Quantificador universal - Resumo
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Sentença aberta
Quanticador universal
Sentença aberta com uma variável em um conjunto A ou apenas sentença aberta em A, é
toda a expressão p(x) tal que p(a) é falsa ou verdadeira para todo a pertencente à A.
A Conjunto-universo
a Valor da variável x
Conjunto-verdade de uma sentença aberta
Vp
= {x|x ∈ A ^ p(x) é V}
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A ≠ ∅) e Vp
seu conjunto verdade.
Vp
= {x ┤| x ∈ A ^ p(x)}
Quando todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença aberta p(x), ou seja,
quando Vp
= A, podemos então armar que para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira,
e no simbolismo da lógica matemática, a gente vai sempre indicar esse fato de uma das
seguintes maneiras:
I. (∀ x ∈ A)(p(x))
II. ∀ x ∈ A,p(x)
III. ∀ x ∈ A: p(x)
Ou até forma ainda mais simples, omitindo o elemento A, cando dessa forma aí:
IV. (∀ x)(p(x))
V. ∀ x,p(x)
VI. ∀ x: p(x)
Lógica
Quanticador universal
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Portanto, ca assim denida a seguinte equivalência lógica:
(
∀ x ∈ A),( p(x)) ⇔ Vp
= A
Onde p(x) é, a princípio, apenas uma sentença aberta qualquer, não podendo possuir
valor verdadeiro ou falso. Quando utilizamos o símbolo ∀ antes da p(x), fazemos com que
ela se torne uma proposição, o que, por sua vez, faz com que ela tenha um valor lógico,
que pode ser a verdade, quando Vp
= A e a falsidade quando Vp
≠ A.
Ou seja, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo ∀, referido à variáv-
el x, trabalha como uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) em uma
proposição, a qual pode ser verdadeira ou falsa, conforme p(x) exprime ou não uma
condição universal no conjunto A.
E essa operação lógica será chamada de quanticação universal, a qual vai ser sempre
representada pelo ∀, o qual recebe o nome de quanticador universal.
Conjuntos nitos
Nos casos em que temos conjuntos nitos:
A = a1
, a2
, a3
, … , an
(∀ x ∈ A), ( p(x)) ⇔ p(a1
) ^ p(a2
) ^ p(a3
) ^ … ^ p(an)
Exemplos de quanticações
Exemplo 1 (Conjunto nito)
A = {2, 4, 8}
p(x): x é par
(∀ x ∈ A),( p(x)) ⇔ (2 é par ^ 4 é par ^ 8 é par)
Exemplo 2 (Conjunto innito)
(∀ n ∈ N)(n + 5 > 3)
p(n): n + 5 > 3
Vp
= {n│n ∈ N ^ n + 5 > 3} = {0, 1, 2, 3, …} = N