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Apostila Desenho Técnico - Plano

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042
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
1
2
B’
B
A’
A
C’
C
A’
A
r’
r
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Definição de Plano
Figura 1
Figura 2
Um plano pode ser definido:
a) por três pontos não colineares,
conforme mostra a ;
b) por um ponto e uma reta que
não contenha este ponto, conforme mostra
a .
043
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
1
2
A’
A
r’
r
s’
s
r’
s
s’
r
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Definição de Plano
Figura 1
Figura 2
Ainda,um plano pode ser definido:
c) por duas retas concorrentes,
conforme mostra a ;
d) por duas retas paralelas,
conforme mostra a .
044
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Traços do Plano
Figura 1
Figura 2
Figura 3
É a interseção do plano com os planos de
projeções.
’ é a interseção de com ’;
é a interseção de com .
Um plano pode possuir um ou dois traços.
Se possui dois traços ele podem ser
oblíquos à linha de terra, conforme mostra a
, onde ’e são oblíquos à linha
de terra e se interceptam no ponto (T). A
definição destes traços, por coordenadas,
será feita a partir do ponto de concurso dos
dois traços na linha de terra e o ângulo que
cada destes traços faz com a referida linha,
medidos segundo as convenções
trigonométricas.
Para um plano que possui dois traços se
interceptando na linha de terra, um desses
traços poderá ser perpendicular a esta
linha, como será visto adiante.
Os traços de um plano também poder ser
paralelos à linha de terra conforme
apresentado na . A definição dos
traços, por coordenadas, será feita através
do afastamento do traço horizontal e da
cota do traço vertical. Os traços poderão,
também, ser coincidentes com a linha de
terra.
A mostra uma terceira
possibilidade onde o plano apresenta
apenas um traço. Isto ocorre quando o
plano é ortogonal a um dos planos de
projeções. Neste caso ele será,
obrigatoriamente, paralelo ao outro plano.
A definição do traço, neste caso, obedecerá
o mesmo critério do caso anterior.
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32
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0453
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
21
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��
��
y
��’
z
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Horizontal
Figura 2 - Plano Frontal
Figura 3 - Plano de Topo
Os planos são classificados segundo a sua posição em relação aos planos de
projeções e aos planos bissetores.
É o plano paralelo ao plano horizontal de projeções. Em épura seu único traço
(vertical), é paralelo à linha de terra
É plano paralelo ao plano vertical de projeções. Em épura seu único traço
(horizontal), é paralelo à linha de terra
É o plano perpendicular ao plano vertical de projeções e oblíquo ao plano
horizontal de projeções. Em épura, seu traço horizontal é perpendicular à linha
de terra e o traço vertical é oblíquo a esta linha.
0463
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
21
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M’
M’
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Vertical
Figura 2 - Plano Paralelo à Linha de Terra
Figura 3 - Plano que contem a Linha de Terra
É o plano perpendicular ao plano horizontal de projeções e oblíquo ao plano
vertical de projeções. Em épura seu traço vertical é perpendicular à linha de
terra e o traço horizontal é oblíquo a esta linha.
É o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projeções.
Em épura seus dois traços são paralelos à linha de terra.
Plano que contem a linha de terra é oblíquo aos dois planos de projeções.
Para a definição dos traços (coincidentes com a linha de terra), é necessário
a definição de um ponto do plano que não pertença à linha de terra.
0473
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano de Perfil
Figura 2 - Plano Perpendicular ao Bissetor Ímpar
simétricos
Figura 3 - Plano Perpendicular ao Bissetor Par
É o plano ortogonal aos dois planos de projeções . Em épura seus traços são
perpendiculares à linha de terra e coincidentes
É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porém
perpendicular ao ( i). Tem como característica os traços oblíquos à linha de
terra e à esta linha.
É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porém
perpendicular ao ( p Tem como característica os traços oblíquos à linha de
terra e coincidentes.
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0483
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
21
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��
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T T’
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��’ �� Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Paralelo ao Bissetor Par
Figura 2 - Plano Paralelo ao Bissetor
Ímpar
Figura 3 - Plano Qualquer
É um plano paralelo à linha de terra com
esta característica específica . Em épura
seus traços são paralelos e simétricos à
linha de terra.
É um plano paralelo à linha de terra com
esta característica específica . Em épura
seus traços são paralelos e coincidentes.
É um plano oblíquo aos dois planos de
projeções e à linha de terra. Tem como
característica os traços oblíquos à linha de
terra.
O plano Qualquer não possui nenhuma
propriedade específica.
0492
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
1
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T T’
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V’
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Pertinência entre reta e Plano
Figuras 1 e 2- O plano é dado pelos
traços
Uma reta pertence a um plano quando os
traços desta reta estão sobre os traços de
mesmo nome do plano e, reciprocamente,
se os traços de uma reta estão sobre os
traços de mesmo nome de um plano, então
esta reta pertence ao plano..
050
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
2
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Pertinência entre reta e Plano
Figuras 1 e 2- O plano é definido por
duas retas, concorrentes ou paralelas
Neste caso, uma reta pertence a um plano
quando possuir pelo menos dois pontos
distintos sobre duas retas deste plano. Is to
significa que esta reta deve estar apoiada
em duas retas distinstas do plano, em
pontos distintos.
Ainda, uma reta pertence a um plano
quando apoiar-se em uma reta do plano e
for paralela a outra reta que pertença a
este plano.
1
A’
C’
B’
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B
A
C
s
t
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A’
B’
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t’ r’
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B
A
0513
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
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r
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Horizontal
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta de Topo
Figura 4 - Reta Horizontal
4
0523
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Frontal
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta Frontal
Figura 4 - Reta Vertical
0533
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano de Topo
Figura 2 - Reta de Topo
Figura 3 - Reta Qualquer
Figura 4 - Reta Frontal
0543
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Vertical
Figura 2 - Reta Vertical
Figura 3 - Reta Horizontal
Figura 4 - Reta Qualquer
0553
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Paralelo à Linha de Terra
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Qualquer
0563
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
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s’
s
����’
M’
M
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano que contem a Linha de
Terra
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Qualquer
0573
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano de Perfil
Figura 2 - Reta de Topo
Figura 3 - Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Vertical
0583
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
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(r)
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(u)
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Qualquer
Figura 2 - Reta Qualquer
Figura 3 - Reta Horizontal e Reta Frontal
Figura 4 - Reta de Perfil
059
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
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V
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
As Retas Principais de um Plano
Horizontal de um Plano
Figura 2
Frontal de um Plano
Figura 3
São assim denominadas as frontais e as
horizontais. Sua larga aplicação na
resolução de problemas lhes confere tal
importância.
Define-se como , a
reta deste plano que é paralela ao plano
horizontal de projeções - .
Define-se como , a
reta do deste plano que é paralela ao plano
vertical de projeções - .
Assim definidas, pode-se concluir que a
horizontal de um plano nem sempre é uma
reta horizontal, assim como a frontal de um
plano nem sempre é uma reta frontal.
Como exemplo, ao considerar-se a
definição acima, para um plano de topo, a
sua horizontal será uma reta de topo, posto
que, no caso deste plano, somente a esta
reta aplica-se tal definição.
0603
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Figuras 1 e 2 - Reta de Máximo Declive
Reta de Máxima
Inclinação
É a reta do plano que faz o maior ângulo
possível com o plano horizontal de
projeções. Este ângulo será o maior
quando a reta for perpendicular ao traço
horizontal do plano a ela pertence.
Figuras 3 e 4 -
É a reta do plano que faz o maior ângulo
possível com o plano vertical de projeções.
Este ângulo será o maior quando a reta for
perpendicular ao traço vertical do plano a
ela pertence.
0613
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Luiz Fernando Reis
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Anotações
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u
u’
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O
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Reta e Plano
Figura 1
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 2 e 3
Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a uma reta deste
plano
- (r) é paralela a ( ), porque (r) é paralela a (s) e (s) pertence a
( ).
- Se são conhecidos um ponto e duas retas reversas,
para passar-se pelo ponto, um plano paralelo às referidas retas, este
será definido por duas concorrentes que passam pelo ponto e são
paralelas às duas retas conhecidas.
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0623
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismo
entre Reta e Plano
Figuras 1 e 2
Se são conhecidas duas retas reversas,
para passar-se um plano por cada uma
delas paralelo à outra reta, a reta que
concorre com uma delas é paralela à outra
que define o plano procurado.
Figuras 3 e 4
As distâncias de duas reversas a um plano
serão iguais, se o plano for paralelo às
retas e passar pelo ponto médio de
qualquer segmento que una as duas retas.
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063
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
2
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 1 e 2
Toda reta paralela a dois planos secantes, é paralela à interseção dos
referidos planos.
0643
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Planos
Casos Fundamentais de paralelismo
entre Planos
Figuras 3 -
Figuras 4 -
Figuras 1 e 2
Dois planos paralelos têm, pelo menos,
dois pares de retas paralelos entre sí.
Em épura, os traços de mesmo nome de
dois planos paralelos, serão paralelos.
Conduzir, pelo ponto (O), um
plano paralelo ao plano definido por (r) e
(s).
Construir os traços do plano
( ), paralelo ao plano ( ) e que passa por
(P).
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0653
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Planos
Casos Fundamentais de paralelismo
entre PlanosFiguras 3 e 4 -
Figuras 1 e 2 - Dados dois pontos (A) e
(B) e uma reta (r), distinta destes pontos,
para conduzir-se pelos pontos, planos
paralelos e equidistantes da reta, basta-se
determinar o plano que contem o ponto
médio do segmento resultante da união
dos dois pontos (A) e (B), dados e a reta
(r) dada, para, em seguida passar-se por
estes pontos planos paralelos àquele.
Dados três pontos não
colineares (A), (B) e (C) e uma reta (s), a
condução pelos pontos, de três planos
eqüidistantes entre sí e paralelos à reta
conhecida, será feita definindo-se um
deles pelo ponto intermediário (B) e por
uma reta paralela à reta dada e que
contem o ponto médio do segmento
limitado pelos pontos (A) e (C). Os demais
planos serão paralelos a este e conterão
os extremos (A) e (C).
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A’
A
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B
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A’
A
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B’
B
C’
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066
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Anotações
2
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 1 e 2
Por quatro pontos (A), (B), ( C) e (D) não coplanares, a condução, por
estes pontos, de quatro planos eqüidistantes, será determinada definindo-
se a divisão do segmento resultante da união dos pontos exteriores (A) e
(D) em três partes iguais, unindo-se os 2 pontos divisores aos pontos
internos (B) e ( C) dados, definindo-se, em seguida, os planos interiores e,
posteriormente, passando-se pelos pontos exteriores, dois planos
paralelos aos planos já definidos.
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A
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Figuras 1 e 2
Dois planos secantes determinam entre sí uma reta comum a eles.
As projeções da reta determinada pela interseção de dois planos, é
imediata, se um dos planos secantes for definido por duas retas e o outro
for um plano projetante a um ou aos dois planos de projeções, tais como
os planos:
. Horizontal;
. Frontal;
. Vertical;
. Topo;
. Perfil.
068
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
2
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
A determinação da reta interseção de dois planos secantes fica mais ou
menos trabalhoso, em função dos elementos fornecidos pelo problema.
Em todos os casos, determina-se dois pontos da referida reta, ou apenas
um ponto se a direção desta reta for conhecida.
Cada ponto da interseção é determinado utilizando-se planos auxiliares,
que, dependendo-se dos elementos conhecidos, podem ser:
. Planos de projeções;
. Planos paralelos aos planos de projeções;
. Planos perpendiculares a um ou aos dois planos de projeções.
Quando dois planos secantes são dados por seus traços e estes
concorrem em pontos distintos, dentro dos limites da épura, utilizam-se os
planos de projeções ( ) e ( ’), como planos auxiliares para a determinação
da reta interseção dos dois planos.
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Quando dois dos traços de mesmo nome dos dois planos, forem
concorrentes dentro dos limitres da épura e os outros dois forem paralelos,
utiliza-se apenas um dos planos de projeções como plano auxiliar, já que a
reta interseção será paralela ao par de traços paralelos.
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Figura 3
Se dois dos traços homônimos concorrem
dentro dos limites da épura e dois deles
concorrem fora deste limite, utiliza-se um
plano de projeções e outro que lhe seja
paralelo, como planos auxiliares.
Este mesmo artifício se aplica quando os
pares de traços concorrem no mesmo
ponto da linha de terra, ou quando um
dos planos contem a linha de terra.
3
071
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
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(u)
(r)
(s)
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Se os dois planos secantes são paralelos à linha de terra, utiliza-se um plano
perpendicular a um ou aos dois planos de projeções, como plano auxiliar.
Neste caso, sabe-se que a reta interseção de dois planos paralelos à linha de
terra é uma fronto-horizontal, portanto necessita-se de apenas um ponto para
a sua determinação, já que a sua direção é conhecida.
072
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Se os traços homônimos concorrem fora dos limites da épura, utilizam-se
dois planos paralelos a um dos planos de projeções (plano vertical ou plano
horizontal), como planos auxiliares.
Este mesmo procedimento será aplicado para os casos em que um dos
planos secantes é definido por um par de concorrentes, ou um par de
paralelas, ou, ainda, quando os dois planos secantes, o forem assim
definidos.
A escolha de planos auxiliares paralelos ao plano vertical de projeções, ou
ao plano horizontal de projeções, será determinada em função das
características do problema, levando-se em consideração as facilidades que
a escolha de um ou de outros possibilitem.
Estas facilidades estão relacionadas à posição dos traços, ou das retas que
compõem o problema.
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2
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Interseção de Reta e Plano
Figuras 1 e 2
A interseção de uma reta com um plano que não seja projetante, se faz
através da passagem, por esta reta, de um plano auxiliar que seja projetante
a um dos planos de projeções. Em seguida, determina-se a interseção deste
plano com o plano dado. A reta resultante da interseção entre os dois planos
terá um ponto em comum com a reta dada. Este ponto será o ponto de
interseção procurado.
Se o plano dado for projetante, a determinação da interseção será feita de
forma direta.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
I - Dados os planos por seus traços,
classifica-los.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
II - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinaros seu traços.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
III - Dados os planos por seus traços,
determinar a outra projeção da reta (r),
que lhepertence.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
IV - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinar a outra
projeçãoda reta (t), que lhepertence.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
V - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinar a outra
projeçãodoponto (M), que lhepertence.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
VI - Dados os planos por seus traços,
determinar a outra projeção do ponto
(M), que lhepertence.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
VII - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinar as projeções de
uma horizontal e de uma frontal de cada
plano, passandopeloponto (B).
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
VIII - Dados os planos definidos por seus
traços , determinar as projeções de uma
horizontal e de uma frontal de cada
plano, passando pelo ponto (M), do
plano).
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
IX - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinar as projeções de
uma reta demáximodeclive e deuma reta
de máxima inclinação de cada plano,
passando pelo ponto (B), que lhes
pertence.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
X - Dados os planos definidos por seus
traços , determinar as projeções de uma
reta de máximo declive e de uma reta de
máxima inclinação de cada plano,
passandopeloponto (M), doplano).
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