Aula 3 - Mecânica I - Luciana Rios - UVA

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CINEMA´TICA E DINAˆMICA DO CORPO RI´GIDO
1. Momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um ponto.
• Vamos agora considerar uma forc¸a ~F atuando sobre um corpo rı´gido
(figura abaixo).
• O efeito de uma forc¸a sobre um corpo rı´gido depende do seu ponto de
aplicac¸a˜o A; a posic¸a˜o de A pode ser definida pelo vetor ~r que liga o
ponto de refereˆncia fixo O com A. Esse vetor e´ conhecido como vetor
posic¸a˜o de A.
• Podemos verificar que os vetores ~r e ~F definem um plano.
1
• O momento de ~F em relac¸a˜o a O e´ definido como
~MO = ~r × ~F , (1)
onde ~MO e´ perpendicular ao plano que conte´m O e os vetores ~r e ~F ;
a orientac¸a˜o de ~MO e´ definida de acordo com o sentido da rotac¸a˜o
que o vetor ~F imprime ao corpo, de acordo com uma variac¸a˜o da regra
da ma˜o direita (figura a seguir).
• A intensidade do momento de ~F em relac¸a˜o a O e´
MO = rF sinφ = Fd, (2)
onde d = r sinφ representa a distaˆncia perpendicular de O ate´ a
linha de ac¸a˜o de ~F . A intensidade de ~MO mede a tendeˆncia da forc¸a
~F de fazer o corpo rı´gido girar em torno de um eixo fixo dirigido ao
longo de ~MO. A unidade de momento no SI e´ N.m.
• Podemos perceber que o momento de uma forc¸a na˜o depende da
posic¸a˜o real do ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a ao longo da sua linha de
ac¸a˜o.
• Ja´ vimos que duas forc¸as ~F e ~F ′ sa˜o equivalentes (i.e., teˆm o mesmo
efeito sobre um corpo rı´gido) se possuı´rem a mesma magnitude, a
mesma orientac¸a˜o, e a mesma linha de ac¸a˜o. Isso significa que duas
forc¸as ~F e ~F ′ sa˜o equivalentes se, e somente se, forem iguais e
tiverem momentos iguais em relac¸a˜o a um dado ponto O. Assim, as
condic¸o˜es necessa´rias (e suficientes) para que ~F e ~F ′ sejam equiva-
lentes sa˜o
~F = ~F ′, ~MO = ~M ′O. (3)
• Se as condic¸o˜es acima forem va´lidas para um determinado ponto O,
elas sera˜o va´lidas para qualquer ponto.
• Para problemas em duas dimenso˜es, a orientac¸a˜o do momento pode
ser especificada de acordo com a convenc¸a˜o mostrada na figura a
seguir: (a) vetor ~MO saindo do plano do papel, (b) vetor ~MO entrando
no plano do papel. Em ambos os casos, os vetores sa˜o perpendicu-
lares ao plano do papel.
2. Teorema de Varignon.
• O Teorema de Varignon pode ser utilizado para determinar o momento
da resultante de va´rias forc¸as concorrentes, i.e., forc¸as que atuam no
mesmo ponto (figura a seguir).
• Se va´rias forc¸as ~F1, ~F2, . . . sa˜o aplicadas no mesmo ponto A, e se
representarmos por ~r o vetor posic¸a˜o de A, segue-se imediatamente
da equac¸a˜o (1) que o momento da resultante em relac¸a˜o a O e´ dado
por
~MRO = ~r× ~FR = ~r×
(
~F1 + ~F2 + . . .
)
= ~r× ~F1 +~r× ~F2 + . . . (4)
Em palavras, o momento em relac¸a˜o a um dado pontoO da resultante
de diversas forc¸as concorrentes e´ igual a` soma dos momentos das
va´rias forc¸as em relac¸a˜o ao ponto O (Teorema de Varignon),
~MRO =
~M1O +
~M2O + . . . . (5)
• Assim, e´ possı´vel substituir a determinac¸a˜o direta do momento de
uma forc¸a ~F pela determinac¸a˜o dos momentos de suas componentes
ao longo dos eixos x, y e z, por exemplo.
Exemplo 1: Uma forc¸a vertical de 450 N e´ aplicada na extremidade
de uma alavanca que esta´ ligada a um eixo em O. Determine (a) o
momento da forc¸a em relac¸a˜o a O; (b) a forc¸a horizontal aplicada em
A que gera o mesmo momento em relac¸a˜o a O.
(a) Temos que MO = rF sinφ = (0,6 m)(450 N) sin(150◦) =
(270)× (0,5) = 135 N.m. O vetor ~MO e´ perpendicular ao plano
da figura e aponta para dentro do papel. Tambe´m podemos deter-
minar MO calculando primeiramente o brac¸o de alavanca d, onde
cos 60◦ = d/(0,6) → d = (0,6)(0,5) = 0,3 m, e enta˜o MO =
Fd = (450)(0,3) = 135 N.m.
(b) Neste caso teremos: MO = 135 = rF sin(60◦) = (0,6)×
(0,866)F = 0,52F → F ≈ 260 N, e a forc¸a deve estar apontando
para a direita.
Exemplo 2: Determine o momento da forc¸a de 1000 N em relac¸a˜o ao
ponto B.
Podemos decompor a forc¸a de 1000 N em suas componentes x e
y, uma vez que o momento da forc¸a resultante em relac¸a˜o ao ponto
B e´ igual a` soma vetorial dos momentos das suas componentes em
relac¸a˜o ao mesmo ponto (Teorema de Varignon). Logo:
sin 50◦ = Fx
F
→ Fx = F sin 50◦ = (1000) (0,7660) ≈ 766,
cos 50◦ = Fy
F
→ Fy = F cos 50◦ = (1000) (0,6428) ≈ 643.
Calculamos agora o momento de cada forc¸a em relac¸a˜o ao ponto B:
MFxB = Fxdx = (766) (0,18) = 138
entrando no plano do papel (sinal negativo),
M
Fy
B = Fydy = (643) (0,24) = 154
tambe´m entrando no plano do papel (−). Logo o momento resultante
sera´
~MB = ~M
Fx
B +
~M
Fy
B →MB = 138 + 154 = 292
(N.m) entrando no plano do papel ou, em notac¸a˜o vetorial, ~MB =
−(292 N.m)kˆ.
Exemplo 3: Determine o momento resultante das forc¸as ~F1 = (300
N)j e ~F2 = (400 N)i atuando no mesmo ponto cujo vetor posic¸a˜o
em relac¸a˜o a` origem e´ ~r = (3 m)i + (1 m)j + (4 m)k.
A forc¸a resultante atuando sobre o ponto em questa˜o sera´ ~F = ~F1 +
~F2 = (400 N)i + (300 N)j. Logo,
~MO = ~r × ~F =
 i j k3 1 4
400 300 0

i.e., ~MO = ~r × ~F = (−1200 N.m)i + (1600 N.m)j + (500 N.m)k.
3. Componentes retangulares do momento de uma forc¸a.
• Em geral, a determinac¸a˜o do momento de uma forc¸a no espac¸o sera´
consideravelmente simplificada se a forc¸a e o vetor posic¸ao do ponto
de aplicac¸a˜o forem escritos na forma de componentes retangulares x,
y e z
• Considere a forc¸a ~F na figura a seguir, a qual atua no ponto A e pode
ser escrita na forma ~F = Fxˆı + Fyˆ + Fzkˆ.
• o vetor posic¸a˜o do ponto A em relac¸a˜o a` origem pode ser escrito na
forma ~r = xˆı + yˆ + zkˆ.
• Assim,
~MO = ~r × ~F =
 i j kx y z
Fx Fy Fz
 , (6)
e o momento em relac¸a˜o a` origem tera´ treˆs componentes: ~MO =
Mxˆı +Myˆ +Mzkˆ.
4. Momento de um bina´rio.
• Duas forc¸as ~F e −~F de igual intensidade, linhas de ac¸a˜o paralelas e
sentidos opostos formam um bina´rio.
• A resultante das duas forc¸as e´ zero. A soma dos momentos das duas
forc¸as em relac¸a˜o a um dado ponto, pore´m, na˜o e´ nula. Assim, as
duas forc¸as na˜o ira˜o transladar o corpo, mas tentara˜o rotaciona´-lo.
• Sejam ~rA e ~rB os vetores posic¸a˜o dos pontos de aplicac¸a˜o das forc¸as
~F e −~F , respectivamente. A soma dos momentos das duas forc¸as
em relac¸a˜o ao ponto O sera´ enta˜o
~M = ~rA × ~F + ~rB ×
(
−~F
)
= (~rA − ~rB)× ~F . (7)
Fazendo ∆~r = (~rA − ~rB), onde ∆~r e´ o vetor que une os pontos de
aplicac¸a˜o das duas forc¸as, concluı´mos que
~M = ∆~r × ~F , (8)
onde ~M e´ denominado momento do bina´rio. ~M e´ um vetor perpen-
dicular ao plano que conte´m as duas forc¸as e sua intensidade e´ dada
por
M = ∆rF sinφ = Fd, (9)
onde d e´ a distaˆncia perpendicular entre as linhas de ac¸a˜o de ~F e
−~F . O sentido de ~M e´ dado pela regra da ma˜o direita.
• Uma vez que o vetor ∆~r independe da escolha da origemO, o mesmo
resultado teria sido obtido se os momentos das forc¸as ~F e −~F tives-
sem sido calculados em relac¸a˜o a outro ponto de refereˆncia. Assim,
o momento de um bina´rio e´ um vetor livre, que pode ser aplicado a
qualquer ponto.
Figuras:
• http://scripts.mit.edu/ srayyan/PERwiki/index.php?title=Main−Page
• http://pt.wikipedia.org/
• http://alfaconnection.net/
• http://www.tutorvista.com/
• http://slideplayer.com.br/slide/83493/
Refereˆncias:
• Beer, F. P., Johnston, E. R., Mazurek, D.F., Cornwell, P.J e Eisenberg, E.R. Mecaˆnica Vetorial para
Engenheiros: esta´tica e dinaˆmica. 9. ed. McGrawHill, 2010.