Lista de Cálculo I (Pré-Requisitos)

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Alfenas
Func¸o˜es Matema´ticas
Lista 1: Pre´-Requisitos para o Ca´lculo
Prof.: Marcelo Jorge Nascimento Souza 1 2
12 de Outubro de 2013
1E-mail mjsouza2009@gmail.com
2Site sites.google.com/site/mjsouzaaulas
Questa˜o 1 - Reescreva as expresso˜es
sem usar o s´ımbolo para o valor ab-
soluto.
a)|2− 5|
b)|5|+ | − 2|
c)|pi − 22
7
|
d)|5− x| se x > 5
Questa˜o 2 - Resolva as inequac¸o˜es e
expresse as soluc¸o˜es na forma de in-
tervalo.
a) 5x− 6 > 11
b) 3x2 + 5x− 2 < 0
c) 1
x2
< 100
d) 3x+2
2x−7
e) 3
x−9
> 2
x+2
f) |2x+3
5
| < 2
Questa˜o 3 - Para o Circuito ele´trico
mostrado na figura, A Lei de Ohm diz
que I = V/R, onde R e´ a resisteˆncia
(em ohms), V e´ a diferenca de po-
tencial (em volts), e I e´ a corrente
ele´trica (em amperes). Se a voltagem
e´ 110, qual o valor da resistencia se a
corrente nao ultrapassar os 10 ampe-
res?
Questa˜o 4 - De acordo com a lei
de Hooke, a forc¸a F (em dina) ne-
cessa´ria para esticar uma certa mola
x cent´ımetros ale´m de seu comprimento
natural e´ dada pela fo´rmula F = (4, 5)x
(veja figura abaixo). Se 10 ≤ F ≤ 18,
qual os valores correspondentes de x?
Questa˜o 5 - A lei de Boyle para um
certo ga´s diz que pv = 200, onde p re-
presenta a pressa˜o (lb/in2) e v repre-
senta o volume (in.3). Se 25 ≤ v ≤
50, qual e´ o intervalo correspondente
para p?
Questa˜o 6 - Encontre uma equac¸a˜o
de uma circunfereˆncia que satisfaz as
condic¸o˜es abaixo:
a) Centro C(3,−2), raio 4.
b) Centro na origem, passando atrave´s
de P (−3, 5).
c) Centro C(−4, 2), tangente ao
eixo-x.
d) Nos pontos finais de um diaˆmetro
A(4,−3) e B(−2, 7)
Questa˜o 7 - Encontre o centro e o
raio do c´ırculo pelas equac¸o˜es abaixo:
a) x2 + y2 + 4x− 6y + 4 = 0
b) x2 + y2 + 6x = 0
c) 2x2 + 2y2 − x+ y − 30 =
d) 9x2 + 9y2 − 6x+ 12y − 31 = 0
Questa˜o 8 - A relac¸a˜o entre a tem-
peratura do ar T (em ◦C) e a altitude
h (em metros acima do n´ıvel do mar)
e´ aproximadamente linear. Quando a
temperatura ao n´ıvel do mar e´ 60◦,
uma aumento de 5000m na altitude
diminui a temperatura do ar em apro-
ximadamente 18◦.
a)Expresse T em func¸a˜o de h.
b)Encontre a temperatura apro-
ximada do ar, quando a altitude for
15.000m.
Questa˜o 9 - Encontre a inclinac¸a˜o
da reta que passa pelos pontos A e
B.
a) A(−4, 6), B(−1, 18)
b) A(−1,−3), B(−1, 2)
Questa˜o 10 - Um reme´dio novo deve
recomendar uma dosagem espec´ıfica
para adultos e crianc¸as. Duas fo´rmulas
sugeridas para modificar a dosagem
de adultos para crianc¸a sa˜o
Regra de Cowling: y = t+1
24
a
Regra do Friend: y = 2
25
ta
onde a representa a dose adulta
(em mg) e t representa a idade da
crianc¸a (em anos). Determine a idade
que as duas fo´rmulas especificam a
mesma dosagem.
Questa˜o 11 - A lei de Charles para
gases diz que se a pressa˜o e´ mantida
constante, enta˜o a relac¸a˜o entre o vo-
lume V (em cm3) que um ga´s ocupa
e sua temperatura T (em ◦C) e´ dada
por V = V0(1 +
1
273
t).
a) Qual o significado de V0?
b) Qual o aumento de tempera-
tura que corresponde a um aumento
no volume de V0 para 2V0?
C) Esboce o gra´fico da equac¸a˜o no
plano-TV para o caso V0 = 100 e T ≤
−273.
Questa˜o 12 - A resisteˆncia R (em
ohms) para um cabo de metal puro
esta´ linearmente relacionado com sua
temperatura T em (em ◦C) pela fo´rmula
R = R0(1 + aT )
para alguma constante a e R > 0.
a) Qual o significado de R0?
b) No zero absoluto (T = −273◦C),
R = 0. Encontre a.
c) Em 0◦C, um cabo de prata tem
uma resisteˆncia de 1, 25ohms. Em
qual temperatura a resisteˆncia e´ do-
brada?
Questa˜o 13 - Baleias azuis rece´m-
nascidas medem aproximadamente 24ft
de comprimento e pesam 3t. Quando
chegam aos 7 meses, as jovens baleias
medem 53ft e pesam 23t. Seja L eW
denotando o comprimento (em pe´s)
e o peso (em toneladas), respectiva-
mente, de uma baleia que esta´ com t
meses de idade.
a) Se L e t esta˜o linearmente rela-
cionados, qual e´ o aumento dia´rio do
comprimento? (Use 1 mes = 30 dias.)
b) Se W e t esta˜o linearmente re-
lacionados, qual e´ o aumento dia´rio
do peso?
Questa˜o 14 - Encontre o domı´nio da
func¸a˜o f .
a) f(x) =
√
3x− 5
b) f(x) = x+1
x3−9x
c) f(x) = 4x+7
6x2+13x−5
Questa˜o 15 - Um bala˜o de ar quente
e´ solto a`s 1 : 00P.M. e sobe vertical-
mente a uma velocidade de 2m/sec.
Um ponto de observac¸a˜o esta´ situado
a 100m contandos a partir do cha˜o
diretamente abaixo do bala˜o (veja fi-
gura) Se t representa o tempo (em se-
gundos) apo´s 1 : 00P.M., expresse a
distaˆncia d entre o bala˜o e o ponto de
observac¸a˜o como func¸a˜o de t.
Questa˜o 16 - Dois barcos deixam o
porto a`s 9 : 00A.M., um navegando
para o sul com velocidade de 16mph e
o outro oeste com velocidade de 20mph
(veja figura). Se t representa o tempo
(em horas) apo´s 9 : 00 A.M., expresse
a distaˆncia d entre os barcos como
func¸a˜o de t.
Questa˜o 17 - Prove que 1+cot2 x =
csc2 x.
Questa˜o 18 - Encontre o quadrante
que conte´m θ se
a) sec θ < 0 e sin θ > 0.
b) cot θ > 0 e csc θ < 0.
c) cos θ > 0 e tan θ < 0.
Questa˜o 19 - Verifique:
a) cos θ sec θ = 1.
b) sin θ sec θ = tan θ.
c) tan θ cot θ = 1.
d) (1 + cosx)(1− cosx) = sin2 x.
e) cos2 x(sec2 x− 1) = sin2 x.
f) csc
2
α
1+tan2 α
= cot2 α
Questa˜o 20 - Mostre
a) tan(u+ v) = tanu+tan v
1−tan u tan v
b) tan(u− v) = tanu−tan v
1+tan u tan v
c) cos(u−v) = cosu cos v+sinu sin v
d) sin 2u = 2 sin u cosu