cap39

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Sears/Zemansky: Física 10ª edição - Manual de Soluções
Capítulo 39
39-2:	a)	
			t = (( = (2.29)(2.20 x 10-6 s) = 5.05 x 10-6 s.
d = vt = (0.900)(3.00 x 108 m/s)(5.05 x 10-6 s) = 1.36 x 103 m = 1.36 km.
39-4:	
		((t = (4.79)(82.4 x 10-6 s) = 3.95 x 10-4 s = 0.395 ms.
39-6:	
	
	a)	
	b)	(0.300 s)(0.800c) = 7.20 x 107 m.
c)	
(t0 = 0.300 s/( = 0.180 s. (Este é valor do intervalo de tempo medido pela astronauta no cronômetro dela.) Para você o intervalo de tempo medido por um relógio na sua origem será 
Claramente os dois observadores (você e a astronauta) não concordam com o valor do respectivo intervalo de tempo medido!
39-8:	a)	O sistema no qual a fonte (o farol) está em repouso é o sistema de referência da espaçonave. Logo 12.0 ms é o tempo próprio.
Com três algarismos significativos, temos u = c. Explicitando u/c da Eq. (39-7) em termos de (, obtemos: 
Usando 1/( = (t0/(t = 12.0 ms/190 ms, obtemos: u/c = 0.998.
39-10:	a)	
= 1.51 x 10-4 s.
= 10.44
				
= 4.31 km.
= 1.44 x 10-5 s, e 
 = 1.44 x 10-5 s. Logo os resultados concordam porém a vida média da partícula é dilatada na Terra.
39-12:	
= 0.952c = 2.86 x 108 m/s.
39-14:	Multiplicando a última equação (39-22) por u e somando com a primeira para eliminar t, obtemos: 
e multiplicando a primeira equação por 
 e somando com a última para eliminar t, obtemos:
Logo x = ((x( + ut() e t = ((t( + ux(/c2), que na verdade é a mesma Eq. (39-22) trocando as variáveis e trocando o sinal de u.
39-16:	( = 1.667 (( = 5/3 quando u = (4/5)c).
	a)	No sistema de referência de Mavis o evento “acender a luz” possui coordenadas do espaçotempo dadas por x( = 0 e t( = 5.00 s. Logo pelo resultado do Exercício 39-14 ou do Exemplo 39-7, 
 = 2.00 x 109 m, t = (t( = 8.33 s.
	b)	O intervalo de tempo de 5.00 s no sistema de referência de Mavis é o tempo próprio (t0 na Eq. (39-6). Logo (t = ((t0 = 8.33 s, como no item (a).
	c)	(8.33 s)(0.800c) = 2.00 109 m, que é igual à distância x encontrada no item (a).
39-18:	Usando a Eq. (39-23),
					
					
a partir da qual obtemos a Eq. (39-24). Este resultado também pode ser obtido simplesmente trocando as variáveis e trocando o sinal de u.
39-20:	No sistema de referência de uma das partículas, u e v possuem o mesmo módulo 0.9520c porém os seus sentidos são opostos.
Logo, uma partícula se aproxima da outra com velocidade igual a 0.9988c no sistema de referência da outra partícula.
39-22:	a)	Na Eq. (39-24), 
	b)	
39-24:	Supondo u positivo, o diagrama do espaçotempo da Fig. (39-16) pode ser usado para verificar que no sistema de referência de Stanley t1 < t2. Usando um diagrama do espaçotempo para o qual Mavis está em repouso, Stanley se move com a velocidade relativa negativa em relação ao sistema no qual x(2> x(1, e esse diagrama mostra novamente que t1 < t2.
			
39-26:	Explicitando u/c na Eq. (39-26), (ver o Problema 39-27) obtemos: 
	(a) Para f/f0 = 0.98, (u/c) = 0.0202, a fonte se afasta do observador.
	b) Para f/f0 = 4, (u/c) = -0.882, a fonte se aproxima do observador.
39-28:	Usando u = -0.600c = -(3/5)c na Eq. (39-26) obtemos: 
39-30:	Achamos a força usando a Eq. (39-33) ou a Eq. (39-34).
	a)	O mesmo resultado obtido pela equação F = ma = 0.145 N.
	b)	(3ma = 1.75 N.
	c)	(3ma = 51.7 N.
	d)	(ma = 0.145 N, 0.333 N, 1.03 N.
39-32:	a)	( = 1.01. Logo (v/c) = 0.140 e v = 4.21 x 108 m/s.
	b) A expressão relativística possui valor sempre maior do que o valor da expressão não-relativística. 
39-34:	E = 2mc2 = 2(1.67 x 10-27 kg)(3.00 x 108 m/s)2 = 3.01 x 10-10 J = 1.88 x 109 eV.
39-36:	a)	W = (K = ((f - 1)mc2 = (4.07 x 10-3)mc2.
	b)	((f - (I)mc2 = 4.79mc2.
	c)	O resultado do item (b) é bastante maior do que o do item (a).
39-38:	
	ou seja, a soma da energia da massa de repouso com a energia cinética clássica.
39-40:	(5.52 x 10-27 kg)(3.00 x 108 m/s)2 – 4.97 x 10-10 J = 3105 MeV.
39-42:	a)	A parte da massa inicial que se transforma em energia é
	
 6.382 x 10-3, e portanto a energia libertada por quilograma é (6.382 x 10-3)(1.00 kg)(3.00 x 108 m/s)2 = 5.74 x 1014 J.
	b)	
 = 1.7 x 104 kg.
39-44:	Cada aresta do cubo sofre uma contração aparente de um fator igual a 
 portanto o volume em S( é 
39-46:	A variação da idade biológica da astronauta é (t0 na Eq. (39-6), e (t é dado pela distância até a estrela, medida a partir da Terra, dividida pela velocidade. Combinando com a idade biológica da astronauta obtemos:
49-48:	a)	(8.00 kg)(1.00 x 10-4)(3.00 x 108 m/s)2 = 7.20 x 1013 J.
	b)	((E/(t) – (7.20 x 1013 J)/(4.00 x 10-6 s) = 1.80 x 1019 W.
	c)	M = 
7.35 x 109 kg.
39-50:	a) v = 
 onde o momento linear do átomo e do fóton possuem o mesmo módulo, E/c.
v = 
= << c. Logo E << mc2.
39-52:	a)	80.0 m/s é m valor não-relativístico, e K = 
mv2 = 186 J.
(( - 1)mc2 = 1.31 x 1015 J.
Na Eq. (39-24),
v(= 2.20 x 108 m/s, u = -1.80 x 108 m/s, e Logo v = 7.14 x 107 m/s.
= 13.6 m.
= 9.09 x 10-8 s.
t( = 
= 6.18 x 10-8 s, ou t( =
 = 6.18 x 10-8 s.
39-54:	a)	Pela Eq. (39-38),
K – 
mv2 = 
(90.0 kg)
 = 304 J.
39-56:	Fazendo x = 0 na Eq. (39-22), a primeira equação fornece x(= -(ut e a última, depois de multiplicar por c, fornece ct( = (ct. Elevando ao quadrado e subtraindo obtemos:
c2t(2 - x(2 = (2(c2t2 – u2t2) = c2t2,
 	ou x(=c
= 4.53 x 108 m.
39-58:	a)	(100 s)(0.600)(3.00 x 108 m/s) = 1.80 x 1010 m.
No sistema de referência de Sebulba, a velocidade relativa dos táquions é igual a 3.40c, e portanto o tempo é t2 = 100 s + 
 = 118 s. No instante t2 Sebulba verifica que a distância até Watto é igual a (118 s)(0.600)(3.00 x 108 m/s) = 2.12 x 1010 m.
Pela Eq. (39-24), com v( = -4.00c e u = 0.600c, v = +2.43c, onde o sinal positivo indica que o sentido do movimento é o mesmo sentido do movimento Watto (ou seja, para fora de Sebulba).
Como sugere o resultado da parte (c), Sebulba poderia ver os táquions se movendo no sentido de Watto e portanto t3 é o tempo que os táquions levam para deixar Sebulba a fim de atingir Watto na distância encontrada na parte (b), ou seja
118 s -
 = 89 s, e portanto Sebulba recebe a mensagem de Watto antes dela ser enviada! Parece que a hipótese dos táquions viola a causalidade.
39-60:	A bola de beisebol se move não-relativisticamente, portanto a fórmula do efeito Doppler (Eq. (39-26)) fornece f ( f0(1-(u/c)). No sistema de referência da bola de beisebol, esta é a freqüência com a qual as ondas de radar atingem a bola de beisebol, e a seguir a bola de beisebol irradia novamente as ondas com esta freqüência f. Porém no sistema de referência do instrutor, estas ondas refletidas sofrem um segundo deslocamento Doppler, portanto a freqüência detectada é f(1 – (u/c)) = f0(1 – (u/c))2 ( fi = f0(1 –2(u/c)), portanto (f = 2f0(u/c) e a variação relativa da freqüência é 
= 2(u/c). Obtemos: 
 				u =
 (3.00 x 108 m)
				 = 42.9 m/s = 154 km/h
39-62:	a) Como sugerido na formulação do problema, as cristas das ondas percorrem a mesma distância. Contudo, em nosso sistema de referência, a espaçonave se desloca durante a emissão das frentes de onda sucessivas e podemos usar o tempo T = 1/f como o tempo próprio, donde se conclui que f = (f0 > f0.
Quando se aproxima: f = f0 
= 930 MHz.
f – f0= 930 MHz – 345 MHz = 585 MHz.
Quando se afasta:
f = f0 
= 128 MHz
f – f0 = -217 MHz.
(f0 = 1.53 f0 = 528 MHz, f – f0 = 183 MHz. O deslocamento da freqüência é ainda maior do que f0, porém não é menor do que o deslocamento da freqüência quando a espaçonave se aproxima.
39-64:	Na Eq. (39-24), u = V, v( = (c/n), e portanto
		
	Quando V é uma velocidade não-relativística,ou seja
V ( ((c/n) + V) (1 – (V/nc))
					= (c/n) + V – (V/n2) – (V2/nc)
					
	portanto k = 
 Para a água, n = 1.333 e k = 0.437.
39-66:	a) A velocidade v( é medida em relação à espaçonave, e portanto para a espaçonave e seus ocupantes, v( = 0; a aceleração em relação à espaçonave é a( = g, e portanto a aceleração medida em relação à Terra é dada por
	b)	Para v1 = 0 quando t = 0,
					
				 
					
	c)	
 portanto a relação na parte (b) entre dt e du, expressa em termos de dt( e du, é
		Integrando, obtemos: 
Para aqueles que desejam evitar as funções hiperbólicas, a integração anterior pode ser feita pelo método das frações parciais:
	integrando obtemos: 
d) Explicitando v1 da expressão do item (c) em termos de t1 (v1/c) = tanh(gt(1/c), obtemos 
 usando as identidades apropriadas para as funções hiperbólicas. Usando isto na expressão encontrada na parte (b), obtemos:
	e a relação anterior pode ser escrita do seguinte modo
Caso as funções hiperbólicas não sejam usadas, v1 em termos de t(1 é pode ser determinado por
que é exatamente a mesma expressão da tanh(gt(1/c). Substituindo esta expressão no resultado da parte (b) obtemos:
	expressão equivalente à obtida usando-se funções hiperbólicas.
	e)	Depois do primeiro período da aceleração (de 5 anos de acordo com o relógio de Stella), o tempo decorrido na Terra é
2.65 x 109 s = 84.0 anos.
O tempo decorrido é o mesmo para as quatro etapas da viagem, , portanto quando Stella retorna, o tempo decorrido na Terra foi de 336 anos e o ano seria 2436. (Usando mais algarismos significativos do que no problema, obtemos 7 de fevereiro de 2436.) 
39-68:	Para qualquer função f = f(x,t) e x = x(x(,t(), t = t(x(, t(), Considere a função 
F(x(, t() = f(x(x(, t(), t(x(, t()) e use a notação F(x(, t() = f(x(, t(). A regra da derivação em cadeia fornece
Nesta solução, a dependência explícita das variáveis de cada função é suprimida, e as relações anteriores fornecem
	a)	
 Para a derivada em relação ao tempo, 
 Para achar a segunda derivada em relação ao tempo, devemos usar a regra da derivação em cadeia; obtemos: 
	Usando estas expressões em 
 obtemos:
	e usando este resultado na expressão anterior para 
 obtemos o resultado desejado.
	b)	Para a transformação de Lorentz, 
	As primeiras derivadas parciais são
	
	e as segundas derivadas parciais são
	Substituindo na equação de onda, obtemos: 
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