01 Matemática Financeira ADM e Ciências Contábeis TEORIA

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UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO 
ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 
CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
PROFESSOR CAIO FERRARI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2018 
 
2 
 
APRESENTAÇÃO: 
 
Olá aluno da UNIP, apresento a disciplina de Matemática Financeira do curso de Ciências 
Contábeis e Administração. 
 
Meu nome é Caio Ferrari Bacharel e Licenciado em Matemática, docente desde 1996 e na 
UNIP desde 2003. 
 
A finalidade básica da disciplina Matemática Financeira é estabelecer os critérios de 
recálculo dos valores financeiros na alteração das suas datas, bem como discutir as 
consequências desse recálculo, servindo como instrumento gerador dos dados que 
subsidiarão as conclusões dos profissionais da área. 
 
A Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar aos alunos o domínio dos seus 
conceitos e nomenclatura, bem como instrumentalizá-los no uso das fórmulas e das 
calculadoras financeiras, facilitando-lhes o trânsito na área de finanças, de acordo com seu 
perfil profissional e servindo como base/instrumento para outras disciplinas do curso. 
 
Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de identificar e calcular as operações financeiras, 
relacionando-as às situações do dia-a-dia das empresas e da sua própria vida, utilizando-
se de uma calculadora financeira. 
 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 
1– Introdução à Matemática Financeira 
1.1 - Porcentagem. 
1.2 – Conceitos básicos de capital, juro, taxa, prazo, montante. 
 
2– Capitalização Simples 
2.1- Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial. 
2.2- Desconto Simples 
 
3– Capitalização Composta 
3.1- Juro e Montante compostos 
3.2- Desconto composto 
3.3- Taxas equivalentes, efetivas, nominais e proporcionais. 
3.4 - Equivalência composta de capitais 
 
4– Rendas 
4.1- Capitalização 
4.2- Financiamento 
4.3- Renda diferida 
4.4- Renda perpétua 
 
5– Empréstimos 
5.1- Sistemas de amortização de curto prazo 
5.1- SAC 
5.2- Sistema Francês (Price) 
 
 
3 
 
O material aqui apresentado contém, resumidamente, conceitos, definições, exercícios e 
problemas extraídos dos textos abaixo relacionados: 
 
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 8.ed. São Paulo: Atlas, 
2003. 
BODIE, Z.; MERTON, R. C. Finanças. São Paulo: Bookman, 2002. 
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, 
Microsoft Excel. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira com HP 12C. 5.ed. São Paulo: Atlas, 
2009. 
CASAROTTO, F. N.; KOPITTKE, B. H. Análise de Investimentos. São Paulo: Atlas, 
2000. 
FORTUNA, E. Mercado Financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: 
Qualitymark, 2002. 
GITMAN, L. J. Princípios de Administração Financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 1997. 
GUIMARÃES, L. ; NOBRE, J. Apostila de Matemática Financeira. São Paulo: Centro 
Universitário Ítalo Brasileiro, 2010. 
HIRSCHFELD, H. Engenharia econômica e análise de custos. São Paulo: Atlas, 2000. 
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 6.ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
RAMIRO, W. Apostila de Administração Financeira e Orçamentária I e II. São Paulo: 
Universidade Ibirapuera, 1999. 
ROSS, S. et al. Princípios de Administração Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2000. 
SECURATO, J. R. Cálculo Financeiro das Tesourarias – Bancos e Empresas. São 
Paulo: Saint Paul, 2003. 
VERAS, L. L. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações do 
mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. 6.ed. São Paulo: Atlas, 
2007. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 01 – IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA – 
APLICAÇÕES 
 
TEMPO E DINHEIRO: OBJETOS DE ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Se algum amigo lhe pedisse $ 1.000,00 emprestados para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um ano, 
você acharia a proposta atraente? Por melhor que seja o seu amigo, com certeza esse pedido não lhe 
agradaria. Algumas questões surgiriam em sua mente: 
 
 “Será que ele me pagará na data prevista?” 
 “Será que o poder de compra dos $ 1.000,00 permanecerá inalterado durante um ano inteiro?” 
 “Contudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo satisfazendo as minhas 
necessidades, ou poderia aplicá-lo na caderneta de poupança, ganhando os juros e rendimentos do 
período.” 
 
Intuitivamente, você destacaria o principal aspecto da matemática financeira: 
 
DINHEIRO TEM UM CUSTO ASSOCIADO AO TEMPO 
 
Diversas razões influenciam a preferência pela posse atual do dinheiro: 
 
 Risco: existe sempre a possibilidade de não ocorrer os planos confirme o previsto; em outras palavras, 
sempre haverá o risco de não receber os valores programados em decorrência de fatos imprevistos. 
 
 Utilidade: o investimento implica em, deixar de consumir hoje para consumir no futuro, o que somente 
será atraente se existir alguma compensação. 
 
 Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, no presente, permite 
aproveitar as oportunidades mais rentáveis que surgirem. 
 
Logo existe um custo associado à posse do dinheiro no tempo, estudado pela Matemática Financeira e 
discutido nas próximas unidades. 
 
A Matemática Financeira compreende um conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com 
o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de um modo geral, e que, basicamente, consistem 
no estudo do valor do dinheiro no tempo. 
 
Por sua vez, o valor do dinheiro no tempo relaciona-se à ideia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro 
muda, quer em função de ter-se a oportunidade de aplicá-lo, obtendo-se, assim uma remuneração (juros) 
sobre a quantia envolvida, quer em função de sua desvalorização por causa da inflação. 
 
Dessa forma alguns princípios básicos sempre deverão ser respeitados: 
 
Só se pode comparar valores ($) se estes estiverem referenciados na mesma data; 
Só se pode efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma data; 
 
NUNCA SOME VALORES EM DATAS DIFERENTES 
 
O tempo é uma das variáveis chaves para a Matemática Financeira. Existem duas formas básicas para 
considerar a evolução do custo do dinheiro no tempo: o regime de capitalização simples e o regime de 
capitalização composta. 
 
A Matemática Financeira tem por objetivo o manuseio de fluxos de caixa visando suas transformações em 
outros fluxos equivalentes que permitam as suas comparações de maneira mais fácil e segura. 
 
Assim, por exemplo, considere o caso de um indivíduo que deseja vender um equipamento por $ 100.000,00 
à vista. Acontece que, ao receber as propostas constatou que todas incluíam uma parte à vista e outra parte 
financiada. O pior é que as modalidades de financiamentos variam de proposta para proposta. Como decidir 
qual é a melhor? A solução será, com o auxílio da Matemática Financeira, transformar a cada proposta em 
5 
 
seu “valor equivalente à vista” e comparar todos os “valores à vista” assim obtidos, pois essa comparação se 
torna espontânea. 
 
A transformação desses fluxos de caixa só pode ser feita com a fixação dos juros e pode-se ainda dizer que 
a existência da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas e fatores, se prende, exclusivamente, à 
existência dos mesmos. 
 
Dada essa importância dos juros dentro do contexto da Matemática Financeira, eles serão estudados em uma 
unidade à parte. 
 
MOEDA ESTÁVEL E INFLAÇÃO 
 
Todo o conteúdo da disciplina foi desenvolvido na hipótese de moeda estável, isto é, assume-se que a moeda 
utilizada no fluxo de caixa tem o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo. Essa moeda serágenericamente 
representada pelo símbolo ($). É importante destacar que nessa hipótese de moeda estável, um determinado 
equipamento pode ser adquirido pela mesma quantidade de unidades monetárias ao longo do tempo (hoje, 
daqui a um mês, daqui a um ano, etc). 
 
UNIDADE 02 – FUNDAMENTOS – PORCENTAGEM 
TAXAS: PERCENTUAL E UNITÁRIA 
 
PORCENTAGEM 
 
HISTÓRICO 
 
A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é uma deturpação 
da abreviatura Cto (Ciento) – usada pelos mercadores italianos do século XV nas suas transações comerciais 
– e aparece, pela primeira vez, em 1685, num livro francês, Le Guide de Negotien (O Guia do Comerciante). 
 
 
CONCEITO 
 
Toda razão ௔
ଵ଴଴
 centesimal chama-se taxa percentual 
 
 
47% = 
ସ଻
ଵ଴଴
 = 47 ÷ 100 = 0,47 
 
 
 TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA 
 (o denominador desta fração é igual a 100) (o denominador desta fração é igual a 1) 
 
São exemplos de razões centesimais: 
 
37
100
 
4
100
 
52,34
100
 
215
100
 
 
 
As razões centesimais podem ser representadas na forma decimal (taxa unitária) e, também, em taxas 
percentuais utilizando o símbolo %, como é mostrado a seguir: 
 
ଷ଻
ଵ଴଴
 = 0,37 = 37% ସ
ଵ଴଴
 = 0,04 = 4% ହଶ,ଷସ
ଵ଴଴
 = 0,5234 = 52,34% ଶଵହ
ଵ଴଴
 = 2,15 = 215% 
 
 
Observa-se, portanto, que a expressão por cento, indicada pelo símbolo %, significa centésimos. Assim, 
20% é simplesmente uma outra maneira de expressar 20 centésimos ou ଶ଴
ଵ଴଴
 ou 0,20 ou ଵ
ହ
 , etc. 
 
 
 
6 
 
Exemplo 1 
 
Calcule 27,5% de R$ 5.800,00. 
 
Como 27,5% = 
ଶ଻,ହ
ଵ଴଴
 = 0,275 
 
Então, o cálculo a ser feito é: 0,275 x 5.800 = 1.595 reais 
 
 
Exemplo 2 
 
Calcule R$ 700,00 + 32% de R$ 700,00. 
 
Como 32% = 
ଷଶ
ଵ଴଴
 = 0,32 
 
Então, o cálculo a ser feito é: 700 + 0,32 x 700 = 700 + 224 = 924 reais 
 
 
Exemplo 3 
 
Calcule R$ 900,00 – 5,2% de R$ 900,00. 
 
Como 5,2% = 
ହ,ଶ
ଵ଴଴
 = 0,052 
 
Então, o cálculo a ser feito é: 900 - 0,052 x 900 = 900 – 46,80 = 853,20 reais 
 
 
Exemplo 4 
 
Em uma blitz ocorrida em uma avenida da cidade de São Paulo, dos 25 automóveis fiscalizados 4 deles 
apresentaram documentação irregular. A razão entre o número de automóveis com documentação irregular 
e o número total de automóveis é: 
 
 
ସ
ଶହ
= ଵ଺
ଵ଴଴
= 0,16 = 16% é a taxa percentual de automóveis com problemas na documentação. 
 
 
Exemplo 5 
 
Os 360 funcionários de uma empresa submeteram-se a exames clínicos para verificação dos níveis de 
colesterol no sangue. Desse total, 35% apresentaram níveis acima do limite sugerido pelo teste. Para calcular 
o número de funcionários com nível de colesterol superior ao recomendado, pode-se estabelecer a proporção: 
 
360 100% 
  
ଷ଺଴
௫
 = ଵ଴଴
ଷହ
  X . 100 = 360 . 35  X = 126 funcionários 
X 35% 
 
O cálculo também poderia ser feito diretamente 35% de 360 = 0,35 x 360 = 126 
 
 
Exemplo 6 
 
Uma calça é vendida por R$ 56,00. Se seu preço for aumentado em 9%, quanto passará a custar? 
Têm-se: 
novo preço = preço antigo + aumento 
novo preço = 56 + 0,09 x 56 = 56 x (1 + 0,09) = 56 x 1,09 = 61,04 reais 
Observe que o preço inicial fica multiplicado por 1,09 ou (1 + 0,09). 
7 
 
Exemplo 7 
 
Uma agência de turismo anunciou redução de 28% no preço de seus pacotes. Se 3 dias em Buenos Aires 
custavam US$ 340,00, quanto passará a custar essa viagem? 
 
Têm-se: 
novo valor = valor antigo – desconto 
novo valor = 340 – 0,28 x 340 = 340 x (1 – 0,28) = 340 x 0,72 = 244,80 dólares 
 
Observe que o valor original fica multiplicado por 0,72 ou (1 – 0,28). 
 
O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente 
corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. 
 
Assim, por exemplo, falamos em 12% ao ano. Neste caso, a taxa de juros de 12% ao ano significa que, se 
empregarmos um certo capital àquela taxa, por um ano, obteremos 12% do capital. 
 
As taxas de juros geralmente são apresentadas de dois modos: 
 
 
FORMA PERCENTUAL 
 
Exibe o número que deve ser dividido por 100. Não permite operação algébrica imediata. 
 
Neste caso a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 
100. 
 
Ex: Qual o juro que rende um capital de $ 1.000,00 aplicado por um ano à taxa de juros de 10% ao ano? 
 
Resolução: 
 
𝑗𝑢𝑟𝑜 = 1.000,00 × ൬
10
100
൰ × 1 
 
𝑗𝑢𝑟𝑜 = 1.000,00 × 0,10 × 1 = $ 100,00 
 
Então, é de $ 100,00 o total de juros que a aplicação rende em um ano. 
 
Abreviaturas de períodos: 
 
Abreviatura Significado 
a.d. ao dia 
a.m. ao mês 
a.b. ao bimestre 
a.t. ao trimestre 
a.q. ao quadrimestre 
a.s. ao semestre 
a.a. ao ano 
 
 
 
 
FORMA UNITÁRIA 
 
Agora a taxa refere-se á unidade do capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação de uma 
unidade de capital no intervalo de tempo referido. 
 
Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então a aplicação de $ 1,00 por um ano gera um juro de $ 0,12. 
 
Ex: Qual o juro que rende um capital de $ 1.000,00 aplicado por um ano à taxa de forma unitária de 0,10 ao 
ano? 
 
8 
 
Resolução: 
 
Juro = 1.000,00 x 0,10 x 1 
Juro = $ 100,00 
 
Para transformar a forma percentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa na forma percentual por 100. 
 
Exemplo: 
 
Forma Percentual Transformação Forma Unitária 
12% a.a. 
 
0,12 a.a. 
6% a.s. 
 
0,06 a.s 
1% a.m. 
 
0,01 a.m 
 
De modo análogo, para transformar a taxa de juros da forma unitária para a forma percentual, basta que se 
multiplique a taxa de juros unitária por 100. 
 
Devemos observar que é mais fácil trabalhar-se com a forma unitária, pois isto simplifica a notação e os 
cálculos. 
 
 
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
 
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos 
por 1,20, e assim por diante. 
 
Veja a tabela abaixo: 
 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
 
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 
Veja a tabela abaixo: 
 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
 
 
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DETERMINAÇÃO DE ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS PERCENTUAIS: TAXA DE VARIAÇÃO 
PERCENTUAL (∆%) 
 
Quando comparamos a diferença entre o valor novo e o valor antigo de uma variável com seu valor antigo, 
obtemos a taxa de variação. Se a taxa de variação for expressa em porcentagem, ela é chamada de taxa de 
variação percentual. Portanto: 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
O Produto Interno Bruto (PIB) de certo país variou de 10.000 a 12.100 bilhões de dólares entre os anos de 
1990 e 2000. Qual foi o aumento percentual do PIB? 
 
Primeiramente, identificamos os valores novo e antigo do PIB: 
 
Vant = US$ 10.000 bilhões e Vnovo = US$ 12.100 bilhões 
 
Aplicamos, então, a fórmula: 
 
 
 
A variação percentual (no caso, o aumento percentual) é dado pela variação dos valores em relação ao 
valor mais antigo, ou seja, houve um aumento de 21% no PIB do país em uma década. 
Para esse caso, poderia ser feito, também: 
 
 
 
 
UNIDADE 03 – FUNDAMENTOS – CAPITAL, JUROS E MONTANTECAPITAL (INICIAL OU VALOR PRESENTE) (VP) 
 
É a quantidade de moeda (ou dinheiro) que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a outro, 
temporariamente, mediante determinada remuneração. 
 
JUROS (J) 
 
Equivalem ao aluguel do dinheiro e são genericamente representados por taxa expressa em forma percentual 
ao período simbolizada pela letra i ( do inglês Interest rate, taxa de juros). É o nome que se dá à remuneração 
paga para que um indivíduo ceda temporariamente o capital que dispõe. Deve ser eficiente, de maneira a 
remunerar o risco (σ) envolvido na operação de empréstimo ou aplicação, representado genericamente pela 
incerteza em relação ao futuro do capital emprestado ou aplicado. Os juros devem gerar um ganho real (r) ao 
proprietário do capital como forma de compensar sua privação por determinado período de tempo (o ganho é 
estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimento). A perda do poder 
aquisitivo, que é corroído pela inflação (θ). 
10 
 
Expressando algebricamente a taxa de juros: ( 1 + i ) = ( 1 + r ) . ( 1 + σ ) . ( 1 + θ ). 
Embora seu valor seja comumente representado em taxa percentual ao período, matematicamente, a taxa de 
juros deve ser operada em sua forma unitária. 
 
MONTANTE (VALOR FUTURO) (VF) 
 
É o resultado da aplicação do Capital Inicial. Matematicamente, representa a soma do Capital Inicial mais os 
Juros capitalizados durante o período. Em algumas situações, como nas operações de Desconto Comercial, 
o valor futuro também é denominado valor nominal. É, portanto, a quantidade de moeda (ou dinheiro) que 
poderá ser usufruída no futuro. 
 
Com isso temos o Montante como sendo: 
 
VF = VP + J 
 
 
 
 
UNIDADE 04 – FUNDAMENTOS – REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES E COMPOSTA 
 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (RCS) 
 
No Regime de Capitalização Simples, ou simplesmente, no regime dos juros simples, a taxa de juros incide 
somente sobre o valor inicial aplicado ou tomado emprestado. Por exemplo, $ 100,00 aplicado a 5% ao 
período renderá sempre $ 5,00 (que é igual a 0,05 x $ 100,00) por período. Em três períodos, o total dos juros 
será igual a 3 x $ 5,00 = $ 15,00) 
 
O exemplo abaixo mostra a capitalização simples de uma aplicação no valor de $ 800,00, capitalizada a 8% 
ao mês durante 6 meses. A incidência de taxa de juros ocorre sempre sobre o capital inicial: 
 
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 
0 800,00 - 800,00 
1 800,00 64,00 864,00 
2 864,00 64,00 928,00 
3 928,00 64,00 992,00 
4 992,00 64,00 1.056,00 
5 1.056,00 64,00 1.120,00 
6 1.120,00 64,00 1.184,00 
 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (RCC) 
 
No Regime de Capitalização Composta, ou regime de juros compostos, a incidência de juros ocorre sempre 
de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior. Por 
exemplo, em uma operação de empréstimo de $ 100,00 por três meses, a uma taxa de 60% a.m., os juros de 
cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. 
 
 
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 
0 100,00 - 100,00 
1 100,00 60,00 160,00 
2 160,00 96,00 256,00 
3 256,00 153,60 409,60 
 
 
 
 
 
11 
 
UNIDADE 05 – FLUXO DE CAIXA 
 
Para facilitar a representação das operações financeiras, costuma-se em pregar o diagrama de fluxo de caixa 
ou, simplesmente, DFC, que consiste na representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do 
tempo (entradas e saídas de caixa). 
 
No diagrama de fluxo de caixa, alguns aspectos merecem ser destacados: 
 
 A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, semanas, meses, anos etc. 
 Os pontos 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. Assim, o 0 representa, normalmente, a 
data inicial. O ponto n representa o número de períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada 
seja meses, então consideram-se n meses. 
 As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sempre sinal positivo e são 
representadas por setas apontadas para cima. 
 As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são 
representadas por setas apontadas para baixo 
 
 
Operação de Empréstimo Operação de Aplicação 
 
 
Exemplos: 
 
1. Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: uma empresa fez uma aplicação de $ 
50.000,00 em um banco e, após dois meses, resgatou $ 52.500,00. 
 
 
 
 
 
 Período de Capitalização 
 
 Período de Capitalização 0 
0 n 
n 
Valor Presente 
Valor Presente 
Valor Futuro = Valor Presente + Juros 
Valor Futuro = Valor Presente + Juros 
12 
 
2. Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: um indivíduo (pessoa física) tomou um 
empréstimo de $ 20.000,00 em um banco e pagará o mesmo em quatro prestações mensais de $ 5.500,00 
cada uma, a partir do mês seguinte. 
 
 
 
 
UNIDADE 06 – JUROS SIMPLES – FÓRMULA DO JURO E MONTANTE 
 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (RCS) 
 
No Regime de Capitalização Simples, ou simplesmente, no regime dos juros simples, a taxa de juros incide 
somente sobre o valor inicial aplicado ou tomado emprestado. Por exemplo, $ 100,00 aplicado a 5% ao 
período renderá sempre $ 5,00 (que é igual a 0,05 x $ 100,00) por período. Em três períodos, o total dos juros 
será igual a 3 x $ 5,00 = $ 15,00) 
O exemplo abaixo mostra a capitalização simples de uma aplicação no valor de $ 800,00, capitalizada a 8% 
ao mês durante 6 meses. A incidência de taxa de juros ocorre sempre sobre o capital inicial: 
 
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 
0 800,00 - 800,00 
1 800,00 64,00 864,00 
2 864,00 64,00 928,00 
3 928,00 64,00 992,00 
4 992,00 64,00 1.056,00 
5 1.056,00 64,00 1.120,00 
6 1.120,00 64,00 1.184,00 
Assim, genericamente, os juros capitalizados no regime de capitalização simples poderiam ser apresentados 
como: 
 
J = VP . i 
 
Onde: 
 
J = Juros 
VP = Valor Presente 
i = taxa 
 
Em n períodos, os juros totais serão iguais aos juros por período multiplicados pelo número de períodos, ou: 
 
J = VP . i . n 
 
Onde: 
 
J = Juros 
VP = Valor Presente 
i = taxa 
n = números de períodos da capitalização 
 
13 
 
É importante ressaltar que a taxa e n devem estar sempre na mesma base, refletindo o mesmo período. Por 
exemplo, se n representa o número de meses, i deve ser expressa na forma unitária ao mês. Deve-se 
sempre que possível, evitar transformar i. Embora no regime de capitalização simples a transformação da 
taxa seja extremamente simples, no regime de capitalização composta isso não é verdade. Assim, sempre 
que n e i divergirem, n deve ser colocado na mesma base de i. 
 
Para melhor fixação desse conceito: 
 
Importante: 
Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem 
estar sempre na mesma base!! 
 
Sugestão: 
Altere sempre n e evite alterar i. 
 
O montante ou o Valor Futuro no regime de capitalização simples pode ser representado como: 
 
VF = VP + J 
 
Como vimos anteriormente, substituindo J por ”VP . i . n” ficamos com: 
 
VF = VP + VP . i . n ... ou 
 
VF = VP . ( 1 + i . n ) 
 
𝑉𝑃 = 
𝑉𝐹
(1 + 𝑖. 𝑛)
 
 
𝑖 = 
𝑉𝐹
𝑉𝑃 − 1
𝑛
 
 
𝑛 = 
𝑉𝐹
𝑉𝑃 − 1
𝑖
 
 
Onde: 
 
VF = Valor Futuro (Montante) 
VP = Valor Presente 
J = Juros 
i = Taxa 
n = Números de Períodos da Capitalização 
 
 
Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial 
 
É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciais em juros 
simples, ter-se o prazo definido em número dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de duas 
maneiras: 
 
a) Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O Juro apurado desta 
maneira denomina-se juro exato. 
 
14 
 
b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias.Tem-se, por este critério, a 
apuração do denominado juro comercial ou ordinário. 
 
Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: 
 
a) Juro Exato: 
 
 
 
b) Juro Comercial: 
 
 
 
Exemplos 
 
1. Calcular os juros recebidos por um investidor que aplicou $ 5.000,00 por 3 meses à taxa de juros simples 
de 3% ao mês. 
 
Dados: Solução: 
VP = 5.000 Como J = VP.i.n , então, substituindo os valores dados, temos: 
i = 3 % a.m. 
n = 3 meses J = 5000 . 0,03 . 3 
J = ? J = 5000 . 0,09 
J = 450,00 
 
Resposta: Os juros recebidos nessa aplicação foram iguais a $ 450,00. 
 
2. Imagine que você toma emprestado hoje $ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução será 
daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização simples para a taxa de 10% a.m., qual o valor dos 
juros (J)? Quanto deverá ser devolvido (VF)? 
 
1º modo: 
Cálculo dos juros (J): 
J = VP.i.n 
J = 1000 . 0,1 . 5 
J = 500,00 
 
Cálculo do Montante ou Valor Futuro (VF): 
FV = VP + J 
FV = 1000 + 500 
FV = 1.500,00 
 
2º modo: 
Cálculo do Montante ou Valor Futuro (VF): 
VF = VP ( 1 + i.n ) 
VF = 1000 ( 1 + 0,10. 5 ) 
VF = 1000 . (1 + 0,5) 
VF = 1000 . (1,5) 
VF = 1.500,00 
 
Cálculo dos juros (J): 
J = VF – VP 
J = 1.500 – 1.000 
J = 500,00 
 
Resposta: Os juros pagos por este empréstimo foram iguais a $ 500,00 e, portanto, deverá ser devolvido o 
valor de R$ 1.500,00. 
 
Nos exemplos acima podemos notar que os períodos de tempo (n) e taxa de juro (i) são homogêneos, ou 
seja, as variáveis estão na mesma unidade de tempo (nestes exemplos, a taxa e o prazo estão em meses). 
15 
 
UNIDADE 07 – JUROS SIMPLES – TAXAS EQUIVALENTES 
 
Dizemos que as duas taxas são equivalentes se, considerando o mesmo prazo de aplicação e o mesmo 
capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. De outro modo, considerando-se um mesmo capital 
aplicado por um mesmo intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas as taxas produzirão um mesmo 
montante se forem equivalentes. 
 
Para conversão de um prazo curto para outro maior: 
 
i = ik x n 
 
Ex: Para converter a taxa ao mês para taxa ao ano basta multiplicar a taxa por 12. 
 
 
Para conversão de um prazo longo para outro menor: 
 
ik = i/n 
 
Ex: Para converter a taxa ao ano para taxa ao mês basta dividir a taxa por 12. 
 
 
UNIDADE 08 – JUROS SIMPLES – VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL 
(OU VALOR PRESENTE) 
 
VALOR NOMINAL 
 
É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Se após o vencimento o compromisso não for 
saldado, entendemos que o mesmo continuará tendo o seu valor nominal, acrescido de juros e de eventuais 
multas por atraso. 
 
Exemplo: 
 
Uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que vai resgatá-la por $ 20.000,00 aqui a 12 meses. 
O valor nominal da aplicação é, portanto, igual a $ 20.000,00 no mês 12. 
 
VALOR ATUAL 
 
É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Para calcular o valor atual, 
é necessário especificar o valor nominal, a data de cálculo e a taxa de juros a ser utilizada na operação. Note 
então que o cálculo do valor atual pressupõe que já tenhamos um compromisso que vence numa data futura. 
 
 
UNIDADE 09 – JUROS SIMPLES – DESCONTO – CONCEITOS BÁSICOS 
 
Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é comum um devedor oferecer ao credor um título que comprove 
essa operação. De posse desse título, empregado para formalizar um compromisso que não será liquidado 
imediatamente, mas dentro de um prazo, previamente estipulado, o credor poderá negociar com uma 
instituição financeira o resgate antecipado desse título. 
 
Normalmente os títulos de crédito podem ser dos seguintes tipos: 
 
Nota Promissória: pode ser usada entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e instituições financeiras. 
Consiste em título de crédito que corresponde a uma promessa de pagamento, em que vão especificados: 
valor nominal e a quantia a ser paga (que é a dívida inicial acrescida de juros); data do vencimento do título 
(em que a dívida deve ser paga) ; nome e assinatura do devedor; nome do credor e da pessoa que deverá 
receber a importância a ser paga. 
 
 
 
 
16 
 
Duplicata Mercantil: é usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou jurídica) 
para o qual vendeu mercadoria a prazo, ou prestou serviços a serem pagos no futuro (segundo contrato). Da 
duplicata devem constar o aceite do cliente; o valor nominal; a data do vencimento; o nome de quem deverá 
pagar e o nome da pessoa a quem deverá pagar. Uma duplicata só é legal se for feita com base na Nota 
Fiscal. 
 
Letra de Câmbio: é um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de crédito direto para 
pessoas físicas ou jurídicas. Uma Letra de Câmbio tem especificados: valor de resgate (que é o valor nominal 
acrescido de juros), data de vencimento do título e quem deve pagar. 
 
Cheques Pré-Datados: embora não especificados pela legislação, têm sido cada vez mais empregados em 
operações comerciais com função da facilidade operacional do uso. De forma similar à Letra de Câmbio, o 
cheque pré-datado deve ter especificado: o valor nominal, a data programada para o depósito e o emitente 
(quem deve pagar). 
 
As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, 
representados por títulos. Como, obviamente, o dinheiro tem um custo associado ao tempo, para antecipar 
um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade, aplicando um desconto. Assim, o valor futuro torna-
se igual ao valor presente mais o desconto. 
 
Note que o desconto representa os juros associados a operação. O conceito de juros, porém, está associado 
a operações de capitalização (levar do presente para o futuro), enquanto o desconto costuma referir-se a 
operações de descapitalização (ou operações de desconto, trazer do futuro para o presente). 
 
Nas operações de desconto, é comum o emprego de uma nomenclatura um pouco diferenciada. Por exemplo, 
no lugar de Valor Futuro é comum empregar a terminologia Valor Nominal. Em vez de Valor Presente, é 
comum usar a expressão Valor Líquido (ou Valor Recebido). 
 
 
UNIDADE 10 – JUROS SIMPLES – DESCONTO RACIONAL OU “POR 
DENTRO” 
 
DESCONTO RACIONAL OU “POR DENTRO” 
 
No regime de capitalização simples, os juros sempre incidem sobre o valor aplicado inicialmente. Nesse 
regime, as operações de desconto racional, ou por dentro, representam a aplicação direta da fórmula de 
capitalização de juros simples, objetivando encontrar o Valor Presente: 
 
A taxa de juros incide sobre o Valor Presente (Valor Líquido). 
 
D = VF – VP (1) 
 
Se: 
 
VP = VF (2) (1 + i * n) 
 
Então, substituindo (2) em (1): 
 
D = VF - VF (1 + i * n) 
 
Onde: 
 
D = Desconto 
VF = Valor Final (Valor Nominal) 
VP = Valor Presente (Valor Líquido) 
i = Taxa de Juros 
n = Número de Períodos de Capitalização (ou de Desconto) 
 
17 
 
UNIDADE 11 – JUROS SIMPLES – DESCONTO COMERCIAL OU “POR 
FORA” 
 
 
DESCONTO COMERCIAL OU “POR FORA” 
 
Comumente falando, o desconto comercial é aquele valor que se obtém pelo cálculo de juros simples sobre 
o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu vencimento acrescido de uma 
taxa prefixada cobrada sobre o valor nominal. Ou seja, a incidência da taxa de desconto comercial dá-se 
sobre o Valor Futuro (Valor Nominal) da operação. 
 
D = VF * id * n 
 
(1) 
 
Assim o Valor Presente (ou Valor Líquido) poderá ser expresso como: 
 
VP = VF – D (2) 
 
Então, substituindo (2) em (1): 
 
VP = VF – VF * id * n 
 
Colocando VF em evidência: 
 
VP = VF (1 – id * n) 
 
 
Onde: 
 
VP = Valor Presente (Valor Líquido) 
VF = Valor Final (Valor Nominal) 
id = Taxa de Desconto Comercial ou Por Fora 
n = Número de Períodos de Capitalização (ou de Desconto)Após algumas operações algébricas, as fórmulas aplicáveis às operações de desconto comercial podem ser 
apresentadas segundo as fórmulas abaixo: 
 
VF = VP (1 - id * n) 
 
 
id = 
1 – VP VF 
n 
 
 
n = 
1 – VP VF 
id 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
UNIDADE 12 – JUROS SIMPLES – DESCONTO BANCÁRIO 
 
DESCONTO BANCÁRIO 
 
As operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, porém, no caso do 
desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o IOF (Imposto sobre 
Operações Financeiras), o que altera levemente a fórmula do Desconto Comercial. 
 
De modo geral, o Desconto Bancário será igual ao Desconto Comercial mais uma taxa prefixada incidente 
sobre o Valor Futuro (Valor Nominal). Algebricamente, pode ser apresentado da seguinte forma: 
 
DB = DC + t * VP 
 
Onde: 
 
t = Taxa Prefixada 
DB = Desconto Bancário 
DC = Desconto Comercial 
 
Ou seja, 
 
VP = VF – D 
 
Então, substituindo (2) em (1): 
 
VP = VF – VF * id * n - t 
 
Colocando VF em evidência: 
 
VP = VF (1 – id * n – t) 
 
Obs: Embora exista a cobrança de taxa incidente sobre o valor nominal, na prática, a expressão desconto 
bancário é empregada como sinônimo de desconto comercial. De modo geral neste curso, não 
distinguiremos as expressões. O desconto comercial e o desconto bancário são tratados como 
sinônimos, e a taxa incidente sobre o valor nominal é, na maior parte das vezes, desprezada. 
 
 
UNIDADE 13 – JUROS COMPOSTOS – FÓRMULA DO JURO E MONTANTE 
 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (RCC) 
 
No Regime de Capitalização Composta, ou regime de juros compostos, a incidência de juros ocorre sempre 
de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior. Por 
exemplo, em uma operação de empréstimo de $ 100,00 por três meses, a uma taxa de 60% a.m., os juros de 
cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. 
 
 
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final 
0 100,00 - 100,00 
1 100,00 60,00 160,00 
2 160,00 96,00 256,00 
3 256,00 153,60 409,60 
 
O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele obtido no regime de capitalização 
simples para períodos superiores à unidade (por exemplo: um mês). Para períodos menores que 1, o valor 
futuro, calculado mediante o emprego de juros simples, é maior. 
 
 
19 
 
Note que a forma de capitalização da taxa de juros no regime de capitalização composta impede quaisquer 
operações de multiplicação ou divisão de taxa de juros (a exemplo do regime de capitalização simples). Para 
tornar compatíveis as taxas e prazos, converta sempre os prazos para a mesma base das taxas fornecidas. 
Evite mais uma vez, converter taxas. 
 
Importante: 
 
NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS 
 
NUNCA MULTIPLIQUE OU DIVIDA A 
TAXA DE JUROS!! 
 
Genericamente, a equação de capitalização de juros compostos pode ser apresentada da seguinte maneira: 
 
VF = VP x ( 1 + i ) n 
 
Da equação anterior, é possível deduzirem-se outras equações que permitam a obtenção direta do valor 
presente, da taxa ou do prazo da operação. 
 
VF = VP . ( 1 + i ) n 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS PARA PERÍODOS NÃO INTEIROS 
 
Quando o prazo da operação não é um número inteiro de períodos a que se refere a taxa considerada, são 
adotadas duas convenções: a exponencial e a linear. 
 
Convenção Exponencial 
Calcula-se o montante correspondente ao prazo total da operação (n) no sistema de juros compostos: 
VF = VP.(1+ i)n 
 
 
Atenção: HP-12C 
 
C no visor: convenção exponencial. 
Sem a letra C no visor: convenção linear. 
Com a sequência de teclas [STO] [EEX] aparecerá ou desaparecerá a 
letra C no visor. 
 
20 
 
Convenção Linear 
- Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos (k) no sistema de juros compostos e 
- Na fração de tempo não inteiro restante, calcula-se os juros segundo o sistema de capitalização simples. 
 
VF = VP.(1 + i)k.(1 + i.m) 
 
Onde: 
 
k = parte inteira de períodos 
m = parte fracionária de períodos 
 
ou seja, k + m = n 
 
 
 
EXEMPLOS DE RESOLUÇÃO PELA FÓRMULA E USO DA HP-12C PARA CÁLCULO DE JUROS 
COMPOSTOS 
 
 
1. Imagine que você toma emprestado $ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução será daqui 
a 5 meses. Considerando o regime de capitalização composta para taxa de 10% a.m., quanto deverá ser 
devolvido (VF)? 
 
 
VF = VP.(1 + i)n 
VF = 1000 . (1 + 0,10)5 
VF = 1000 . (1,10)5 
VF = 1000 . 1,610510000 
VF = 1.610,51 
 
 
Resposta: O valor a ser devolvido (VF) é igual a $ 1.610,51. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
2. Qual será o valor de resgate (VF) de uma aplicação inicial de $ 1.800,00 (VP) no final de 12 meses à taxa 
composta de 1 % a.m.? 
 
VF = VP.(1 + i)n 
VF = 1800 . (1 + 0,01)12 
VF = 1800 . (1,01)12 
VF = 1800 . 1,126825030 
VF = 2.028,29 
 
 
Resposta: O valor resgatado (VF) é igual a $ 2.028,29. 
 
3. Determinar o valor de emissão (VP) de um título que, no fim de 10 meses à taxa composta de 3% a.m., 
tem $ 6.719,58 de valor de resgate (VF). 
 
VF = VP.(1 + i)n 
6719,58 = VP . (1 + 0,03)10 
6719,58 = VP . (1,03)10 
6719,58 = VP . 1,343916379 
VP = 
଺଻ଵଽ,ହ଼
ଵ,ଷସଷଽଵ଺ଷ଻ଽ
 
VP = 5.000,00 
 
Resposta: O valor de emissão (VP) para esse título foi de $ 5.000,00 
 
22 
 
4. Uma pessoa aplicou $ 13.000,00 (VP) e deseja resgatar $ 15.000,00 (VF) ao final de 1 ano (n) para pagar 
uma dívida. A que taxa mensal composta deve aplicar seu capital? 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
15000 = 13000 . (1 + i)12 
Ou 
13000 . (1 + i)12 = 15000 
(1+i)12 = 
ଵହ଴଴଴
ଵଷ଴଴଴
 
(1+i)12 = 1,153846154 
1+i = ඥ1,153846154భమ 
1+i = (1,153846154)
భ
భమ 
1+i = 1,011996457 
i = 1,011996457 – 1 
i = 0,011996457 a.m. 
(x100) 
i ≈ 1,20% a.m. 
 
Resposta: i ≈ 1,20% a.m. 
 
5. Qual será o prazo (em anos) necessário para que $ 10.000,00 (VP) aplicado à taxa composta de 12% a.a. 
se transforme em $ 34.785,50 (VF)? 
 
VF = VP.(1 + i)n 
 
34785,50 = 10000 . (1 + 0,12)n 
10000 . (1 + 0,12)n = 34785,50 
(1+0,12)n = 
ଷସ଻଼ହ,ହ଴
ଵ଴଴଴଴
 
1,12n = 3,47855 
ln 1,12n = ln 3,47855 
n.ln 1,12 = ln 3,47855 
n = ୪୬ ଷ,ସ଻଼ହହ
୪୬ ଵ,ଵଶ
 
n = ଵ,ଶସ଺଺ଵହହସ
଴,ଵଵଷଷଶ଼଺଼
 
n = 11 anos 
 
 
Resposta: n = 11 anos 
 
 
 
 
23 
 
6. Utilizando a convenção linear, calcular o montante (FV) produzido por $ 1.000,00 aplicados à taxa de juros 
compostos de 40% a.a., capitalizados anualmente, ao final de 2 anos e 3 meses. 
 
VF = VP.(1 + i)k.(1 + i.m) 
k = 2 anos 
m = 
ଷ
ଵଶ
 = 0,25 anos 
VF = 1000.(1 + 0,40)2.(1 + 0,40.0,25) 
VF = 1000 . (1,40)2.(1 + 0,10) 
VF = 1000 . 1,96 . 1,10 
VF = 2.156,00 
 
Resposta: O montante produzido (VF) é igual a $ 2.156,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
UNIDADE 14 – JUROS COMPOSTOS - DESCONTO COMPOSTO 
 
Ao estudarmos o sistema financeiro notamos que o mecanismo atualmente utilizado nas operações é o juro 
composto, o qual entendemos como juros sobre juros. Aplicações financeiras e empréstimos são efetuados 
por inúmeras pessoas no dia a dia, as quais utilizam os produtos oferecidos pelo mercado financeiro, como: 
promissórias, letras de câmbio, ações de empresas, títulos do tesouro nacional, financiamentos, leasing, 
consórcios entre outros. 
 
Uma operação bastante utilizada no meio financeiro são os descontos, eles se referem ao abatimento que 
recebemos no pagamento de um título antes do vencimento estabelecido. Os descontos podem ser simples 
ou compostos, enfatizaremos nosso estudo nos descontos compostos racionais. 
 
Ao realizarmos uma aplicação, nosso dinheiro é submetido a um fator de capitalização, que depende do valor 
da taxade juros e do tempo da aplicação. Já nas situações de desconto, utiliza-se um fator de 
descapitalização. Para determinarmos o valor atual de um título utilizamos a seguinte expressão matemática: 
 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
 
𝐷௥ = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 
 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)௡
 
 
 
EXEMPLO: 
 
1. Calcule o desconto de um título com valor nominal igual a $ 600,00, descontado 5 meses antes do 
vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4% a.m. 
 
i = 4% a.m.  0,04 
 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)௡
 
𝑉𝑃 =
600
(1 + 0,04)ହ
 
𝑉𝑃 =
600
(1,04)ହ
 
𝑉𝑃 =
600
1,216652
 
𝑉𝑃 = 493,15 
 
𝐷௥ = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 
𝐷௥ = 600 − 493,15 
𝑫𝒓 = 𝟏𝟎𝟔, 𝟖𝟓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO 
 
Embora muito pouco usual na prática, o desconto comercial composto implica a incidência de sucessivos 
descontos sobre o valor nominal. O valor líquido pode ser definido como: 
 
𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 . (1 − 𝑖)௡ 
 
𝐷௖ = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 
 
Exemplo: 
 
Uma duplicata no valor de $ 8.000,00 foi descontada para quatro meses antes do vencimento, a uma taxa de 
desconto comercial composto igual a 3% a.m. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo 
título. 
 
𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 . (1 − 𝑖)௡ 
𝑉𝑃 = 8000 . (1 − 0,03)ସ 
𝑉𝑃 = 8000 . (0,97)ସ 
𝑉𝑃 = 8000 . (0,885292) 
𝑉𝑃 = 7082,34 
 
𝐷௖ = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 
𝐷௖ = 8000 − 7082,34 
𝐷௖ = 917,66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
UNIDADE 15 – JUROS COMPOSTOS – TAXAS EQUIVALENTES, 
EFETIVAS, NOMINAIS E PROPORCIONAIS. 
 
TAXA EQUIVALENTE: 
 
De forma similar ao regime de capitalização simples, pelo critério de equivalência de taxas de juros diz-se que 
duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização composta, são 
equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre 
o mesmo principal. 
 
Assim: 
 
VFa = VPa ( 1 + ia )na e VFb = VPb ( 1 + ib )nb 
 
Como VFa e VFb são iguais; VPa e VPb também são iguais, tem-se que: 
 
( 1 + ia )na = ( 1 + ib )nb 
 
 
Note que ia e na, da mesma forma que ib e nb, devem estar na mesma base. Para encontrar a fórmula de 
equivalência, basta operar algebricamente a expressão anterior: 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. Qual é a taxa mensal equivalente à taxa anual de 18% a.a.? 
 
𝑖௔ = ൤(1 + 0,18)
ଵ
ଵଶ − 1൨ 
𝑖௔ = [(1,18)଴,଴଼ଷଷଷ − 1] 
𝑖௔ = [1,013888 − 1] 
𝑖௔ = 0,013888 
𝑖௔ = 1,39 % 𝑎. 𝑎. 
 
 
2. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? 
 
𝑖௔ = ൤(1 + 0,02)
ଵଶ
ଵ − 1൨ 
𝑖௔ = [(1,02)ଵଶ − 1] 
𝑖௔ = [1,268241 − 1] 
𝑖௔ = 0,268241 
𝑖௔ = 26,8241% 𝑎. 𝑎. 
 
 
 
27 
 
3. Qual a taxa mensal equivalente a 15,39% a.a.? 
 
𝑖௔ = ൤(1 + 0,1539)
ଵ
ଵଶ − 1൨ 
𝑖௔ = [(1,1539)଴,଴଼ଷଷଷ − 1] 
𝑖௔ = [1,012 − 1] 
𝑖௔ = 0,012 
𝑖௔ = 1,2 % 𝑎. 𝑎. 
 
TAXAS PROPORCIONAIS 
Duas taxas se dizem proporcionais se: 
௜ଵ
௡ଵ
= ௜ଶ
௡ଶ
 
 
Onde n1 e n2 representam os períodos de capitalização de cada taxa e i1 e i2 representam os percentuais 
das taxas consideradas. 
 
Exemplo: 
 
As taxas 72% a.a., 36% a.s., 18% a.t. e 6% a.m. são proporcionais, pois tomando o período de um mês como 
unidade de tempo, tem-se: 
 
72%
12
=
36%
6
=
18%
3
=
6%
1
⟹ 𝑖௠௘௡௦௔௟ = 6% 𝑎. 𝑚. 
 
 
TAXAS NOMINAIS 
 
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com 
aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
 
- 340% ao semestre com capitalização mensal. 
- 1150% ao ano com capitalização mensal. 
- 300% ao ano com capitalização trimestral. 
 
Exemplo: 
 
Se a taxa negociada é de 18% a.a. capitalizada mensalmente, a taxa aplicada é a taxa proporcional do 
período da capitalização, ou seja, a taxa aplicada é a taxa mensal proporcional: 
 
𝑖௠௘௡௦௔௟ = 
ଵ଼
ଵଶ
= 1,5% 𝑎. 𝑚. (taxa nominal) 
 
 
TAXAS EFETIVAS 
 
Taxa efetiva é a taxa efetivamente aplicada na operação financeira. Neste caso, a unidade de tempo referida 
na taxa coincide com o período de capitalização. 
 
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a 
que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
 
- 140% ao mês com capitalização mensal. 
- 250% ao semestre com capitalização semestral. 
- 1250% ao ano com capitalização anual. 
 
28 
 
Regra: 
Para se calcular a taxa efetiva quando o período de capitalização não coincide com o período da 
taxa: 
a) Calcula-se a taxa simples (proporcional) correspondente a um período de capitalização; 
b) Potencia-se essa taxa simples ao número de períodos de capitalização existente no intervalo de 
tempo a que se refere a taxa nominal. 
 
Ou seja: 
 
𝑖௘௙௘௧ = ቈ൬1 +
𝑖
𝑘൰
௞
− 1቉ 𝑥100 
 
 
Exemplos: 
 
1. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 12% a.a. capitalizada mensalmente? 
 
𝑖௘௙௘௧ = ቈ൬1 +
𝑖
𝑘൰
௞
− 1቉ 𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = ቈ൬1 +
0,12
12 ൰
ଵଶ
− 1቉ 𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = [(1 + 0,01)ଵଶ − 1]𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = [(1,01)ଵଶ − 1]𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = [1,12682503 − 1]𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = [0,12682503]𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = 12,682503% 𝑎. 𝑎. 
Observação: Um exemplo clássico da utilização de taxas efetivas ocorre no financiamento de imóveis. Nesses 
contratos sempre estará informada a taxa nominal, por exemplo, 12% ao ano capitalizada mensalmente. Para 
cada parcela mensal incidirá 1%, o que equivale à taxa efetiva de 12,682503% ao ano. Por que não se divulga 
diretamente no contrato 12,682503% ao ano? Simplesmente, por ser uma prática usual de mercado!!! Correta 
ou não, essa é uma prática de mercado amplamente usada e aceita no nosso país. 
 
2. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 10% a.a. capitalizada semestralmente? 
 
𝑖௘௙௘௧ = ቈ൬1 +
𝑖
𝑘൰
௞
− 1቉ 𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = ቈ൬1 +
0,10
2 ൰
ଶ
− 1቉ 𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = [(1 + 0,05)ଶ − 1]𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = [(1,05)ଶ − 1]𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = [1,1025 − 1]𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = [0,1025]𝑥100 
𝑖௘௙௘௧ = 10,25% 𝑎. 𝑎. 
29 
 
UNIDADE 16 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
Equivalência de capitais: constitui um conceito essencial ao cálculo financeiro, isto é, dois capitais podem ser 
equivalentes mesmo se colocados em épocas diferentes. Mas, os capitais só podem ser comparados em uma 
mesma data. 
 
O conceito de equivalência de capitais é utilizado na antecipação ou prorrogação de um ou mais títulos em 
operações financeiras, as quais dizem respeito, de um modo geral, à comparação de valores diferentes 
referidos a datas diferentes, considerando-se uma data taxa de juros. 
 
Capitais equivalentes: dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes 
quando tiverem valores iguais, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros. 
 
A transferência de capitais de uma data para a outra posterior é feita pela fórmula: 
 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 . (1 + 𝑖)௡ 
 
 
A transferência de capitais de uma data para a outra anterior é feita pela fórmula: 
 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)௡
 
 
 
É importante ressaltar que, no regime de juros compostos, dois conjuntos de capitais que sejam equivalentes 
em uma determinada data o serão em qualquer outra. 
 
Data Focal: também chamada de data de referência ou data de avaliação, é a data que se considera como 
base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. 
 
Equação de valor: permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma 
mesma data focal, desde que seja fixada a taxa de juros. 
 
Exemplos: 
 
1. Um comerciante deve $ 6.000,00 que deverá ser pago daqui a 5 meses. Entretanto, ele deseja quitar sua 
dívida 2 meses antes do prazo. Quanto pagará por ela, se a taxa de juros é de 5% a.m., capitalizada 
mensalmente? 
 
 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)௡
 
𝑉𝑃 =
6000
(1 + 0,05)ଶ
 
𝑉𝑃 =
6000
(1,05)ଶ
 
𝑉𝑃 =
6000
1,1025
 
𝑉𝑃=
6000
1,1025
 
𝑉𝑃 = 5442,18 
 
30 
 
2. Uma pessoa deve $ 5.000,00 que deverá ser pago daqui a 1 mês. Entretanto, ela sabe que não poderá 
honrar sua dívida nesse prazo, mas somente daqui a 6 meses. Quanto pagará por ela, se a taxa de juros é 
de 8% a.m., capitalizada mensalmente? 
 
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 . (1 + 𝑖)௡ 
𝑉𝐹 = 5000 . (1 + 0,08)ହ 
𝑉𝐹 = 5000 . (1,08)ହ 
𝑉𝐹 = 5000 . (1,469328) 
𝑉𝐹 = 7.346,64