fluidos, ou 
seja, o movimento dos fluidos. Agora, iniciaremos com um fluido em movimento 
e veremos como lidar com isso. 
A partir de agora, eu peço uma dedicação especial sua nos estudos, pois 
a parte com mais equações e mais matemática será vista nessas próximas aulas. 
Mas não se preocupe. Com um pouco de esforço e bastante prática, 
conseguiremos. 
Assim sendo, vamos começar? 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
Agora, estamos prontos para estudar fluidos em movimento; por isso, 
temos de decidir como devemos analisar um fluido que escoa. Há duas opções 
disponíveis para nós. (Fox, Pritchard e McDonald, 2014) 
1. Nós podemos estudar o movimento de uma partícula de fluido ou grupo 
de partículas e ver como eles se movem pelo espaço. Essa é a abordagem de 
sistema, que tem a vantagem de que as leis físicas se aplicam à matéria e, 
portanto, diretamente para o sistema. Por exemplo, a segunda lei de Newton, F 
⃗=dP ⃗/dt, em que F é a força e dP/dt é a taxa de variação de momento do fluido. 
Uma desvantagem é que, na prática, as equações associadas com essa 
abordagem podem se tornar um pouco complicadas, geralmente levando a um 
conjunto de equações diferenciais parciais. Essa abordagem é necessária se 
estamos interessados em estudar a trajetória de partículas ao longo do tempo, 
 
 
 
3 
 
 
por exemplo, em estudos de poluição ou do clima, previsão do tempo, medição 
de ondas, entre outros. 
2. Podemos estudar uma região do espaço à medida que o fluido passa 
através dele, que é a abordagem de volume de controle. Essa abordagem é 
frequentemente o método de escolha, porque tem aplicações práticas; por 
exemplo, na aerodinâmica, em que geralmente se está interessado na 
sustentação e arrasto em uma asa (que nós selecionamos como parte do volume 
de controle), em vez de saber o que acontece com as partículas de fluido 
individuais. Da mesma forma, isso pode ser aplicado para verificar a força que o 
movimento de um fluido faz em uma tubulação, e, assim, verificar se o suporte 
dessa tubulação é suficiente para sustentá-la, como na figura abaixo. 
Figura 1 
 
 
Então, recapitulando, a principal vantagem do método com que 
trabalharemos agora é podermos trabalhar com médias, sem se importar com os 
detalhes do fluido, e sim com sua interação com o sólido que o contém. 
 
 
 
 
 
4 
 
TEMA 1: CONSERVAÇÃO DA MASSA 
Quando trabalhamos as conservações, precisamos de um conjunto de 
equações que descrevam o movimento do fluido. Quando estávamos 
trabalhando a mecânica convencional, era comum um sistema como o da figura 
abaixo. 
Figura 1 
 
 
Esse sistema não é mais válido para uma porção grande de fluido, tendo 
em vista que o fluido se deforma com grande facilidade. Sendo assim, é 
necessário criar um conjunto novo de equações que sejam válidas para um 
conjunto de partículas de fluido e que mostrem como elas se comportam e como 
influenciam o que está a sua volta. 
Chamaremos esse conjunto de equações de abordagem integral do 
escoamento. 
Para um determinado sistema, em um determinado tempo: 
Figura 2 
 
 
 
Fonte: Do autor. 
V1 
δl1=V1δt 
V2 
δl2=V2δt 
I II VC-I VC 
 
 
5 
 
 
Onde V é velocidade, VC é um volume de controle e δl e δt são pequenos 
deslocamentos de espaço e de tempo, respectivamente. Na primeira parte da 
figura, temos apenas o VC, enquanto que, na segunda parte, o VC se deslocou, 
perdendo um pedaço “I” e ganhando um pedaço “II”, de forma que a intersecção 
entre os dois é VC-I. 
Assim sendo, definimos um sistema como um volume de controle em um 
instante t, cujas propriedades podem variar no tempo. No tempo t, o sistema era 
VC, e, no tempo t+δt, ele se deslocou e passou a ser (VC-I)+II. 
Propriedades básicas para um sistema 
Pode-se escrever uma formulação geral para um sistema a partir de suas 
propriedades extensivas. Essas são propriedades que dependem do tamanho 
ou da quantidade de matéria que um sistema contém. Ex.: massa, volume, 
energia, quantidade de movimento, etc. (Fox; Pritchard; McDonald, 2014) 
As propriedades intensivas não dependem do tamanho ou da quantidade 
de matéria que o sistema contém. Ex.: temperatura, pressão, etc. Normalmente, 
uma propriedade intensiva tem uma propriedade extensiva correspondente. 
Se B é uma propriedade extensiva do sistema, primeiramente, pode-se 
escrever: 
𝐵 = ∫ 𝑏𝜌𝑑𝑚
𝑀
= ∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
 
Onde B é a propriedade dependente da massa, e b é a propriedade 
intensiva correspondente. Ex.: Energia e energia específica. Comumente, 
b=B/m. 
O valor associado a essa propriedade no instante t é: 
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡) = 𝐵𝑉𝐶(𝑡) 
Onde Bsist é a propriedade do sistema (que não se altera), e BVC é a 
propriedade extensiva do volume de controle. Assim, no instante t+δt: 
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝐵𝑉𝐶(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡) + 𝐵𝐼𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡) 
E a variação da propriedade no tempo é: 
𝛿𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡
𝛿𝑡
=
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡)
𝛿𝑡
=
𝐵𝑉𝐶(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡) + 𝐵𝐼𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡)
𝛿𝑡
 
 
 
6 
 
 
Mas BVC=Bsist. Assim, tirando o limite δt→0: 
𝛿𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡
𝛿𝑡
)
𝛿𝑡→0
= lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝑉𝐶(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝑉𝐶(𝑡)
𝛿𝑡
−
𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
+
𝐵𝐼𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
 
 (1) (2) (3) 
Analisando cada termo individualmente, tem-se, para o termo (1): 
lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝑉𝐶(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝑉𝐶(𝑡)
𝛿𝑡
=
𝜕𝐵𝐶𝑉
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
 
Para o elemento (2): 
− lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
= − lim
𝛿𝑡→0
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
𝛿𝑡
= − lim
𝛿𝑡→0
∫ 𝑏𝜌 𝛿𝑙 𝑑𝐴
∀
𝛿𝑡
= − lim
𝛿𝑡→0
∫ 𝑏𝜌 𝑉𝛿𝑡 𝑑𝐴
𝐴𝐼
𝛿𝑡
 
Onde l é um comprimento, e A é a área da seção transversal por onde 
passa o fluido. Assim: 
lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
= − ∫ 𝑏𝜌𝑉𝑑𝐴
𝐴𝐼
 
O mesmo raciocínio pode ser feito para o elemento (3): 
lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝐼𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
= ∫ 𝑏𝜌𝑉𝑑𝐴
𝐴𝐼𝐼
 
Reescrevendo os termos: 
𝑑𝐵
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
− ∫ 𝑏𝜌�⃗⃗�𝑑𝐴
𝐴𝐼
+ ∫ 𝑏𝜌�⃗⃗�𝑑𝐴
𝐴𝐼𝐼
 
Os termos (2) e (3) representam um balanço da quantidade de 
propriedade que passa através da área de entrada e de saída do volume de 
controle, ou seja, o que sai menos o que entra. Assim: 
𝑑𝐵
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑏𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝑆𝐶
 
Essa equação é chamada Teorema do Transporte de Reynolds. Como 
estamos na engenharia, tudo possui uma aplicação e uma interpretação físicas. 
Observe que, no terceiro termo, a velocidade não está multiplicando o diferencial 
de área, e sim, fazendo um produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor 
área. Da mesma forma, a integral desse termo é uma integral na superfície de 
controle SC (pode ser representado por SC ou A), que representa as fronteiras 
do sistema por onde a fluido passa. Assim, a interpretação física dessa equação 
é: 
 
 
7 
 
Interpretação física𝑑𝐵
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡
 – Taxa de mudança da propriedade B no tempo. 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
 – Variação no tempo da propriedade B no volume de controle. 
∫ 𝑏𝜌𝑉𝑑𝐴
𝑆𝐶
 – Balanço da quantidade de propriedade B que passa pelas 
superfícies de controle. 
Um exemplo de uso do Teorema do Transporte de Reynolds: 
Fazendo B=m e m=1: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝑆𝐶
 
Essa equação é chamada de “conservação da massa”, e será usada para 
descrever como a massa é afetada por um escoamento ao longo do tempo. 
Observe mais uma vez que, no terceiro termo, a velocidade não está 
multiplicando o diferencial de área, e sim, fazendo um produto escalar dentre o 
vetor velocidade e o vetor área. Ficará mais claro quando fizermos alguns 
exemplos. 
Ou: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 (1) (2) 
(1) Variação de massa no Volume de Controle VC; 
(2) Quantidade de massa que passa pelas fronteiras do sistema. 
Observe que nenhuma massa é criada ou destruída, logo, a variação de 
massa em um sistema é zero (dM/dt=0). 
Da mesma forma, note o produto escalar da velocidade com a área no 
segundo termo da equação. 
 
Considerações comuns: 
A primeira consideração é a de Regime permanente. Para esta, o termo 
de derivada no tempo é nulo. Assim: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
= 0 
 
 
8 
dA 
V 
dA 
V 
 
 
E integrando, podemos escrever: 
∑ 𝜌�⃗⃗�𝐴
𝑠𝑎𝑖
− ∑ 𝜌�⃗⃗�𝐴
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
= 0 
 
A segunda consideração comum é a de escoamento incompressível, ou 
seja, a densidade ρ é uma constante 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑑∀
∀
+ ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
A terceira é uma combinação das anteriores. Para escoamento 
incompressível e em regime permanente: 
∑ �⃗⃗�𝐴
𝑠𝑎𝑖
− ∑ �⃗⃗�𝐴
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
= 0 
 
Observe que a massa que entra é negativa, e a que sai é positiva. Isso 
ocorre pelo produto escalar da velocidade com a área: 
 
 
Por fim, é interessante definir as equações das vazões mássica e 
volumétrica. 
A vazão mássica para um determinado fluido é: 
�̇� = 𝜌�⃗⃗�𝐴 
Onde ρ é a densidade do fluido, V, a velocidade que ele escoa e A a área 
através da qual ele escoa. Sua unidade é kg/s. 
Por sua vez, a vazão volumétrica para um determinado fluido é: 
𝑄 = �⃗⃗�𝐴 
E sua unidade é m3/s. Assim, podemos escrever: 
�̇� = 𝜌𝑄 
Lembrando que, para um sistema em regime permanente e 
incompressível, a vazão é constante. Essa foi a consideração que acabamos de 
fazer. 
Exemplo: Água (ρ=998kg/m3) escoa na redução abaixo a 60kg/s. Os 
diâmetros são D1=220mm e D2=80mm. Calcule as velocidades em 1 e em 2 (Fox; 
Pritchard; McDonald, 2014): 
 
 
 
9 
 
Figura 3 
 
 
Observe que foi adicionado um retângulo pontilhado. Esse retângulo é o 
volume de controle, ou a representação do nosso sistema. A parte dele que 
consideraremos é a parte onde está o fluido de interesse, no caso, água. Assim, 
o que considerar para efeito de cálculos é a intersecção da tubulação com o 
volume de controle. Para cada problema, o aluno é responsável por escolher o 
volume de controle, e, normalmente, a escolha correta é um volume que englobe 
a área de interesse do sistema. Para nosso problema atual, foi escolhido um 
volume de controle que englobasse a entrada larga e a saída estreita. Nesse 
volume de controle, podemos escrever: 
𝑚 = 𝜌𝑄 →̇ 𝑄 =
�̇�
𝜌
=
60
998
= 0,0601
𝑚3
𝑠
 
Onde �̇� é a vazão mássica, ρ é a densidade do fluido e 𝑄 é a vazão 
volumétrica. Pela conservação da massa: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
Para regime permanente e escoamento incompressível: 
𝑄1 = 𝑄2 → 𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 
𝑉1 =
𝑄
𝐴1
=
0,0601
𝜋0,222/4
= 1,58𝑚/𝑠 
𝑉2 =
𝑄
𝐴2
=
0,0601
𝜋0,082/4
= 12𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
10 
 
TEMA 2: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR (2ª LEI DE NEWTON NA 
FORMA INTEGRAL) 
Utilizando o Teorema de Transporte de Reynolds, e fazendo B=P=mV e 
b=mV/m=V: 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌�⃗⃗�𝑑∀
∀
+ ∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 (1) (2) 
(1) Variação de momento no VC; 
(2) Quantidade de momento que atua pelas fronteiras do 
sistema. 
Onde P é o momento linear, V é a velocidade e A é a área. 
Mas vale notar que, da segunda lei de Newton: 
�⃗� = 𝑚�⃗� = 𝑚
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
 
E fazendo: 
�⃗� = 𝐹𝑠⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 
Onde FS são as forças de superfície e FB as forças de campo, pode-se 
escrever: 
𝐹𝑠⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌�⃗⃗�𝑑∀
∀
+ ∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
(1) (2) (3) (4) 
Essa é a chamada conservação do momento linear, ou 2ª lei de Newton 
escrita para um volume de controle não acelerado. 
Cada termo significa: 
(1) – Força de superfície aplicada no volume de controle. Pode 
ser o atrito, a pressão, uma reação de uma tubulação, etc.; 
(2) – Força de campo, como a gravidade; 
(3) – Variação de momento no volume de controle. Mede se o 
fluido está acelerando ou freando; 
(4) – Quantidade de fluido que atravessa as fronteiras do 
sistema. 
 
 
 
 
11 
 
Considerações comuns: 
- Não há forças de campo agindo em uma direção. Assim: 
𝐹𝐵 = 0 
- A força de superfície é oriunda de pressão. Dessa forma: 
𝐹𝑠 = ∫ 𝑃𝑑𝐴 
 
Todos os referenciais e considerações que já definimos para a 
conservação da massa são válidos para a equação que montamos. 
Outro ponto a notar. Observe o termo de fronteira: 
∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Ele tem duas velocidades. Por que eu não posso meramente multiplicar 
as duas e elevá-las ao quadrado? Eu não posso fazer isso por causa do produto 
escalar. Então, isso nos leva a uma nova observação. O sinal da primeira 
velocidade deve obedecer ao eixo, enquanto que o sinal da segunda velocidade 
obedece à convenção de positivo para saindo e negativo para entrando. 
Por exemplo, se x é para a direita e a velocidade também, seu sinal é 
positivo. Por outro lado, se y é para cima e a velocidade é para baixo, seu sinal 
é negativo. 
Observe o exemplo abaixo, criado apenas para ilustrar os sinais. Um fluido 
entra pela face (e) e sai pela face (s). Imagine que as setas representam a 
velocidade de água passando por um volume de controle pontilhado. Observe 
novamente o termo da equação acima que estamos analisando. Para o caso 
abaixo, depois de integrá-lo, ele ficaria com os seguintes sinais: 
 
∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= (−𝑉𝑠) ∙ 𝜌 ∙ (𝑉𝑠𝐴) + ((−𝑉𝑒) ∙ 𝜌 ∙ (−𝑉𝑒𝐴)) 
 
 
 
 
 
 
s e 
 
 
12 
 
Figura 4 
 
 
Note: O primeiro termo após a igualdade é o termo que sai. A primeira 
velocidade é para baixo, então seu sinal é negativo. A segunda velocidade é 
positiva, pois o fluido está saindo do sistema. 
No segundo termo, a primeira velocidade continua negativa, enquanto que 
a segunda passa a ser também negativa, pois o fluido está entrando no sistema. 
Fazendo a distributiva, temos: 
∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= −𝑉𝑠
2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 − 𝑉𝑒
2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 
E isso faz sentido. Estamos trabalhando a conservação do momento. A 
equação mede uma variação de momento no tempo, que é um tipo de força. Se 
todo o fluido está para baixo, nada mais natural do que a força ser aplicada para 
baixo, o que implica que o sinal da força que o fluido exerce é para baixo, ou 
seja, negativo. 
Agora, resolveremos um exemplo mais completo. 
Exemplo: Água sai de um bocal estacionário e atinge uma placa plana 
como na figura. A água deixa o bocal a 15m/s e a área do bocal é 0,01m2. 
Considere que a água atinge a placa normal à superfície e determine a força 
horizontal no suporte.Figura 5 
 
s 
e 
 
 
13 
 
 
Definiremos, mais uma vez, que o volume de controle é o quadrado em 
pontilhado. Note que o sistema poderia ser de qualquer tamanho, mas o que vai 
interessar são os trechos onde há fluido cruzando o sistema. Mais do que isso: 
mesmo que aparentemente a quantidade de água no sistema intuitivamente não 
pareça ser constante, quando dizemos que o sistema está em regime 
permanente, é exatamente isso que consideramos. 
Considerações: 
Regime permanente e velocidade constante pelas fronteiras do sistema. 
A equação que vamos utilizar é a equação da conservação do momento 
linear: 
�⃗� = 𝐹𝑠⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌�⃗⃗�𝑑∀
∀
+ ∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Solução: 
A pressão atmosférica age em todas as direções, então não há forças de 
pressão atuando. Da mesma forma, desprezaremos a gravidade, pois a força de 
reação que analisaremos está na horizontal. Assim, 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 (a gravidade), e a 
única força de superfície agindo na horizontal é a reação da força da água Rx 
que a placa oferece ao fluido. 
𝐹𝑠 = 𝑅𝑥 = ∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
𝑅𝑥 = (−𝑉)𝜌(𝑉𝐴) 
𝑅𝑥 = −15 ∙ 999 ∙ 15 ∙ 0,01 = −2,25𝑘𝑁 
O resultado negativo quer dizer que o sentido da reação é contrário ao do 
eixo x. Isso faz sentido, pois se o fluido aplica força para a direita, a placa reage 
para a esquerda. 
 
 
TEMA 3: EXERCÍCIOS 
Chegou o momento de fixarmos o conteúdo para melhorar o 
entendimento. Eu separei alguns exercícios para resolvermos juntos. 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Exemplo: Uma placa vertical tem um orifício no centro. Um jato d’água 
com velocidade V atinge a placa concentricamente. Obtenha uma expressão 
para manter a placa fixa em função da razão de diâmetros d/D se a velocidade 
de saída do orifício permanece V. Calcule o valor para V=5m/s, D=100mm e 
d=25mm. 
Figura 6 
 
 
Equação da conservação do momento linear: 
𝐹𝑠 + 𝐹𝑏 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑉𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Considerações: 
 Regime permanente; 
 Sem força de campo (𝐹𝑏 = 0 – a gravidade não está na horizontal); 
 Velocidade uniforme. 
 
Solução: 
𝐹𝑠 = 𝑅𝑥 
𝑅𝑥 = 𝑉1𝜌(−𝑉1𝐴1) + 𝑉2𝜌𝑉2𝐴2 
Lembre dos referenciais. A primeira velocidade é positiva por estar no mesmo 
sentido do eixo x, enquanto que a outra velocidade obedece ao produto escalar. 
A área é a área de um círculo, ou seja, 𝜋𝑟2 ou 𝜋𝐷2/4. 
𝑅𝑥 = −𝜌𝑉1
2
𝜋𝐷2
4
+ 𝜌𝑉2
2
𝜋𝑑2
4
 
Como 𝑉1 = 𝑉2 e d = d/D 
𝑅𝑥 = −𝜌𝑉1
2
𝜋𝐷2
4
+ 𝜌𝑉2
2
𝜋(𝑑/𝐷)2
4
 
 
 
15 
 
 
𝑅𝑥 = −
𝜌𝑉2𝜋𝐷2
4
[1 − (
𝑑
𝐷
)
2
] 
Para os valores: 
𝑅𝑥 = −1000 ∙
𝜋
4
∙ 52 ∙ (0,1)2 ∙ [1 − (
0,025
0,1
)
2
] = −184𝑁 
 
Exemplo: Um caminhão deve ser carregado com 675kg de grãos. O grão é 
carregado por um duto como na figura. O fluxo de grãos é encerrado quando a 
balança atinge o limite. Encontre o valor real carregado no caminhão. Adote 
D=0,3m, ρ=600kg/m3 e uma vazão de 40kg/s de grãos (Fox; Pritchard; 
McDonald, 2014). 
Nesse caso, consideraremos que os grãos se comportam como partículas 
de fluido. Já que temos a densidade e a vazão, temos tudo o que precisamos. 
Equação da conservação do momento linear: 
𝐹𝑠 + 𝐹𝑏 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑉𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Considerações 
 Regime permanente; 
 Velocidade uniforme. 
Solução: 
Há 3 forças envolvidas: A reação em y, o peso do caminhão e o peso dos 
grãos. Intuitivamente, poderíamos pensar que essas três forças são iguais, e 
elas seriam se tudo estivesse em repouso. Mas, os grãos estão em movimento, 
e é justamente isso que a equação da conservação do movimento avalia. 
𝑅𝑦 − (𝑊𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑎𝑜 + 𝑊𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠) = −𝑉𝜌(−𝑉𝐴) 
𝑅𝑦 − 𝑊𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑎𝑜 = 𝑊𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠 + 𝑉�̇� 
Para o primeiro termo da igualdade, a balança encerra o fluxo quando a 
diferença entre a reação e o peso do caminhão for 675kg. Essa é a tara da 
balança. Assim: 
(𝑅𝑦 − 𝑊𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑎𝑜) = 675𝑘𝑔 
Iniciando a tratar o termo do lado direito da igualdade, tem-se: 
�̇� = 𝜌𝑉𝐴 → 𝑉 =
𝑚
𝜌𝐴
̇
 
 
 
16 
 
 
Dividindo os termos do outro lado da igualdade pela aceleração da 
gravidade 𝑔, tem-se: 
𝑚𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠 +
�̇�2
𝜌𝑔𝐴
= 675(𝑘𝑔) 
𝑚𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠 = 675 −
402
600 ∙ 9,81 ∙ [(𝜋0,32)/4]
 
𝑚𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠 = 671𝑘𝑔 
Exemplo: Querosene com densidade relativa dr=0,88 entra na peça 
cilíndrica da figura com uma vazão mássica �̇�=0,0081kg/s. As placas têm 80mm 
e estão distanciadas entre si como na figura. Assumindo regime permanente, 
encontre as velocidades de entrada e de saída (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
 
Figura 8 
 
Para esse problema, note em especial que a peça é parecida com um 
irrigador, ou seja, a entrada é através de um tubo, mas a saída é através da 
superfície de um cilindro, como na figura abaixo: 
Figura 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Equação: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝜌𝑉𝑑𝐴
𝐴
= 0 
Considerações: 
- Regime permanente; 
- Velocidade uniforme. 
 
Solução: 
�̇�1 = 𝜌𝑉1𝐴1 
0,0081 = 0,88 ∙ 1000 ∙ 𝑉1 ∙ (𝜋 ∙ 0,004
2/4) 
𝑉1 = 0,732𝑚/𝑠 
𝑄1 = 𝑄2 
𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 
𝑉1𝜋𝐷1
2
4
= 𝑉2𝜋𝐷2ℎ 
𝑉2 =
𝑉1𝐷1
2
4𝐷2ℎ
=
0,732 ∙ 0,0042
4 ∙ 0,08 ∙ 0,003
= 0,0123𝑚/𝑠 
Exemplo: Considere que o óleo sai para a superfície, e calcule a máxima massa 
que a placa poderia ter para o escoamento do exercício anterior. 
 
 
Equação: 
𝐹𝑠 + 𝐹𝐵 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑉𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Considerações: 
- Fs=0; 
- Regime permanente. 
Solução: 
𝐹𝐵 = −𝑊𝑝 
−𝑊𝑝 = 𝑉1𝜌(−𝑉1𝐴1) 
𝑊𝑝 = −0,732 ∙ 0,88 ∙ 1000 ∙ (−0,732 ∙ 𝜋 ∙
0,0042
4
) 
𝑊𝑝 = 0,006𝑁 
 
 
 
18 
 
 
𝑚𝑝 =
𝑊𝑝
𝑔
=
0,006
9,81
= 0,6𝑔 
 
TEMA 4: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR 
Aprofundaremos a análise da conservação do momento e veremos como 
o momento angular se comporta. Utilizando o Teorema de Transporte de 
Reynolds e fazendo a propriedade extensiva B ser o momento angular H, 
podemos escrever B=H=r x mV e b=r x mV/m = r x V: 
𝑑𝐻
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 (1) (2) 
(1) Variação de momento angular no VC; 
(2) Quantidade de momento angular que atua pelas fronteiras 
do sistema. 
Note que, agora, há um produto vetorial de um raio com a velocidade. 
Além disso: 
𝑇 =
𝑑𝐻
𝑑𝑡
 
 
E o torque pode ser escrito como: 
𝑇 = 𝑟 x 𝐹𝑠 + ∫ 𝑟 x 𝑔𝜌𝑑∀ + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 
Assim: 
𝑟 x 𝐹𝑠 + ∫ 𝑟 x 𝑔𝜌𝑑∀ + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Do lado direito, tem-se todos os tipos de torque, que são o torque devido 
a forças de superfície, o torque devido à gravidade e o torque de um eixo. 
O referencial para a velocidade que está em escalar com o elemento de 
área continua o mesmo. Ela é positiva para saída e negativa para entrada. Por 
sua vez, o produto vetorial do raio com a velocidade é positivo para sentido anti-
horário e negativo para sentido horário. 
 
 
 
 
19 
 
 
Alguns conceitos úteis para relembrar são o de velocidade e aceleração 
tangencial: 
𝑉𝑡 = 𝜔𝑟 
𝑎𝑡 = 𝛼𝑟 
 
Onde 𝜔 é a velocidade angular em rad/s, e 𝛼 é a aceleração angular em 
rad/s2. O sufixo t se refere à tangencial. 
Aplicações comuns: 
Dispositivos com escoamento radial, como bombas centrífugas. Veja na 
imagem abaixo: 
Figura 10 
 
 
Para um escoamento em regime permanente e incompressível, 
simplificando a equação do momento, chega-seao seguinte resultado, que é a 
Equação de Euler para máquinas de fluxo. Essa equação nos mostra que o 
torque no eixo de uma bomba depende apenas das velocidades tangenciais de 
entrada 𝑉1,𝑡 e de saída 𝑉2,𝑡, dos raios da tubulação de entrada 𝑟1 e da voluta 𝑟2 e 
da vazão mássica �̇�. 
𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 = �̇�(𝑟2𝑉2,𝑡 − 𝑟1𝑉1,𝑡) 
Para o caso ideal: 
𝑉𝑡 = 𝜔𝑟 
Assim: 
𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 = �̇�𝜔(𝑟2
2 − 𝑟1
2) 
E a potência do eixo: 
�̇� = 𝜔𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 
 
 
20 
 
 
Mais uma vez, é necessário fazer um exemplo para aplicarmos o 
conteúdo. 
Exemplo: Água subterrânea é bombeada a uma altura suficiente através 
de um tubo de 10 cm de diâmetro que consiste num comprimento vertical de 2m 
e 1 m de comprimento horizontal, como mostrado na figura abaixo. A água é 
descarregada para o ar atmosférico a uma velocidade média de 3 m/s, e a massa 
da secção de tubo horizontal quando cheio com água é de 12 kg por metro de 
comprimento. A tubulação está ancorada no chão por uma base de concreto. 
Determinar o momento de flexão, agindo na base do tubo (ponto A), e o 
comprimento necessário da secção horizontal que faria o momento no ponto A 
zero (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
 
Figura 11 
 
 
Forças agindo no sistema: 
Figura 12 
 
 
 
21 
 
Considerações: 
- Regime permanente; 
- Velocidade uniforme. 
 
Solução: 
Pela conservação da massa: 
�̇�1 = �̇�2 = 𝜌𝑉𝐴 = 1000 ∙ 3 ∙
𝜋0,12
4
= 23,56𝑘𝑔/𝑠 
Cálculo do peso: 
𝑊 = 𝑚𝑔 = 12 ∙ 9,81 = 118𝑁 
 
Equação do momento angular: 
𝑟 x 𝐹𝑠 + ∫ 𝑟 x 𝑔𝜌𝑑∀ + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
O terceiro (𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜) e o quarto termos (o termo da derivada no tempo) são 
zero (sem eixo e em regime permanente). Considerando negativo o sentido 
horário e fazendo r x Fs=M, suponhamos que o momento está no sentido anti-
horário. Assim, o resultado da equação será positivo. 
𝑀 − 𝑟1𝑊 = −�̇�𝑟2𝑉2,𝑡 
𝑀 = 0,5 ∙ 118 − 23,56 ∙ 2 ∙ 3 
𝑀 = −82,5𝑁 ∙ 𝑚 
O momento está em sentido contrário ao que estimamos inicialmente, ou 
seja, ele está no sentido horário. 
O momento não é a reação, mas age no mesmo sentido que ela. O 
momento é uma quantidade de força, ou seja, ele é na direção em que a força 
reage. Nesse caso, a diferença entre a força peso e a força de velocidade do 
escoamento. Isso significa que a força que o fluido exerce por escoar na 
tubulação é maior do que a força que a massa de água na tubulação exerce. 
A segunda parte da questão pediu para fazer o momento ser zero. Assim: 
0 = 𝑟1𝑊 − �̇�𝑟2𝑉2,𝑡 
Mas: 
𝑟1 = 𝐿/2 
0 =
𝐿
2
∙ 𝑊 − �̇�𝑟2𝑉2,𝑡 
 
 
 
22 
 
 
Ou: 
𝐿 = √
2 ∙ 𝑟2 ∙ �̇� ∙ 𝑉2
𝑊
 
Assim: 
𝐿 = √
2 ∙ 141,4
118
= 2,4𝑚 
 
TEMA 5: CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
Nossa última conservação na forma integral. Utilizando o Teorema de 
Transporte de Reynolds e fazendo B=E, ou seja, a Energia de um sistema em 
Joule, e b=E/m=e, a chamada energia específica, em unidade de Joule/kg: 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑒𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑒𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 (1) (2) 
(1) Variação de energia no VC; 
(2) Quantidade de energia que passa pelas fronteiras do 
sistema. 
Mas da 1ª Lei da termodinâmica: 
𝑄 − �̇� =
𝑑𝐸
𝑑𝑡
 
Onde �̇� é um termo de trabalho. Da mesma forma, pode-se escrever da 
equação de estado: 
𝑒 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 
Ou: 
𝑄 − �̇� =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 
Analisando termo a termo: 
Q se refere a uma transferência de energia através de uma troca de calor. 
Por exemplo, para três latas de refrigerante a 25°C, 15°C e 5°C numa 
temperatura ambiente de 25°C, teríamos as transferências de energia abaixo. 
 
 
23 
 
Figura 13 
 
 
�̇� se refere a transferência de energia por trabalho feito ou sofrido pelo 
sistema. Há vários tipos de trabalho: 
�̇�𝑡 = �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 + �̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 + �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜𝑠 + �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 
Onde �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜𝑠 (ou �̇�𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠) se refere ao trabalho transmitido ao fluido por 
efeitos de atrito (ex.: um rotor movendo o fluido) e será desprezado por ser um 
termo muito pequeno em relação aos demais, mas será considerado em análise 
de máquinas de fluxo. �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 se refere a trabalhos elétricos ou 
eletromagnéticos. �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 é o trabalho realizado pelo eixo de uma bomba ou de 
uma turbina, e �̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 é o trabalho que um fluido pressurizado sofre pela ação 
da pressão. 
Comumente: 
�̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 = 2𝜋𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 
Onde Teixo é o torque do eixo e: 
�̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = ∫ 𝑃�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 = ∫
𝑃
𝜌
𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 =
𝑃
𝜌
∙ �̇� 
Outra forma comum da equação da energia é a forma abaixo. 
Desprezamos os trabalhos viscosos e de outros, e substituímos o trabalho de 
pressão no sistema. Assim: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 − �̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Mas: 
�̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = ∫
𝑃
𝜌
𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 
 
 
 
24 
 
Substituindo na equação anterior, e sabendo que a integral da soma é a 
soma das integrais: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 − ∫
𝑃
𝜌
𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫
𝑃
𝜌
𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 + ∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (
𝑃
𝜌
+ 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Ou: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∑ �̇� (
𝑃
𝜌
+ 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑠𝑎𝑖
− ∑ �̇� (
𝑃
𝜌
+ 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
 
Ou, ainda: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∑ �̇� (ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑠𝑎𝑖
− ∑ �̇� (ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
 
Onde h é a entalpia do fluido. 
Agora, podemos analisar os casos especiais, ou as considerações 
comuns: 
- Regime permanente, sem transferência de calor e incompressível: 
�̇� (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
+ �̇�𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = �̇� (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
+ �̇�𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 + �̇�𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 
Lembrando que �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜𝑠 = �̇�𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠. 
- Regime permanente, sem atrito, sem transferência de calor e 
incompressível: 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
Essa equação é chamada equação de Bernoulli. Ela faz um balanço de 
energia mecânica para um fluido, e os termos significam as energias de pressão, 
cinética e potencial. 
 
 
 
 
25 
 
Exemplo 1: Medindo perdas por atrito numa bomba. A bomba de um 
sistema de distribuição de água é alimentada por um motor elétrico que consome 
15 kW cuja eficiência do é de 90%. A vazão de água através da bomba é de 
50L/s. Os diâmetros dos tubos de entrada e de saída são os mesmos, e a 
diferença de elevação entre a bomba é negligenciável. Se as pressões na 
entrada e na saída da bomba medem 100 kPa e 300 kPa (absoluta), 
respectivamente, determinar (a) a eficiência mecânica da bomba e (b) o 
aumento da temperatura da água que flui através da bomba devido à ineficiência 
mecânica (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
 
Figura 14 
 
 
Lembre-se que apesar do volume de controle englobar o motor, a água 
só passa no interior da tubulação. 
Considerações:- Regime permanente; 
- Velocidade uniforme. 
Solução: 
a) 
�̇� = 𝜌𝑄 =
1𝑘𝑔
𝐿
∙
50𝐿
𝑠
= 50
𝑘𝑔
𝑠
 
O trabalho do motor transferido para o fluido é: 
�̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 = 𝜂 ∙ �̇�𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 0,9 ∙ 15𝑘 = 13,5𝑘𝑊 
Onde η é o rendimento do motor. 
 
 
 
26 
 
Fazendo um balanço de energia, a variação de energia mecânica no 
sistema é: 
Δ𝐸𝑚𝑒𝑐 = �̇� (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑠𝑎𝑖
− �̇� (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
 
Como os diâmetros dos tubos de entrada e de saída são os mesmos, as 
velocidades de entrada e saída são as mesmas. Da mesma forma, o enunciado 
nos disse que a diferença de elevação entre a bomba é negligenciável, ou seja, 
zsai=zentra. Dessa forma, a equação se torna: 
Δ𝐸𝑚𝑒𝑐 = �̇� (
𝑃2 − 𝑃1
𝜌
) = 50 (
300 − 100
1000
) = 10𝑘𝑊 
Assim, para o rendimento: 
𝜂𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 =
10𝑘𝑊
13,5𝑘𝑊
= 0,741 = 74,1% 
b) Para o aumento de temperatura, usa-se a seguinte forma da primeira 
lei da termodinâmica: 
Δ𝐸𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 = �̇�𝑐𝑝Δ𝑇 
Ou, a variação de temperatura é: 
Δ𝑇 =
Δ𝐸𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎
�̇�𝑐𝑝
 
O termo Δ𝐸𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎é a diferença entre o que a bomba consumiu e o que ela 
de fato produziu, ou seja, 13,5kW-10kW. Assim, considerando cp=4,18kJ/kg 
(calor específico a pressão constante) para a água: 
Δ𝑇 =
3,5
50 ∙ 4,18
= 0,017°𝐶 
Numa aplicação prática, a água teria um aumento de temperatura ainda 
menor, pois parte desse aumento seria transmitido para a carcaça da bomba e, 
por sua vez, liberado para a atmosfera. Por outro lado, se a bomba fosse 
submersa, a temperatura aumentaria mais ainda, pois o 1,5kW dissipado na 
ineficiência do motor também seria transmitido para a água. 
 
 
27 
 
 
SÍNTESE 
Caro aluno, cara aluna, Parabéns pelo seu esforço até o momento. Já 
estamos na metade da disciplina e já aprendemos muita coisa. Na aula de hoje, 
estudamos as conservações na forma integral, ou seja, sem nos importarmos 
com os detalhes do escoamento, e, sim, com o efeito que o escoamento tem em 
tudo o que o circunda. 
Mais uma vez, eu reforço: para o correto aprendizado, você deve praticar. 
Assim, não esqueça de estudar os capítulos e fazer bastantes exercícios. 
 
 
REFERÊNCIAS 
FOX, R. W; PRITCHARD, P.; MCDONALD, T. Introdução à mecânica 
dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.