Relatorio densidade (1)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DE UM LÍQUIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ILHÉUS – BA 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DE UM LÍQUIDO 
 
 
 
 
Relatório apresentado como parte dos critérios de 
avaliação da disciplina CET833 – Física Experimental 
II P (15), 03 de Novembro de 2016. 
 
Professora – Maria Jaqueline Vasconcelos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ILHÉUS – BA 
2016 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 4 
2. OBJETIVO ...................................................................................................................... 6 
3. MATERIAIS E MÉTODO ................................................................................................ 6 
3.1. Materiais ..................................................................................................................... 6 
3.2. Método ........................................................................................................................ 6 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ...................................................................................... 6 
5. CONCLUSÃO ............................................................................................................... 14 
6. REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 15 
7. APÊNDICE .......................................................................................................................15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Resumo 
 
Neste relatório será apresentado dado relativo ao experimento realizado no 
laboratório de física, no qual utilizou-se um suporte Arete para apoiar o dinamômetro, 
massa (cilindro), Becker, água e álcool etílico para medir o peso aparente do objeto em 
diferentes densidades. Além disso, serão demonstrados resultados obtidos, cálculos 
realizados e conclusão. A metodologia adotada durante o experimento possui 
fundamentos baseados no fenômeno conhecido como Princípio de Arquimedes 
(empuxo). No experimento, o cilindro é mergulhado em nove alturas diferentes (processo 
repetido cinco vezes), na água e, posteriormente, no álcool etílico, observando-se o 
deslocamento do fluido dentro do Becker e o peso mostrado pelo dinamômetro. O 
experimento tem como objetivo estudar o empuxo exercido por um líquido sobre um 
corpo sólido parcialmente submerso e estimar o peso aparente deste corpo. 
 
2. Introdução 
 
Por que as pessoas parecem ficar mais leves quando entram numa piscina? Por que 
navios flutuam nos oceanos? Essas perguntas encontram suas respostas num mesmo 
princípio físico – o princípio de Arquimedes, que enuncia que “quando um corpo está 
total ou parcialmente submerso em um fluido (substância que escoa porque não é capaz 
de resistir a tensões de cisalhamento) há ação de uma força de empuxo E exercida pelo 
fluido sobre o corpo”. A força é dirigida para cima, módulo igual ao peso do fluido 
deslocado pelo corpo submerso e é aplicada no centro de gravidade do corpo. 
O princípio de Arquimedes possibilita uma relação entre a densidade relativa do corpo e 
a densidade do fluido que determina se o corpo afundará ou flutuará no fluido. Se o 
corpo for menos denso que o fluido, ele flutuará e, se for mais denso, afundará. 
O empuxo E é uma força de reação e ela existe porque a pressão do fluido na região 
inferior do corpo é maior que na parte superior devido ao aumento da profundidade e, de 
acordo com o Teorema de Stevin, isso equivale a afirmar que as forças que o objeto está 
submetido é maiores, em módulo, na parte inferior. Quando o objeto está submerso em 
um fluido, exerce força em todos os sentidos. Porém, as forças horizontais se anulam, 
restando apenas as verticais e, o somatório delas é o empuxo E. 
A FIG. 1 mostra um diagrama das forças que atuam sobre o corpo e o líquido após a 
imersão parcial deste corpo. 
 
FIG. 1 – Diagrama das forças que atuam no corpo e no líquido, após imersão. 
Analisando as forças que atuam no corpo, verifica-se que antes da imersão do mesmo, o 
peso era apenas o do líquido 𝑀0g e, após a imersão do corpo este peso soma-se ao 
empuxo. 
 
Onde Mg é a soma do peso anterior com o empuxo. Assim, com o conhecimento das 
massas (anterior e posterior) é possível determinar o empuxo: 
 
A FIG. 1 demonstra também que a força de empuxo contribui para a manutenção da 
posição de equilíbrio do corpo, sustentando seu peso junto com a tensão T no suporte 
do corpo. 
Associando o empuxo com a densidade do líquido, observa-se que, antes da imersão do 
corpo havia um volume 𝑉0 de fluido, cuja densidade volumétrica é 𝜌 e, após a imersão 
parcial do corpo o volume tornou-se V (maior). O volume deslocado ∆𝑉 = 𝑉 − 𝑉0 e o 
peso dessa porção do fluido é igual ao empuxo exercido sobre a barra: 
𝐸 = 𝜌(𝑉 − 𝑉0)𝑔 
A ação do empuxo é perceptível, por exemplo, quando uma pessoa está submersa 
numa piscina seu peso é menor. Essa diferença é chamada peso aparente, que é a 
diferença entre o peso real do corpo e o módulo da força de empuxo. Seguindo o 
raciocínio deste cálculo, um corpo que flutua tem peso aparente nulo. Dessa forma: 
𝑃𝑎 = 𝑃 − 𝐸 
𝑃𝑎 = 𝑚.𝑔 − 𝜌. ∆𝑉. 𝑔 
𝑃𝑎 = 𝑔(𝑚 − 𝜌. ∆𝑉) 
 
3. Objetivos 
 
 Determinar a densidade do líquido submerso; 
 Verificar que o empuxo sofrido pelo corpo depende linearmente do volume do 
mesmo. 
 
4. Materiais e métodos 
 
4.1 Materiais 
 Dinamômetro; 
 Paquímetro; 
 Béquer; 
 Haste com suporte; 
 Cilindro com marcações de fração do seu volume. 
 
4.2 Método 
 Instalou-se o dinamômetro na haste com suporte; 
 Mediu-se o diâmetro do cilindro, e a altura de cada marcação. 
 Pesou-se o cilindro com o dinamômetro; 
 Colocou-se água no béquer; 
 Mediu-se o peso aparente de cada marcação, com o cilindro submerso 
gradualmente no líquido; 
 Repetiu-se o experimento 5 vezes; 
 Repetiu-se todo o procedimento trocando de líquido. 
 
 
5. Resultados e discussões 
 
A densidade é uma grandeza que expressa à razão entre a massa de um material e 
o volume por ele ocupado. Trata-se de uma grandeza que não necessita de uma 
quantidade específica de matéria. Tal densidade varia de substância para substância, 
como também é influenciada pela temperatura e pressão. Ao usar princípios como o do 
empuxo também é possível calcular a densidade. O teorema do Empuxo foi proposto por 
Arquimedes e diz que “um corpo sólido, total ou parcialmente imerso em um fluido, fica 
sujeito a uma força vertical voltada para cima, denominada empuxo, que é igual ao peso 
da quantidade do fluido deslocado”. Devido ao empuxo, quando um objeto é mergulhado 
em um fluido, observa-se a redução do seu peso. No procedimento do relatório em 
questão, inicialmente, mediu-se as dimensões do corpo de prova, cilindro com marcação 
de frações do seu volume. Com o auxílio de um paquímetro, aparelho utilizado para 
medir com precisão as dimensões de pequenos objetos, mediu-se as dimensões altura ℎ 
segundo as marcações do cilindro e o diâmetro 𝐷, para determinação da incerteza, estes 
vistos na Tabela 1 a seguir. A incerteza instrumental, 𝜎𝑝𝑎𝑞𝑢í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜, é a menor medida 
que o mesmo afere, sendo ele: 
𝜎𝑝𝑎𝑞𝑢í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜= 5 𝑥 10−5 𝑚 
 
Tabela 1 – Medidas do comprimento e diâmetro do cilindro, no SI. 
N 
(𝒉±𝟎,𝟎𝟎𝟓) 𝒙𝟏𝟎−𝟐𝒎 
 
(D±𝟎,𝟎𝟎𝟓) 𝒙𝟏𝟎−𝟐𝒎 
 
1 0,706 
3.960 
2 1,404 
3 2,200 
4 2,900 
5 3,606 
6 4,308 
7 5,001 
8 5,808 
 
 
Em seguida, pegou-se um dinamômetro, aparelho utilizado para medir a intensidade de 
forças. Ele compara forças utilizando para isso a deformação de uma mola. A incerteza 
instrumental, 𝜎𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜, é obtida a partir da divisão da menor medida do instrumento 
dividido por dois, sendo ele: 
𝜎𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜=0,005 𝑁 
 
A partir do diâmetro e da altura foi possível calcular o volume correspondente a cada altura. A 
tabela 2 mostra o volume calculado. 
 
Tabela 2 – Volume calculado. 
h (𝐕 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏)𝐦^𝟑 
1 0,0000087 
2 0,000017 
3 0,000027 
4 0,000036 
5 0,000044 
6 0,000053 
7 0,000062 
8 0,000072 
 
 
 
 
Acoplou-se o cilindro ao dinamômetro e mediu-se seu peso real P, onde P é a leitura no 
dinamômetro quando o objeto está no ar, visto na Tabela 3. 
 
Tabela 3 – Medida do peso real, no SI. 
N (𝑷±𝟎,005) 𝑵 
 
1 9,0 
 
Posteriormente, submergiu-se o cilindro na água e mediu-se o peso aparente 𝑃′ que 
corresponde a cada marcação presente no cilindro, sendo estas oito marcações. Desta 
forma as cinco medidas do peso aparente são vistas na Tabela 4 a seguir. 
 
Tabela 4 – Peso aparente obtido experimentalmente. 
(P1'±0,005) 
N 
(P2'±0,005) 
N 
(P3'±0,005) 
N 
(P4'±0,005) 
N 
(P5'±0,005) 
N 
(P6'±0,005) 
N 
(P7'±0,005) 
N 
(P8'±0,005) 
N 
0,83 0,77 0,68 0,59 0,48 0,41 0,3 0,21 
0,84 0,78 0,68 0,58 0,48 0,41 0,32 0,21 
0,83 0,76 0,67 0,59 0,5 0,39 0,3 0,2 
0,83 0,75 0,67 0,6 0,51 0,39 0,3 0,2 
0,83 0,76 0,66 0,57 0,47 0,38 0,3 0,2 
 
A partir dos dados da Tabela 3 pôde-se obter na Tabela 5 a média das cinco medidas (P′1), 
(P′2), (P′3), (P′4), (P′5), (P′6), (P′7) , (P8’) obtidas por meio da eq. (1) associadas as suas 
incertezas padrão, estas determinadas por meio da eq. (4). 
 x̅= 
1
𝑁
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1 (1) 
 
 Sendo N o número total de medidas e xi o valor da i-ésima medida. 
 
Para o desvio padrão a seguinte fórmula foi utilizada: 
 
 𝜎=√
1
𝑁−1
∑ (𝑥𝑖 − x̅)
2𝑁
𝑖=1 (2) 
 
Sendo N o número total de medidas, xi o valor da i-ésima medida e x̅ 
a média. 
 
Para o desvio padrão do valor médio a seguinte fórmula foi utilizada: 
 
 σ̅= 
𝜎
√𝑁
 (3) 
 
 
Sendo N o número total de medidas e 𝜎 o desvio padrão. 
 
Para a incerteza padrão tem-se a fórmula: 
 
 𝜎�̅�=√𝜎𝑚2 + 𝜎𝑖𝑛𝑠𝑡
2 (4) 
 
Sendo "𝜎𝑚" o desvio padrão do valor médio e "𝜎𝑖𝑛𝑠𝑡" a incerteza instrumental. 
 
Tabela 4- Dados obtidos a partir do experimento. 
 
 
Tabela 5– Médias e incertezas padrão, no SI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O empuxo respectivo a cada peso aparente foi obtido a partir da equação (5). A tabela 6 
mostra os resultados obtidos. 
 �⃗� = 𝑃 − 𝑃′ (5) 
 
 
 
 
 
 
P1' (N) P2' (N) P3' (N) P4' (N) P5' (N) P6' (N) P7' (N) P8' (N) 
Média 0,832 0,764 0,672 0,586 0,488 0,396 0,304 0,204 
Desvio padrão 0,004 0,011 0,008 0,011 0,016 0,013 0,009 0,005 
do valor 
médio 
0,002 0,005 0,004 0,005 0,007 0,006 0,004 0,002 
Incerteza B 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 
Incerteza final 0,050 0,050 0,050 0,050 0,051 0,050 0,050 0,050 
(D±𝜎�̅�) (3,960 ±0,005)𝑥 10−2𝑚 
(P̅±𝜎𝑃)̅ (9,00 ±0,10) 𝑥 10−1 𝑁 
(P′1̅̅̅̅±𝜎𝑃′1̅̅̅̅̅) (8,32 ±0,50) 𝑥 10−1 𝑁 
(P′2̅̅̅̅±𝜎𝑃′2̅̅̅̅̅) (7,64 ±0,50) 𝑥 10−1𝑁 
(P′3̅̅̅̅±𝜎𝑃′3̅̅̅̅̅) (6,72 ±0,50) 𝑥 10−1 𝑁 
(P′4̅̅̅̅±𝜎𝑃′4̅̅̅̅̅) (5,86 ±0,50) 𝑥 10−1 𝑁 
(P′5̅̅̅̅±𝜎𝑃′5̅̅̅̅̅) (4,88±0,51) 𝑥 10−1 𝑁 
(P′6̅̅̅̅±𝜎𝑃′6̅̅̅̅̅) (3,96 ±0,50) 𝑥 10−1𝑁 
(P′7̅̅̅̅±𝜎𝑃′7̅̅̅̅̅) (3,04 ±0,50) 𝑥 10−1𝑁 
(P′8±𝜎𝑃′8) (2,04 ±0,50) 𝑥 10−1𝑁 
 
Tabela 6– Empuxo de cada peso aparente. 
 
P’ (𝐄 ± 𝟎, 𝟎𝟓)𝐍 
P’1 0,07 
P’2 0,14 
P’3 0,23 
P’4 0,31 
P’5 0,41 
P’6 0,50 
P’7 0,60 
P’8 0,70 
 
 
Na segunda parte do experimento, submergiu-se o cilindro no álcool e mediu-se o peso 
aparente de cada marcação. A tabela 7 mostra os resultados obtidos das 5 medidas 
realizadas experimentalmente. 
 
Tabela 7 – Peso aparente obtido experimentalmente. 
(P1'±0,005) 
N 
(P2'±0,005) 
N 
(P3'±0,005) 
N 
(P4'±0,005) 
N 
(P5'±0,005) 
N 
(P6'±0,005) 
N 
(P7'±0,005) 
N 
(P8'±0,005) 
N 
0,85 0,79 0,72 0,64 0,55 0,51 0,41 0,33 
0,85 0,80 0,71 0,65 0,57 0,48 0,41 0,32 
0,85 0,80 0,73 0,68 0,56 0,50 0,40 0,31 
0,84 0,79 0,75 0,68 0,56 0,47 0,41 0,31 
0,84 0,79 0,73 0,69 0,57 0,47 0,40 0,33 
 
A partir dos resultados da tabela 7 calculou-se a média e a incerteza das 5 medidas. A 
tabela abaixo mostra os resultados calculados 
 
Tabela 7- Dados obtidos a partir do experimento. 
 
P1' (N) P2' (N) P3' (N) P4' (N) P5' (N) P6' (N) P7' (N) P8' (N) 
Média 0,846 0,794 0,728 0,668 0,562 0,486 0,406 0,320 
Desvio padrão 0,005 0,005 0,015 0,022 0,008 0,018 0,005 0,010 
do valor 
médio 
0,002 0,002 0,007 0,010 0,004 0,008 0,002 0,004 
 
O empuxo obtido para o cilindro submerso no álcool foi bem menor do que na água. Pelo 
fato da densidade da água ser maior que a do álcool. A tabela 8 mostra o empuxo 
obtido. 
 
Tabela 8– Empuxo de cada peso aparente. 
 
P’ (𝐄 ± 𝟎, 𝟎𝟓)𝐍 
P’1 0,05 
P’2 0,11 
P’3 0,17 
P’4 0,23 
P’5 0,34 
P’6 0,41 
P’7 0,49 
P’8 0,58 
 
 
Para calcular a densidade da água e do álcool foi necessário calcular o coeficiente 
angular da reta de V x E. Desta forma foi possível calcular a densidade dos líquidos. A 
tabela 9 mostra os resultados encontrados. 
 
 
Tabela 9– Densidade da água do álcool calculado. 
 
 Densidade(kg/m^3) 
Água 962,59 ± 17,22 
Álcool 786,84 ± 22,64 
 
De acordo com o valor teórico da água que é de 1.000kg/m^3 e do álcool que é de 
789kg/m^3, a densidade do álcool se aproximou mais do valor teórico. 
 
Incerteza B 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 
Incerteza final 0,050 0,050 0,050 0,051 0,050 0,051 0,050 0,050 
 
6. Conclusão 
 
O experimento realizado permitiu observar que a força de empuxo exercida sobre 
o corpo, depende da densidade do líquido a que o corpo está submerso, ou seja, se a 
densidade do líquido for maior, a força de empuxo atuante será maior, ao contrário a 
força de empuxo será menor. 
O empuxo calculado permitiu encontrar o valor da densidade da água e do álcool, 
que levando em conta o erro relativo entre densidade calculada e a densidade 
esperada, foi bem menor para álcool, isto é, a densidade do álcool foi bem mais 
próxima do valor teórico. Desta forma a prática foi realizada com sucesso, podendo 
comprovar o principio de Arquimedes. 
 
 
7. Referências 
 
FREEDMAN, R. A.; YOUNG, H. D. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12ª Edição. 
São Paulo: Prentice Hall, 2008. 
 
Sites 
CARVALHO,T. Empuxo. 2006.Disponível em http://www.infoescola.com/ acessado 
em 28 de outubro de 2016. 
 
SILVA,M,A. Empuxo. 2008.Disponível em http://brasilescola.uol.com.br/.Acessado 
em 28 de outubro de 2016. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Apêndice A 
 
 Propagação de erro do volume 
 
Calculou-se a incerteza do volume em relação ao diâmetro do cilindro e a altura do 
mesmo de acordo com a equação abaixo: 
 
 
𝑉 =
𝜋𝐷2ℎ
4
 
 
𝜕𝑉
𝜕𝐷
=
𝜋ℎ𝐷
2
 
 
𝜕𝑉
𝜕ℎ
=
𝜋𝐷2
4
 
 
Desta forma, pode-se calcular a incerteza do volume 
 
𝜎𝑉 = 𝑉√4𝜎𝐷2 + (
1
ℎ
)
2
𝜎ℎ2 
 
 Propagação de erro do empuxo 
 
Calculou-se a incerteza do empuxo em relação ao peso e ao peso aparente, de 
acordo com a equação: 
𝐸 = 𝑃 − 𝑃𝐴 
 
Onde P é o peso real e o PA é o peso aparente. 
𝜕𝐸
𝜕𝑃
= 𝜎𝑃2 
𝜕𝐸
𝜕𝑃𝐴
= 𝜎𝑃𝐴2 
 
Logo esta é a incerteza para o empuxo: 
 
𝜎𝐸 = √𝜎𝑃2 + 𝜎𝑃𝐴2 
 
 Propagação de erro da densidade 
 
A incerteza da densidade foi calculada a partir do coeficiente angular da reta de V x E, 
desta forma a densidade foi dada por: 
𝜌 =
𝑎
𝑔
 
 
Onde a é o coeficiente angular e g é a gravidade local. 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑎
=
1
𝑔
 
𝜕𝜌
𝜕𝑔
=
𝑎
𝑔2
 
 
Logo esta é a incerteza para a densidade: 
 
𝜎𝜌 = √(
1
𝑔
)
2
𝜎𝑎2 + (
𝑎
𝑔2
)
2
𝜎𝑔2