Lei de Gauss

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Halliday 
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Fundamentos de Física 
Volume 3 
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Capítulo 23 
Lei de Gauss 
23.1 O Que é Física? 
 
A lei de Gauss considera uma superfície 
fechada (imaginária) que envolve a 
distribuição de cargas. 
 
Essa superfície gaussiana, como é 
chamada, pode ter qualquer forma, mas a 
forma que facilita o cálculo do campo 
elétrico é a que reflete a simetria da 
distribuição de cargas. 
 
23.2 Fluxo 
(a) Um vento uniforme incide perpendicularmente ao plano de uma espira quadrada de área A. (b) A 
componente da velocidade do vento perpendicular ao plano da espira é v cos θ, onde θ é o ângulo entre 
a velocidade do vento e a normal ao plano da espira. (c) O vetor área é perpendicular ao plano da espira 
e faz um ângulo θ com o vetor velocidade. (d) O campo de velocidades interceptado pela espira. A 
vazão de ar através da espira é Φ = (v cos θ)A. 
 
Essa vazão através de uma área é um exemplo de fluxo; na presente situação, trata-se de um fluxo 
volumétrico. 
23.3 Fluxo Elétrico 
A figura mostra uma superfície gaussiana de forma 
arbitrária imersa em um campo elétrico. A superfície está 
dividida em pequenos quadrados de área ∆A. Os vetores 
campo elétrico e os vetores área são mostrados para três 
quadrados representativos, rotulados como 1, 2 e 3. 
A definição exata do fluxo do campo elétrico através de 
uma superfície fechada é obtida fazendo a área dos 
quadrados da figura tender a zero, tornando-se uma área 
diferencial dA. Nesse caso, o somatório acima se torna 
uma integral: 
Exemplo: Fluxo de um Campo Uniforme Através de uma Superfície Cilíndrica 
Exemplo: Fluxo de um Campo Elétrico 
Não Uniforme Através de um Cubo 
Face direita O vetor área é sempre perpendicular 
à superfície e aponta para fora do cubo. Assim, no 
caso da face direita, o vetor aponta no sentido 
positivo do eixo x. Em termos dos vetores unitários, 
Como a face direita é perpendicular ao eixo x, todos os pontos da face têm o mesmo valor de x, 3,0 m, e, 
portanto, já que as coordenadas y e z não estão envolvidas na integração, temos: 
A

dA

Exemplo: Fluxo de um Campo Elétrico Não Uniforme Através de um Cubo 
(continuação) 
23.4 Lei de Gauss 
A lei de Gauss relaciona o fluxo total de um 
campo elétrico através de uma superfície 
fechada (superfície gaussiana) à carga total 
envolvida pela superfície. 
A carga total qenv é a soma algébrica das cargas 
envolvidas pela superfície gaussiana e pode ser 
positiva, negativa ou nula. 
 
Se qenv é positiva, o fluxo total é para for a da 
superfície gaussiana; se qenv é negativa, o fluxo total 
é para dentro. 
Exemplo: Relação entre a Carga Total e o Fluxo Total 
Exemplo: Aplicação da Lei de 
Gauss a um Campo 
Não Uniforme 
23.5 Lei de Gauss e Lei de Coulomb 
A Fig. 23-8 mostra uma carga pontual positiva q, em 
torno da qual foi desenhada uma superfície gaussiana 
esférica concêntrica de raio r. Vamos dividir a 
superfície em áreas elementares . 
 
Por definição, o vetor área em qualquer ponto é 
perpendicular à superfície e orientado para fora. 
 
Pela simetria da situação, sabemos que o campo elétrico 
também é perpendicular à superfície e orientado para 
fora. 
 
Assim, como o ângulo θ entre e é zero, 
podemos escrever a lei de Gauss na forma 
que é exatamente a lei de Coulomb. 
dA

dA

E

dA

23.6 Um Condutor Carregado 
Se uma carga em excesso é introduzida em 
um condutor, a carga se concentra na 
superfície do condutor; o interior do 
condutor continua a ser neutro. 
A Fig. 23-9a mostra uma vista de perfil de um pedaço de 
cobre, pendurado por um fio isolante, com uma carga em 
excesso q. Colocamos uma superfície gaussiana logo abaixo 
da superfície do condutor. O campo elétrico no interior do 
condutor deve ser nulo. Como a carga em excesso não está 
no interior da superfície gaussiana, deve estar do lado de 
fora, o que significa que só pode estar na superfície do 
condutor. 
 
A Fig. 23-9b mostra o mesmo condutor, agora com uma 
cavidade interna. Colocamos uma superfície gaussiana em 
torno da cavidade. Como o campo elétrico é nulo no interior 
do condutor, o fluxo através dessa superfície gaussiana é 
zero e, portanto, não existe carga em excesso na superfície 
da cavidade; toda a carga em excesso permanece na 
superfície externa do condutor. 
23.6 Um Condutor Carregado: O Campo Elétrico Externo 
O campo elétrico externo nas proximidades da superfície de um 
condutor pode ser determinado com facilidade usando a lei de 
Gauss. Para isso, consideramos uma região da superfície 
suficientemente pequena para que possamos desprezar a 
curvatura e usamos um plano para representar a região. Em 
seguida, imaginamos um pequeno cilindro gaussiano engastado 
na superfície, como na Fig. 23-10: uma das bases está do lado 
de dentro do condutor, a outra base está do lado de fora, e o 
eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor. 
O campo elétrico na superfície e logo acima da superfície 
também é perpendicular à superfície. Vamos supor que a área A 
da base do cilindro é suficientemente pequena para que o 
módulo E do campo elétrico seja constante em toda a base. 
Nesse caso, o fluxo através da base é EA, e esse é o fluxo total 
Φ através da superfície gaussiana. 
A carga qenv envolvida pela superfície gaussiana está na 
superfície do condutor e ocupa uma área A. Se σ é a carga por 
unidade de área, qenv é igual a σA. 
Exemplo: Casca de Metal Esférica, 
Campo Elétrico e Carga 
23.7 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica 
A Fig. 23-12 mostra uma parte de uma barra de plástico 
cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear 
uniforme de carga positiva λ. Vamos obter uma expressão 
para o módulo do campo elétrico a uma distância r do eixo da 
barra. 
 
Em todos os pontos da parte curva da superfície gaussiana, o 
campo elétrico tem o mesmo módulo E e está orientado 
radialmente para fora da superfície. 
 
O fluxo do campo elétrico através da superfície curva é 
Exemplo: A Lei de Gauss e uma 
Tempestade Elétrica 
23.8 Aplicando a Lei de Gauss: 
Simetria Planar, Placa Não Condutora 
A Fig. 23-15 mostra uma parte de uma placa fina, infinita, não 
condutora, com uma densidade superficial de carga positiva σ. 
Uma folha de plástico, com uma das superfícies uniformemente 
carregada, pode ser um bom modelo. Vamos calcular o campo 
elétrico a uma distância r da placa. 
Uma superfície gaussiana adequada para esse tipo de problema 
é um cilindro com o eixo perpendicular à placa e com uma base 
de cada lado da placa, como mostra a figura. Por simetria, o 
campo elétrico é perpendicular à placa e, portanto, às bases do 
cilindro. 
Como a carga é positiva, o campo elétrico aponta para longe da 
placa. O produto é nulo na superfície lateral do cilindro e 
igual a E.dA nas bases. Assim, 
 
 
 
 
onde σA é a carga envolvida pela superfície gaussiana. 
 
Assim, 
E dA⋅

23.8 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar, 
Duas Placas Condutoras 
A Fig. 23-16a mostra uma vista de perfil de uma placa condutora 
fina, infinita, com um excesso de carga positiva. Como a placa é 
fina e muito extensa, podemos supor que praticamente toda a carga 
em excesso se encontra nas duas faces maiores da placa. 
Se não existe um campo elétrico para forçar as cargas positivas a 
assumirem uma certa distribuição,as cargas se distribuem 
uniformemente nas duas placas com uma densidade superficial de 
carga σ1. 
Nas proximidades da superfície, essas cargas criam um campo 
elétrico de módulo E =σ1/ε0. 
A Fig. 23-16b mostra uma placa do mesmo tipo com um excesso de 
cargas negativas e uma densidade superficial de carga com o mesmo 
valor absoluto σ1. A diferença é que, nesse caso, o campo aponta na 
direção da placa. 
Suponha que as placas das Figs. 23-16a e b sejam colocadas lado a 
lado (Fig. 23-16c). As cargas em excesso de uma placa atraem as 
cargas em excesso da outra e todas as cargas em excesso se 
concentram nas superfícies internas das placas, como mostra a 
Fig. 23-16c. 
Como agora existe uma quantidade de carga duas vezes maior nas 
superfícies internas das placas, a nova densidade superficial de 
carga nas superfícies internas é 2σ1. Assim, o módulo do campo 
elétrico em qualquer ponto entre as placas é 
Exemplo: Campo Elétrico 
23.9 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica 
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