ESTUDO DIRIGIDO e RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA APLICADA À GESTÃO PÚBLICA

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MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA APLICADA À GESTÃO PÚBLICA 
ESTUDO DIRIGIDO 
 
 
Referência: Calculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: Intersaberes, 1ª. edição 2016. 
Autor: Nelson Pereira Castanheira. 
 
Observem que este material “Estudo Dirigido” é de autoria de nossa Instituição e destinado ao estudo 
dos alunos a ela vinculados, portanto sua reprodução, divulgação ou uso indevido poderá ser objeto 
de aplicação dos procedimentos e penas relativas à Lei dos Direitos Autorais. 
 
Neste breve resumo, destacamos a importância para seus estudos de alguns temas diretamente 
relacionados ao contexto trabalhado nesta disciplina. Os temas sugeridos abrangem o conteúdo 
programático da sua disciplina nesta fase e lhe proporcionarão maior fixação de tais assuntos, 
consequentemente, melhor preparo para o sistema avaliativo adotado pelo Grupo Uninter. Esse é 
apenas um material complementar, que juntamente com os livros, vídeos e os slides das aulas 
compõem o referencial teórico que irá embasar o seu aprendizado. Utilize-os da melhor maneira 
possível. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
2 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 1 
 
1) Quando se deve utilizar uma pesquisa com uma amostra e não com toda a população que 
é o objeto de estudo? 
 
2) Qual a diferença entre Rol e Dados brutos? 
 
3) Qual o Ponto médio de um intervalo cujo limite inferior é igual a 8, cujo limite superior é 
igual a 18 e que é um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita? 
 
4) O que é uma Série estatística? 
 
5) O que é um Histograma? 
 
6) Dado o conjunto A de valores obtidos em uma pesquisa, qual valor ocorreu com a maior 
frequência? 
A = {2 – 8 – 5 – 3 – 6 – 7 – 8 – 2 – 4 – 3 – 8} 
 
7) Qual a amplitude total do conjunto de valores da questão anterior? 
 
8) Vamos representar o conjunto de dados da questão 6 em uma tabela: 
 Valores ( X ) Frequência ( f ) 
 2 2 
 3 2 
 4 1 
 5 1 
 6 1 
 7 1 
 8 3 
Qual a frequência acumulada total desses valores? 
 
 
3 
GABARITO COMENTADO – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 1 
 
1) Quando for impossível pesquisar toda a população ou quando, apesar de possível acessar todos os 
elementos da população, a pesquisa se tornaria inviável financeiramente. 
 
2) Os dados brutos são os resultados de uma pesquisa, ainda desorganizados. Um Rol, apresenta esses 
mesmos dados em ordem crescente ou decrescente. 
 
3) O intervalo vai de 8 a 18. O ponto médio será igual a 13, pois Pm = 18 + 8 
 2 
 
4) Uma série estatística é uma tabela na qual há um critério distinto que a especifica e a diferencia. 
 
5) É um gráfico formado por retângulos (colunas) justapostos. 
 
6) 8 (f = 3) 
 
7) A = 8 – 2 = 6 
 
8) At = 11 (At = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3) 
 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 2 
 
Dado o conjunto B de valores obtidos em uma pesquisa, onde 
B = {3 – 5 – 4 – 2 – 5 – 6 – 1 – 4 – 5 – 4 – 5 – 3 – 2 – 4 – 3 – 5 – 7} 
Responda as questões de 1 a 3. 
 
1) Qual a média aritmética dos resultados? 
2) Qual a mediana dos resultados? 
3) Qual a moda dos resultados? 
 
4 
 
Suponha agora o conjunto C a seguir, onde 
C = {10 – 12 – 7 – 6 – 9 – 8} 
Responda as questões 4 e 5. 
 
4) Qual a mediana dos resultados? 
5) Qual a moda dos resultados? 
 
 
Suponha os resultados a seguir representados em uma distribuição de frequências. 
Resultados ( X ) Frequência ( f ) 
 6 7 3 
 7 8 4 
 8 9 7 
 9 10 8 
 10 11 6 
 11 12 5 
 12 13 2 
 
Responda as questões de 6 a 8. 
 
6) Qual a média aritmética dos resultados? Dê a resposta com duas casas após a vírgula. 
 
7) Qual a mediana dos resultados? Dê a resposta com duas casas após a vírgula. 
 
8) Qual a moda dos resultados? Dê a resposta com duas casas após a vírgula. 
 
 
5 
GABARITO COMENTADO – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 2 
 
1) X = 68 = 4 
 17 
 
2) Md = 4 (valor que está no meio do Rol) 
 
3) Mo = 5 (valor que apareceu mais vezes, ou seja, com a maior frequência) 
 
4) Md = 8 + 9 = 8,5 
 2 
 
5) É amodal, ou seja, nenhum dos valores teve a maior frequência 
 
6) 
X = 6,5 . 3 + 7,5 . 4 + 8,5 . 7 + 9,5 . 8 + 10,5 . 6 + 11,5 . 5 + 12,5 . 2 
 35 
X = 9,44 
 
7) Como temos 35 valores em ordem numérica, a mediana é o 18º valor, ou seja, o que está 
no meio. No caso, o intervalo que vai de 9 a 10. 
Md = Li + (n/2 - ∑fant) . A 
 fMd 
Md = 9 + 17,5 – 14 . 1 
 8 
Md = 9,44 
 
8) A Moda encontra-se no intervalo que vai de 9 a 10, porque é o de maior frequência. 
Mo = Li + fpost__ . A 
 fant + fpost 
Mo = 9 + 6__ . 1 
 7 + 6 
Mo = 9,46 
6 
 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 3 
 
Em uma pesquisa onde se perguntou a um grupo de 80 pessoas a idade de cada um, obteve-se o 
seguinte resultado: 
 Idade ( X ) Pessoas ( f ) 
 15 4 
 16 8 
 17 7 
 18 10 
 19 13 
 20 12 
 21 11 
 22 9 
 23 6 
 
Com base nessa tabela, responda as questões de 1 a 4, considerando que 80 é a população toda. 
 
1) Qual a amplitude total dos resultados? 
 
2) Qual o Desvio Médio dos resultados? 
 
3) Qual a Variância dos resultados? 
 
4) Qual o Desvio Padrão dos resultados? 
 
5) Observamos em determinada distribuição de frequências, que a mediana é igual a 8,3, a moda é 
igual a 8,4 e a média é igual a 8,2. Podemos afirmar que: 
 
a) ( ) a distribuição é simétrica 
b) ( ) a distribuição é assimétrica positiva 
7 
c) ( ) a distribuição é assimétrica negativa 
d) ( ) é impossível saber se a curva é simétrica ou assimétrica com esses dados 
6) Em uma distribuição e frequências tivemos média igual a 32, mediana igual a 34 e desvio padrão 
igual a 12. Qual o segundo coeficiente de assimetria de Pearson? 
a) ( ) 0,50 
b) ( ) –0,50 
c) ( ) 0,25 
d) ( ) –0,25 
 
7) O coeficiente de curtose ( K ) para uma determinada distribuição de frequências é igual a 0,222. 
Podemos, então, afirmar que a curva é: 
a) ( ) mesocúrtica 
b) ( ) platicúrtica 
c) ( ) leptocúrtica 
d) ( ) simétrica 
 
8) Quantos são os quartis? 
a) ( ) 1 
b) ( ) 2 
c) ( ) 3 
d) ( ) 4 
 
8 
GABARITO COMENTADO – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 3 
 
1) A = 23 – 15 = 8 
 
2) 
Idade ( X ) Pessoas ( f ) │Xi – X│ . fi │Xi – X│2 . fi 
 16 3 12 48 
 17 5 15 45 
 18 8 16 32 
 19 15 15 15 
 20 19 0 0 
 21 11 11 11 
 22 10 20 40 
 23 9 27 81 
 ∑ 80 116 272 
 
X = 16 . 3 + 17 . 5 + 18 . 8 + 19 . 15 + 20 . 19 + 21 . 11 + 22 . 10 + 23 . 9 
 80 
 
X = 20 
 
Dm = 116 = 1,45 
 80 
 
3) S2 = 272 = 3,40 
 80 
 
4) S = 1,84 
 
5) c) ( X ) a distribuição é assimétrica negativa (ver página 95 do livro) 
 
6) b) ( ) –0,50 
As = 3 . (X – Md) 
9 
 S 
As = 3 . (32 – 34) = –0,50 
 12 
 
7) c) ( ) leptocúrtica, pois K < 0,263 
 
8) c) ( ) 3 
Ou seja: Q1 – Q2 – Q3 
 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 4 
 
 
1) Ao lançarmos dois dados, qual a probabilidade de obtermoso mesmo resultado em ambos? 
 
2) Temos em uma sacola bolas numeradas de 1 a 20. Se retirarmos, uma após a outra, sem reposição, 
duas bolas, qual a probabilidade de ambas serem de números pares? 
 
3) Uma empresa pretende lançar simultaneamente dois novos produtos, a que chamaremos produto 
A e produto B. O produto A, segundo o Departamento de Marketing, tem 60% de chance de obter 
sucesso imediato, enquanto o produto B tem apenas 40% de chance de obter sucesso imediato. Com 
base nesses dados, calcule a probabilidade: 
a) dos dois produtos terem sucesso imediato; 
b) de apenas um dos dois produtos ter probabilidade de sucesso imediato. 
 
4) Uma linha de produção de três etapas de controle de qualidade. Na primeira etapa há 40% de chance 
de uma peça defeituosa não ser detectada, na segunda etapa há 30% de chance de uma peça 
defeituosa não ser detectada e na terceira etapa há 20% de chance de uma peça defeituosa não ser 
detectada. Qual a probabilidade de uma peça defeituosa não ser detectada de pois de ter passado 
pelas três etapas? 
 
10 
5) Numa gaiola há 3 canários. O canário A canta 50% do tempo em que está acordado. O canário B 
canta 30% do tempo em que está acordado. O canário C canta 20%do tempo em que está acordado. 
Com base nesses dados, calcule a probabilidade de, num dia aleatório: 
a) todos os canários cantarem juntos, quando estiverem acordados; 
b) nenhum dos canários cantar enquanto estiverem acordados. 
 
 
6) Temos bolas coloridas distribuídas dentro de duas caixas. Na caixa A temos 8 bolas brancas e 12 
bolas vermelhas. Na caixa B, temos 5 bolas brancas e 5 bolas pretas. Se retirarmos uma bola de cada 
caixa, qual a probabilidade de: 
a) as duas bolas serem brancas? 
b) a primeira bola ser vermelha e a segunda bola ser preta? 
 
7) Um exercício de matemática foi dado a duas pessoas para que tentassem resolvê-lo. A primeira 
pessoa costuma acertar 80% dos exercícios de matemática que são propostos. A segunda pessoa 
costuma acertar 60% dos exercícios que são propostos. Com base nesses dados, calcule a probabilidade 
de: 
a) as duas pessoas acertarem o exercício; 
b) as duas pessoas não acertarem o exercício; 
c) apenas uma das pessoas acertar o exercício. 
 
8) Em um lote de 100 peças, 5 delas são defeituosas. Se retirarmos 3 peças desse lote, sem reposição, 
qual a probabilidade da primeira ser defeituosa, a segunda ser boa e a terceira ser defeituosa? 
 
 
 
 
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GABARITO COMENTADO – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 4 
 
1) O espaço amostral tem 36 possíveis resultados (6 x 6). O mesmo resultado nos dois dados tem como 
espaço amostral 6 possíveis resultados: 
 
{(1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4), (5 , 5), (6 , 6)} 
Então, a probabilidade procurada é igual a: 
 6_ = 1_ 
36 6 
 
2) Temos 10 números pares e 10 números ímpares, de um total de 20 bolas. 
A probabilidade da primeira ser par é 10/20 (10 chances em 20) e da segunda ser par é de 
9/19 (se a primeira foi par, só restam 9 pares; como não houve reposição, só teremos 19 bolas na 
segunda retirada). 
 
Como queremos uma bola “E” outra sejam ambas pares, estamos diante de uma 
Multiplicação. Então a probabilidade procurada é: 
10 . 9_ = 9_ 
20 19 38 
Se desejar a resposta em porcentagem, temos que 9 dividido por 38 é igual a 0,236842. Ou 
seja, 23,6842% 
 
3) 
P(A) = 60% de sucesso 
P(B) = 40% de sucesso 
a) P(A  B) = _60_ . 40_ = 24_ ou 24% 
 100 100 100 
b) P(A  B) = _60_ + 40_ – 60_ . 40_ = 76_ 
 100 100 100 100 100 
 
4) 
P(3 etapas sem ser detectada) = 40_ . 30_ . 20_ = 24_ ou 2,4% 
 100 100 100 1000 
12 
 
5) 
P(A cantar) = 50_ ; P(A não cantar) = 50_ 
 100 100 
P(B cantar) = 30_ ; P(A não cantar) = 70_ 
 100 100 
P(C cantar) = 20_ ; P(A não cantar) = 80_ 
 100 100 
a) P(A  B  C cantar) = 50_ . 30_ . 20_ = 30_ = 3_ ou 3% 
 100 100 100 1000 100 
b) P(A  B  C não cantar) = 50_ . 70_ . 80_ = 280000_ = 28_ ou 28% 
 100 100 100 1000000 100 
 
6) 
Caixa A: 
P(branca) = 8_ 
 20 
P(vermelha) = 12_ 
 20 
Caixa B: 
P(branca) = 5_ 
 10 
P(vermelha) = 5_ 
 10 
a) as duas bolas serem brancas 
P(branca e branca) = 8_ . 5_ = 1_ ou 20% 
 20 10 5 
 
b) a primeira bola ser vermelha e a segunda bola ser preta 
P(vermelha e preta) = 12_ . 5_ = 30_ ou 30% 
 20 10 100 
 
7) 
13 
P(A acertar) = 80_ 
 100 
P(A errar) = 20_ 
 100 
P(B acertar) = 60_ 
 100 
P(B errar) = 40_ 
 100 
 
a) as duas pessoas acertarem o exercício 
P(A  B) = 80_ . 60_ = 48_ ou 48% 
 100 100 100 
 
b) as duas pessoas não acertarem o exercício 
P(A  B) = 20_ . 40_ = 8_ ou 8% 
 100 100 100 
 
c) apenas uma das pessoas acertar o exercício 
P(A  B) = 80_ + 60_ – 80_ . 60_ = 92_ ou 92% 
 100 100 100 100 100 
 
8) 5 peças têm defeito e 95 são boas 
P(1ª ruim, 2ª boa, 3ª ruim) = 5_ . 95_ . 4_ = 1900__ = 0,002 ou 0,2% 
 100 99 98 970200 
Em um lote de 100 peças, 5 delas são defeituosas. Se retirarmos 3 peças desse lote, sem 
reposição, qual a probabilidade da primeira ser defeituosa, a segunda ser boa e a terceira ser 
defeituosa? 
 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 5 
 
14 
1) Em uma fábrica de parafusos, uma das máquinas está produzindo 10% das peças com 
defeito. Se escolhermos, aleatoriamente, 5 dos parafusos fabricados por essa máquina, qual a 
probabilidade de que apenas um seja defeituoso? Utilize a distribuição binomial de probabilidades. 
 
2) Em uma prova do ENADE para determinado curso, 30% dos alunos inscritos deixaram a 
prova em branco. Se escolhermos, aleatoriamente, 10 alunos que participaram desse exame, qual a 
probabilidade de que nenhum deles tenham deixado a prova em branco? Utilize a distribuição binomial 
de probabilidades. 
 
3) Em cada 20 dias, chegam em determinado depósito 160 caminhões carregados de frutas. 
Qual a probabilidade de que, em um dia selecionado aleatoriamente, cheguem a esse depósito 
exatamente 3 caminhões carregados de frutas? Utilize a distribuição de Poisson. 
 
4) Em uma localidade de 100 mil habitantes, a probabilidade de alguém ser contaminado pela 
dengue é 0,005% por mês, no verão. Calcule a probabilidade de que, dos 100 mil habitantes, ninguém 
se contamine em determinado mês do verão. Utilize a distribuição de Poisson. 
 
5) O processo de empacotamento de determinado cereal foi ajustado de maneira que cada 
pacote tenha em média 2,0 Kg do produto. Nem todos os pacotes têm precisamente 2,0 Kg devido a 
fontes aleatórias de variabilidade. O desvio padrão do peso líquido é S = 0,02 Kg e sabemos que a 
distribuição dos pesos segue uma distribuição normal. Determine a probabilidade de que um pacote, 
escolhido aleatoriamente, tenha entre 2,0 kg e 2,04 kg. 
 
6) Em uma indústria, determinada função tem salários cuja média é igual a R$3.200,00 e com 
desvio padrão igual a R$150,00. Essa indústria tem, nessa função, 38 colaboradores. Quantos desses 
ganham entreR$3.080,00 e R$3.320,00? 
7) Uma turma de 48 alunos fez uma prova na qual a média foi 6,5. O desvio padrão desse 
resultado foi igual a 1,0. Quantos alunos tiraram notas de 4,0 a 8,0? 
 
8) No exercício anterior, qual o percentual de alunos cuja nota foi maior ou igual a 5,5? 
 
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GABARITO COMENTADO – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 5 
 
1) P(X) = CN,X . pX . qN – X 
 
P(X) = N!____ . pX . qN – X 
 X! (N – X)! 
p = 10% = 0,10 (probabilidade de parafuso defeituoso) 
Como p + q = 1, 
q = 90% = 0,90 
 
P(X) = 5!___ . 0,101 . 0,904 
 1! (5 – 1)! 
 
P(X) = 5!_ . 0,10 . 0,6561 
 4! 
 
P(X) = 0,328050 ou 32,8050% 
 
2) 
P(X) = N!____ . pX . qN – X 
 X! (N – X)! 
 
p = 0,30 (prova em branco) 
q = 1 – 0,30 = 0,70 
 
P(X) = 10!____ . 0,300 . 0,7010 
 0! (10 – 0)! 
P(X) = 0,7010 
P(X) = 0,028248 ou 2,8284% 
 
3) P(X │ ) = x . e-_ 
 X! 
 
16 
A média de caminhões, ao dia, é de 160/20 = 8 caminhões 
Então,  = 8 
P(X = 3 │  = 8) = 83 . e-8_ 
 3! 
P(X = 3 │  = 8) = 512 . 0,00034 
 6 
P(X = 3 │  = 8) = 0,029013 ou 2,9013% 
 
4)  = N . p 
 = 100000 . 0,00005 
 = 5 
P(X = 0 │  = 5) = 50 . e-5 
 0! 
P(X = 3 │  = 8) = e-5 
P(X = 3 │  = 8) = 0,00674 ou 0,674% 
 
Obs: 50 = 1 e 0! = 1 
 
5) X = 2,0 
S = 0,2 
Para X = 2,0, temos z = 0 (zero) 
Para X = 2,04, temos: 
z = 2,04 – 2, 0 = 2 
 0,2 
Olhando a tabela da área abaixo da curva, vemos que, quando z varia de 0,0 a 2,0, temos 
47,72% da área total. Logo, essa é a probabilidade procurada: P = 47,72%. 
 
6) Para X = 3.100,00, temos: 
z = 3080 – 3200 = – 120 = – 0,80 
 150 150 
Olhando a tabela da página 169, quando z = 0,80 (lembrar que a curva é simétrica e as áreas 
das duas metades da curva são iguais), temos 0,2881, ou seja, 28,81% da área da curva 
 
17 
Para X = 3.320,00, temos: 
z = 3320 – 3200 = 0,80 
 150 
Ou seja, temos também 28,81% da área da curva, no lado positivo da mesma. 
 
No total, teremos 28,81% + 28,81% da área entre z = – 0,80 e z = 0,80, que corresponde ao 
intervalo cujos salários variam de R$3.080,00 a R$3.320,00. 
São 57,62% da área da curva, o que corresponde à probabilidade procurada. 
Como são 38 colaboradores, 38 . 0,5762 = 21,9. Logo, 22 colaboradores estão nessa faixa 
salarial. 
 
7) Para X = 4,0, temos: 
z = 4,0 – 6,5 = – 2,5 
 1,0 
Olhando a tabela, para z = 2,5 temos 0,4938 da área da curva. 
 
Para X = 8,0, temos: 
z = 8,0 – 6,5 = 1,5 
 1,0 
Olhando a tabela, para z = 1,5 temos 0,4332 da área da curva. 
 
Como estamos interessados na faixa completa, de z = 0 – 2,5 até z = 1,5, precisamos somar 
esses valores: 
0,4938 + 0,4332 = 0,9270 (92,70% da área total da curva) 
 
Logo, dos 48 alunos da turma temos 48 .0,9270 = 44,50 alunos com notas entre 4,0 e 8,0. 
Como não podemos ter meio aluno, a resposta é 45 alunos. 
 
8) 
z = 5,5 – 6,5 = – 1,0 
 1,0 
Olhando a tabela, para z = 1,0 temos 0,3413 da área da curva, ou seja 34,13% da área da curva 
entre os pontos em que z = – 1,0 e z = 0,0. 
18 
Como queremos saber o percentual de alunos com média igual ou maior que 5,5, temos que 
considerar também toda a metade positiva da curva, ou seja, mais 50%. 
 
Logo, a probabilidade procurada é de 84,13% dos alunos. 
 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 6 
 
1) Determine o Intervalo de Confiança para as pessoas de uma localidade onde os habitantes 
possuem altura média de 1,70 metros, com desvio padrão de 8 centímetros. Supor uma amostra de 
169 pessoas e nível de confiança de 96%. 
 
2) Os empregados de uma empresa, que executam uma mesma função, têm salário médio de 
R$4.200,00 com desvio padrão de R$200,00. Determine o Intervalo de Confiança onde se encontra a 
média populacional ( µ ), considerando um nível de confiança de 98%. Supor uma amostra de 49 
empregados. 
 
3) Suponhamos uma amostra aleatória de 100 elementos, com média igual 44, retirados de 
uma população normal com desvio padrão  = 5. Considerando um nível de significância de 5%, teste 
a hipótese de que a média populacional ( µ ) seja igual a 45. Suponhamos a hipótese alternativa ( µ ) < 
45. 
 
4) Suponhamos uma amostra aleatória de 144 elementos, com média igual 80, retirados de 
uma população normal com desvio padrão  = 9. Considerando um nível de significância de 8%, teste 
a hipótese de que a média populacional ( µ ) seja igual a 81. Suponhamos a hipótese alternativa ( µ ) < 
81. 
 
5) Suponhamos uma amostra aleatória de 576 elementos, com média igual 180, retirados de 
uma população normal com desvio padrão  = 30. Considerando um nível de significância de 7%, teste 
a hipótese de que a média populacional ( µ ) seja igual a 178. Suponhamos a hipótese alternativa ( µ ) 
> 178. 
 
19 
6) Suponhamos uma amostra aleatória de 400 elementos, com média igual 66, retirados de 
uma população normal com desvio padrão  = 13. Considerando um nível de significância de 4%, teste 
a hipótese de que a média populacional ( µ ) seja igual a 65. Suponhamos a hipótese alternativa ( µ ) > 
65. 
 
 
7) Suponhamos uma amostra aleatória de 169 elementos, com média igual 444, retirados de 
uma população normal com desvio padrão  = 30. Considerando um nível de significância de 10%, teste 
a hipótese de que a média populacional ( µ ) seja igual a 448. Suponhamos a hipótese alternativa ( µ ) 
< 448. 
 
8) Suponhamos uma amostra aleatória de 36 elementos, com média igual 7, retirados de uma 
população normal com desvio padrão  = 1,5. Considerando um nível de significância de 5%, teste a 
hipótese de que a média populacional ( µ ) seja igual a 6,5. Suponhamos a hipótese alternativa ( µ ) > 
6,5. 
 
GABARITO COMENTADO – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – AULA 6 
 
1) O primeiro passo é a determinação do valor de z. Como a tabela da página 169 mostra a 
área de metade da curva, vamos dividir o nível de confiança por 2. Temos 96% : 2 = 48%, ou seja, 0,48. 
Consultando a tabela, 0,48 de área da curva corresponde a z = 2,05. 
Agora, para conhecermos a largura do intervalo precisamos calcular o valor de c. 
c = z . _ 
 √𝑛 
c = 2,05 . 0,08_ 
 √169 
c = 0,126 
Então, P(1,70 – 0,126 < µ < 1,70 + 0,126) = 0,96 
O intervalo de confiança é: 
IC (1,574 < µ < 1,826) = 96% 
Isso significa que há 96% de chance de µ estar entre 1,574 metros e 1,826 metros. Lembrar 
que µ é a média da população. 
 
20 
2) O primeiro passo é a determinação do valor de z. Como a tabela da página 169 mostra a 
área de metade da curva, vamos dividir o nível de confiança por 2. Temos 98% : 2 = 49%, ou seja, 0,49. 
Consultando a tabela, 0,49 de área da curva corresponde a z = 2,33. 
Agora, para conhecermos a largura do intervalo precisamos calcular o valor de c. 
c = z . _ 
 √𝑛 
c = 2,33 . 200_ 
 √49 
c = 66,57 
Então, P(4.200,00 – 66,57 < µ < 4.200,00 + 66,57) = 0,98 
O intervalo de confiança é: 
IC (4.133,43 < µ < 4.266,57) = 98% 
Isso significa que há 98% de chance de µ estar entre R$4.133,43 e R$4.266,57. 
 
3) Na tabela da página 169 verificamos que para  = 5%, temos: 
50% – 5% = 45% z = 1,65 
Como estamos supondo µ < um determinado valor, estamos trabalhando no lado esquerdo 
do gráfico. Logo, z = – 1,65 
Vamos agora determinar z para a zona de rejeição, ou seja, Zr: 
Zr = X – µ_ 
 _ 
 √𝑛 
Zr = 44 –45 _ 
 5_ 
 10 
Zr = – 2,00 
Verificamos que o valor de Zr está na região de rejeição, uma vez que Zr < – 1,65. Logo, a 
hipótese nula será rejeitada. 
 
4) Na tabela da página 169 verificamos que para  = 8%, temos: 
50% – 8% = 42% z = 1,41 
Como estamos supondo µ < um determinado valor, estamos trabalhando no lado esquerdo 
do gráfico. Logo, z = – 1,41 
Vamos agora determinar z para a zona de rejeição, ou seja, Zr: 
21 
Zr = X – µ_ 
 _ 
 √𝑛 
Zr = 80 – 81 _ 
 9_ 
 12 
Zr = – 1,33 
Verificamos que o valor de Zr está na região de aceitação, uma vez que Zr > – 1,41. Logo, a 
hipótese nula será aceita. 
 
5) Na tabela da página 169 verificamos que para  = 7%, temos: 
50% – 7% = 43% z = 1,48 
Como estamos supondo µ > um determinado valor, estamos trabalhando no lado direito do 
gráfico. Logo, z = 1,48 
Vamos agora determinar z para a zona de rejeição, ou seja, Zr: 
Zr = X – µ_ 
 _ 
 √𝑛 
Zr = 180 – 178 _ 
 30_ 
 24 
Zr = 1,60 
Verificamos que o valor de Zr está na região de rejeição, uma vez que Zr > 1,48. Logo, a hipótese 
nula será rejeitada. 
 
6) Na tabela da página 169 verificamos que para  = 4%, temos: 
50% – 4% = 46% z = 1,75 
Como estamos supondo µ > um determinado valor, estamos trabalhando no lado direito do 
gráfico. Logo, z = 1,75 
Vamos agora determinar z para a zona de rejeição, ou seja, Zr: 
Zr = X – µ_ 
 _ 
 √𝑛 
Zr = 66 – 65 _ 
 13_ 
 20 
22 
Zr = 1,54 
Verificamos que o valor de Zr está na região de aceitação, uma vez que Zr < 1,75. Logo, a 
hipótese nula será aceita. 
 
7) Na tabela da página 169 verificamos que para  = 10%, temos: 
50% – 10% = 40% z = 1,28 
Como estamos supondo µ < um determinado valor, estamos trabalhando no lado esquerdo 
do gráfico. Logo, z = – 1,28 
Vamos agora determinar z para a zona de rejeição, ou seja, Zr: 
Zr = X – µ_ 
 _ 
 √𝑛 
Zr = 444 – 448 
 30_ 
 13 
Zr = – 1,73 
Verificamos que o valor de Zr está na região de rejeição, uma vez que Zr < – 1,28. Logo, a 
hipótese nula será rejeitada. 
 
8) Na tabela da página 169 verificamos que para  = 5%, temos: 
50% – 5% = 45% z = 1,65 
Como estamos supondo µ > um determinado valor, estamos trabalhando no lado direito do 
gráfico. Logo, z = 1,65 
Vamos agora determinar z para a zona de rejeição, ou seja, Zr: 
Zr = X – µ_ 
 _ 
 √𝑛 
Zr = 7 – 6,5 
 1,5_ 
 6 
Zr = 2,00 
Verificamos que o valor de Zr está na região de rejeição, uma vez que Zr > 2,00. Logo, a hipótese 
nula será rejeitada. 
 
 
23 
 
RACIOCÍNO LÓGICO 
PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS 
Questão1: 
Assinale a única proposição falsa. 
( ) 3 é ímpar se e somente se 4 é par. 
( ) Se 5 > 1 então 6 > 5. 
( ) 3 é ímpar ou 2 é primo. 
( ) Se 13 é par então 9 é par. 
( ) Se 4 é par então 7 é par. 
Questão 2: 
Calcule V(P) para a proposição p ↔ q 
p : Campinas é a capital de São Paulo (F) 
q : O jogador Pelé é médico (F) 
p ↔ q : Campinas é a capital de São Paulo se e somente se o jogador Pelé é médico 
P(p , q) = p ↔ q 
V(P) = 
 
Questão 3: 
Dadas as proposições simples 
p : o gato subiu no telhado 
q : o cachorro caiu do telhado 
Escreva na linguagem natural as seguintes proposições compostas: 
a) p ˅ q 
b) ~p ˄ q 
c) p ˄ q 
d) p ˄ ~q 
e) ~p ˄ ~q 
f) p → q 
g) q ↔ p 
h) ~p → ~q 
i) p ˅ ~q 
j) ~(p ˅ q) 
 
Questão 4: 
Sejam as proposições: 
p : Roberto é rico 
q : Sonia é pobre 
r : Carlos é feliz 
 
Traduzir para a linguagem simbólica as proposições compostas: 
a) Roberto é rico e Carlos é feliz 
b) Carlos é feliz e Sonia não é pobre 
c) Se Roberto não é rico, então Sonia é pobre e Carlos não é feliz 
d) Carlos é feliz se e somente se Roberto é rico 
e) Ou Sonia é pobre e Carlos é feliz ou não é verdade que Roberto é rico e Sonia não é pobre 
f) Roberto não é rico se e somente se Sonia não é pobre e Carlos é feliz 
g) Carlos não é feliz ou Roberto não é rico 
24 
h) Sonia não é pobre ou Carlos não é feliz 
i) Se Carlos é feliz, então Roberto não é rico e Sonia é pobre 
j) Carlos é feliz se e somente se Sonia não é pobre e Roberto é Rico 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
TABELA VERDADE 
 
Questão1: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
(p ˅ q) ˄ (p ˅ ~q) 
 
Questão2: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
(p ˅ ~p) → (p ˄ q) 
 
Questão3: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
~(p → q) ˅ (~p ˄ q) 
 
Questão4: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
(p ˅ q) ↔ (~p ˄ q) 
 
Questão5: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
(p → q) ↔ (p ˅ q) 
 
Questão6: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
(p ˅ q) ˄ r 
 
Questão7: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
(p → q) ↔ (q → r) 
 
Questão8: 
(p ˄ ~q) → (r ˄ s) 
 
Questão 9: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
(p  q  r) → (p ↔ r) 
 
Questão 10: 
Fazer a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
(~p  r)  ~(q  r) 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 
 
25 
1. Assinale a única proposição falsa. 
( ) 3 é ímpar se e somente se 4 é par. 
( ) Se 5 > 1 então 6 > 5. 
( ) 3 é ímpar ou 2 é primo. 
( ) Se 13 é par então 9 é par. 
( ) Se 4 é par então 7 é par. 
 
2. A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é 
verdade que: 
( ) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. 
( ) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. 
( ) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. 
( ) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. 
( ) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo. 
 
3. Marque a alternativa que apresenta uma tautologia. 
( ) Se hoje chove, então hoje choveu e fez calor. 
( ) Se hoje fez calor, então hoje não choveu. 
( ) Se hoje fez calor, então hoje fez calor e choveu. 
( ) Se hoje fez calor, então hoje fez calor ou choveu. 
( ) Se hoje não choveu, então não fez calor. 
 
4. Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da 
verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: 
( ) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. 
( ) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo 
( ) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. 
( ) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. 
( ) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 
 
5. Marque a alternativa que apresenta uma contradição. 
( ) Eu não estudo mas trabalho. 
( ) Se eu estudo e trabalho então eu estudo. 
( ) Se eu não estudo e trabalho então eu trabalho. 
( ) Eu estudo, trabalho e não estudo. 
( ) Eu não estudo. 
 
6. Marque a alternativa que apresenta uma tautologia. 
( ) Saulo é estudante ou dentista. 
( ) Saulo não é estudante nem dentista. 
( ) Se Saulo é estudante então ele é estudante ou dentista. 
( ) Saulo é estudante se e somente se ele é dentista. 
( ) É falso que, Saulo é estudante se e somente se ele é dentista. 
Questão 7: 
Considere as proposições a seguir. 
26 
I) Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e Jorge é loiro. 
II) O café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e somente se, o café está quente e 
o bolo está delicioso. Pode-seafirmar que: 
A) ambas as proposições são tautologias. 
B) ambas as proposições são contradições. 
C) a preposição I e uma contradição e a II e uma tautologia. 
D) a preposição I e uma tautologia e a II e uma contradição. 
E) ambas as proposições não são tautologias. 
 
Questão 8: 
Marque a alternativa que representa uma tautologia. 
A) Se hoje chove, então hoje choveu e fez calor. 
B) Se hoje fez calor, então hoje não choveu. 
C) Se hoje fez calor, então hoje fez calor e choveu. 
D) Se hoje fez calor, então hoje fez calor ou choveu. 
E) Se hoje não choveu, então não fez calor. 
 
Questão 9: 
Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da 
verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: 
A) Se Amarildo é alto, então Amarildo é alto ou Guilherme é gordo. 
B) Se Amarildo é alto, então Amarildo é alto e Guilherme é gordo. 
C) Se Amarildo é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. 
D) Se Amarildo é alto ou Guilherme é gordo, então Amarildo é alto e Guilherme é gordo. 
E) Se Amarildo é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 
 
Questão 10: 
Marque a alternativa que apresenta uma contradição. 
A) Eu não estudo, mas trabalho. 
B) Se eu estudo e trabalho, então eu estudo. 
C) Se eu não estudo e trabalho, então eu trabalho. 
D) Eu estudo, trabalho e não estudo. 
E) Eu não estudo. 
 
Questão 11: 
Marque a alternativa que apresenta uma tautologia. 
A) Mariana é estudante ou dentista. 
B) Mariana não é estudante nem é dentista. 
C) Se Mariana é estudante então ela é estudante ou dentista. 
D) Mariana é estudante se e somente se ela é dentista. 
E) É falso que, Mariana é estudante se e somente se ela é dentista. 
 
Questão 12: 
Verificar se é uma tautologia ou se é uma contingência a proposição composta 
(p ˅ ~q) ↔ (p → q) 
 
Questão 13: 
Verificar se é uma tautologia ou se é uma contingência a proposição composta 
~(p → ~q) → (p ˄ q) 
27 
 
 
RESPOSTAS COMENTADAS 
Questão7: 
Chamamos de M a afirmação “Josi é morena” 
Chamamos de L a afirmação “Jorge é loiro” 
Temos como alternativas a analisar: 
A) ambas as proposições são tautologias. 
B) ambas as proposições são contradições. 
C) a preposição I é uma contradição e a II é uma tautologia. 
D) a preposição I é uma tautologia e a II é uma contradição. 
E) ambas as proposições não são tautologias. 
 
Assim, a primeira proposição diz que “Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e 
Jorge é loiro”, que se traduz na linguagem simbólica em “ ~ ( L)” 
 
Josi é morena 
 
ou 
 
não é verdade 
 
e 
 
Jorge é loiro 
 
 
A tabela-verdade dessa proposição composta fica assim: 
 
M L (M  L) ~ (M  
L) 
M  ~ 
(M  L) 
V V V F V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F V V 
 
Operação OU (  ) entre a primeira e a quarta colunas da tabela. 
Portanto, trata-se de uma TAUTOLOGIA (sempre verdadeiro). 
Chamamos de Q a afirmação “O café está quente” 
Chamamos de D a afirmação “O bolo está delicioso” 
 
A segunda proposição diz que “O café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e 
somente se, o café está quente e o bolo está delicioso”, que se traduz na 
linguagem simbólica em “(~Q ~D) (Q D)” 
 
O café não está quente 
 
28 
ou 
 
O bolo não está delicioso 
 
se e somente se 
 
e 
 
A tabela-verdade dessa proposição composta fica assim: 
 
Q 
D ~Q ~D (~Q 
 ~D) 
(Q 
 D) 
(~Q  ~D) 
↔ (Q  D) 
V V F F F V F 
V F F V V F F 
F V V F V F F 
F F V V V F F 
 
Portanto, trata-se de uma CONTRADIÇÃO (sempre falso). 
Resposta: alternativa D 
 
Questão8: 
Chamamos de A a afirmação “hoje chove” 
Chamamos de B a afirmação “fez calor” 
Temos como alternativas a analisar: 
A) Se hoje chove, então hoje choveu e fez calor. 
B) Se hoje fez calor, então hoje não choveu. 
C) Se hoje fez calor, então hoje fez calor e choveu. 
D) Se hoje fez calor, então hoje fez calor ou choveu. 
E) Se hoje não choveu, então não fez calor. 
 
A B ~
A 
~
B 
A
˄B 
A
→(A˄B) 
B
→~A 
B
→(B˄A) 
B
˅A 
B
→(B˅A) 
~
A→~B 
V V F F V V V V V V V 
V F F V F F F V V V V 
F V V F F V V F V V F 
F F V V F V V V F V V 
 
Alternativa A 
Alternativa B 
Alternativa C 
Alternativa D 
Alternativa E 
29 
 
Resposta: alternativa D 
Se hoje fez calor, então hoje fez calor ou choveu é uma TAUTOLOGIA. 
 
Questão9: 
Chamamos de A a afirmação “Amarildo é alto” 
Chamamos de B a afirmação “Guilherme é gordo” 
Temos como alternativas a analisar: 
A) Se Amarildo é alto, então Amarildo é alto ou Guilherme é gordo. 
B) Se Amarildo é alto, então Amarildo é alto e Guilherme é gordo. 
C) Se Amarildo é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. 
D) Se Amarildo é alto ou Guilherme é gordo, então Amarildo é alto e Guilherme é gordo. 
E) Se Amarildo é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 
A B ~
A 
A
˅B 
A
→(A˅B) 
A
˄B 
A
→(A˄B) 
(
A˅B)→B 
(A˅B)
→(A˄B) 
(A˅
~A)→B 
V V F V V V V V V V 
V F F V V F F F F F 
F V V V V F V V F V 
F F V F V F V V V F 
 
Alternativa A 
Alternativa B 
Alternativa C 
Alternativa D 
Alternativa E 
Resposta: alternativa A 
Se Amarildo é alto, então Amarildo é alto ou Guilherme é gordo é uma TAUTOLOGIA. 
 
Questão10: 
Chamamos de A a afirmação “eu estudo” 
Chamamos de B a afirmação “eu trabalho” 
Temos como alternativas a analisar: 
A) Eu não estudo, mas trabalho. 
B) Se eu estudo e trabalho, então eu estudo. 
C) Se eu não estudo e trabalho, então eu trabalho. 
D) Eu estudo, trabalho e não estudo. 
30 
E) Eu não estudo. 
 
A B ~
A 
~
B 
~
A˄B 
A
˄B 
(
A˄B)→A 
~
A˄B 
(
~A˄B)→B 
A
˄B˄~B 
~
A 
V V F F F V V F V F F 
V F F V F F V F V F F 
F V V F V F V V V F V 
F F V V F F V F V F V 
 
Alternativa A 
Alternativa B 
Alternativa C 
Alternativa D 
Alternativa E 
 
Resposta: alternativa D 
Eu estudo, trabalho e não estudo. 
 
Questão 11: 
Chamamos de A a afirmação “Mariana é estudante” 
Chamamos de B a afirmação “Mariana é dentista” 
Temos como alternativas a analisar: 
A) Mariana é estudante ou dentista. 
B) Mariana não é estudante nem é dentista. 
C) Se Mariana é estudante então ela é estudante ou dentista. 
D) Mariana é estudante se e somente se ela é dentista. 
E) É falso que, Mariana é estudante se e somente se ela é dentista. 
A B ~
A 
~
B 
A 
˅ B 
~
A ˄ ~B 
A 
→(A ˅ B) 
A 
↔ B 
~
( A ↔ B) 
V V F F V F V V F 
V F F V V F V F V 
F V V F V F V F V 
F F V V F V V V F 
 
Alternativa A 
Alternativa B 
Alternativa C 
31 
Alternativa D 
Alternativa E 
 
Resposta: alternativa C 
Se Mariana é estudante então ela é estudante ou dentista é uma TAUTOLOGIA. 
 
Questão 12: 
(p ˅ ~q) ↔ (p → q) 
p q ~q (p ˅ 
~q) 
(p → 
q) 
(p ˅ ~q) ↔ (p 
→ q) 
V V F V V V 
V F V F F V 
F V F F V F 
F F V V V V 
 Então, é uma CONTINGÊNCIA. 
 
Questão 13: 
~(p → ~q) → (p ˄ q) 
p q ~q p 
→ ~q 
~( 
p → ~q) 
p 
˄ q 
~(p → ~q) → 
(p ˄ q) 
V V F F V V V 
V F V V F F V 
F V F V F F V 
F F V V F F V 
 Então, é uma TAUTOLOGIA. 
 
 
Resolução exercícios Matemática e Estatística Aplicada à Gestão Pública. 
 
1 - A Regressão é o método de análise da relação existente entre duas variáveis: uma dependente e 
uma independente. E para que serve determinar a relação entre duas variáveis? 
 
Primeiramente, podemos afirmar que serve para realizar previsões do comportamento futuro de 
algum fenômeno de nosso interesse, baseando-nos em dados históricos sobre o mesmo. 
 
32 
Em segundo lugar, pesquisadores interessadosem simular os efeitos sobre uma variável Y em 
decorrência de alterações introduzidas nos valores de uma variável X também usam este modelo. 
 
Suponha que para a determinação da reta de regressão que representa a relação existente entre a 
renda per capita de algumas localidades brasileiras e a aquisição de automóveis zero quilômetro pelos 
habitantes dessas localidades em determinado ano, obteve-se a equação 
 
y = 0,224 . x – 3078 
 
Considerando-se essa equação, qual a provável renda per capita da população da localidade em que, 
nesse ano, comprou 7400 automóveis zero quilômetro? 
 
A venda de automóveis depende da existência de renda dos seus compradores. Logo, a variável 
dependente ( y ) é a quantidade de automóveis vendidos e a variável independente é a renda ( x ). 
Substituindo os valores na fórmula da reta de regressão, temos: 
 
7400 = 0,224 . x – 3078 
 
0,224 . x = 7400 + 3078 
 
0,224 . x = 10478 
 
x = 46.776,79 
 
2 - Qual será o valor dos juros a ser pago, correspondentes a um empréstimo de R$ 40.000,00, sendo 
a taxa de juros de 2,4% ao mês, por um período de 5 meses, no regime de capitalização simples? 
 
J= C. i .n 
 
J= 40000 . 0,024 . 5 
 
J= 4.800,00 
 
 
3 - Qual será a taxa mensal de juros simples que fará um capital de R$ 200.000,00 formar um montante 
de R$ 272.000,00 daqui 12 meses? 
M= C . (1+ i . n) 
 
272000 = 200000 . (1 + i . 12) 
 
272000 / 200000 = 1 + i . 12 
33 
 
1,36 – 1 = i . 12 
 
i= 0,36 / 12 
 
i=0,03 
 
i= 3% a.m. 
 
4 - Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3.900,00 três meses antes do seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de juros simples corrente é de 24% ao ano, qual o desconto comercial que vai 
obter e que valor ela deve pagar? 
 
Dc= M . i . n 
 
Dc= 3900 . (0,24/12) . 3 
 
Dc= 234,00 
 
5- Uma empresa pretende saldar um título de R$ 3.900,00 três meses antes do seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de juros simples corrente é de 24% ao ano, qual o desconto comercial que vai 
obter e que valor ela deve pagar? 
 
Dc= M . i . n 
Dc= 3900 . (0,24/12) . 3 
Dc= 234,00 
 
 
6 - Foram aplicados R$ 2.800,00 durante quatro trimestres a uma taxa de 10% ao trimestre, no regime 
de juro composto. Calcule o montante obtido. 
 
M = C . (1 + i)n 
 
M = 2800 . (1 + 0,1)4 
 
M = 2800 . 1,4641 
 
M = 4099,48 
 
 
34 
7 - Um investigador que resgatar R$ 35.000,00 daqui a 6 meses. Se o banco oferecer uma rentabilidade 
de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Supor capitalização mensal e juro composto. 
 
Demonstre o cálculo. 
 
M = C . (1 + i)n 
 
35000 = C . (1 + 0,018)6 
 
35000 = C . 1,112978226 
 
C= 35000 / 1,112978226 
 
C= 31447,15609 
 
C31447,16 
 
 
8- Um título foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, por desconto comercial composto, a uma 
taxa de desconto igual a 1,95% ao mês. Como o valor atual foi de R$ 11.091,02, qual era o valor nominal 
do título? 
 
Vc= M . (1 – i)n 
 
11091,02 = M . (1 – 0,0195)4 
 
11091,02 = M . (0,9805)4 
 
11091,02 = M . 0,924251985 
 
M = 11999,99587 
 
M = 12000,00 
 
 
9 - Qual é o rendimento de R$ 10.000,00 em quatro meses a uma taxa de juros simples de 14,4% ao 
ano? 
 
Demonstre o cálculo. 
 
C = 10.000,00 
35 
 
i = 14,4% a.a. = 14,4 / 12% a.m. = 1,2% a.m. = 0,012 a.m. 
 
J = C . i . n 
 
J = 10.000,00 . 0,012 . 4 
 
J = 480,00 
 
 
10 - Qual é o capital que, aplicado a uma taxa de juros compostos de 15% a.s., capitalizando 
semestralmente, produz o montante de R$3.041,75 após três semestres? 
 
Demonstre o cálculo. 
 
i= 15% a.s. = 0,15 a.s. 
 
C= M / (1 + i)n 
 
C= 3.041,75 / (1 + 0,15)³ 
 
C= 2.000,00 
 
 
11 - (Enem, 2011) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas 
Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por 
região, nas edições de 2005 a 2009: 
 
 
 
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual é o percentual médio das medalhistas de ouro 
da Região Nordeste? 
 
36 
 
 
12 - Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00 com vencimento em 3 de novembro. No dia 
16 de agosto, descontou o título num banco que cobra 2% a.m. de taxa de desconto bancário. 
Determine o valor desse desconto. Observação: o desconto bancário segue os critérios dos juros pela 
regra dos banqueiros. 
 
Demonstre o cálculo. 
 
M = 8.000,00 
 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m 
 
n = 79 dias (15 + 30 + 31 + 3) 
 
Dc = ? 
 
Como a taxa está expressa ao mês e o tempo em dias, devemos estabelecer a homogeneidade entre 
as variáveis. Vamos então dividir a taxa por 30 e transformá-las em dias. 
 
Dc = M . i . n 
 
Dc = 8.000,00 .0,02 . 79 / 30 
 
Dc = 421,33 
 
13 - (Enem, 2011) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a 
temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do 
primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados 
servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. 
As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: 
37 
 
 
 
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a: 
 
17º C , 18º C e 13,5º C 
 
? = 15,5 + 14 + 13,5 + 18 + 19,5 + 20 + 13,5 + 13,5 + 18 + 20 + 18,5 + 13,5 + 21,5 + 20 + 16 / 15 
 
? = 255/ 15 
 
? = 17 °C 
 
Para o cálculo da mediana, vamos colocar os dados em ordem numérica: 
 
13,5 – 13,5 -13,5 - 13,5 - 14 – 15,5 – 18- 18- 18,5 - 19,5 – 20 – 20 – 20 - 21,5 
 
Md= 18 °C 
 
Para determinação da moda, basta verificar o dado que ocorreu com maior frequência. 
 
Mo = 13,5 °C 
 
14 - Quatro pessoas realizaram uma mesma prova, no mesmo dia e no mesmo horário. Duas ficaram 
em uma sala e outras duas ficaram em outra sala. As duas primeiras pessoas tiraram, ambas, nota 6,0; 
as outras duas tiraram, respectivamente, notas 2,0 e 10,0. Analisando a média e o desvio-padrão 
desses resultados, por sala, podemos dizer que as quatro pessoas tiveram o mesmo aproveitamento? 
 
Na primeira sala, a média das duas pessoas foi 6,0. Na segunda sala, a média das duas pessoas também 
foi 6,0. Aparentemente, as quatro pessoas tiveram o mesmo aproveitamento. Entretanto, analisando 
o desvio médio de cada pessoa, verificamos que as duas primeiras estão dentro da média, já as outras 
38 
duas estão bem afastadas da média (uma dela bem abaixo e a outra bem acima); portanto, 
aproveitamentos diferentes. 
 
15 - Uma loja vende um produto por R$ 9.999,00 à vista; se for a prazo, o valor fica em R$ 11.439,00, 
dos quais R$ 1.999,00 correspondem à entrada e o restante é feito em um pagamento único após três 
meses. Qual é a taxa de juros simples da operação? 
 
Demonstre o cálculo. 
 
J = M – C -> J = 11.439 – 9.999 -> J = 1.440 
 
J = C . i . n -> 1.440 = 8.000 . i . 3 -> 1.440 / 2.400 -> i = 0,06 a.m. -> i = 6% a.m. 
 
16 - De acordo com seus estudos sobre Regimes de capitalização, responda abaixo: 
O que diferencia a capitalização simples da capitalização composta? 
 
A capitalização simples utiliza os juros simples e a capitalização composta utiliza juros compostos. Na 
capitalização simples, uma dívida cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto na capitalização 
composta ela cresce exponencialmente. 
 
17 - Capitalização composta significa que os juros produzidos num período são acrescidosao valor do 
capital que os produziu, passando os dois, capital e juros, a render juros no período seguinte 
(CASTANHEIRA, 2008). 
 
O valor de um televisor, à vista, é de R$ 1.999,00. A loja propõe ao comprador que leve o aparelho sem 
entrada e o pague de uma só vez, daqui a dois meses, a uma taxa de juro composto de 2,89% ao mês. 
Qual será o valor pago pelo televisor? 
 
Demonstre o cálculo. 
 
M = C . (1 + i ) 
 
M = 1.999,00 . ( 1 + 0,0289 ) 
 
M = 1.999,00 . 1,05863521 
 
M = 2.116,21 
 
18 - Numa caixa existem 20 peças, sendo 14 boas e 6 com pequenos defeitos. Calcule a probabilidade 
de se selecionar aleatoriamente duas peças (sem reposição) e estas serem: 
 
39 
a) uma boa e a outra com pequenos defeitos; 
 
b) As duas boas; 
 
c) As duas com pequenos defeitos. 
 
 
 
19 - Determinada mercadoria tem seu preço à vista fixado em R$ 1.000,00, mas pode ser adquirida da 
seguinte forma: entrada correspondente a 20% do preço à vista e mais um pagamento no valor de R$ 
880,00 para 60 dias após a compra. 
Calcule a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja na venda a prazo. 
 
M = C (1 . i.n) 
 
880,00 = 800,00 (1 + 2i) 
 
880,00 / 800,00 = (1 2i) 
 
1,1 – 1 = 2i 
 
i= 0,1 / 2 
 
i= 0,05 = 5% a.m. 
 
 
20 - VAZAMENTO DE ÓLEO EM TRAMANDAÍ: MULTA DE R$ 25 MIL 
 
A Fepam autuou a Transpetro nesta terça-feira (27) em R$ 25.492,00 por ter causado poluição com 
lançamento de substância oleosa nas areias da praia do município de Tramandaí, numa extensão de 
1.500 metros, contados a partir da plataforma de pesca, em direção ao sul, decorrente do vazamento 
de 750 litros de petróleo bruto ocorrido na monobóia MN – 602. O relatório sobre os danos ambientais 
gerados nas areias da praia foi concluído pelos técnicos do Serviço de Emergência Ambiental (SEAMB) 
da Fepam. Os técnicos consideraram a relação entre o volume vazado com os danos ambientais de 
acidentes anteriores, como exemplo, o vazamento de oito mil litros de petróleo ocorrido na monobóia 
40 
em 09/11/1997, que atingiu uma extensão de 14 km, ou ainda, no evento do vazamento de 18 mil 
litros, ocorrido em 11/06/2000, onde a extensão de faixa de praia atingida estimada foi de 30km. 
Conforme a avaliação, o vazamento foi considerado de pequena magnitude, isto comprovado pelos 
efeitos constatados no mar e linha de praia. Ressalta-se que a aplicação de penalidades pela poluição 
do mar é de competência da União através do IBAMA e da Capitania dos Portos. 
 
Considerando o valor da multa aplicada à Transpetro, suponha que esse capital foi aplicado a uma taxa 
de juro composto de 2% ao mês. 
Qual o valor do montante após um ano? 
 
M = C . (1 + i)n 
 
M = 25.492,00 (1 + 0,02)12 
 
M = 32.330,00 
 
 
21 - Os juros são chamados SIMPLES quando produzidos unicamente pelo capital inicial, ou seja, a taxa 
de juros incide somente sobre o capital inicial (CASTANHEIRA, 2008). 
 
Segundo Castanheira e Serenato (2010, p. 21) “o mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto 
o juro composto nas suas operações”. 
 
Um capital de R$ 1.245,00, aplicado a juro simples durante 3 meses, resultou num montante de R$ 
1.301,03. Com essas informações, demonstre o cálculo pela fórmula estudada, e responda qual foi a 
taxa de juro simples utilizada nessa operação. 
 
M = C. (1 + i.n) 
 
1.301,03 = 1.245,00 (1 + 3i) 
 
1.301,03 = 1.245,00 + 3735i 
 
1.301,03 – 1.245,00 = 3735i 
 
56,03 = 3735i 
 
56,03 / 3735 = i 
 
i= 0,015 ou 1,5% a.m. 
 
41 
 
22 - Leia o texto abaixo: 
 
Conforme o livro-base da disciplina, acerca dos Regimes de Capitalização, estudamos a capitalização, 
o período fracionário, os descontos e as taxas. Em relação às taxas, estudamos a taxa nominal; a taxa 
efetiva; e as taxas real e aparente. (CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Cálculo Aplicado à gestão e aos 
negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016). 
 
De acordo com o contexto acima e os estudos realizados no livro da disciplina, explique a taxa nominal: 
 
Quando o prazo de formação e incorporação dos juros ao capital inicial não coincide com aquele a que 
ele se refere. 
 
Complementação: 
 
Normalmente é expressa para periodicidade anual e transformada em taxa para periodicidade menor, 
de forma proporcional. 
 
Justificativa: Quando o prazo de formação e incorporação dos juros ao capital inicial não coincide com 
aquele a que ele se refere. Normalmente é expressa para periodicidade anual e transformada em taxa 
para periodicidade menor, de forma proporcional. 
 
23 - Leia o texto abaixo: 
Estudou-se na disciplina sobre Regimes de Capitalização, abordando-se sobre capitalização, período 
fracionário, descontos e taxas. Em relação às taxas, explicou-se sobre: a taxa nominal; a taxa efetiva; e 
as taxas real e aparente. (CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Cálculo Aplicado à gestão e aos negócios. 
Curitiba: InterSaberes, 2016). 
 
De acordo com o contexto acima e os estudos realizados taxa efetiva é quando o prazo de informação 
e incorporação dos juros ao capital inicial coincide com aquele a que a taxa se refere. 
 
É a taxa que efetivamente é paga no período em que foi fornecida, independentemente do período de 
capitalização. Isso quer dizer que se um capital foi aplicado durante um certo tempo a determinada 
taxa, não importa o período de capitalização pois o resultado final (montante) será o mesmo. Quando 
se usa a taxa efetiva os juros são capitalizados uma única vez no período a que ele se refere. 
 
24 - Estudou-se na disciplina sobre Regimes de Capitalização, abordando-se sobre a taxa real e a taxa 
aparente, observando-se que a taxa real é definida como aquela que considera os efeitos inflacionários 
do período. (CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Cálculo Aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: 
InterSaberes, 2016). 
 
42 
Taxa aparente é definida como aquela que não leva em conta a inflação do período. 
 
25 - Estudou-se na disciplina que quando pagamos uma dívida antecipadamente, ou seja, um tempo 
antes do vencimento, merecemos um desconto. Caso a dívida tenha sido contraída com juros simples, 
o desconto será simples. Sendo que foi observado que há duas modalidades de desconto simples. 
(CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Cálculo Aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016). 
 
Há duas modalidades e desconto simples a considerar, as quais apresentamos a seguir: Desconto 
comercial…Desconto racional. 
 
26 - Estudou-se na disciplina que Renda é a sucessão de depósitos ou pagamentos, em épocas 
diferentes, destinados a formar um capital ou a pagar uma dívida. Também se estudou que as rendas 
são classificadas de acordo com quatro parâmetros. (CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Cálculo Aplicado 
à gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016). 
 
As rendas são classificadas de acordo com quatro parâmetros: Prazo, valor, forma e periodicidade. 
 
27 - Estudou-se na disciplina sobre o conceito de uma determinada taxa, a qual se trata de um de 
desconto hipotético que, quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, 
trazidos ao valor presente, sejam iguais aos dos retornos dos investimentos, também trazidos ao valor 
atual. Ou seja, trata-se de uma taxa de juros compostos (taxa de desconto) que anula seu valor 
presente (valor atual); sendo necessário observar o valor algébrico de suas parcelas de acordo com 
dois critérios: 1. Os recebimentos (ou depósitos) terão sinal positivo, por representarem entradas de 
caixas; 2. Os pagamentos terão sinal negativo, por representarem saídas de caixa. (CASTANHEIRA, 
Nelson Pereira. Cálculo Aplicado à gestãoe aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016). 
 
Taxa interna de Retorno (TIR): É uma taxa de desconto hipotético que, quando aplicada a um fluxo de 
caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, sejam iguais aos dos retornos 
dos investimentos, também trazidos ao valor atual... é a taxa de juros compostos (taxa de desconto) 
que anula seu valor presente (valor atual); sendo necessário observar o valor algébrico de suas parcelas 
de acordo com dois critérios: 1. Os recebimentos (ou depósitos) terão sinal positivo, por representarem 
entradas de caixas; 2. Os pagamentos terão sinal negativo, por representarem saídas de caixa. 
 
28 - Estudou-se na disciplina que uma proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que exprime 
um pensamento em sentido completo (ALENCAR FILHO, 2002, p. 10). E, que a proposição pode ser 
simples ou composta. No que diz respeito à proposição composta, quando o seu valor lógico é sempre 
verdadeiro, ela tem uma denominação própria. (CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Cálculo Aplicado à 
gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016). 
 
Uma proposição composta é chamada de tautologia, quando o seu valor lógico é sempre verdadeiro. 
 
43 
29 - Estudou-se na disciplina que para o correto entendimento da lógica matemática e, por 
consequência, do raciocínio lógico, precisamos conhecer dois princípios básicos, são eles: o Princípio 
da não contradição e o Princípio do terceiro excluído. (CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Cálculo Aplicado 
à gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016). 
 
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo. 
Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, ou seja, não há um terceiro 
valor. 
 
30 - Quarenta e sete pessoas fizeram uma prova e obtiveram notas que variaram de 3,0 a 9,0. 
Colocando essas notas em ordem numérica crescente, essas pessoas foram divididas em dois grupos: 
o primeiro, com 24 pessoas cujas notas variaram de 3,0 a 6,0; o segundo, com 23 pessoas cujas notas 
variaram de 6,0 a 9,0. 
 
Se a última pessoa do primeiro grupo, cuja nota foi 6,0, se deslocar para o segundo grupo, o que 
acontece com as médias dos dois grupos? 
 
As duas médias diminuem, pois, o primeiro grupo perde uma pessoa que tinha a maior nota. Por sua 
vez, essa pessoa passará a ser a menor nota do segundo grupo.