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042 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 1 2 B’ B A’ A C’ C A’ A r’ r Capítulo 4 - Estudo do Plano Definição de Plano Figura 1 Figura 2 Um plano pode ser definido: a) por três pontos não colineares, conforme mostra a ; b) por um ponto e uma reta que não contenha este ponto, conforme mostra a . 043 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 1 2 A’ A r’ r s’ s r’ s s’ r Capítulo 4 - Estudo do Plano Definição de Plano Figura 1 Figura 2 Ainda,um plano pode ser definido: c) por duas retas concorrentes, conforme mostra a ; d) por duas retas paralelas, conforme mostra a . 044 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Traços do Plano Figura 1 Figura 2 Figura 3 É a interseção do plano com os planos de projeções. ’ é a interseção de com ’; é a interseção de com . Um plano pode possuir um ou dois traços. Se possui dois traços ele podem ser oblíquos à linha de terra, conforme mostra a , onde ’e são oblíquos à linha de terra e se interceptam no ponto (T). A definição destes traços, por coordenadas, será feita a partir do ponto de concurso dos dois traços na linha de terra e o ângulo que cada destes traços faz com a referida linha, medidos segundo as convenções trigonométricas. Para um plano que possui dois traços se interceptando na linha de terra, um desses traços poderá ser perpendicular a esta linha, como será visto adiante. Os traços de um plano também poder ser paralelos à linha de terra conforme apresentado na . A definição dos traços, por coordenadas, será feita através do afastamento do traço horizontal e da cota do traço vertical. Os traços poderão, também, ser coincidentes com a linha de terra. A mostra uma terceira possibilidade onde o plano apresenta apenas um traço. Isto ocorre quando o plano é ortogonal a um dos planos de projeções. Neste caso ele será, obrigatoriamente, paralelo ao outro plano. A definição do traço, neste caso, obedecerá o mesmo critério do caso anterior. �� � �� � �� �� � � 32 �� y �� ��’ z y �� T T’ ��’ 0453 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� �� y ��’ z Capítulo 4 - Estudo do Plano Classificação dos Planos Figura 1 - Plano Horizontal Figura 2 - Plano Frontal Figura 3 - Plano de Topo Os planos são classificados segundo a sua posição em relação aos planos de projeções e aos planos bissetores. É o plano paralelo ao plano horizontal de projeções. Em épura seu único traço (vertical), é paralelo à linha de terra É plano paralelo ao plano vertical de projeções. Em épura seu único traço (horizontal), é paralelo à linha de terra É o plano perpendicular ao plano vertical de projeções e oblíquo ao plano horizontal de projeções. Em épura, seu traço horizontal é perpendicular à linha de terra e o traço vertical é oblíquo a esta linha. 0463 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� ��’ �� M’ M’ ���� Capítulo 4 - Estudo do Plano Classificação dos Planos Figura 1 - Plano Vertical Figura 2 - Plano Paralelo à Linha de Terra Figura 3 - Plano que contem a Linha de Terra É o plano perpendicular ao plano horizontal de projeções e oblíquo ao plano vertical de projeções. Em épura seu traço vertical é perpendicular à linha de terra e o traço horizontal é oblíquo a esta linha. É o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projeções. Em épura seus dois traços são paralelos à linha de terra. Plano que contem a linha de terra é oblíquo aos dois planos de projeções. Para a definição dos traços (coincidentes com a linha de terra), é necessário a definição de um ponto do plano que não pertença à linha de terra. 0473 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��� �’ ���� � � ��’ �� ��’ �� Capítulo 4 - Estudo do Plano Classificação dos Planos Figura 1 - Plano de Perfil Figura 2 - Plano Perpendicular ao Bissetor Ímpar simétricos Figura 3 - Plano Perpendicular ao Bissetor Par É o plano ortogonal aos dois planos de projeções . Em épura seus traços são perpendiculares à linha de terra e coincidentes É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porém perpendicular ao ( i). Tem como característica os traços oblíquos à linha de terra e à esta linha. É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porém perpendicular ao ( p Tem como característica os traços oblíquos à linha de terra e coincidentes. � � �� 0483 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� �� T T’ ��’ ��’ �� Capítulo 4 - Estudo do Plano Classificação dos Planos Figura 1 - Plano Paralelo ao Bissetor Par Figura 2 - Plano Paralelo ao Bissetor Ímpar Figura 3 - Plano Qualquer É um plano paralelo à linha de terra com esta característica específica . Em épura seus traços são paralelos e simétricos à linha de terra. É um plano paralelo à linha de terra com esta característica específica . Em épura seus traços são paralelos e coincidentes. É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra. Tem como característica os traços oblíquos à linha de terra. O plano Qualquer não possui nenhuma propriedade específica. 0492 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 1 �� T T’ ��’ V’ V H H’ �� T T’ ��’ V V’ r’ r Capítulo 4 - Estudo do Plano Pertinência entre reta e Plano Figuras 1 e 2- O plano é dado pelos traços Uma reta pertence a um plano quando os traços desta reta estão sobre os traços de mesmo nome do plano e, reciprocamente, se os traços de uma reta estão sobre os traços de mesmo nome de um plano, então esta reta pertence ao plano.. 050 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 Capítulo 4 - Estudo do Plano Pertinência entre reta e Plano Figuras 1 e 2- O plano é definido por duas retas, concorrentes ou paralelas Neste caso, uma reta pertence a um plano quando possuir pelo menos dois pontos distintos sobre duas retas deste plano. Is to significa que esta reta deve estar apoiada em duas retas distinstas do plano, em pontos distintos. Ainda, uma reta pertence a um plano quando apoiar-se em uma reta do plano e for paralela a outra reta que pertença a este plano. 1 A’ C’ B’ t’ s’ r’ B A C s t r A’ B’ s’ t’ r’ t s r B A 0513 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21s ��’s’ r ��’r’ t ��’t’ Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Horizontal Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal Figura 3 - Reta de Topo Figura 4 - Reta Horizontal 4 0523 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 �� r r’ ��t t’ s’ ��s 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Frontal Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal Figura 3 - Reta Frontal Figura 4 - Reta Vertical 0533 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� s s’ �� ��’r’ r t �� ��’t’ 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano de Topo Figura 2 - Reta de Topo Figura 3 - Reta Qualquer Figura 4 - Reta Frontal 0543 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� t t’ ��’ r’ ��r ��’ s’ ��s 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Vertical Figura 2 - Reta Vertical Figura 3 - Reta Horizontal Figura 4 - Reta Qualquer 0553 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 s’ �� s ��’ ��’ �� r’ r ��’ �� t’ t 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Paralelo à Linha de Terra Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal Figura 3 - Reta de Perfil Figura 4 - Reta Qualquer 0563 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 r’ r M’ M ����’ ����’ M’ M t’ t s’ s ����’ M’ M 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano que contem a Linha de Terra Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal Figura 3 - Reta de Perfil Figura 4 - Reta Qualquer 0573 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� r r’ ��’ �� t t’ ��’ �� r r’ 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano de Perfil Figura 2 - Reta de Topo Figura 3 - Reta de Perfil Figura 4 - Reta Vertical 0583 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 �� ��’ r r’ �� ��’ s s’ �� ��’ t t’ �� ��’ u’ u (r) (t) (s) (u) 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Qualquer Figura 2 - Reta Qualquer Figura 3 - Reta Horizontal e Reta Frontal Figura 4 - Reta de Perfil 059 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 �� ��’ h h’ V V’ �� ��’ f f’ H’ H 31 Capítulo 4 - Estudo do Plano As Retas Principais de um Plano Horizontal de um Plano Figura 2 Frontal de um Plano Figura 3 São assim denominadas as frontais e as horizontais. Sua larga aplicação na resolução de problemas lhes confere tal importância. Define-se como , a reta deste plano que é paralela ao plano horizontal de projeções - . Define-se como , a reta do deste plano que é paralela ao plano vertical de projeções - . Assim definidas, pode-se concluir que a horizontal de um plano nem sempre é uma reta horizontal, assim como a frontal de um plano nem sempre é uma reta frontal. Como exemplo, ao considerar-se a definição acima, para um plano de topo, a sua horizontal será uma reta de topo, posto que, no caso deste plano, somente a esta reta aplica-se tal definição. 0603 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 �� ��’ d d’ V V’ H H’ ��’ �� i’ i i’ V’ VH’ 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Figuras 1 e 2 - Reta de Máximo Declive Reta de Máxima Inclinação É a reta do plano que faz o maior ângulo possível com o plano horizontal de projeções. Este ângulo será o maior quando a reta for perpendicular ao traço horizontal do plano a ela pertence. Figuras 3 e 4 - É a reta do plano que faz o maior ângulo possível com o plano vertical de projeções. Este ângulo será o maior quando a reta for perpendicular ao traço vertical do plano a ela pertence. 0613 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 t’ u u’ t O O’ Capítulo 4 - Estudo do Plano Paralelismo entre Reta e Plano Figura 1 Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano Figuras 2 e 3 Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a uma reta deste plano - (r) é paralela a ( ), porque (r) é paralela a (s) e (s) pertence a ( ). - Se são conhecidos um ponto e duas retas reversas, para passar-se pelo ponto, um plano paralelo às referidas retas, este será definido por duas concorrentes que passam pelo ponto e são paralelas às duas retas conhecidas. � � 0623 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Capítulo 4 - Estudo do Plano Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano Figuras 1 e 2 Se são conhecidas duas retas reversas, para passar-se um plano por cada uma delas paralelo à outra reta, a reta que concorre com uma delas é paralela à outra que define o plano procurado. Figuras 3 e 4 As distâncias de duas reversas a um plano serão iguais, se o plano for paralelo às retas e passar pelo ponto médio de qualquer segmento que una as duas retas. t’ u u’ t t’ u u’ t ��’ � O O’ �� �’ 063 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano Figuras 1 e 2 Toda reta paralela a dois planos secantes, é paralela à interseção dos referidos planos. 0643 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Capítulo 4 - Estudo do Plano Paralelismo entre Planos Casos Fundamentais de paralelismo entre Planos Figuras 3 - Figuras 4 - Figuras 1 e 2 Dois planos paralelos têm, pelo menos, dois pares de retas paralelos entre sí. Em épura, os traços de mesmo nome de dois planos paralelos, serão paralelos. Conduzir, pelo ponto (O), um plano paralelo ao plano definido por (r) e (s). Construir os traços do plano ( ), paralelo ao plano ( ) e que passa por (P). � �� ��’P’ P 4 r s’ P’ P S r’ O’ O 0653 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Capítulo 4 - Estudo do Plano Paralelismo entre Planos Casos Fundamentais de paralelismo entre PlanosFiguras 3 e 4 - Figuras 1 e 2 - Dados dois pontos (A) e (B) e uma reta (r), distinta destes pontos, para conduzir-se pelos pontos, planos paralelos e equidistantes da reta, basta-se determinar o plano que contem o ponto médio do segmento resultante da união dos dois pontos (A) e (B), dados e a reta (r) dada, para, em seguida passar-se por estes pontos planos paralelos àquele. Dados três pontos não colineares (A), (B) e (C) e uma reta (s), a condução pelos pontos, de três planos eqüidistantes entre sí e paralelos à reta conhecida, será feita definindo-se um deles pelo ponto intermediário (B) e por uma reta paralela à reta dada e que contem o ponto médio do segmento limitado pelos pontos (A) e (C). Os demais planos serão paralelos a este e conterão os extremos (A) e (C). r A’ A r’ B’ B s A’ A s’ B’ B C’ C 4 066 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano Figuras 1 e 2 Por quatro pontos (A), (B), ( C) e (D) não coplanares, a condução, por estes pontos, de quatro planos eqüidistantes, será determinada definindo- se a divisão do segmento resultante da união dos pontos exteriores (A) e (D) em três partes iguais, unindo-se os 2 pontos divisores aos pontos internos (B) e ( C) dados, definindo-se, em seguida, os planos interiores e, posteriormente, passando-se pelos pontos exteriores, dois planos paralelos aos planos já definidos. A’ A C’ C D’ D B’ B �� �’s ��� �’ �� ��’ r r’ O O’ s s’ B’ B A A’ 067 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Figuras 1 e 2 Dois planos secantes determinam entre sí uma reta comum a eles. As projeções da reta determinada pela interseção de dois planos, é imediata, se um dos planos secantes for definido por duas retas e o outro for um plano projetante a um ou aos dois planos de projeções, tais como os planos: . Horizontal; . Frontal; . Vertical; . Topo; . Perfil. 068 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 A determinação da reta interseção de dois planos secantes fica mais ou menos trabalhoso, em função dos elementos fornecidos pelo problema. Em todos os casos, determina-se dois pontos da referida reta, ou apenas um ponto se a direção desta reta for conhecida. Cada ponto da interseção é determinado utilizando-se planos auxiliares, que, dependendo-se dos elementos conhecidos, podem ser: . Planos de projeções; . Planos paralelos aos planos de projeções; . Planos perpendiculares a um ou aos dois planos de projeções. Quando dois planos secantes são dados por seus traços e estes concorrem em pontos distintos, dentro dos limites da épura, utilizam-se os planos de projeções ( ) e ( ’), como planos auxiliares para a determinação da reta interseção dos dois planos. � � �� �’s �’��’ (V) ��� �� ��’ V V’ � �’ H H’ 069 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 Quando dois dos traços de mesmo nome dos dois planos, forem concorrentes dentro dos limitres da épura e os outros dois forem paralelos, utiliza-se apenas um dos planos de projeções como plano auxiliar, já que a reta interseção será paralela ao par de traços paralelos. �� �’s �’ ��’ ��� � � (u) �� ��’ � �’ H H’ u’ u 070 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 �� ��’ V1 V1’ � �’ H H’ K’ K V V’��’ h’ h1’ h1 h ��’ ��’ �’ �� �’s �� ��’ � �’ �� ��’ M �’ �’ M’ Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 Figura 3 Se dois dos traços homônimos concorrem dentro dos limites da épura e dois deles concorrem fora deste limite, utiliza-se um plano de projeções e outro que lhe seja paralelo, como planos auxiliares. Este mesmo artifício se aplica quando os pares de traços concorrem no mesmo ponto da linha de terra, ou quando um dos planos contem a linha de terra. 3 071 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 �� �’s �’ ��’ (u) (r) (s) �� ��’ � �’ H H’ u’ u H1 H1’ V V1 V1’ V’ K’ K Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 Se os dois planos secantes são paralelos à linha de terra, utiliza-se um plano perpendicular a um ou aos dois planos de projeções, como plano auxiliar. Neste caso, sabe-se que a reta interseção de dois planos paralelos à linha de terra é uma fronto-horizontal, portanto necessita-se de apenas um ponto para a sua determinação, já que a sua direção é conhecida. 072 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 �� �’s ��’ �’ �� K’ V’ � �’ K V2 ��’ h’ h1’ ���’ h2’ h3’ V1’ V2’ V3’ V V3V1 ��’ L’ L Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 Se os traços homônimos concorrem fora dos limites da épura, utilizam-se dois planos paralelos a um dos planos de projeções (plano vertical ou plano horizontal), como planos auxiliares. Este mesmo procedimento será aplicado para os casos em que um dos planos secantes é definido por um par de concorrentes, ou um par de paralelas, ou, ainda, quando os dois planos secantes, o forem assim definidos. A escolha de planos auxiliares paralelos ao plano vertical de projeções, ou ao plano horizontal de projeções, será determinada em função das características do problema, levando-se em consideração as facilidades que a escolha de um ou de outros possibilitem. Estas facilidades estão relacionadas à posição dos traços, ou das retas que compõem o problema. 073 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Interseção de Reta e Plano Figuras 1 e 2 A interseção de uma reta com um plano que não seja projetante, se faz através da passagem, por esta reta, de um plano auxiliar que seja projetante a um dos planos de projeções. Em seguida, determina-se a interseção deste plano com o plano dado. A reta resultante da interseção entre os dois planos terá um ponto em comum com a reta dada. Este ponto será o ponto de interseção procurado. Se o plano dado for projetante, a determinação da interseção será feita de forma direta. r’ �� ��’ V V’ A A’ H H’ s’ �� r s ��’ 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquiteturae Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios I - Dados os planos por seus traços, classifica-los. 01 - ____________________________ 02 - ____________________________ 03 - ____________________________ 04 - ____________________________ 05 - ____________________________ 06 - ____________________________ 07 - ____________________________ 08 - ____________________________ 09 - ____________________________ 10 - ____________________________ 11 - ____________________________ 12 - ____________________________ �� ��’ 074 M’ M �� ��’== 9 10 5 6 7 8 4 321 11 12 �� ��’ �� ��’ �� ��’ �� ��’ �� �� �p’ ��’ �� ��’ �� ��’ Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 075 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia =s’= r’ r s r A’ s’ r’ s A r A’ s’ r’ s A A’ s’ r’ A r s’r’ s s rs== r r’s’== Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios II - Dados os planos definidos por duas retas (r) e (s) , determinaros seu traços. Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 076 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia �� ��’r’ ��’ r’ �� ��’ r’ �� ��’ r’ Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios III - Dados os planos por seus traços, determinar a outra projeção da reta (r), que lhepertence. Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 077 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios IV - Dados os planos definidos por duas retas (r) e (s) , determinar a outra projeçãoda reta (t), que lhepertence. r A’ t’ s’ r’ s A r A’ t s’ r’ s A r A’ t s ’ r ’ s A r t’ s’ r’ s r t’ s’ r’ s r A’ t’ s’ r’ s A Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 078 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia r A’M’ s’ r’ s A r M s’ r’ s r A’ M ’ s ’ r ’ s A M =s’= r’ r s M r A’ s’ r’ s A M r A’ s’ r’ s A Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios V - Dados os planos definidos por duas retas (r) e (s) , determinar a outra projeçãodoponto (M), que lhepertence. Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios VI - Dados os planos por seus traços, determinar a outra projeção do ponto (M), que lhepertence. �� ��’M’ ��’ M’ �� ��’ M’ �� ��’ M’ 079 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios VII - Dados os planos definidos por duas retas (r) e (s) , determinar as projeções de uma horizontal e de uma frontal de cada plano, passandopeloponto (B). r A’ s’ r’ s A B’ B 080 r s s’ r’== B’ B r A’ s A s’ r’== B’ B r A’ s’ r’ s A B’ B r’ A’ s’ A s r== B’ B r’ s’ r s B’ B Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia �� ��’M’ ��’ M’ �� ��’ M’ �� ��’ M’ 081 Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios VIII - Dados os planos definidos por seus traços , determinar as projeções de uma horizontal e de uma frontal de cada plano, passando pelo ponto (M), do plano). Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios IX - Dados os planos definidos por duas retas (r) e (s) , determinar as projeções de uma reta demáximodeclive e deuma reta de máxima inclinação de cada plano, passando pelo ponto (B), que lhes pertence. r A’ s’ r’ s A B’ B 083 r s s’ r’== B’ B r A’ s A s’ r’== B’ B r A’ s’ r’ s A B’ B r’ A’ s’ A s r== B’ B r’ s’ r s B’ B Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia �� ��’M’ ��’ M’ �� ��’ M’ �� ��’ M’ 084 Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios X - Dados os planos definidos por seus traços , determinar as projeções de uma reta de máximo declive e de uma reta de máxima inclinação de cada plano, passandopeloponto (M), doplano). Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis
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