(Ebook) Fundamentos Da Telecomunica es (Teoria Eletromagn tica E Aplica es) Ufba

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Fundamentos de Telecomunicac¸o˜es
Teoria Eletromagne´tica e Aplicac¸o˜es
Antonio Cezar de Castro Lima
Universidade Federal da Bahia - UFBA
c© Copyright 2002 por Antonio Cezar de Castro Lima
ii
Conteu´do
Notac¸a˜o de Varia´veis e Constantes xi
Prefa´cio xv
1 Ondas Eletromagne´ticas 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Equac¸o˜es de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Equac¸a˜o de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Caracter´ısticas de uma Onda Eletromagne´tica . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Polarizac¸a˜o de Ondas Eletromagne´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Equac¸a˜o de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Ondas Transversais Eletromagne´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Impedaˆncia e Admitaˆncia Intr´ınsecas do Meio . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 Densidade de Poteˆncia e Densidade Volume´trica de Energia . . . . . . 18
1.11 Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Ondas TEM num Meio Qualquer 25
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Meios Diele´tricos e Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Equac¸a˜o de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Impedaˆncia Intr´ınseca e Velocidade de Fase . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Meios Diele´tricos com Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Propagac¸a˜o em Meios Diele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Propagac¸a˜o em Meios Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Profundidade de Penetrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Velocidade de Fase e Impedaˆncia num Condutor . . . . . . . . . . . . 33
iii
CONTEU´DO iv
3 Propagac¸a˜o em Meios Diferentes 37
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Incideˆncia Normal entre Dois Meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Transic¸a˜o entre Diele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Transic¸a˜o Diele´trico-Condutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Transic¸a˜o Condutor-Diele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Coeficiente de Onda Estaciona´ria . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Incideˆncia Normal com Propagac¸a˜o em N Meios . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1 Propagac¸a˜o em Treˆs Meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2 Propagac¸a˜o em N Meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Incideˆncia Obl´ıqua entre Dois Meios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1 Ondas Linearmente Polarizadas - Caso Perpendicular . . . . . 51
3.4.2 Reflexa˜o Total, Aˆngulo Cr´ıtico e Onda de Superf´ıcie . . . . . . 54
3.4.3 Ondas Linearmente Polarizadas - Caso Paralelo . . . . . . . . 56
3.4.4 Transmissa˜o Total e Aˆngulo de Brewster . . . . . . . . . . . . 57
3.4.5 Ondas Elipticamente Polarizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Linhas de Transmissa˜o 63
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Equac¸a˜o de uma Linha de Transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Abordagem Eletromagne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 Abordagem de Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de uma L.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Impedaˆncia Caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.1 Coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.2 Par de Fios Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.3 Microfita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Perdas numa L.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Linhas com Terminac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6.1 Impedaˆncia Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6.2 Toco em Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6.3 Toco em Curto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7 Coeficientes de Reflexa˜o para Zg Complexo . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.8 Coeficiente de Onda Estaciona´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8.1 Coeficientes de Reflexa˜o e Transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . 78
4.8.2 Coeficiente de Onda de Tensa˜o Estaciona´ria . . . . . . . . . . 78
4.9 Te´cnicas de Casamento de Impedaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.10 Carta de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.11 Casamento com Toco e Trecho de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . 82
v CONTEU´DO
4.11.1 Trecho de linha e toco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.11.2 Toco e trecho de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.12 Casamento com Dois Tocos e Trechos de Linha . . . . . . . . . . . . 86
4.13 Casamento com Treˆs Tocos e Trechos de Linha . . . . . . . . . . . . . 87
4.14 Casamento com Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Paraˆmetros de Espalhamento 91
5.1 Dispositivos de Duas Portas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Paraˆmetros de Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Caracterizac¸a˜o de Transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Amplificador de um Esta´gio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 103
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Potenciais Vetores de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Modos de Propagac¸a˜o num Guia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4 Campos num Guia de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.1 Modo Transversal Ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.2 Modo Transversal Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Caracter´ısticas de Ondas Guiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5.1 Constante de Propagac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5.2 Comprimento de Onda Guiada e de Corte . . . . . . . . . . . 112
6.5.3 Frequ¨eˆncia de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5.4 Velocidade de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5.5 Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5.6 Impedaˆncias Modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.6 Guia Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6.1 Modo H (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6.2 Modo E (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.7 Guia Cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.7.1 Modo H (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.7.2 Modo E (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.8 Atenuac¸a˜o em Guias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.8.1 Atenuac¸a˜o abaixo da Frequ¨eˆncia de Corte . . . . . . . . . . . 126
6.8.2 Atenuac¸a˜o acima da Frequ¨eˆncia de Corte . . . . . . . . . . . . 127
6.8.3 Atenuac¸a˜o num Guia Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.8.4 Atenuac¸a˜o num Guia Cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.9 Cavidade Ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.9.1 Cavidade com Paredes Retangulares . . . . . . . . . . . . . . 132
CONTEU´DO vi
6.9.2 Cavidade Cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.9.3 Fator de Qualidade para Cavidades Cu´bicas . . . . .. . . . . 136
6.9.4 Fator de Qualidade para Cavidades Cil´ındricas . . . . . . . . . 138
7 Processo de Radiac¸a˜o 141
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2 Dipolo Infinitesimal ou Hertziano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.3 Regio˜es de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.1 Campo Pro´ximo Reativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.2 Campo Pro´ximo Irradiante (Regia˜o de Fresnel) . . . . . . . . 147
7.3.3 Campo Distante (Regia˜o de Fraunhofer) . . . . . . . . . . . . 148
7.4 Radiador ou Antena Isotro´pica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8 Caracter´ısticas de uma Antena 151
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Tipos de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 Dipolo de Comprimento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.4 Principais Paraˆmetros de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 Intensidade de Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.6 Diagrama de Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.7 Poteˆncia Radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.8 Ganho Diretivo e Diretividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.9 Ganho de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.10 Relac¸a˜o Frente-Costas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.11 Feixe de Meia-Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.12 Impedaˆncia de Entrada e Poteˆncia Radiada . . . . . . . . . . . . . . 166
8.13 Eficieˆncia de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.14 A´rea Ele´trica e Comprimento Ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.15 Largura de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.16 Polarizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.17 Temperatura de Ru´ıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9 Antenas Lineares 177
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.2 Caracter´ısticas de um Dipolo de Comprimento Finito . . . . . . . . . 177
9.2.1 Campos Distantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.2.2 Intensidade de Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.2.3 Diagrama de Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.2.4 Poteˆncia Radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
vii CONTEU´DO
9.2.5 Diretividade e Ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.2.6 Impedaˆncia de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.3 Impedaˆncia Mu´tua entre Elementos Lineares . . . . . . . . . . . . . . 183
9.3.1 Campos Pro´ximos para um Dipolo Finito . . . . . . . . . . . . 184
9.3.2 Impedaˆncia para Elementos Paralelos . . . . . . . . . . . . . . 185
9.3.3 Impedaˆncia para Elementos Colineares . . . . . . . . . . . . . 187
9.4 Plano Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.4.1 Dipolo na Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.4.2 Dipolo na Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.5 Dipolo Dobrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.6 Dipolo Cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10 Difrac¸a˜o de Ondas TEM 197
10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.2 Princ´ıpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.3 Fonte de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.4 Difrac¸a˜o de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.5 Difrac¸a˜o de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.6 Elipso´ide e Zonas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11 Enlaces de Ra´dio 213
11.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.2 Fo´rmulas de Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.3 Fo´rmula de Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.4 Enlace Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.4.1 Obsta´culos do Tipo Gume de Faca . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.4.2 Obsta´culos Arredondados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.5 Enlace via Sate´lite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.5.1 Perdas no Espac¸o-Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.5.2 Figura de Me´rito do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
11.6 Reflexo˜es Ionosfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.7 Reflexo˜es no Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
12 Casamento de Impedaˆncia de Antenas 231
12.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.2 Circuitos de Casamento com Tocos e Trechos de Linhas . . . . . . . . 232
12.3 Casamento do Tipo T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.4 Dipolo Dobrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.5 Casamento do Tipo Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
CONTEU´DO viii
12.6 Casamento do Tipo Oˆmega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
12.7 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
12.8 Baluns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.8.1 Balun do Tipo Bazuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.8.2 Balun do Tipo Trombone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.9 Baluns com Nu´cleos de Ferrite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13 Arranjos de Antenas 247
13.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.2 Distribuic¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.2.1 Arranjo de Dois Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.2.2 Arranjo de N Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13.2.3 Arranjo com um Nu´mero Par de Elementos . . . . . . . . . . 252
13.2.4 Arranjo com um Nu´mero I´mpar de Elementos . . . . . . . . . 253
13.2.5 Intensidade de Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.2.6 Diretividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
13.3 Distribuic¸a˜o Planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
13.4 Arranjos Lineares de Dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.4.1 Caracter´ısticas de Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.4.2 Impedaˆncia de Entrada e Corrente nos Dipolos . . . . . . . . . 258
13.5 Arranjos Planares de Dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
13.5.1 Caracter´ısticas de Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
13.5.2 Impedaˆncia de Entrada e Corrente nos Dipolos . . . . . . . . . 262
14 Antenas Direcionais 263
14.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
14.2 Antena Yagi-Uda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
14.2.1 Yagi de Dois Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
14.2.2 Yagi de Treˆs Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
14.2.3 Yagi de N Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
14.3 Antena Log-Perio´dica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
14.3.1 Projeto de uma Log-perio´dica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
14.4 Antena Helicoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.4.1 Modo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 281
14.4.2 Modo Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
15 Antenas com Refletores 287
15.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
15.2 Antena com Placas Refletoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
ix CONTEU´DO
15.2.1 Refletor Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
15.2.2 Refletor de Canto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
15.3 Antena Parabo´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
15.3.1 Refletor Parabo´lico de Revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 296
15.3.2 Iluminac¸a˜o do Refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
15.3.3 Campos Radiados por um Parabolo´ide . . . . . . . . . . . . . 298
15.3.4 Diretividade e Largura de Feixe de Meia-Poteˆncia . . . . . . . 300
Exerc´ıcios Propostos 305
Exerc´ıcios dos Cap´ıtulos 1 a 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Exerc´ıcios dos Cap´ıtulos 4 a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Exerc´ıcios dos Cap´ıtulos 7 a 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Exerc´ıcios dos Cap´ıtulos 12 a 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Respostas dos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Bibliografia 335
CONTEU´DO x
Notac¸a˜o de Varia´veis e Constantes
Segue abaixo a lista que identifica todas as varia´ves e constantes utilizadas neste
livro. Note que vetores e versores sa˜o representados em negrito e escalares em fonte
normal. Algumas letras podem representar diferentes varia´veis e constantes. Neste
caso, o significado e´ enfatizado no texto.
A - Potencial Vetor
A - Perdas, a´rea
ap - Versor espacial na direc¸a˜o p
a - Raio, largura de um guia de onda retangular, amplitude de onda
B ou B - Densidade de fluxo Magne´tico
B - Susceptaˆncia, banda, largura de banda
b - Raio, altura de um guia retangular, amplitude de onda
C - Capacitaˆncia, constante de Euler, circunfereˆncia
c - Velocidade da luz no va´cuo
D ou D - Densidade de fluxo Ele´trico
Do - Diretividade
Dg - Ganho diretivo
d - Diaˆmetro, espac¸amento, distaˆncia
E ou E - Campo ele´trico
E - Energia
e - Eficieˆncia
F - Potencial Vetor
F - Figura de ru´ıdo, vetor potencial
FA - Fator de arranjo
f - Frequ¨eˆncia de uma onda
G - Condutaˆncia ou Ganho
H ou H - Campo magne´tico
h - Altura
I - Corrente ele´trica
J ou J - Densidade de corrente ele´trica
xi
NOTAC¸A˜O DE VARIA´VEIS E CONSTANTES xii
j -
√−1
k e k - Vetor de onda e nu´mero de onda
L - Indutaˆncia
l - Comprimento
M ou M - Densidade de corrente magne´tica
m - Massa
n - I´ndice de refrac¸a˜o
P - Poteˆncia, per´ımetro
p - Velocidade relativa, ra´ızes da func¸a˜o de Bessel
Q - Fator de Qualidade
R - Resisteˆncia ele´trica, espac¸amento
Rfc - Relac¸a˜o frente-costas
r - Raio ou distaˆncia
S - Superf´ıcie, paraˆmetros de espalhamento
s - passo de uma he´lice
T - Per´ıodo de uma onda, temparatura
t - Tempo
Ue - Densidade volume´trica de energia ele´trica
Um - Densidade volume´trica de energia magne´tica
U - Intensidade de radiac¸a˜o
Uo - Intensidade de Radiac¸a˜o de uma antena isotro´pica
V - Volume, tensa˜o
v ou υ - Velocidade de propagac¸a˜o
υf e υg - Velocidade de fase e velocidade de grupo
W e W - Vetor de Poynting e densidade de poteˆncia
w - Largura
X - Reataˆncia
Y - Admitaˆncia
Z - Impedaˆncia
Zo - Impedaˆncia caracter´ıstica
α - Fator de atenuac¸a˜o, aˆngulo
αpol - Perdas de polarizac¸a˜o
β - Constante de fase, fase
γ - Constante de propagac¸a˜o
∆φ - Defasagem ou comprimento ele´trico
δ - Defasagem entre duas ondas
δp - Profundidade de penetrac¸a˜o
�, �r e �o - Permissividade (ou constante diele´trica) absoluta, relativa e no va´cuo
ε - Emissividade
xiii NOTAC¸A˜O DE VARIA´VEIS E CONSTANTES
η - Impedaˆncia intr´ınseca de um meio
ηo - Impedaˆncia intr´ınseca do va´cuo
θ - aˆngulo, em geral, medido em relac¸a˜o o eixo z
Λ - Fluxo magne´tico
λ - Comprimento de onda
µ, µr e µo - Permabilidade magne´tica absoluta, relativa e no va´cuo
Π - Potencial vetor de Hertz
ρ - Coeficiente de reflexa˜o, densidade volume´trica de carga ele´trica
σ - Condutividade, desvio padra˜o, espac¸amento relativo em antenas log-perio´dicas
τ - Coeficiente de transmissa˜o, periodicidade em antenas log-perio´dicas
ϕ - aˆngulo, em geral, medido em relac¸a˜o o eixo x
φ - Fase de um fasor
ψ - Fase de um fasor
Ω - Aˆngulo so´lido
ω - Frequ¨eˆncia angular de uma onda
NOTAC¸A˜O DE VARIA´VEIS E CONSTANTES xiv
Prefa´cio
Este livro e´ resultado de oito anos de ensino na a´rea de telecomunicac¸o˜es, em n´ıvel
de graduac¸a˜o e po´s-graduac¸a˜o, no Departamento de Engenharia Ele´trica (DEE)
da Universidade Federal da Bahia (UFBA). Nos u´ltimos anos, o nu´mero de livros
dedicado ao ensino de engenharia ele´trica, publicado em portugueˆs pelas grande
editoras, diminuiu substancialmente, restando ao nossos alunos a compra de t´ıtulos
importados de custo elevado. A ide´ia de publicar um livro texto, na a´rea de tele-
comunicac¸o˜es, tem como objetivo preencher esta lacuna e propiciar aos alunos de
engenharia ele´trica de nossa universidade a oportunidade de ter um material focado
ao conteu´do das disciplinas oferecidas pelo DEE.
O livro esta´ organizado em quinze cap´ıtulos onde sa˜o apresentados teoria e ex-
emplos envolvendo ondas eletromagne´ticas em dispositivos e sistemas de telecomu-
nicac¸o˜es.O u´ltimo cap´ıtulo conte´m um conjunto de exerc´ıcios propostos, agrupados
de acordo com cap´ıtulos correlatos. As respostas destes exerc´ıcios se encontram
no final deste u´ltimo cap´ıtulo. Alguns exemplos e exerc´ıcios podem ser testados
utilizando-se um conjunto de subrotinas nume´ricas desenvolvidas para o ambiente
MATLAB, denominado RF Wave Toolbox. Este pacote de rotinas pode ser obtido
a partir do enderec¸o www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange ou enviando
um e-mail para acdcl@ufba.br. Com estes programas e´ poss´ıvel, por exemplo, fazer
ana´lise e s´ıntese de sistemas de casamento de impedaˆncia, ou ainda, projetar antenas
e arranjos de antenas.
Os alunos de graduac¸a˜o que esta˜o cursando a disciplina Telecomunicac¸a˜o III
(ENG348) devem comec¸ar a leitura deste livro a partir do primeiro cap´ıtulo. O curso
de Telecomunicac¸o˜es III da UFBA pode ser dividido em treˆs mo´dulos, comec¸ando
com o estudo das equac¸o˜es de Maxwell, a ana´lise de ondas eletromagne´ticas que se
propagam no espac¸o-livre e em diferentes meios. Estes to´picos esta˜o distribu´ıdos nos
Cap´ıtulos 1, 2 e 3. O segundo mo´dulo envolve o estudo de ondas confinadas, como
por exemplo, linhas de transmissa˜o, guias de ondas e cavidades ressonantes, ale´m
de te´cnicas de casamento de impedaˆncia e aplicac¸o˜es. Neste caso, o aluno devera´
consultar os Cap´ıtulos 4, 5 e 6. No u´ltimo mo´dulo sa˜o abordados os conceitos de
radiac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas, caracter´ısticas ba´sicas de antenas e enlace de
xv
PREFA´CIO xvi
ra´dio. Neste caso, o aluno devera´ ler os Cap´ıtulos 7, 8, 10 e 11.
Para os alunos cursando a disciplina Propagac¸a˜o e Antenas (ENG378), a leitura
deste livro deve ser iniciada a partir do Cap´ıtulo 7. Enquanto alunos, do Curso de
Especializac¸a˜o em Engenharia de Telecomunicac¸o˜es, que esta˜o cursando a disciplina
Sistemas Irradiantes devera˜o focar atenc¸a˜o nos Cap´ıtulos 4-6, 7-9 e 11-15.
Finalmente, gostaria de aproveitar esta oportunidade para agradecer publica-
mente a todos que participaram e contribu´ıram para a conclusa˜o deste projeto.
Particularmente, aos meus alunos da UFBA que durante todos estes anos me aju-
daram a revisar texto, equac¸o˜es e figuras, e a minha esposa, Ana, pela revisa˜o
gramatical e ortogra´fica das primeiras verso˜es deste livro.
A. C de C. Lima
Hamilton, Canada´
28 de Marc¸o de 2002
Cap´ıtulo 1
Ondas Eletromagne´ticas
1.1 Introduc¸a˜o
O fenoˆmenode propagac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas e´ representado matema-
ticamente por um par de equac¸o˜es diferenciais obtidas a partir das equac¸o˜es de
Maxwell. Neste cap´ıtulo sa˜o estudadas ondas eletromagne´ticas propagando-se num
meio diele´trico isotro´pico sem perdas, ficando o processo de gerac¸a˜o ou radiac¸a˜o
de ondas para cap´ıtulos posteriores. Na Sec¸a˜o 1.2 sa˜o mostradas as equac¸o˜es de
Maxwell na sua forma integral e diferencial. A deduc¸a˜o do par de equac¸o˜es diferen-
ciais que descrevem o fenoˆmeno de propagac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas e´ exposto
na Sec¸a˜o 1.3. Enquanto que, as soluc¸o˜es destas equac¸o˜es diferenciais sa˜o obtidas na
Sec¸a˜o 1.4. Logo em seguida sa˜o apresentadas as principais caracte´risticas de uma
onda eletromagne´tica, como amplitude e fase dos campos, velocidade de propagac¸a˜o,
frequ¨eˆncia, comprimento de onda, etc., assim como os tipos de polarizac¸a˜o: el´ıptica,
circular e linear. As equac¸o˜es diferenciais que descrevem o comportamento ondu-
lato´rio dos campos ele´trico e magne´tico, quando estes variam harmonicamente no
tempo, sa˜o deduzidas na Sec¸a˜o 1.7. As equac¸o˜es resultantes desta deduc¸a˜o sa˜o de-
nominadas de equac¸o˜es de Helmholtz, cujas soluc¸o˜es sa˜o func¸o˜es que descrevem as
variac¸o˜es dos campos eletromagne´ticos no espac¸o. E´ demonstrado na sec¸a˜o seguinte
que os campos ele´trico e magne´tico de uma onda eletromagne´tica sa˜o ortogonais ou
transversais a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o. A definic¸a˜o de impedaˆncia intr´ınsica de um
meio diele´trico e´ apresentada na Sec¸a˜o 1.9. Finalmente, nas u´ltimas duas sec¸o˜es, sa˜o
encontradas as expresso˜es que fornecem a densidade de poteˆncia associada a uma
frente de onda eletromagne´tica, a densidade volume´trica de energia, velocidade de
grupo e ı´ndice de refrac¸a˜o de meios diele´tricos.
1
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 2
1.2 Equac¸o˜es de Maxwell
As equac¸o˜es de Maxwell podem ser escritas na forma integral:∫∫
S
D · ds =
∫∫∫
V
ρ dV (1.1)
∫∫
S
B · ds = 0 (1.2)
∮
C
H · dl =
∫∫
S
(
J+
∂D
∂t
)
· ds (1.3)
e ∮
C
E · dl = −
∫∫
S
∂B
∂t
· ds (1.4)
SendoD = �E a densidade de fluxo ele´trico, B =µH a densidade de fluxo magne´tico,
H o campo magne´tico, E o campo ele´trico e J a densidade de corrente ele´trica.
Aplicando-se o Teorema da Divergeˆncia,∫∫
S
F · ds =
∫∫∫
V
(∇ · F) dV (1.5)
em (1.1) e (1.2) e o Teorema de Stokes,∮
C
F · dl =
∫∫
S
(∇× F) · ds (1.6)
em (1.3) e (1.4), obte´m-se as equac¸o˜es de Maxwell na forma diferencial, ou seja,
∇ · E = ρ
�
(1.7)
∇ ·H = 0 (1.8)
∇× H = σE+ � ∂E
∂t
(1.9)
e
3 1.3. Equac¸a˜o de Onda
∇× E = −µ ∂H
∂t
(1.10)
sendo a densidade de corrente J = σE. E´ importante salientar que estas equac¸o˜es
fornecem informac¸o˜es sobre os campos ele´trico e magne´tico para qualquer ponto do
espac¸o e instante de tempo.
As equac¸o˜es de Maxwell, na forma diferencial, podem ser simplificadas para
pontos do espac¸o onde na˜o existem cargas e/ou correntes ele´tricas. Estas regio˜es
sera˜o denominadas a partir de agora de espac¸o-livre e as equac¸o˜es de Maxwell,
associadas a elas, sa˜o:
∇ · E = 0 (1.11)
∇ ·H = 0 (1.12)
∇× H = � ∂E
∂t
(1.13)
e
∇× E = −µ∂H
∂t
(1.14)
Lembrando-se que µ = µrµo e � = �r�o, sendo µr a permeabilidade relativa do meio
e �r permissividade relativa.
1.3 Equac¸a˜o de Onda
E´ poss´ıvel demonstrar matematicamente que campo ele´trico variante no tempo gera
campo magne´tico variante no tempo, ou vice-versa. Isto pode ser facilmente en-
tendido a partir de uma ra´pida ana´lise das equac¸o˜es (1.13) e (1.14). Observe na
lei de Ampe`re (1.13) que, se o campo ele´trico varia no tempo, enta˜o existira´ um
campo magne´tico tambe´m variante no tempo, ortogonal ao primeiro. Isto ocorre
porque o rotacional de H e´ proporcional a variac¸a˜o de E. Algo semelhante e´ obitdo
da lei de Faraday (1.14), ou seja, o rotacional de E e´ proporcional a variac¸a˜o de
H. Uma outra conclusa˜o ainda mais relevante, obtida por Maxwell, a partir das leis
de Ampe`re e Faraday, e´ o cara´ter ondulato´rio dos campos eletromagne´ticos. Este
cara´ter ondulato´rio pode ser confirmado a partir da equac¸a˜o diferencial resultante
da demonstrac¸a˜o a seguir.
Aplicando-se o operador rotacional em ambos os lados da equac¸a˜o (1.13), tem-se
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 4
∇× ∇× H = �∇× ∂E
∂t
= �
∂(∇× E)
∂t
(1.15)
substituindo (1.14) em (1.15), obte´m-se
∇× ∇× H = −µ� ∂
2H
∂t2
(1.16)
Como
∇× ∇× H = ∇(∇ ·H)−∇2H (1.17)
e ∇ ·H = 0, enta˜o,
∇2H−µ� ∂
2H
∂t2
= 0 (1.18)
Partindo-se da equac¸a˜o (1.14) e utilizando um procedimento semelhante ao ex-
posto acima, pode-se obter a equac¸a˜o diferencial
∇2E−µ� ∂
2E
∂t2
= 0 (1.19)
As equac¸o˜es diferenciais (1.18) e (1.19), envolvendo os campos ele´trico e magne´tico,
representam de forma matema´tica um onda eletromagne´tica propagando-se no espac¸o-
livre. Uma equac¸a˜o semelhante foi obtida pelo matema´tico franceˆs D’Alembert, em
1747, quando este tentava descrever o movimento ondulato´rio em uma corda esti-
cada. A equac¸a˜o obtida por ele era algo parecido com
∂2y
∂x2
− 1
v2
∂2y
∂t2
= 0 (1.20)
onde y e´ a posic¸a˜o de um ponto qualquer da corda na direc¸a˜o transversal a` mesma
e v a velocidade de propagac¸a˜o da onda mecaˆnica que surge nesta corda.
Uma comparac¸a˜o entre as equac¸o˜es (1.18) ou (1.19) e (1.20) mostra que a ve-
locidade de propagac¸a˜o da onda eletromagne´tica e´ dada por
v =
1√
µ�
(1.21)
Para o caso de ondas eletromagne´ticas que se propagam no ar ou no va´cuo,
tem-se
c =
1√
µo�o
(1.22)
sendo c a velocidade da luz no va´cuo, cujo valor e´ aproximadamente 3× 108 m/s.
5 1.4. Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Onda
1.4 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Onda
Para tornar o processo de obtenc¸a˜o da soluc¸a˜o da equac¸a˜o de onda mais claro e
dida´tico, e´ interessante tomar-se um exemplo pra´tico. Considere um dipolo, antena
linear constitu´ıda por duas hastes meta´licas, orientado na direc¸a˜o az e alimentado
por um gerador de sinais de RF (Ra´dio Frequ¨eˆncia). A tensa˜o alternada desenvolvida
nos terminais do dipolo cria uma corrente de conduc¸a˜o nas hastes que varia no
tempo. Sabe-se, pela lei de Ampe`re, que esta corrente alternada produz campo
magne´tico no espac¸o em volta da antena, neste exemplo, orientado na direc¸a˜o aϕ.
Este campo varia de acordo com a mesma func¸a˜o de variac¸a˜o da corrente (figura e
detalhamento teo´rico podem ser vistos no Cap´ıtulo 7). Ale´m disso, foi visto na sec¸a˜o
anterior que campo magne´tico variante no tempo produz campo ele´trico variante no
tempo, neste caso, com orientac¸a˜o na direc¸a˜o az. Para um ponto de observac¸a˜o muito
distante da antena dipolo, as frentes de onda podem ser consideradas praticamente
planas e os campos podem ser representados neste caso pelas equac¸o˜es
∂2E
∂r2
− 1
c2
∂2E
∂t2
= 0 (1.23)
e
∂2H
∂r2
− 1
c2
∂2H
∂t2
= 0 (1.24)
onde c e´ a velocidade da onda eletromagne´tica que se propaga na direc¸a˜o ar, com
campo ele´trico da forma
E = Ez(r, t) az (1.25)
e o campo magne´tico
H = Hϕ(r, t) aϕ (1.26)
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o (1.23) ou (1.24) pode ser obtida utilizando-se o me´todo da
separac¸a˜o de varia´veis. Tomando-se por exemplo a equac¸a˜o (1.23) e considerando
que
Ez(r, t) = f(t) g(r) (1.27)
Pode-se obter, atrave´s da substituic¸a˜o de (1.27) em (1.23), o seguinte resultado
f(t)
∂2g(r)
∂r2
=
g(r)
c2
∂2f(t)
∂t2
(1.28)
ou, dividindo-se toda a equac¸a˜o por Ez(r, t),
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 6
1
g(r)
∂2g(r)
∂r2
=
1
c2f(t)
∂2f(t)
∂t2
(1.29)
Observe que o lado direito da equac¸a˜o (1.29) so´ sera´ igual ao lado esquerdo
quando ambos forem iguais a uma constante. Portanto, pode-se escrever duas
equac¸o˜esa partir de (1.29), ou seja,
1
g(r)
d2g(r)
dr2
=− k2 (1.30)
e
1
c2f(t)
d2f(t)
dt2
=− k2 (1.31)
onde o termo constante −k2 foi escolhido dessa forma por convenieˆncia.
As soluc¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de segunda ordem (1.30) e (1.31)
sa˜o combinac¸o˜es lineares de duas func¸o˜es ortonormais que, neste caso, sa˜o respecti-
vamente escritas como
g(r) = C1e
jkr + C2 e
−jkr (1.32)
e
f(t) = C3 e
jω t + C4 e
−jω t (1.33)
sendo
ω = k c (1.34)
Sera´ mostrado mais adiante que, para ondas propagando-se no sentido r+, o que
neste caso equivale a onda sendo radiada pela antena, C1 e´ igual a zero e
g(r) = C2 e
−jkr (1.35)
Ja´ a variac¸a˜o temporal pode ser escrita como,
f(t) = C3 e
jω t (1.36)
Sendo assim, a func¸a˜o que descreve a variac¸a˜o do campo ele´trico de uma onda plana
e´ da forma
Ez(r, t) = Eoe
j(ω t−kr) (1.37)
neste caso, a amplitude Eo e´ considerada constante.
7 1.5. Caracter´ısticas de uma Onda Eletromagne´tica
De maneira semelhante, pode-se obter a seguinte expressa˜o para o campo magne´tico:
Hϕ(r, t) = Hoe
j(ω t−kr) (1.38)
sendo Ho constante.
Os resultados apresentados em (1.37) e (1.38) representam os campos de uma
onda plana ideal. Na pra´tica, as amplitudes Eo e Ho diminuem com a distaˆncia,
como sera´ visto, em um estudo mais rigoroso, no Cap´ıtulo 7.
Para se confirmar que (1.37) e (1.38) sa˜o soluc¸o˜es das equac¸o˜es de onda, basta
apenas substitu´ı-las respectivamente em (1.23) e (1.24). Estas soluc¸o˜es sa˜o es-
pec´ıficas para este caso. Soluc¸o˜es mais complexas podem ser obtidas a partir de
uma combinac¸a˜o linear de func¸o˜es do tipo e jn(ω t±kr), isto e´,
Ez(r, t) =
N∑
n=0
Cne
jn(ω t±kr) (1.39)
e
Hϕ(r, t) =
N∑
n=0
Dne
jn(ω t±kr) (1.40)
onde Cn e Dn sa˜o constantes complexas.
1.5 Caracter´ısticas de uma Onda Eletromagne´tica
Analisando-se as caracter´ısticas de uma onda plana, cujo campo ele´trico e´ represen-
tado matematicamente pelo fasor-vetor
E(z, t) = Eoe
jφay = Eoe
j(ω t−kz)ay (1.41)
ou, tomando-se apenas a parte real,
E(z, t) = Eo cosφ ay = Eo cos(ω t− kz) ay (1.42)
Pode-se verificar que, para um plano z fixo, o campo ele´trico varia harmonicamente
no tempo. Da mesma forma tem-se para um instante de tempo t uma variac¸a˜o
espacial do campo tambe´m harmoˆnica. A variac¸a˜o espacial, neste caso, ocorre ao
longo de z. O valor ma´ximo do campo, Eo, e´ chamado de amplitude, enquanto o
argumento da func¸a˜o cossenoidal e´ chamado de fase da onda, ou seja, φ = ω t− kz.
A velocidade de propagac¸a˜o da onda plana e´ igual a` velocidade de um observador
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 8
que acompanha o deslocamento de uma frente de onda cuja fase e´, por exemplo, φo,
isto e´,
dφo
dt
= ω − kdz
dt
= 0 (1.43)
ou
vf =
dz
dt
=
ω
k
(1.44)
ou na forma vetorial,
vf =
ω
k
az (1.45)
Lembrando-se que vf , tambe´m denominada velocidade de fase da onda, depende
das caracter´ısticas ele´tricas e magne´ticas do meio, como mostra a equac¸a˜o (1.21).
A propagac¸a˜o da onda, neste caso, se da´ no sentido z+, como mostrado na Figura
1.1a. Para ondas propagando-se no sentido contra´rio, tem-se
Ey(z)
z
λ
vf
(a)
Ey(t)
t
Τ
(b)
Figura 1.1: Variac¸a˜o da intensidade do campo ele´trico no: (a) espac¸o; (b) tempo.
dφo
dt
= ω + k
dz
dt
= 0 (1.46)
ou
vf = −ω
k
az (1.47)
9 1.5. Caracter´ısticas de uma Onda Eletromagne´tica
A distaˆncia entre duas frentes de onda de mesma fase, para um dado instante
de tempo, e´ denominada de comprimento de onda, representado pela letra grega λ
(vide Figura 1.1a). Neste caso, a variac¸a˜o ∆φ entre as duas frentes e´ igual a 2π, ou
seja,
∆φ = k∆z = k λ = 2π (1.48)
e como consequ¨eˆncia, a raza˜o entre ∆φ e ∆z e´ dada por
k =
∆φ
∆z
=
2π
λ
(1.49)
comumente chamada de nu´mero de onda.
A variac¸a˜o de fase de 2π que ocorre num intervalo de tempo ∆t = T, para um
dado plano z, e´ denominado de per´ıodo da onda (vide Figura 1.1b). Portanto,
∆φ = ω∆t = ωT = 2π (1.50)
e como consequ¨eˆncia, a raza˜o entre ∆φ e ∆t e´ dada por
ω =
∆φ
∆t
=
2π
T
(1.51)
denominada de frequ¨eˆncia angular da onda.
Substituindo as equac¸o˜es (1.49) e (1.51) em (1.44), obte´m-se
vf = λ f (1.52)
onde f = 1
T
e´ chamada de frequ¨eˆncia da onda.
Exemplo 1.1 Duas antenas do tipo dipolo esta˜o espac¸adas perpendicularmente em
relac¸a˜o ao eixo z, como mostrado na Figura 1.2. Cada antena radia ondas eletro-
magne´ticas de mesma intensidade e fase. Qual deve ser o espac¸amento mı´nimo para
que o campo, no ponto P , seja ma´ximo?
Soluc¸a˜o: O campo ele´trico no plano z = zo e´ obtido a partir de
E(zo, t) = Eo cosφ1 + Eo cosφ2
sendo, φ1 = ω t − kzo e φ2 = ω t − k(zo − d) = φ1 + kd. Pode-se facilmente
verificar que as ondas se superpo˜em quando φ2 = φ1 ou, de uma forma geral, quando
φ2 = φ1 + 2nπ. Portanto, a diferenc¸a de fase e´ enta˜o
∆φ = kd = 2nπ
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 10
e
d =
2nπ
k
= nλ
o valor mı´nimo de d, diferente de zero, e´ λ.
z
0 1
2
P
d
z
o
(z)E
Figura 1.2: Arranjo de antenas dipolos separadas por uma distaˆncia d.
1.6 Polarizac¸a˜o de Ondas Eletromagne´ticas
Uma onda esta´ polarizada linearmente quando o campo ele´trico na˜o muda de direc¸a˜o
no espac¸o. No caso de uma onda plana propagando-se na direc¸a˜o z+, com o vetor
campo ele´trico apontando sempre na direc¸a˜o y,
E = Eosen(ωt− kz) ay (1.53)
a polarizac¸a˜o e´ dita linear na direc¸a˜o y. O vetor campo ele´trico poderia apontar
em qualquer outra direc¸a˜o no plano xy, para uma onda propagando-se na direc¸a˜o
z, e ainda assim ser linearmente polarizada, desde que este na˜o mude de direc¸a˜o ao
longo do sentido de propagac¸a˜o.
O caso mais geral em termos de polarizac¸a˜o ocorre quando o vetor campo ele´trico
muda de direc¸a˜o ao longo da direc¸a˜o de propagac¸a˜o. Nesta condic¸a˜o, a onda esta´
11 1.6. Polarizac¸a˜o de Ondas Eletromagne´ticas
polarizada elipticamente ou circularmente, como sera´ visto mais adiante. Sendo
assim, pode-se classificar as ondas eletromagne´ticas de acordo com a direc¸a˜o do
campo ele´trico ou polarizac¸a˜o. Os tipos de polarizac¸a˜o poss´ıveis sa˜o mostrados na
Figura 1.3, ou seja: el´ıpticas (caso gene´rico), circular e linear (casos particulares).
Uma onda elipticamente polarizada pode ser obtida a partir de duas ondas lin-
earmente polarizadas, cujos campos ele´tricos sa˜o ortogonais entre si. Por exemplo,
Ex = E1sen(ωt− kz) (1.54)
e
Ey = E2sen(ωt− kz + δ) (1.55)
sendo δ a defasagem entre as duas componentes de campo. O campo resultante na
forma vetorial e´ dado por
E = E1sen(ωt− kz) ax+E2sen(ωt− kz + δ)ay (1.56)
Para o plano z = 0, tem-se
Ex = E1senωt (1.57)
e
Ey = E2sen(ωt + δ) (1.58)
ou
Ey = E2 (senωt cos δ + sen δ cosωt) (1.59)
onde
senωt =
Ex
E1
(1.60)
e
cosωt =
√
1−
(
Ex
E1
)2
(1.61)
logo
Ey
E2
=
Ex
E1
cos δ +
√
1−
(
Ex
E1
)2
sen δ (1.62)
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 12
ou
(
Ey
E2
− Ex
E1
cos δ
)2
1
sen2δ
= 1−
(
Ex
E1
)2
(1.63)
ou ainda
(
Ey
E2
)2
− 2EyEx
E2E1
cos δ +
(
Ex
E1
)2
cos2δ +
(
Ex
E1
)2
sen2δ = sen2δ (1.64)
Portanto,
(
Ey
E2
)2
− 2EyEx
E2E1
cosδ +
(
Ex
E1
)2
= sen2δ (1.65)
Considerando-se
1
E21sen
2δ
= a (1.66)
2 cosδ
E2E1sen2δ
= b (1.67)
e
1
E22 sen
2δ
= c (1.68)
obte´m-se a equac¸a˜o de uma elipse, ou seja,
aE2x − 2bEyEx + cE2y = 1 (1.69)
A equac¸a˜o (1.69) representa a variac¸a˜o do vetor campo ele´trico no plano z = 0,
como mostrado na Figura 1.3a. Quando δ = ± 90◦ e E1 = E2 a equac¸a˜o (1.65) se
reduz a` equac¸a˜o de uma circunfereˆncia, isto e´,
E2x + E
2
y = E
2
1 (1.70)
neste caso,a variac¸a˜o do campo ele´trico no plano z = 0 e´ circular, como mostrado
na Figura 1.3b. O sinal de δ determina o sentido de giro do campo. Por exemplo,
se δ = − 90◦ enta˜o,
Ex = E1senωt (1.71)
e
13 1.6. Polarizac¸a˜o de Ondas Eletromagne´ticas
z zz
y
x x x
y y
E E
E
E2
E1
(a) (b) (c)
Figura 1.3: Polarizac¸a˜o: (a) el´ıptica para direita; (b) circular para direita; (c) linear.
Ey = E1sen(ωt− π
2
) = −E1cosωt (1.72)
Portanto para t = 0, Ex = 0 e Ey = −E1, enquanto para t = T4 , Ex = E1 e
Ey = 0. O resultado e´ mostrado na Figura 1.4a e a polarizac¸a˜o e´ denominada
circular para direita. Quando δ = +90◦, obte´m-se uma onda polarizada no sentido
contra´rio, como visto na Figura 1.4b. Uma maneira simples de se associar o sentido
da polarizac¸a˜o com o resultado gra´fico exposto pode ser obtida utilizando as ma˜os.
Com a ma˜o semifechada e polegar apontando na direc¸a˜o de propagac¸a˜o obte´m-se o
sentido da polarizac¸a˜o. Por exemplo, quando os dedos da ma˜o direita apontam no
sentido de giro do campo, a polarizac¸a˜o e´ para direita.
Para δ = 0◦ ou δ = 180◦ a equac¸a˜o (1.65) se reduz a
(
Ey
E2
)2
± 2EyEx
E2E1
+
(
Ex
E1
)2
= 0 (1.73)
ou
(
Ey
E2
± Ex
E1
)2
= 0 (1.74)
ou ainda
Ey
E2
= ∓Ex
E1
(1.75)
Reescrevendo a equac¸a˜o (1.75), obte´m-se a equac¸a˜o de uma reta, ou seja,
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 14
(a) (b)
z x
y
E
z x
y
E
Figura 1.4: Polarizac¸a˜o circular para: (a) direita; (b) esquerda.
Ey = ∓E2
E1
Ex (1.76)
neste caso, a variac¸a˜o do campo ele´trico no plano z = 0 e´ linear, como mostrado na
Figura 1.3c.
Exemplo 1.2 Determine a polarizac¸a˜o de uma onda eletromagne´tica cuja variac¸a˜o
do campo ele´trico e´ representada por
E(z, t) = 2 sen(ω t− kz) ax − cos(ω t− kz) ay
Soluc¸a˜o: Pela equac¸a˜o acima, pode-se verificar que a onda se propaga no sentido
z+, uma vez que os sinais, nos argumentos das func¸o˜es seno e cosseno, sa˜o negativos.
Observa-se tambe´m que as componentes de campo teˆm amplitudes diferentes e esta˜o
em quadratura (defasagem de 90◦), cos(ω t− kz) = sen(ω t− kz + π/2) . Portanto,
pode-se concluir que a onda esta´ elipticamente polarizada, pois a raza˜o entre as
amplitudes e´ diferente de 1 e a defasagem δ = −90◦. Entretanto, fica faltando saber
se o sentido e´ para direita ou para esquerda. No plano z = 0, quando t = 0, Ex = 0
e Ey = −1, enquanto para t = T4 , Ex = 2 e Ey = 0, logo o sentido e´ para direita,
como mostrado na Figura 1.3a.
1.7 Equac¸a˜o de Helmholtz
Considerando-se que a variac¸a˜o da onda eletromagne´tica no domı´nio do tempo e´
harmoˆnica, isto e´, e jω t, e que o campo ele´trico pode ser escrito como o produto de
15 1.7. Equac¸a˜o de Helmholtz
uma func¸a˜o que depende somente do espac¸o com outra que depende so´ do tempo,
ou seja, E(r, t) = E(r) e jω t, enta˜o a equac¸a˜o de onda (1.19) pode ser escrita como
e jω t∇2E(r)+ω
2
v2
E(r) e jω t = 0 (1.77)
ou
∇2E(r)+ k2 E(r) = 0 (1.78)
uma vez que
∂2E
∂t2
= −ω2E(r) e jω t (1.79)
A equac¸a˜o diferencial (1.78) e´ chamada de equac¸a˜o de onda reduzida ou equac¸a˜o
de Helmholtz. A soluc¸a˜o de (1.78) fornece a variac¸a˜o espacial do vetor campo ele´trico
da onda. De forma semelhante pode-se obter a equac¸a˜o de Helmholtz para o campo
magne´tico,
∇2H(r) + k2 H(r) = 0 (1.80)
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Helmholtz para uma onda eletromagne´tica propagan-
do-se num diele´trico isotro´pico sem perdas pode ser obtida utilizando-se o me´todo
da separac¸a˜o de varia´veis. Na forma vetorial, a soluc¸a˜o de (1.78) e´ do tipo
E(r) = Eo(r) e
−j k· r (1.81)
Enquanto a soluc¸a˜o para (1.80) e´
H(r) = Ho(r) e
−j k· r (1.82)
sendo Eo e Ho os vetores amplitude, r o vetor posic¸a˜o e k o vetor de onda que aponta
no sentido de propagac¸a˜o. Em coordenadas retangulares, estes vetores podem ser
escritos como se segue:
Eo(r) = Exo(r) ax+Eyo(r) ay+Ezo(r) az (1.83)
Ho(r) = Hxo(r) ax+Hyo(r) ay+Hzo(r) az (1.84)
r = x ax+y ay+z az (1.85)
e
k = kxax+kyay+kzaz (1.86)
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 16
Por exemplo, se uma onda plana se propaga na sentido z− com campo ele´trico
orientado na direc¸a˜o y, enta˜o a expressa˜o do campo ele´trico em func¸a˜o da posic¸a˜o
no espac¸o sera´ dada por
E(r) = (Eyoay) e
−j (−kzaz)· (xax+y ay+z az) = Eyo e j kzz ay (1.87)
1.8 Ondas Transversais Eletromagne´ticas
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Helmholtz para ondas propagando-se num espac¸o aberto
e´ dada, no caso do campo ele´trico, por (1.81). Sabe-se que, para pontos livres de
cargas ele´tricas,
∇ · E = 0 (1.88)
logo,
∇ · Eo(r) e−j k· r = 0 (1.89)
Utilizando-se a identidade vetorial
∇ · Fφ ≡ F · ∇φ (1.90)
sendo F uma func¸a˜o vetorial e φ uma func¸a˜o escalar, tem-se
Eo(r) ·∇e−j k· r = −jE ·k =0 (1.91)
ou simplesmente
E ·k = 0 (1.92)
Portanto, o produto escalar entre o vetor campo ele´trico e o vetor nu´mero de onda,
que aponta na direc¸a˜o de propagac¸a˜o da onda, e´ zero. Este resultado indica que o
campo ele´trico e´ ortogonal, ou transversal, a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o.
De maneira semelhante, substituindo (1.82) em (1.12), pode-se obter
H ·k = 0 (1.93)
indicando que o campo magne´tico tambe´m e´ transversal a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o.
Por este motivo as ondas eletromagne´ticas, sejam elas planas, cil´ındricas ou esfe´ricas,
com os campos ele´trico e magne´tico ortogonais a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o, sa˜o chamadas
de ondas Transversais EletroMagne´ticas (TEM).
17 1.9. Impedaˆncia e Admitaˆncia Intr´ınsecas do Meio
1.9 Impedaˆncia e Admitaˆncia Intr´ınsecas do Meio
Para ondas TEM, propagando-se num meio diele´trico isotro´pico homogeˆneo sem
perdas, as variac¸o˜es dos campos no espac¸o sa˜o representadas matematicamente pelas
equac¸o˜es (1.81) e (1.82). Sabe-se tambe´m que, para variac¸a˜o harmoˆnica no tempo,
∇× H = �∂E
∂t
= jω�E (1.94)
e
∇× E = − µ∂H
∂t
= −jωµH (1.95)
Substituindo (1.81) em (1.95), tem-se
∇× Eo(r) e−jk·r = −jωµH (1.96)
ou
H =
j
ωµ
∇× Eo(r) e−jk·r (1.97)
De maneira semelhante, substituindo (1.82) em (1.94), pode-se obter
E =
−j
ω�
∇× Ho(r) e−jk·r (1.98)
Utilizando-se a identidade vetorial
∇× Fφ ≡ −F×∇φ (1.99)
pode-se reescrever as equac¸o˜es (1.97) e (1.98) como
H =
−j
ωµ
Eo(r) ×∇e−jk·r = 1
ωµ
k× E (1.100)
e
E =
j
ω�
Ho(r) ×∇e−jk·r = −1
ω�
k× H (1.101)
Considerando-se que n e´ um versor na direc¸a˜o de propagac¸a˜o, teˆm-se
H = Y n× E (1.102)
e
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 18
E = −Z n× H (1.103)
onde
Z = η =
k
ω�
=
√
µ
�
(1.104)
e´ a impedaˆncia intr´ınseca do diele´trico e
Y =
1
η
=
k
ωµ
=
√
�
µ
(1.105)
a admitaˆncia.
1.10 Densidade de Poteˆncia e Densidade Volume´-
trica de Energia
Sabe-se que onde existe campo ele´trico ha´ tambe´m energia e que a densidade volume´trica
de energia ele´trica ma´xima e´ dada por
Uemax =
1
2
�E2o (1.106)
sendo Eo o valor de pico do campo ele´trico. Enquanto seu valor me´dio e´ dado por
Ue =
1
2
�E2ef =
1
4
�E2o (1.107)
onde Eef =
Eo√
2
e´ o campo ele´trico eficaz para campos que variam harmonicamente
no tempo.
Da mesma forma, pode-se afirmar que onde existe campo magne´tico ha´ energia
magne´tica e a densidade volume´trica de energia ma´xima e´ dada por
Ummax =
1
2
µH2o (1.108)
enquanto a densidade volume´trica me´dia e´ fornecida por
Um =
1
2
µH2ef =
1
4
µH2o (1.109)
sendo Hef =
Ho√
2
o campo magne´tico eficaz e Ho campo magne´tico de pico. A energia
armazenada num dado volume e´ fornecida pela expressa˜o
19 1.10. Densidade de Poteˆncia e Densidade Volume´trica de Energia
E =
∫∫∫
V
U dV (1.110)
Portanto, a energia ele´trica e magne´tica armazenada num volume V sa˜o forneci-
das respectivamente por
Ee =
∫∫∫
V
Uedv =
�
4
∫∫∫
V
E · E∗ dV (1.111)
e
Em =
∫∫∫
V
Um dv =
µ
4
∫∫∫
V
H ·H∗ dV (1.112)
onde o asterisco indica complexo conjugado.
Imagine agora uma onda eletromagne´tica plana propagando-se na direc¸a˜o z. A
densidade volume´tica de energia me´dia total associada a` onda e´ dada por
Ut = Ue + Um =
1
4
�E2o +
1
4
µH2o (1.113)
escrevendo a equac¸a˜o (1.102) na forma escalar, tem-se
Ho = Y Eo (1.114)
Substituindo (1.114) em (1.113), obte´m-se
Ut = 2Ue = 2Um =
1
2
�E2o =
1
2
µH2o (1.115)
A densidade de poteˆncia me´dia num plano z qualquer e´ igual ao produto da
densidade volume´trica de energia total da onda pela velocidade de propagac¸a˜o da
energia, isto e´,
Wm = Ut v (1.116)
num diele´trico perfeito a energia associada a` onda e´ transportada a uma velocidade
igual a velocidade de fase desta onda. Portanto,
Wm =
1
2
�E2ovf =
E2o
2η
(1.117)
ou ainda
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 20
Wm =
1
2
µH2ovf =
ηH2o
2
(1.118)
E´ importante salientar que existem meios onde o transporte de energia associada
a` onda eletromagne´tica na˜o ocorre a` velocidade de fase.
Geralmente, a densidade de poteˆncia e´ representada na forma vetorial, ou seja,
Wm =
1
2
E×H∗ (1.119)
sendo Wm denominado de vetor de Poynting me´dio. Para um meio qualquer, onde
a impedaˆncia intr´ınseca pode ser complexa, o vetor de Poynting e´ dado por
Wm =
1
2
Re{E×H∗} (1.120)
A poteˆncia me´dia associada a uma a´rea S de uma determinada frente de onda e´
fornecida por
Pm =
∫∫
S
Wm · ds (1.121)
Exemplo 1.3 Um copo d’a´gua, com 10cm de diaˆmetro e 15cm de profundidade, e´
colocado para esquentar dentro de um forno de microondas. O campo ele´trico ger-
ado pelo forno tem valor ma´ximo igual a 1kV/m e varia com uma frequ¨eˆncia de
1GHz. Supondo-se que a onda eletromagne´tica e´ plana e incide normalmente sobre
a superf´ıcie da a´gua, qual deve ser a energia absorvida por este l´ıquido? Qual a
poteˆncia me´dia que chega a` superf´ıcie d’a´gua? Considere que o campo eletrico na
a´gua diminui para 20% do seu valor ma´ximo no ar. Nesta frequ¨eˆncia a permissivi-
dade relativa da a´gua e´ igual 81.
Soluc¸a˜o: A energia pode ser calculada a partir da integrac¸a˜o da densidade volume´trica
de energia total, equac¸a˜o (1.115). Neste caso, torna-se necessa´rio encontrar o valor
do campo ele´trico ma´ximo dentro d ’a´gua, este valor e´ 5 vezes menor (20%) que no
ar, isto e´, 200V/m. Sendo assim,
Ut =
1
2
� r� oE
2
o =
1
2
× 81× 8, 85× 10−12 × (200)2 = 1, 43× 10−5 J/m3
A energia e´ enta˜o obtida a partir de
E =
∫∫∫
V
Ut dV = Ut V = 1, 43×10−5×π×(5×10−2)2×1, 5×10−1 = 1, 68×10−8 J
21 1.11. Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa
Finalmente, a poteˆncia me´dia que chega a` superficie da a´gua e´ dada por
Pm =
∫∫
S
Wm · ds =E
2
o
2ηo
S
Como a impedaˆncia intr´ınseca do ar e´ ηo = 120πΩ, enta˜o
Pm =
(1× 103)2
240π
π × (5× 10−2)2 = 10, 4W
1.11 Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa
Foi visto que, para meios diele´tricos perfeitos, a velocidade de fase de uma onda
eletromagne´tica e´ dada por
vf =
1√
µε
(1.122)
e no espac¸o-livre, por
c =
1√
µoεo
(1.123)
A velocidade relativa e´ definida como a raza˜o entre a velocidade de fase da onda
no meio diele´trico pela velocidade da onda no va´cuo, ou seja,
p =
vf
c
=
1√
µrεr
(1.124)
Observe que, quanto maior for a permissividade e/ou permeabilidade do meio, menor
sera´ a velocidade relativa da onda. Para meios na˜o-magne´ticos, tem-se
p =
1√
εr
(1.125)
uma vez que a permeabilidade relativa e´ igual a` unidade.
Muitos materiais diele´tricos sa˜o classificados de acordo com uma grandeza chamada
ı´ndice de refrac¸a˜o, que e´ definido como sendo o inverso da velocidade relativa da onda
no meio, isto e´,
n =
1
p
=
√
εr (1.126)
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 22
A velocidade de grupo esta´ associada a um grupo de ondas eletromgne´ticas de
frequ¨eˆncias distintas. Cada onda se propaga com velocidade de fase dada por (1.122)
e velocidade de grupo
vg =
dω
dβ
(1.127)
Para materiais diele´tricos β = k.
A equac¸a˜o (1.127) pode ser obtida como segue. Considere, por exemplo, duas
ondas eletromagne´ticas de frequ¨eˆncias distintas cujas expresso˜es dos campos ele´tricos
sa˜o dadas por
E1(z, t) = Eoe
j(ω1t−k1z)ay (1.128)
e
E2(z, t) = Eoe
j(ω2t−k2z)ay (1.129)
Onde o campo ele´trico resultante e´
Et = Eo
[
e j(ω1t−k1z) + e j(ω2t−k2z)
]
ay (1.130)
Supondo que
ω1 = ωo −∆ω (1.131)
e
ω2 = ωo + ∆ω (1.132)
sendo
ωo =
ω1 + ω2
2
(1.133)
e
∆ω =
ω2 − ω1
2
(1.134)
pode-se reescrever a equac¸a˜o (1.130) como
Et = Eoe
j(ωot−koz) [e−j(∆ω t−∆k z) + e j(∆ω t−∆k z)] ay (1.135)
ou
23 1.11. Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa
Et = 2Eoe
j(ωot−koz) cos(∆ω t−∆k z)ay (1.136)
Considerando-se apenas a parte real, tem-se
Et = 2 cos(ωot− koz) cos(∆ω t−∆k z)ay (1.137)
O que lembra um sinal modulado em amplitude com portadora suprimida [33][21],
onde a frequ¨eˆncia da portadora e´ ωo e do sinal modulador ∆ω. A Figura 1.5 mostra
a onda resultante indicando a velocidade de grupo e de fase.
Ey(z)
z
vgvf
Figura 1.5: Onda resultante da superposic¸a˜o de duas ondas de frequ¨eˆncias distintas.
As velocidades de fase e grupo esta˜o indicadas.
A velocidade do grupo de um conjunto de onda esta´ associada a` envolto´ria da
onda resultante e e´ definida como sendo a velocidade de deslocamento de um dado
ponto fixo desta envolto´ria, ou seja,
vg =
∆ω
∆k
(1.138)
ou
vg = lim
∆ω→ 0
∆ω
∆k
=
dω
dk
(1.139)
A equac¸a˜o (1.139) fornece a velocidade do grupo de ondas na frequ¨eˆncia ωo que
e´ a me´dia das frequ¨eˆncias de cada onda que compo˜e o grupo. Observe que, se a
permissividade do meio na˜o varia com a frequ¨eˆncia, enta˜o
CAP´ıTULO 1. Ondas Eletromagne´ticas 24
vg = vf (1.140)
pois, substituindo ω = vf k em (1.139), tem-se
vg =
dω
dk
= vf + k
dvf
dk
(1.141)
Se a permissividade na˜o varia com a frequ¨eˆncia, vf tambe´m na˜o varia com a frequ¨eˆncia
e nem com o nu´mero de onda, tornando o segundo termo da equac¸a˜o (1.141) nulo.
Cap´ıtulo 2
Ondas TEM num Meio Qualquer
2.1 Introduc¸a˜o
O estudo de ondas eletromagne´ticas realizado no cap´ıtulo anterior se deteve, em
grande parte tempo, na ana´lise de ondas propagando-se no ar ou va´cuo. Neste
cap´ıtulo sera˜o abordados to´picos referentes a`s ondas transversais eletromagne´ticas
propagando-se num meio qualquer. Na Sec¸a˜o 2.2 e´ apresentada uma classificac¸a˜o dos
meios de acordo com as suas caracter´ısticas ele´tricas, enquanto que nas duas sec¸o˜es
seguintes e´ feita uma generalizac¸a˜o da equac¸a˜o de Helmholtz, impedaˆncia intr´ınseca e
velocidade de fase. No restante do cap´ıtulo sa˜o analisados o fenoˆmeno de propagac¸a˜o
dos campos eletromagne´ticos em meios diele´tricos quaisquer e condutores.
2.2 Meios Diele´tricos e Condutores
Os meios podem ser classificados de acordo com suas caracter´ısticas ele´tricas e
magne´ticas, como permissividade, permeabilidade e condutividade. Eles podem
ser diele´tricos perfeitos, diele´tricos com perdas, quase condutores, condutores ou
condutores perfeitos. A classificac¸a˜o tambe´m depende da frequ¨eˆncia da onda eletro-
magne´tica que se propaga no meio. Um meio pode ser diele´trico para uma determi-
nada faixa de frequ¨eˆncia e condutor para outra.
Sabe-se pela lei de Ampe`re que, para campos variando harmonicamente no
tempo,
∇× H =σE+ jω�E (2.1)
onde o primeiro termo do lado direito da equac¸a˜o representa a densidade de corrente
de conduc¸a˜o do meio e, o segundo, a densidade de corrente de deslocamento. Se
25
CAP´ıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 26
σ = 0, enta˜o, o meio e´ dito perfeitamente diele´trico, podendoser considerado sem
perdas quando � e µ sa˜o nu´meros reais, ou com perdas quando � e/ou µ assume
valores complexos. Por outro lado, se σ � ω�, enta˜o, o meio e´ dito condutor, pois
a corrente de conduc¸a˜o e´ predominante em relac¸a˜o a` corrente de deslocamento. Em
termos pra´ticos, pode-se classificar os meios como: condutores, σ
ω�
> 100; quase-
condutores, 1
100
< σ
ω�
< 100; diele´tricos, σ
ω�
< 1
100
. Observe que esta classificac¸a˜o
depende diretamente da frequ¨eˆncia da onda.
Meios diele´tricos podem tambe´m ser considerados isotro´picos ou anisotro´picos.
Os meios isotro´picos sa˜o aqueles onde a permissividade na˜o muda com a direc¸a˜o.
Neste caso, as componentes de densidade de fluxo ele´trico esta˜o relacionadas com o
campo ele´trico atrave´s de
D =

 DxDy
Dz

 =

 �x 0 00 �y 0
0 0 �z



 ExEy
Ez

 (2.2)
sendo �x = �y = �z. Enquanto os meios anisotro´picos sa˜o classificados como:
uniaxial, onde as permissividades sa˜o ideˆnticas em duas direc¸o˜es e biaxial, onde
�x �= �y �= �z.
Se um grupo de ondas com frequ¨eˆncias distintas se propagam num meio qualquer,
onde cada onda se desloca com velocidade de fase diferente das outras, enta˜o este
meio e´ dito dispersivo. Por outro lado, se cada onda possui a mesma velocidade
de fase das outras, o meio e´ dito na˜o-dispersivo. Sendo assim, pode-se tambe´m
classificar os meios de acordo com a dispersa˜o das ondas eletromagne´ticas que se
propagam neles.
Como foi visto no cap´ıtulo anterior, a velocidade de um grupo de ondas e´ dado
por
vg = vf + k
dvf
dk
(2.3)
ou
vg = vf − λdvf
dλ
(2.4)
uma vez que k = 2π/λ. Se a velocidade de fase vf na˜o varia com o comprimento de
onda λ (ou frequ¨eˆncia), enta˜o, por (2.4), a velocidade de grupo e´ igual a velocidade
de fase e o meio e´ dito na˜o-dispersivo. Entretanto, se a velocidade de fase de cada
onda do grupo aumenta com o comprimento de onda, enta˜o
dvf
dλ
> 0, vg < vf e o
meio e´ dito normalmente dispersivo. Por fim, se
dvf
dλ
< 0, enta˜o vg > vf e o meio e´
considerado dispersivo anoˆmalo.
27 2.3. Equac¸a˜o de Helmholtz
Exemplo 2.1 Uma onda eletromagne´tica se propaga num meio com velocidade de
fase dada por
vf =
C
λ
onde C e´ uma constante qualquer. Que tipo de meio e´ esse?
Soluc¸a˜o: A partir da equac¸a˜o (2.4), pode-se verificar que a velocidade de grupo
vg = vf − λdvf
dλ
= vf +
C
λ
= 2vf
ou seja, a velocidade de grupo e´ duas vezes maior que a de fase, portanto, o meio
e´ dispersivo anoˆmalo. Na realidade, o meio e´ condutor, como sera´ visto na u´ltima
sec¸a˜o deste cap´ıtulo.
2.3 Equac¸a˜o de Helmholtz
Considere agora uma onda propagando-se num meio com condutividade σ, permis-
sividade � e permeabilidade µ. Se os campos variam harmonicamente no tempo,
enta˜o
∇× H = (σ + jω�)E (2.5)
e
∇× E = − jωµH (2.6)
Portanto, as equac¸o˜es de Helmholtz para os campos ele´trico e magne´tico, obtidas a
partir das equac¸o˜es (2.5) e (2.6), sa˜o dadas por
∇2E− γ2 E = 0 (2.7)
e
∇2H − γ2 H = 0 (2.8)
onde
γ2 = jωµσ − ω2µ� (2.9)
ou
CAP´ıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 28
γ =
√
jωµσ − k2 (2.10)
sendo γ denominada de constante de propagac¸a˜o. As soluc¸o˜es das equac¸o˜es de
Helmholtz (2.7) e (2.8) sa˜o, respectivamente,
E(r) = Eo(r) e
− γ n · r (2.11)
e
H(r) = Ho(r) e
− γ n · r (2.12)
onde n e´ o versor que indica o sentido de propagac¸a˜o da onda. De uma forma geral,
a constante de propagac¸a˜o e´ um nu´mero complexo representado por γ = α + jβ,
sendo α = Re
[√
jωµσ − k2
]
e β = Im
[√
jωµσ − k2
]
. Portanto, para uma onda
plana propagando-se no sentido z+, as soluc¸o˜es (2.11) e (2.12) podem ser reescritas,
respectivamente, como
E(z) = Eo e
−α z e− jβ z (2.13)
e
H(z) = Ho e
−α z e− jβ z (2.14)
onde α e´ chamado de fator de amortecimento ou atenuac¸a˜o da onda eletromagne´tica,
enquanto β e´ denominado constante de fase. Pode-se concluir das equac¸o˜es (2.13) e
(2.14) que, se a constante de propagac¸a˜o e´ um nu´mero complexo, enta˜o, a onda sofre
uma atenuac¸a˜o ao longo da direc¸a˜o de propagac¸a˜o. O u´nico meio onde na˜o ocorre
atenuac¸a˜o das ondas eletromagne´ticas e´ o diele´trico perfeito sem perdas. Neste caso,
σ = 0, γ = jβ = jk e o fator de atenuac¸a˜o α = 0.
2.4 Impedaˆncia Intr´ınseca e Velocidade de Fase
Para ondas TEM, propagando-se num meio qualquer, a variac¸a˜o do campo ele´trico
no espac¸o e´ representada por (2.11). Portanto, pela lei de Faraday,
H =
j
ωµ
∇× Eo(r) e− γ n · r (2.15)
Utilizando-se um procedimento semelhante a`quele apresentado na Sec¸a˜o 1.9, teˆm-se
H =
−jγ
ωµ
n× E (2.16)
29 2.5. Meios Diele´tricos com Perdas
e
H = Y n× E (2.17)
onde
η =
1
Y
=
jωµ
γ
(2.18)
e´ a impedaˆncia intr´ınseca do meio. Se for utilizada a lei de Ampe`re, obte´m-se
η =
γ
σ + jω�
(2.19)
As expresso˜es (2.18) e (2.19), apesar de distintas, fornecem os mesmos valores.
A velocidade de fase de um meio qualquer e´ obtida a partir de
vf =
ω
β
=
ω
Im
[√
jωµσ − k2
] (2.20)
Exemplo 2.2 Mostre que, para um meio diele´trico sem perdas, as impedaˆncias
fornecidas pelas equac¸o˜es (2.18) e (2.19) sa˜o equivalentes.
Soluc¸a˜o: Se o meio e´ diele´trico sem perdas enta˜o σ = 0 e γ = jβ. Sendo assim,
η =
ωµ
β
= vf µ =
µ√
µ�
=
√
µ
�
Por outro lado, pode-se obter a partir de (2.19)
η =
β
ω�
=
1
vf �
=
√
µ�
�
=
√
µ
�
2.5 Meios Diele´tricos com Perdas
Os meios diele´tricos com perdas possuem permissividade complexa, isto e´, � = �′ −
j�′′. Neste caso, e´ muito comum representar as caracter´ısticas ele´tricas do material
atrave´s de duas grandezas: permissividade relativa �r e tangente de perdas tgδ. A
tangente de perdas e´ definida como sendo a raza˜o entre o mo´dulo da densidade de
corrente de conduc¸a˜o e o mo´dulo da densidade de corrente de deslocamento. De
uma forma geral, para um meio qualquer com perdas, tem-se
CAP´ıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 30
∇× H = Jc+Jd (2.21)
sendo
Jc = σE (2.22)
e
Jd = jω (�
′ − j�′′)E (2.23)
Portanto, (2.21) pode ser reescrita como sendo
∇× H = (σ′ + jω� ′)E (2.24)
onde σ′ = σ + ω� ′′ e´ chamada de condutividade equivalente do material. Desta
forma, a tangente de perda e´ representada como segue:
tgδ =
|J ′c|
|Jd| =
σ′
ω� ′
(2.25)
No caso de materiais diele´tricos com perdas, a condutividade e´ geralmente de-
sprez´ıvel e a tangente de perdas pode ser expressa como
tgδ =
�′′
� ′
(2.26)
2.6 Propagac¸a˜o em Meios Diele´tricos
Quando uma onda eletromagne´tica se propaga num meio diele´trico com perdas, os
campos ele´trico e magne´tico obedecem respectivamente as equac¸o˜es (2.13) e (2.14),
onde o fator de atenuac¸a˜o, nesta situac¸a˜o, e´ dado por
α = Re
[
jω
√
µ (�′ − j�′′)
]
(2.27)
ou
α = Re
[
ω
√
µ�′ (jtgδ − 1)
]
(2.28)
e a constante de fase por
β = Im
[
ω
√
µ�′ (jtgδ − 1)
]
(2.29)
31 2.7. Propagac¸a˜o em Meios Condutores
Se o valor da tangente de perdas for muito pequeno, a atenuac¸a˜o no meio pode ser
desprezada. Neste caso, a onda eletromagne´tica se propaga com variac¸a˜o de fase
proporcional ao nu´mero de onda (β = k).
Exemplo 2.3 Uma onda eletromagne´tica de 10GHz, e 1kV/m de campo ele´trico
ma´ximo, propaga-se num meio diele´trico com permissividade relativa aproximada-
mente igual a 4 e permeabildade igual a do va´cuo. Qual deve ser a distaˆncia percor-
rida pela onda para que sua amplitude tenha 90% do seu valor inicial? Qual deve
ser a densidade volume´trica de poteˆncia me´dia dissipada pelo diele´trico em forma
de calor? Considere que o diele´trico tem tangente de perdas igual a 0,002.
Soluc¸a˜o: A atenuac¸a˜o sofrida pela onda e´ obtida a partir da equac¸a˜o (2.28), ou
seja,
α = Re
[
ω
√
µ� (j0, 002− 1)]
= 0, 42Np/m
Observe que, neste caso, � = �′ − jtgδ �′ � �′, pois tgδ 	 1. Como a amplitude do
campo ele´trico cai de acordo com E(d) = Eo e
−αd, enta˜o,
E(d)
Eo
= 0, 9 = e−α z =⇒ d = − 1
α
ln(0, 9) = 0, 25m
A densidade volume´trica de poteˆncia me´dia, dissipada pelo diele´trico em forma de
calor, e´ fornecida por
pm = Jef Eef = σ
′E2ef =
1
2
σ′E2o
Como a condutividade equivalente σ′ = ω� ′tgδ � ω� tgδ, enta˜o
pm = π × 1010 × 4× 8, 85× 10−12 × 0, 002× 106 = 2224W/m3
Observe que a condutividade σ foi desprezada por se tratar de um material diele´trico.
2.7 Propagac¸a˜o em Meios Condutores
Uma onda eletromagne´tica propagando-se num meio condutor tem sua amplitude
reduzida a` medida que esta avanc¸a dentro deste meio (vide Figura 2.1). A constante
de propagac¸a˜o, neste caso, e´ obtida de
γ �
√
jωµσ = (1 + j)
√
ωµσ
2
(2.30)
CAP´ıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 32
E(z)
z0
Figura 2.1: Propagac¸a˜o num meio condutor, sendo z = 0 o plano de interface ar-
condutor.
uma vez que a condutividade e´ alta, ou melhor, σ � ω�, tendo como consequ¨eˆncia
ωµσ � k2. O fator de atenuac¸a˜o associado a` diminuic¸a˜o de amplitude da onda e´,
portanto, dado por
α =
√
ωµσ
2
(2.31)
e a constante de fase β tem o mesmo valor de α. Sendo assim, pode-se representar
a variac¸a˜o do campo ele´trico de uma onda que se propaga no sentido z+como
E(z) = Eo e
−α z e− jβ z = Eo e− z/δp e− j z/δp (2.32)
onde δp = 1/α = 1/β e´ chamado de profundidade de penetrac¸a˜o.
2.8 Profundidade de Penetrac¸a˜o
Imagine uma onda eletromagne´tica penetrando num meio condutor com amplitude
de campo ele´trico igual a 1V/m. Considere tambe´m que esta onda esta´ se propa-
gando no sentido z+ e que o plano z = 0 e´ o plano de interface entre o ar e o
33 2.9. Velocidade de Fase e Impedaˆncia num Condutor
Tabela 2.1: Profundidade de penetrac¸a˜o do cobre para algumas frequ¨eˆncias.
f 60 Hz 6 kHz 6 MHz 6 GHz
δp 8,5 mm 0,85 mm 27µm 0,85µm
condutor. Qual deve ser a distaˆncia do plano de interface ate´ o plano onde a ampli-
tude de campo e´ igual a 36,8% do valor pro´ximo a interface? A resposta e´ δp, pois
em z = 0 tem-se uma amplitude E(0) = Eo, e em z = δ tem-se
E(δ) = Eo e
− 1 = 0, 368Eo (2.33)
Esta distaˆncia e´ chamada de profundidade de penetrac¸a˜o a 36,8% da amplitude de
campo ou, simplesmente, profundidade de penetrac¸a˜o. Observe que δp e´ inversa-
mente proporcional a` condutividade e a frequ¨eˆncia da onda, uma vez que
δp =
√
2
ωµσ
=
1√
πµσf
(2.34)
Portanto, quanto maior a condutividade e/ou frequ¨eˆncia, menor e´ a penetrac¸a˜o da
onda no meio condutor. No caso do cobre, a profundidade de penetrac¸a˜o e´ dada por
δp =
6, 6× 10−2√
f
(2.35)
A Tabela 2.1 mostra a variac¸a˜o da profundidade de penetrac¸a˜o com a frequ¨eˆncia
para ondas propagando-se no cobre.
2.9 Velocidade de Fase e Impedaˆncia num Con-
dutor
Para ondas TEM, propagando-se num meio condutor, a velocidade de fase e´ dada
por
vf =
ω
β
= ω δp (2.36)
ou
vf =
√
2ω
µσ
=
√
4π vf
µσλ
(2.37)
CAP´ıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 34
ou ainda
vf =
C
λ
(2.38)
onde
C =
4π
µσ
(2.39)
Portanto, o meio condutor e´ um meio dispersivo anoˆmalo, pois
dvf
dλo
= −C
λ2
= −vf
λ
< 0 (2.40)
A velocidade de grupo e´ enta˜o dada por
vg = vf + λ
vf
λ
= 2vf (2.41)
O comprimento de onda no condutor e´ obtido de
λc =
2π
β
= 2πδp (2.42)
e, finalmente, a impedaˆncia e´ fornecida por
ηc =
jωµ
γ
� jωµ√
jωµσ
=
√
jωµ
σ
(2.43)
ou
ηc = (1 + j)
√
ωµ
2σ
=
√
ωµ
σ
∠45◦ (2.44)
Exemplo 2.4 Responda as perguntas do exemplo anterior considerando que a mesma
onda se propaga num meio condutor com condutividade igual a 107S/m e permeabil-
idade igual a do va´cuo.
Soluc¸a˜o: A atenuac¸a˜o sofrida pela onda, neste caso, e´ α = 1/δp, ou seja,
α =
√
πµσf = 2π × 105 Np/m
Sendo assim,
E(d)
Eo
= 0, 9 = e−α z =⇒ d = − 1
α
ln(0, 9) = 1, 68× 10−7 m
35 2.9. Velocidade de Fase e Impedaˆncia num Condutor
A poteˆncia me´dia dissipada por unidade de volume no condutor e´ fornecida por
pm =
1
2
σ E2o
ou
pm = 5× 106 × 106 = 5 × 1012W/m3
o que parece ser um valor absurdamente grande. Acontece que a amplitude do campo
ele´trico dentro do condutor, considerado neste exemplo, e´ muito grande. Como sera´
visto no pro´ximo cap´ıtulo, a amplitude do campo ele´trico que consegue penetrar
no condutor e´ muito pequena, pois a maior parte da energia da onda incidente e´
refletida na superf´ıcie dos materiais condutores.
CAP´ıTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 36
Cap´ıtulo 3
Propagac¸a˜o em Meios Diferentes
3.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo sera˜o analisados alguns casos de ondas eletromagne´ticas planas, com
diferentes polarizac¸o˜es, propagando-se em meios diferentes. Inicialmente, o estudo
se concentrara´ nos casos onde a incideˆncia de ondas se faz perpendicular a`s interfaces
entre os meios. O estudo de incideˆncia obl´ıqua e´ feito nas u´ltimas sec¸o˜es. Paraˆmetros
como coeficiente de reflexa˜o, transmissa˜o e onda estaciona´ria sera˜o introduzidos para
facilitar a determinac¸a˜o de amplitude e fase das ondas refletidas e transmitidas,
numa transic¸a˜o entre meios diferentes. Fenoˆmenos como reflexa˜o total, transmissa˜o
total e formac¸a˜o de ondas de superf´ıcies sera˜o abordados ao longo do cap´ıtulo.
3.2 Incideˆncia Normal entre Dois Meios
A Figura 3.1 mostra um espac¸o constitu´ıdo de dois meios diferentes, separados pelo
plano z = 0. Uma onda plana linearmente polarizada, cuja fonte se encontra no
meio 1, incide normalmente sobre a interface de separac¸a˜o dos meios. Nesta figura
encontram-se representados os vetores dos campos eletromagne´ticos das ondas inci-
dente, refletida e transmitida. Observa-se que o vetor campo ele´trico esta´ alinhado
na direc¸a˜o x e o magne´tico na direc¸a˜o y. As ondas incidente e transmitida se
propagam no sentido z+, enquanto a refletida faz o sentido inverso, isto e´, z−. Sabe-
se que, na interface entre os meios, os campos eletromagne´ticos tangenciais teˆm que
satisfazer as condic¸o˜es de fronteira:
Etan 1 = Etan 2 (3.1)
e
37
CAP´ıTULO 3. Propagac¸a˜o em Meios Diferentes 38
E
i
z
Meio 1
0
x
y
H
i n 1
Meio 2
E
r
H
rn 2
E
t
H
t n 3
Figura 3.1: Onda plana incidindo normalmente sobre uma interface.
az ×Htan 1 − az ×Htan 2 = J (3.2)
Se na˜o houver corrente de conduc¸a˜o na interface, enta˜o, a densidade de corrente J
e´ nula e
Htan 1 = Htan 2 (3.3)
No caso da incideˆncia normal, todos os campos sa˜o tangenciais, sendo que na fron-
teira z = 0, teˆm-se
Ei +Er = Et (3.4)
e
Hi +Hr = Ht (3.5)
3.2.1 Transic¸a˜o entre Diele´tricos
Nos meios diele´tricos, considerados meios na˜o-magne´ticos, a permeabilidade pode
ser considerada como µo. Portanto, as impedaˆncias intr´ınsecas nos meios 1 e 2 sa˜o
fornecidas, respectivamente, por
39 3.2. Incideˆncia Normal entre Dois Meios
η1 =
ηo√
�r1
=
120π√
�r1
(3.6)
e
η2 =
ηo√
�r2
=
120π√
�r2
(3.7)
Os campos incidentes sa˜o fornecidos por
Ei(z) = Ei ax = Eoi e
−jβ 1z ax (3.8)
e
Hi(z) =
1
η1
az × Ei(z) = Ei
η1
ay (3.9)
os refletidos por
Er(z) = Er ax = Eor e
jβ1 z ax (3.10)
e
Hr(z) = − 1
η1
az × Er(z) = −Er
η1
ay (3.11)
Enquanto os transmitidos sa˜o obtidos a partir de
Et(z) = Et ax = Eot e
−jβ 2z ax (3.12)
e
Ht(z) =
1
η2
az × Er(z) = Er
η2
ay (3.13)
Sendo assim, para a interface z = 0, tem-se
Ei + Er = Et (3.14)
utilizando-se (3.4) e
1
η1
az × Ei(z)− 1
η1
az × Er(z) = 1
η2
az × Er(z) (3.15)
ou
Ei
η1
− Er
η1
=
Et
η2
(3.16)
CAP´ıTULO 3. Propagac¸a˜o em Meios Diferentes 40
a partir de (3.5). Somando-se (3.14) e (3.16) obte´m-se2Ei =
(
1 +
η1
η2
)
Et (3.17)
ou
Et = τ21Ei (3.18)
sendo
τ21 =
Et
Ei
=
2η2
η2 + η1
(3.19)
o coeficiente de transmissa˜o do meio 1 para o meio 2 no plano z = 0. Pode-se
mostrar que, para onda incidindo na interface a partir do meio 2,
τ12 =
2η1
η2 + η1
(3.20)
O coeficiente de reflexa˜o, que e´ definido como a raza˜o entre o campo refletido e
o campo incidente, pode ser obtido dividindo-se (3.14) por Ei, isto e´,
1 +
Er
Ei
=
Et
Ei
(3.21)
ou
1 + ρ21 = τ21 (3.22)
Portanto,
ρ21 = τ21 − 1 = η2 − η1
η2 + η1
(3.23)
O coeficiente de reflexa˜o “visto” do meio 2 em direc¸a˜o ao meio 1 e´
ρ12 = τ12 − 1 = η1 − η2
η2 + η1
(3.24)
3.2.2 Transic¸a˜o Diele´trico-Condutor
Considerando-se que o meio 2 e´ um condutor perfeito, enta˜o a impedaˆncia intr´ınseca
deste meio e´ zero, o coeficiente de transmissa˜o e´ nulo e o de reflexa˜o igual a -1.
Entretanto, se o condutor na˜o for perfeito, a impedaˆncia e´ dada por (2.44), isto e´,
41 3.2. Incideˆncia Normal entre Dois Meios
η2 = (1 + j)
√
ωµ
2σ
(3.25)
enquanto os campos sa˜o expressos como
Et =
2η2
η2 + η1
Ei � 0 (3.26)
e
Ht =
2η1
η2 + η1
Hi � 2Hi (3.27)
uma vez que os valores t´ıpicos de impedaˆncia para um condutor sa˜o pro´ximos de
zero.
3.2.3 Transic¸a˜o Condutor-Diele´trico
Considerando-se agora que o meio 1 e´ condutor, teˆm-se
Et =
2η2
η2 + η1
Ei � 2Ei (3.28)
e
Ht =
2η1
η2 + η1
Hi � 0 (3.29)
pois η1 e´ aproximadamente igual a zero.
Exemplo 3.1 Determine a percentagem de campo ele´trico refletido na interface ar-
a´gua e ar-cobre para uma onda de 10GHz.
Soluc¸a˜o: Para o caso da interface entre diele´tricos, ar-a´gua, tem-se
ρ =
Er
Ei
=
η − ηo
η + ηo
(3.30)
onde η e´ a impedaˆncia intr´ınseca da a´gua. Como
η =
√
µo
�r�o
=
ηo√
�r
=
377√
81
� 42Ω (3.31)
enta˜o
ρ =
42− 377
42 + 377
� −0, 8 (3.32)
CAP´ıTULO 3. Propagac¸a˜o em Meios Diferentes 42
ou seja, a amplitude do campo ele´trico refletido equivale a 80% do valor incidente.
Note que a onda sofre uma inversa˜o de fase de 180◦.
Para o caso da interface diele´trico-condutor, a impedaˆncia do condutor e´ fornecida
por
η = (1 + j)
√
πfµ
σ
= (1 + j)× 7, 6× 10−4Ω � 0 (3.33)
e o coeficiente de reflexa˜o por
ρ =
(1 + j)× 7, 6× 10−4 − 377
(1 + j)× 7, 6× 10−4 + 377 � −0.99999597 (3.34)
Como se pode observar, a amplitude da onda refletida e´ praticamente 100% do valor
incidente.
3.2.4 Coeficiente de Onda Estaciona´ria
Voltando ao caso de uma onda plana incidindo sobre a interface diele´trico-condutor,
sendo o condutor perfeito, tem-se como campo total no meio diele´trico
E = Ei + Er (3.35)
ou, para campos variando harmonicamente no tempo,
E = Eo sen (ωt− βz) + ρEo sen (ωt + βz) (3.36)
Como ρ = −1, enta˜o
E = −2Eo cos ωt sen βz (3.37)
Observa-se em (3.37) que na˜o existe propagac¸a˜o, portanto, a onda se encontra parada
no espac¸o, variando sua amplitude no tempo e espac¸o de acordo com senωt e sen βz,
respectivamente. Este tipo de onda e´ denominada de onda estaciona´ria.
Se o meio 2 for um condutor qualquer, ou um outro diele´trico, enta˜o, o coeficiente
de reflexa˜o e´ diferente de -1. Sendo assim, o campo total pode ser escrito como
E = Eiosen (ωt− βz) + Erosen (ωt + βz) (3.38)
ou
E = (Eio + Ero) senωt cos βz + (Eio − Ero) cosωt sen βz (3.39)
onde Ero = ρEio.
43 3.2. Incideˆncia Normal entre Dois Meios
Definindo-se
Eo cosφ = (Eio + Ero) cos βz (3.40)
e
Eo senφ = (Eio − Ero) sen βz (3.41)
tem-se
E = Eosen (ωt + φ) (3.42)
sendo
Eo =
√
(Eio + Ero)
2 cos2 βz + (Eio − Ero)2 sen2 βz (3.43)
e
φ = arctg
(
Eio − Ero
Eio + Ero
tg βz
)
(3.44)
O campo ele´trico da onda, representada por (3.42), tem amplitude ma´xima dada
por
Emax = |Eio|+ |Ero| (3.45)
e mı´nima por
Emin = |Eio| − |Ero| (3.46)
O coeficiente de onda estaciona´ria e´ definido como sendo
COE =
Emax
Emin
=
|Eio|+ |Ero|
|Eio| − |Ero| =
1 + |ρ|
1− |ρ| (3.47)
O termo SWR (Standing Wave Ratio) e´ muito empregado na pra´tica para designar
o coeficiente de onda estaciona´ria. Como o mo´dulo do coeficiente de reflexa˜o varia
de 0 a 1, enta˜o, 1 � COE <∞.
CAP´ıTULO 3. Propagac¸a˜o em Meios Diferentes 44
3.3 Incideˆncia Normal com Propagac¸a˜o em N Meios
3.3.1 Propagac¸a˜o em Treˆs Meios
O esquema mostrado na Figura 3.2 apresenta treˆs meios de impedaˆncias intr´ınsecas
diferentes. Considerando-se que todos sa˜o meios diele´tricos sem perdas, teˆm-se para
o meio n = 1, 2 e 3,
E+1
z
Meio 1
0
x
y
H+
1 n 1
Meio 2
E-
1
H-1n 2
E+
2
H+
2 n 1
Meio 3
E-
2
H-
2n 2
E+
3
H+
3 n 1
d
Figura 3.2: Espalhamento em treˆs meios distintos.
E+n (z) = an e
−jβn z ax (3.48)
e
H+n (z) =
1
ηn
az × E+n (z) =
an
ηn
e−jβn z ay (3.49)
como campos propagando-se na direc¸a˜o z+ e, para o meio n = 1 e 2,
E−n (z) = bn e
jβn z ax (3.50)
e
H−n (z) = −
1
ηn
az × E−n (z) = −
bn
ηn
e jβn z ay (3.51)
45 3.3. Incideˆncia Normal com Propagac¸a˜o em N Meios
como campos propagando-se na direc¸a˜o z−, sendo
βn =
2π
√
�rn
λo
(3.52)
e
ηn =
120π√
�rn
(3.53)
Mais uma vez, utilizando-se das relac¸o˜es de fronteira, obte´m-se:
• para a interface z = 0,
a1 + b1 = a2 + b2 (3.54)
e
a1 − b1 = η1
η2
( a2 − b2) (3.55)
• para z = d,
a2 e
−jβ2 d + b2 e jβ2 d = a3 e−jβ3 d (3.56)
e
a2 e
−jβ2 d − b2 e jβ2 d = η2
η3
a3 e
−jβ3 d (3.57)
O coeficiente de reflexa˜o na interface do meio 1 com o meio 2 e´ dado por
ρ1(0) =
b1
a1
=
ηeq − η1
ηeq + η1
(3.58)
onde ηeq e´ a impedaˆncia intr´ınseca equivalente do meio 2 e 3 “vista” na interface
z = 0, no sentido z+. Enquanto o coeficiente de reflexa˜o na interface do meio 2 com
o meio 3 e´
ρ2(d) =
b2 e
jβ2 d
a2 e−jβ2d
=
b2
a2
e2jβ2 d = ρ2(0) e
2jβ2d (3.59)
Dividindo-se (3.54) por (3.55), tem-se
1 + ρ1(0)
1 − ρ1(0) =
η2
η1
1 + ρ2(0)
1− ρ2(0) (3.60)
CAP´ıTULO 3. Propagac¸a˜o em Meios Diferentes 46
e
1 + ρ2(d)
1 − ρ2(d) =
η3
η2
(3.61)
dividindo-se (3.56) por (3.57). Portanto, pode-se escrever a partir (3.61)
ρ2(d) =
η3 − η2
η3 + η2
(3.62)
Substituindo (3.58) e (3.59) em (3.60), obte´m-se
ηeq
η1
=
η2
η1
1 + ρ2(d) e
−2jβ2d
1− ρ2(d) e−2jβ2d (3.63)
ou
ηeq = η2
ejβ2d + η3−η2
η3+η2
e−jβ2d
ejβ2d − η3−η2
η3+η2
e−jβ2d
= η2
η3
(
ejβ2d + e−jβ2d
)
+ η2
(
ejβ2d − e−jβ2d)
η2 (ejβ2d + e−jβ2d) + η3 (ejβ2d − e−jβ2d) (3.64)
ou ainda
ηeq = η2
η3 + jη2 tg (β2d)
η2 + jη3 tg (β2d)
(3.65)
O coeficiente de onda estaciona´ria no meio 1 e´ dado por
COE1 =
1 + |ρ1|
1− |ρ1| (3.66)
e, no meio 2, por
COE2 =
1 + |ρ2|
1− |ρ2| (3.67)
O campo refletido na primeira interface, num plano qualquer z ≤ 0 , e´ fornecido
a partir de
E−1 (z) = b1 e
jβ1z = ρ1(0) a1 e
jβ1z (3.68)
Enquanto o campo transmitido para o meio 2 e´ dado por
E+2 (z) = a2 e
−jβ2z =
τ1(0)
τ2(0)
a1 e
−jβ2z (3.69)
e o refletido
47 3.3. Incideˆncia Normal com Propagac¸a˜o em N Meios
E−2 (z) = b2 e
jβ2z =
τ1(0)
τ2(0)
ρ2(0) a1 e
jβ2z (3.70)
Finalmente, o campo transmitido para o meio 3 e´ obtido de
E+3 (z) = a3 e
−jβ3z =
τ1(0)
τ2(0)
τ2(d) a1 e
−j(β2−β3)d e−jβ3z (3.71)
Sendo os coeficientes de transmissa˜o, τ1(z) e τ2(z), dados respectivamente por
τ1(z) = 1 + ρ1(z) (3.72)
e
τ2(z) = 1 + ρ2(z) (3.73)
Exemplo 3.2 Uma onda plana de 10GHz incide normalmente sobre uma folha de
pla´stico de 1cm de espessura. Qual o coeficiente de onda estaciona´ria na regia˜o
anterior a` placa? Para que valores de espessura este coeficiente e´ unita´rio? A
permissividade relativa da placa e´ 4.
Soluc¸a˜o: Sabe-se que o COE nesta regia˜o depende do mo´dulo do coeficiente de
reflexa˜o na interface ar-diele´trico,