Estatística Aula 4 Estatística Descritiva

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Prof. Artur Coutinho
04/09/2015
Aula 04 - Estatística Descritiva
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
ESTATÍSTICA
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Estatística Descritiva
Tipo de Medidas Descritivas
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Estatística Descritiva
Medidas de Posição
- Média aritmética
- Média para dados agrupados
- Mediana
- Moda
- Média geométrica
- Percentil, decil, quartil
- Escore Z
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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão
Amplitude
Desvio médio
Variância
Desvio padrão
Coeficiente de variação
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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão
Medidas de tendência central fornecem um resumo parcial das informações de um conjunto de dados. A necessidade de uma medida de variação é aparente, para que nos permita, por exemplo, comparar conjuntos diferentes de valores. Algumas característica desta medida devem ser atendidos como veremos a seguir.
 
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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão
Para um conjunto de dados, uma única medida representativa da posição central, esconde toda a informação sobre a variabilidade dos dados. Veja, por exemplo, os seguintes dados:
 Variável A : 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12
 Variável B : 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15
 Variável C : 1, 2, 5, 10, 15, 18, 19
 Média; Mediana; Moda?? 
10; 10; 8 e 12(A) e Sem Moda (B e C)
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Medidas de Dispersão
 Variável A : 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12 (Méd 10, Md 10, Mo 8 e 12)
 Variável B : 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15 (Méd 10, Md 10, Mo não tem)
 Variável C : 1, 2, 5, 10, 15, 18, 19 (Méd 10, Md 10, Mo não tem)
	As medidas de tendência central pouco ou nada informam a respeito da dispersão dos dados.
	O conceito de medida de dispersão é relativamente difícil. O quanto informativo é dizer que as três amostragens possuem dispersão 4, 10 e 18?
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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão
 Variável D : 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12 (Méd 10, Md 10, Mo 10)
 Variável E : 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15 (Méd 10, Md 10, Mo não tem)
 Variável F : 1, 5, 8, 10, 12, 15, 19 (Méd 10, Md 10, Mo não tem)
	Estes três conjuntos de dados também possuem dispersão máxima igual a 4, 10 e 18, respectivamente. As amostras A, B e C apresentam um maior número de observações mais distantes da média, enquanto nas amostras D, E e F ocorre um maior número de observações concentradas em torno da média. Torna-se interessante que haja uma definição a qual use todas as observações e que seja um pequeno valor quando as observações se aproximam da média e grande quando estas são espaçadas.
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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão
 Na prática, existem várias medidas que expressam a variabilidade de um conjunto de dados, sendo que as mais utilizadas baseiam-se na ideia que consiste em verificar a distância de cada valor observado em relação à média.
 Para uma sequência de valores, a Amplitude será a diferença entre o maior e o menor valor.
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Medidas de Dispersão
 A Amplitude é a medida de dispersão mais simples. 
 Um problema é que a amplitude depende apenas dos valores extremos.
 Variável G : 2, 9, 10, 10, 10, 11, 12 (Amplitude 10)
 Variável H : 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15 (Amplitude 10)
 Variável I : 5, 5, 8, 10, 12, 15, 15 (Amplitude 10)
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Medidas de Dispersão
 O critério geralmente utilizado é aquele que mede a concentração dos dados em torno da média, e algumas medidas são as mais usadas: desvio médio, variância, desvio padrão e Coeficiente de Variação.
 Ex: 3, 4, 5, 6, 7 (média 5), os desvios xi-x, são: -2, -1, 0, 1 ,2.
 1, 3, 5, 7, 9 (média 5), os desvios xi-x, são: -4, -2, 0, 2, 4.
 É fácil observar que a soma dos desvios é igual a zero, o que torna inviável esta medida. As opções são:
 a) Considerar o total dos desvios em valor absoluto (módulo) ou,
 b) Considerar o total dos quadrados dos desvios. Assim teríamos:
 Para a amostra: 3, 4, 5, 6, 7
	 = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6 (a)
	 ² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 (b)
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Medidas de Dispersão – Desvio médio
O desvio médio para uma sequência com n elementos e média μ será:
Ex: 3, 4, 5, 6, 7 
		DM = 1,2
 1, 3, 5, 7, 9
 		DM = 2,4
Baseado nos dados, pode-se dizer que a primeira amostra é mais homogênea.
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Medidas de Dispersão – Variância
A medida que contempla os aspectos apresentados e que é mais utilizada é a Variância. A variância é representada por dois símbolos: s² (letra grega sigma) para população e s² para uma amostra.
A variância é uma medida que expressa um desvio quadrático médio. A unidade da variância é portanto o quadrado dos dados originais. Ex: para dados expressos em centímetros a variância será expressa em centímetros quadrados.
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Medidas de Dispersão – Variância
A variância será determinada pela equação abaixo:
Onde:
N = número de elementos existente na população
μ = média da população
σ2 = variância da população
Obs.: A variância pode ser representado por “Var(X)”.
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Medidas de Dispersão – Variância amostral
A variância da amostra será determinada pela equação abaixo:
Onde:
s2 = variância amostral
n = número de elementos da amostra em estudo
x = média da amostra
O denominador n-1 tem o propósito de tornar a variância da amostra a estimativa da variância da população. (n-1) é conhecido como grau de liberdade e refere-se ao número de somas independentes lineares numa soma de quadrados.
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Medidas de Dispersão – Variância amostral
Para as amostras:
	(1) 3, 4, 5, 6, 7 e 
	(2) 1, 3, 5, 7, 9
As variâncias seriam:
s1² = [(3-5)²+ (4-5) ² + (5-5) ²+ (6-5) ²+ (7-5) ²]/4 	s1² =2,5
s2² = [(1-5) ²+ (3-5) ²+ (5-5) ²+ (7-5) ²+ (9-5) ²]/4	s2² =10
A amostra (1) é mais homogênea.
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Medidas de Dispersão – Variância para dados agrupados
A variância será determinada pela equação abaixo:
Onde:
N = número de elementos existente na população
n = número de elementos da amostra em estudo
μ = média da população		x = média da amostra
σ2 = variância da população 	s2 = variância amostral
fi = frequência de cada um dos elementos Xi
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Medidas de Dispersão – Variância para dados agrupados
Média = (0*4)+(1*5)+(2*7)+(3*3)+(5*1))/20 = 1,65
DM(x) = [4*(0-1,65) + 5* (1-1,65) + 7* (2-1,65) + 3* (3-1,65) + 1* (5-1,65)]/20 = 0,98
Var(x) s² = [4*(-1,65)² + 5* (-0,65)² + 7* (0,35)² + 3* (1,35)² + 1* (3,35)²]/19 = 1,6
Média, DM(x) e Var (x)?
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Medidas de Dispersão – Variância para dados agrupados
Desenvolvendo as fórmulas anteriores é possível chegar aos seguintes resultados.
Essas fórmulas facilitarão bastante o cálculo manual.
Obs.: Para o cálculo da variância, quando os dados estão agrupados em classes, basta substituir os verdadeiros valores observados Xi pelo ponto médio da i-ésima classe.
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Medidas de Dispersão – Desvio-padrão
O desvio-padrão será dado pela raiz quadrada da variância.
O resultado será válido também para o desvio-padrão amostral.
O uso do desvio padrão como medida de variabilidade é preferível pelo fato de ser expresso namesma unidade de medida dos valores observados, pois a variância pode causar problemas de interpretação por ser expressa em termos quadráticos.
Obs.: O desvio-padrão pode ser representado por “DP(X)”.
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Medidas de Dispersão – Desvio-padrão
Para as amostras:
	(1) 3, 4, 5, 6, 7 e 
	(2) 1, 3, 5, 7, 9
		s1= =1,58
		s2= =3,16
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Medidas de Dispersão – 
 Variância amostral x Variância da população
Na prática o valor de μ raramente é conhecido. Por isso, o valor x é utilizado como substituto. No entanto, as observações Xi, tendem a ser mais próximas do seu valor, do que da média populacional μ. Para compensar isso, usa-se n-1 como divisor em vez de n. A utilização de n traria distorções na medida de variabilidade.
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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão
Exemplo: Considere as forças de ruptura obtidas de duas amostras de seis corpos de prova de concreto (em psi):
	Amostra 1: 230; 250; 245; 258; 265; 240
	Amostra 2: 190; 228; 305; 240; 265; 260
Qual são as médias das medidas observadas?
 	Med = 248 psi
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Medidas de Dispersão
	Amostra 1: 230; 250; 245; 258; 265; 240
	Amostra 2: 190; 228; 305; 240; 265; 260
Qual são as variâncias e desvio-padrão das medidas observadas?
 	Amostra 1: s² = 1025,15 psi²; s= 32,02 psi
 	Amostra 2: s² = 1502,00 psi²; s= 38,76 psi
Diagrama de pontos
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Medidas de Dispersão
Exemplo: Calcule a variância e o desvio-padrão para a seguinte distribuição amostral.
Solução: Para calcular a variância amostral será utilizado o resultado a seguir, já conhecido.
A tabela será montada de forma a facilitar os cálculos e as substituições na fórmula.
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Medidas de Dispersão
Exemplo: Calcule a variância e o desvio-padrão para a seguinte distribuição amostral.
xi
5
7
8
9
11
Soma
fi
2
3
4
5
2
16
xi.fi
10
21
32
45
22
130
xi².fi
50
147
256
405
242
1100
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Medidas de Dispersão
Exemplo: Calcule a média e o desvio-padrão para a seguinte distribuição amostral.
Solução:
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Medidas de Dispersão
Exemplo: Calcule a variância e o desvio-padrão para a seguinte distribuição amostral.
Solução (continuação):
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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão – Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de variabilidade.
A utilidade imediata do coeficiente de variação é a possibilidade de avaliar o grau de representatividade da média. Esta medida também é bastante útil na comparação entre conjuntos de dados, em relação à variabilidade, ainda que as unidades de medida nos conjuntos de dados sejam distintas. 
Um critério de decisão sobre a representatividade ou não da média, pode ser dada pela seguinte linha de corte:
	Se CV ≥ 50%, a média não é representativa.
	Se CV < 50%, a média é representativa.
(expresso em porcentagem (%))
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Medidas de Posição, Dispersão – Exercício
Acredita-se que a resistência à tensão da borracha siliconizada seja uma função da temperatura de cura. Um estudo foi realizado, no qual amostras de 12 espécimes de borracha foram preparadas usando temperaturas de cura de 20ºC e 45ºC. Os dados mostram os valores de resistência à tensão, em megapascals:
20ºC: 2,07; 2,14; 2,22; 2,03; 2,21; 2,03; 2,05; 2,18; 2,09; 2,14; 2,11; 2,02
45ºC: 2,52; 2,15; 2,49; 2,03; 2,37; 2,05; 1,99; 2,42; 2,08; 2,42; 2,29; 2,01
a) Mostre o diagrama de pontos dos valores da resistência à tensão em temperaturas baixas e altas.
b) Calcule a média amostral da resistência à tensão em ambas as amostras.
c) A temperatura de cura parece ter influência na resistência à tensão baseando-se no gráfico? Comente.
d) Calcule os desvios-padrões. O aumento nas temperaturas parece influenciar a variabilidade da resistência à tensão? Explique.
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Medidas de Posição, Dispersão – Exercício
As emissões de hidrocarboneto em velocidade lenta, em partes por milhão (ppm), de automóveis de 1980 e 1990 são dadas pro 20 carros selecionados aleatoriamente:
Modelos de 1980: 141; 359; 247; 940; 882; 494; 306; 210; 105; 880; 200; 223; 188; 940; 241; 190; 300; 435; 241; 380
Modelos de 1990: 140; 160; 20; 20; 223; 60; 20; 95; 360; 70; 220; 400; 217; 58; 235; 380; 200; 175; 85; 65
a) Construa um diagrama de pontos sobrepostos.
b) Calcule as médias amostrais para os dois anos e sobreponha as duas médias no gráfico.
c) Comente o que o gráfico indica em relação às mudanças de emissões da população de canos de 1980 para a de 1990. Use os conceitos de variabilidade em seus comentários.
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Medidas de Dispersão – Exercício
Calcule a média, o desvio-padrão, a variância, a mediana e a moda amostrais aproximadas para os dados na seguinte distribuição de frequências:
Intervalo de Classe
Frequência
-10 – 0
3
0 – 10
8
10 – 20
12
20 – 30
16
30 – 40
9
40 – 50
4
50 – 60
2
Med = 22,41; Var(X) = 208,25; DP(X) = 14,43 Mo = 23,64
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Medidas de Dispersão – Exercício
Um livro com 50 páginas apresentou um número de erros de impressão por página conforme tabela:
	1) Qual o número médio de erros por página?
	2) Qual o número mediano de erros por página?
	3) Qual o número modal de erros por página?
	4) Qual o desvio padrão do número de erros por página? 
Erros
NºPáginas
0
25
1
20
2
3
3
1
4
1
Total
50
Med = 0,66 erros; 
Md = 0,50 erros;
Mo = 0,00 erros;
DP(X) = 0,84 erros
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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão – Exercício
Dada a tabela abaixo, calcule:
Desvio médio, Variância, Desvio padrão, e Coeficiente de variação
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35
35
39
41
41
42
45
47
48
50
52
53
54
55
55
57
59
60
60
61
64
65
65
65
66
66
66
67
68
69
71
73
73
74
74
76
77
77
78
80
81
84
85
85
88
89
91
94
97
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