Cálculo Númerico - Modelagem Matemática

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01.01 –
MODELAGEM 
MATEMÁTICA
Modelagem Matemática e 
Resolução de Problemas de 
Engenharia
•Requer entendimento de sistemas de 
engenharia
–Por observação e experimento
–Análise teórica e generalização
•Computadores são ferramentas 
fenomenais, entretanto, sem entendimento 
fundamental de problemas de engenharia, 
eles serão inúteis. 
Fig. 1.1
• Um modelo matemático é representado como uma relação 
functional da forma
Variável variáveis motrizes
Dependente = f dependentes, parâmetros, funções
• Variável dependente: Característica que geralmente reflete o 
estado do sistema
• Variáveis independentes: Dimensões como tempo e espaço ao 
longo dos quais o comportamento do Sistema é determinado
• Parâmetros: refletem as propriedades ou composição do sistema
• Funções motrizes: influências externas agindo sobre o sistema
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2ª Lei de Newton do Movimento
• Afirma que “a mudança da taxa de tempo do 
momento de um corpo é igual à força 
resultante agindo sobre o mesmo.”
• O modelo é formulado como
F = m a (1.2)
F=força líquida agindo sobre o corpo (N)
m=massa do objeto (kg)
a=sua aceleração (m/s2)
• Formulação da 2ª Lei de Newton tem várias 
características que são típicas de modelos 
matemáticos do mundo físico:
– Ela descreve um processo ou Sistema natural em 
termos matemáticos
– Representa uma idealização e simplificação da 
realidade
– Finalmente, gera resultados reprodutíveis, 
consequentemente, pode ser usada para propósitos 
preditivos.
• Alguns modelos matemáticos de fenômenos físicos 
podem ser muito mais complexos.
• Modelos complexos podem não ser resolvidos 
exatamente ou requerem técnicas matemáticas mais 
sofisticadas que a simples álgebra para sua resolução
– Exemplo, modelagem de um paraquedista em queda:
m
cvmg
dt
dv
cvF
mgF
FFF
m
F
dt
dv
U
D
UD





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• Essa é uma equação diferencial e é escrita 
em termos da taxa diferencial de mudança 
dv/dt da variável na qual estamos 
interessados em predizer.
• Se o paraquedista está inicialmente em 
repouso (v=0 at t=0), usando cálculo
v
m
cg
dt
dv 
 tmce
c
gmtv )/(1)( 
Independent variable
Dependent variable
ParametersForcing function
Leis de Conservação e Engenharia
• Leis de conservação são as mais importantes e 
fundamentais leis que são usadas em 
engenharia.
Mudança= acréscimos– decréscimos (1.13)
• Mudança implica mudanças com o tempo 
(transiente). Se a mudança não existe (estado 
estacionário), Eq. 1.13 torna-se
Acréscimos=Decréscimos
• Para fluido em escoamento incompressível em estado 
estacionário em tubos:
Escoamento de entrada = Escoamento de saída
ou
100 + 80 = 120 + Escoamento4
Escoamento4 = 60
Fig 1.6 Refer to Table 1.1