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IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - Notas de Aula de Cálculo Derivadas de funções reais de n variáveis Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal 27 de novembro de 2013 IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - Universidade Federal do Rio Grande - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Autoras: Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal 1 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - Sumário 1 Derivação de funções de n variáveis 3 1.1 Derivadas parciais de funções de n variáveis . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Derivadas parciais sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Interpretação geométrica da derivada parcial . . . . . . . . . . 16 1.1.3 Derivada parcial e a Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.4 Diferenciabilidade de funções de 2 variáveis . . . . . . . . . . . 26 1.2 Diferencial Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3 Derivadas parciais de funções implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4 Extremos de funções de 2 variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.1 Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.2 Extremos Locais ou Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - Capítulo 1 Derivação de funções de n variáveis Seja T (x, y) uma função definida numa região do plano. Pode-se dizer que essa função representa, por exemplo, a temperatura do solo de uma plantação e que seja escrita como T (x, y) = 2x2 + y, onde (x, y) é o vetor posição de um indivíduo sobre a plantação. Seja P0(x0, y0) um ponto dessa plantação. Com que taxa T varia quando se caminha de P0 em uma direção específica? Em qual direção a temperatura au- menta mais? Existe uma direção na qual ela se mantém constante? Pode-se pensar que qualquer direção fica bem determinada se fixado um referencial ortonormal para a região bidimensional no caso da função de 2 variáveis T (x, y). Observa-se que se o indivíduo se move somente na direção do eixo x, então a temperatura passa a depender somente da variável x, isto é, y se mantém constante na função T (x, y0) = T (x) = 2x2 + y0. Analogamente para o eixo y, onde T será uma função apenas da variável y e x considerada como constante. Mas como calcular a taxa de variação de T partindo em uma direção que não é paralela a de nenhum eixo coordenado? Quais são as direções em que se encontram a máxima e a mínima taxa de variação de T? Considere o parabolóide z = x2 + y2 e o plano x = 1 conforme Figura 1.1. Seja P (2, 1, 3) um ponto sobre a curva C resultante da intersecção do plano com o parabolóide, como calcular a inclinação da reta tangente à curva C em P? A procura das respostas para estas perguntas motiva o estudo de deriva- das parciais, derivada direcional e gradiente de uma função. 3 IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FUR G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Figura 1.1: Intersecção das superfícies z = x2 + y2 e x = 1 1.1 Derivadas parciais de funções de n variáveis Definição 1.1.1. Se w = f(x1, x2, . . . , xn) é uma função de n variáveis, então as derivadas parciais da função f em relação às variáveis x1, x2, . . . , xn são dadas por: ∂w ∂x1 = lim ∆x1→0 f(x1 +∆x1, x2, . . . , xn)− f(x1, x2, . . . , xn) ∆x1 ; ∂w ∂x2 = lim ∆x2→0 f(x1, x2 +∆x2, x3, . . . , xn)− f(x1, x2, . . . , xn) ∆x2 ; ... ∂w ∂xn = lim ∆xn→0 f(x1, x2, . . . , xn +∆xn)− f(x1, x2, . . . , xn) ∆xn , se os limites existirem. Observação 1.1.1. Se z = f(x, y) é uma função de 2 variáveis x e y, então as derivadas parciais da função f(x, y) em relação à variável x e y são dadas, respecti- vamente, por: Dxf = fx = ∂f ∂x = lim ∆x→0 f(x+∆x, y)− f(x, y) ∆x Dyf = fy = ∂f ∂y = lim ∆y→0 f(x, y +∆y)− f(x, y) ∆y , se estes limites existirem. Neste caso, ∂f ∂x não pode ser interpretada como razão de diferenciais. 4 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Observação 1.1.2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto P (x0, y0) são dadas por: ∂f ∂x (x0, y0) = lim ∆x→0 f(x0 +∆x, y0)− f(x0, y0) ∆x ∂f ∂y (x0, y0) = lim ∆y→0 f(x0, y0 +∆y)− f(x0, y0) ∆y , se os limites existirem. As regras de derivação para calcular as derivadas parciais de uma função de n variáveis são as mesmas regras utilizadas no cálculo das derivadas de uma função de 1 variável. Vale ressaltar que a derivada parcial de uma função de 2 ou mais variáveis é obtida pela derivação de uma curva que representa um caminho sobre a função e que esse caminho é paralelo à variável escolhida. Por consequência, as demais variáveis não sofrem variação ao longo desse caminho. Portanto, uma derivada parcial é obtida considerando-se apenas uma variável de cada vez. Exemplo 1.1.1. Para cada uma das funções, calcule as derivadas parciais indicadas: a) z = ln (√ x+ y x− y ) , ∂z ∂x e ∂z ∂y b) z = x2sen(y), ∂z ∂x e ∂z ∂y c) u = x2 + y2xtz3, ∂u ∂x , ∂u ∂t e ∂u ∂z . Solução: a) z = ln (√ x+ y x− y ) . Considerando-se a variável y como constante, calcula-se a derivada parcial em x aplicando as regras de derivação conhecidas: 5 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS ∂z ∂x = 1√ x+ y x− y · d dx ( x+ y x− y ) 1 2 (Derivada do logaritmo natural) ∂z ∂x = 1√ x+ y x− y · 1 2 ( x+ y x− y )− 1 2 · [ 1 · (x− y)− (x+ y) · 1 (x− y)2 ] (Derivada da Potência e Regra da Cadeia) ∂z ∂x = 1 2 ( x+ y x− y )−1 · [ − 2y (x− y)2 ] ∂z ∂x = 1 2 · ( x− y x+ y ) · [ − 2y (x− y)2 ] ∂z ∂x = − y x2 − y2 . Para o cálculo da derivada parcial em y, considera-se a variável x como constante. Existem diferentes maneiras de efetuar este cálculo, embora todas resultem no mesmo resultado. Calcula-se ∂z ∂y de maneira diferente do que foi feito para ∂z ∂x , para ilustrar este fato. Aplicando as propriedades dos logaritmos reescreve-se a função z como: z = 1 2 [ln(x+ y)− ln(x− y)]. Derivando z em relação a y: ∂z ∂y = 1 2(x+ y) · d dy (x+ y)− 1 2(x− y) · d dy (x− y) (Regra da Cadeia) ∂z ∂y = 1 2(x+ y) · (1)− 1 2(x− y) · (−1) ∂z ∂y = 1 2(x+ y) + 1 2(x− y) ∂z ∂y = (x− y) + (x− y) 2(x+ y)(x− y) ∂z ∂y = x x2 − y2 . Portanto, ∂z ∂x = − y x2 − y2 e ∂z ∂y = x x2 − y2 . b) z = x2sen(y). 6 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FUR G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Para calcular a derivada parcial em x considera-se y como constante: ∂z ∂x = 2x sen(y). Para a derivada parcial em y, tem-se x como constante: ∂z ∂y = x2 cos(y). As Figuras 1.2 e 1.3 apresentam, respectivamente, o gráfico da função z = x2sen(y) e os gráficos de suas derivadas parciais fx e fy. Figura 1.2: Gráfico da função z = x2sen(y) 7 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Figura 1.3: Gráfico das derivadas parciais fx e fy c) u = x2 + y2xtz3. Tem-se quatro variáveis, portanto para calcular as derivadas parciais, consideram-se como constantes as três variáveis restantes: ∂u ∂x = 2x+ y2tz3. ∂u ∂t = y2xz3. ∂u ∂z = 3z2y2xt. Exemplo 1.1.2. Considere a função f(x, y) = x3 − y2 x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . Calcule ∂f ∂x e ∂f ∂y . Solução: Para a primeira parte procede-se normalmente calculando a derivada parcial com a regra do quociente. Para a segunda parte (em (x, y) = (0, 0)), calcula-se a derivada parcial por definição (limite). 8 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS 1.1.1 Derivadas parciais sucessivas Seja z = f(x, y) uma função de 2 variáveis, então se existem as derivadas parciais ∂z ∂x e ∂z ∂y , em geral, estas derivadas são funções de 2 variáveis e são chamadas de derivadas parciais de 1a ordem de f(x, y). Se ∂z ∂x e ∂z ∂y são funções de x e y, então se podem ter as derivadas parciais de 2a ordem dadas por: zxx = ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x ( ∂z ∂x ) ; zxy = ∂2z ∂y∂x = ∂ ∂y ( ∂z ∂x ) ; zyy = ∂2z ∂y2 = ∂ ∂y ( ∂z ∂y ) ; zyx = ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x ( ∂z ∂y ) , se estas existirem. Do mesmo modo, podem-se obter as derivadas parciais de 3a ordem de f(x, y): zxxx = ∂3z ∂x3 = ∂ ∂x ( ∂2z ∂x2 ) ; zyxx = ∂3z ∂x2∂y = ∂ ∂x ( ∂2z ∂x∂y ) ; zxyx = ∂3z ∂x∂y∂x = ∂ ∂x ( ∂2z ∂y∂x ) ; zxyy = ∂3z ∂y2∂x = ∂ ∂y ( ∂2z ∂y∂x ) ; zxxy = ∂3z ∂y∂x2 = ∂ ∂y ( ∂2z ∂x2 ) ; zyxy = ∂3z ∂y∂x∂y = ∂ ∂y ( ∂2z ∂x∂y ) . Assim, pode-se derivar sucessivamente uma função de 2 variáveis. Observação 1.1.3. As derivadas sucessivas de funções de n variáveis têm notação semelhante às derivadas parciais sucessivas de funções de 2 variáveis. Considerando w = f(x1, . . . , xn), tem-se: ∂2f ∂xixj = ∂ ∂xi ( ∂f ∂xj ) ; i, j = 1, . . . , n. Teorema 1.1.1. (Permutabilidade da ordem de derivação): Se f(x, y) é uma função de 2 variáveis definida numa bola aberta B((x0, y0), r) tal que ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂2f ∂y∂x e ∂2f ∂x∂y são funções contínuas em B((x0, y0), r), então: ∂2f ∂y∂x (x0, y0) = ∂2f ∂x∂y (x0, y0). Exemplo 1.1.3. Considere a função z = ey sen(2x)+x. Determine ∂2z ∂x2 , ∂2z ∂y2 , ∂2z ∂x∂y e ∂3z ∂x∂y∂x . 9 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Solução: Para determinar as derivadas sucessivas, primeiramente calculam-se as derivadas parciais em x e y: ∂z ∂x = 2ey cos(2x) + 1 ∂z ∂y = ey sen(2x). Utilizando a notação de derivação sucessiva para facilitar os cálculos, obtém-se: ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x ( ∂z ∂x ) = ∂ ∂x [2ey cos(2x) + 1] = −4ey sen(2x) ∂2z ∂y2 = ∂ ∂y ( ∂z ∂y ) = ∂ ∂y [ey sen(2x)] = ey sen(2x) ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x ( ∂z ∂y )= ∂ ∂x [ey sen(2x)] = 2ey cos(2x) ∂3z ∂x∂y∂x = ∂ ∂x ( ∂2z ∂y∂x ) = ∂ ∂x [2ey cos(2x)] = −4ey sen(2x). Exemplo 1.1.4. Seja z = ex cos(2y)+ln(xy), calcule ∂2z ∂y∂x , ∂2z ∂x∂y , ∂3z ∂x2∂y , ∂3z ∂y2∂x , ∂3z ∂x∂y∂x . Solução: Para determinar as derivadas sucessivas, primeiramente calculam-se as derivadas parciais em x e y: ∂z ∂x = ex cos(2y) + 1 x ∂z ∂y = −2ex sen(2y) + 1 y . Utilizando a notação de derivação sucessiva para facilitar os cálculos, obtém-se: ∂2z ∂y∂x = ∂ ∂y ( ∂z ∂x ) = ∂ ∂y ( ex cos(2y) + 1 x ) = −2ex sen(2y) ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x ( ∂z ∂y ) = ∂ ∂x ( −2ex sen(2y) + 1 y ) = −2ex sen(2y) ∂3z ∂x2∂y = ∂ ∂x ( ∂2z ∂x∂y ) = ∂ ∂x [−2ex sen(2y)] = −2ex sen(2y) ∂3z ∂y2∂x = ∂ ∂y ( ∂2z ∂y∂x ) = ∂ ∂y [−2ex sen(2y)] = −4ex cos(2y) ∂3z ∂x∂y∂x = ∂ ∂x ( ∂2z ∂y∂x ) = ∂ ∂x [−2ex sen(2y)] = −2ex sen(2y). 10 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Exemplo 1.1.5. Calcule ∂2z ∂x2 , ∂2z ∂x∂y , ∂3z ∂x2∂y , sendo: a) z = 2x sen(x) + ln(x2 + y) b) z = ln ( xy x2 + y2 ) . Solução: a) z = 2x sen(x) + ln(x2 + y). Primeiramente calculam-se as derivadas parciais em x e y: ∂z ∂x = 2x ln(2)sen(x) + 2x cos(x) + 2x x2 + y ∂z ∂y = 1 x2 + y . Utilizando a notação de derivação sucessiva escreve-se o resultado encontrado para a derivada parcial em x para obter a derivada parcial ∂2z ∂x2 : ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x ( ∂z ∂x ) = 2x[ln(2)]2sen(x) + 2x ln(2) cos(x) + 2x ln(2) cos(x) −2xsen(x) + 2(y − x 2) (x2 + y)2 ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x ( ∂z ∂x ) = 2x[ln(2)]2sen(x) + 2 · 2x ln(2) cos(x)− 2xsen(x) + 2(y − x 2) (x2 + y)2 ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x ( ∂z ∂x ) = 2x ln(2)[ln(2)sen(x) + 2 cos(x)]− 2xsen(x) + 2(y − x 2) (x2 + y)2 . Para calcular a derivada parcial ∂2z ∂x∂y , basta reescrever os resultados obtidos para as derivadas parciais em x e y na notação de derivação sucessiva, assim: ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x ( ∂z ∂y ) = −2x (x2 + y)2 . Procede-se da mesma maneira para o cálculo da derivada parcial ∂3z ∂x2∂y : ∂2z ∂x2∂y = ∂ ∂x ( ∂z ∂x∂y ) = −2(x 2 + y)2 − (−2x)4x(x2 + y) (x2 + y)4 = 6x2 − 2y (x2 + y)3 . 11 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS b) z = ln ( xy x2 + y2 ) . Para facilitar os cálculos aplica-se a propriedade dos logaritmos e reescreve-se a função z como: z = ln(xy)− ln(x2 + y2). Calculam-se as derivadas parciais em x e y: ∂z ∂x = y xy − 2x x2 + y2 ∂z ∂y = x xy − 2y x2 + y2 . As derivadas sucessivas de z são dadas por: ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x ( ∂z ∂x ) = − y (xy)2 − 2y 2 − 2x2 (x2 + y2)2 ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x ( ∂z ∂y ) = − x (xy)2 − 2x 2 − 2y2 (x2 + y2)2 ∂2z ∂x2∂y = ∂ ∂x ( ∂z ∂x∂y ) = −xy + 2x (xy)3 − 12xy 2 − 4x3 (x2 + y2)3 . Exemplo 1.1.6. Se os resistores elétricos de R1, R2 e R3 Ω (ohms) são conectados em paralelo para formar um resistor de R Ω, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação 1 R = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 . Determine o valor de ∂R ∂R2 quando R1 = 30 Ω, R2 = 45 Ω e R3 = 90 Ω. Solução: Para calcular ∂R ∂R2 deve-se reescrever a equação na forma: 1 R = R2R3 +R1R3 +R1R2 R1R2R3 ⇔ R = R1R2R3 R2R3 +R1R3 +R1R2 . Assim a derivada parcial de R em relação a R2 é dada por: ∂R ∂R2 = R1R2(R2R3 +R1R3 +R1R2)−R1R2R3(R3 +R1) (R2R3 +R1R3 +R1R2)2 . 12 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Quando R1 = 30 Ω, R2 = 45 Ω e R3 = 90 Ω, tem-se a derivada parcial no ponto A(30, 45, 90): ∂R ∂R2 (30, 45, 90) = 2.700(4.050 + 2.700 + 1.350)− 121.500(120) (4.050 + 2.700 + 1.350)2 ∂R ∂R2 (30, 45, 90) = 21.870.000− 14.580.000 65.610.000 . Portanto, ∂R ∂R2 (30, 45, 90) = 0, 1111 . . .. Exemplo 1.1.7. Se w = ln(ex + ey + ez), mostreque ∂3w ∂x∂y∂z = 2 ex+y+z−3w. Solução: Utilizando a derivação sucessiva tem-se: ∂3w ∂x∂y∂z = ∂ ∂x [ ∂ ∂y ( ∂w ∂z )] . Assim, começando por wz até chegar em wzyx, obtém-se: ∂w ∂z = wz = ez ex + ey + ez = ez(ex + ey + ez)−1 ∂ ∂y (wz) = wzy = −ez(ex + ey + ez)−2 · ey = −ey+z · (ex + ey + ez)−2 ∂ ∂x (wzy) = wzyx = −ey+z(−2)(ex + ey + ez)−3 · ex = 2ex+y+z · (ex + ey + ez)−3. Como w = ln(ex + ey + ez), então tem-se: ew = eln(e x+ey+ez) = ex + ey + ez. (1.1.1) Portanto, (ex + ey + ez)−3 = (ew)−3 = e−3w. Logo, de (1.1.1) tem-se: ∂3w ∂x∂y∂z = 2 ex+y+z · e−3w. Assim, ∂3w ∂x∂y∂z = 2 ex+y+z−3w. Exercício 1.1.1. Se z = 2x x2 + y2 , verifique se ∂2z ∂x2 + ∂2z ∂y2 = 0. 13 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Exercício 1.1.2. Prove que a função z = ln(xy)+x+y satisfaz a equação diferencial parcial x ∂z ∂x − y ∂z ∂y = x− y. Exercício 1.1.3. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções: a) z = x2 sen(xy) + y − x b) z = ln (√ x2 − y2 ) c) z = √ 3x2 − y2 d) z = x cos ( x y ) e) z = y ln(x2 + y4) f) w = (x2 + y2 + z2) 5 2 g) w = exy sen(2z)− exy cos(2z) h) w = xyz exyz i) z = x √ 4x2 − y6 j) w = e x y sen(4y2z3) k) z = x+ y√ y2 − x2 l) u = x3 cos(xyz)− y2 ln(xy). Exercício 1.1.4. Para cada uma das funções, determine as derivadas parciais indi- cadas: a) z = x2 sen(y) + y2 sen(x), b) w = x2 y2 + z2 , c) z = ex ln(y) + sen(y) ln(x), d) w = y ln(x2 + z4), e) w = exz + tg ( x3 y2 ) , f) w = (x2 + 4y2 − 5z2)3, ∂2z ∂y2 , ∂2z ∂x∂y ∂3w ∂z∂y2 ∂2z ∂x2 , ∂2z ∂x∂y , ∂2z ∂y2 ∂3w ∂z2∂y ∂2w ∂z∂x , ∂2w ∂y∂x ∂3w ∂x∂y2 , ∂3w ∂x∂z∂y . Respostas dos exercícios 1.1.3 a) zx = x2y cos(xy) + 2x sen(xy)− 1; zy = x3 cos(xy) + 1 b) zx = x x2 − y2 ; zy = −y x2 − y2 14 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS c) zx = 3x√ 3x2 − y2 ; zy = −y√ 3x2 − y2 d) zx = −x y sen ( x y ) + cos ( x y ) ; zy = x2 y2 sen ( x y ) e) zx = 2xy x2 + y4 ; zy = ln(x 2 + y4) + 4y4 x2 + y4 f) wx = 5x(x2 + y2 + z2) 3 2 ; wy = 5y(x 2 + y2 + z2) 3 2 ; wz = 5z(x 2 + y2 + z2) 3 2 g) wx = y exy[sen(2z)− cos(2z)]; wy = x exy[sen(2z)− cos(2z)]; wz = 2 e xy[cos(2z) + sen(2z)] h) wx = yzexyz(xyz + 1); wy = xz exyz(xyz + 1); wz = xy exyz(xyz + 1) i) zx = √ 4x2 − y6 + 4x2(4x2 − y6)−1/2; zy = −3xy5(4x2 − y6)−1/2 j) wx = e x y sen(4y2z3) y ; wy = 8y3z3e x y cos(4y2z3)− exy x sen(4y2z3) y2 ; wz = 12e x y y2z2 cos(4y2z3) k) zx = y2 + xy√ (y2 − x2)3 ; zy = −x2 − xy√ (y2 − x2)3 l) ux = −y 2 x +3x2 cos(xyz)−x3yz sen(xyz); uy = −y− 2y ln(xy)−x4z sen(xyz); uz = −x4y sen(xyz). 1.1.4 a) zyy = −x2 sen(y) + 2 sen(x); zyx = 2x cos(y) + 2y cos(x) b) wyyz = −8x2y2(5y2 + z2 (y + z)4 c) zxx = ex ln(y)− 1 x2 sen(y); zyx = ex y + 1 x cos(y); zyy = −e x y2 − sen(y) ln(x) d) wyzz = 4z2(3x2 − z4 (x2 + z4)2 e) wxz = exz(xz + 1); wxy = −6x 2 y3 sec2 ( x3 y2 ) − 12x 5 y5 sec2 ( x3 y2 ) tg ( x3 y2 ) f) wyyx = 96x3 + 1152xy2 − 480xz2; wyzx = −960xyz. 15 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS 1.1.2 Interpretação geométrica da derivada parcial Seja z = f(x, y) uma função derivável. O gráfico de uma função f de 2 variáveis é uma superfície tendo por equação z = f(x, y). Supondo que esta superfície seja suave e que P0(x0, y0, f(x0, y0)) seja um ponto desta superfície, se x é constante, ou seja, se x = x0, então a curva de intersecção da superfície z = f(x, y) com o plano x = x0, é representada pelas equações z = f(x, y)x = x0 . Se s é a reta secante à curva z = f(x, y)x = x0 , que passa pelos pontos P0(x0, y0, f(x0, y0)) e P (x0, y0 +∆y, f(x0, y0 +∆y)), então o coeficiente angular da reta s é dado por: ms = −f(x0, y0)− f(x0, y0 +∆y) ∆y ms = f(x0, y0 +∆y)− f(x0, y0) ∆y . Quando ∆y → 0, tem-se que P → P0, e a reta secante s tende a uma retatangente t no ponto P0, então: lim ∆y→0 ms = fy(x0, y0). Portanto, fy(x0, y0) representa o coeficiente angular da reta tangente t à curva z = f(x, y)x = x0 no ponto P0(x0, y0, f(x0, y0)). A equação dessa reta é dada por: t : x = x0z − f(x0, y0) = fy(x0, y0)(y − y0) . Do mesmo modo pode-se mostrar que fx(x0, y0) representa o coeficiente angular da reta tangente t à curva z = f(x, y)y = y0 no ponto P0(x0, y0, f(x0, y0)), tendo por equação: t : y = y0z − f(x0, y0) = fx(x0, y0)(x− x0) . Considerando a superfície z = f(x, y) e o ponto P (x, y, z) na Figura 1.4, observa-se que a intersecção da superfície com o plano paralelo a xz que contém o 16 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS ponto P é a curva APB. Analogamente, a curva CPD é a intersecção da superfície com o plano paralelo a yz contendo o ponto P . Fazendo y fixo e x variando, P move-se ao longo da curva APB, assim fx é a inclinação da reta tangente à curva APB em P . Do mesmo modo, quando y varia e x está fixo, o ponto P move-se ao longo de CPD e fy representa a inclinação da reta tangente à curva CPD no ponto P . Figura 1.4: Interpretação geométrica de derivadas parciais Exemplo 1.1.8. Determine a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção da superfície z = x2 + y2 com o plano x = 1 no ponto A(1, 2, 5). Solução: Para escrever a equação da reta tangente é necessário calcular o seu coeficiente angular através do cálculo da derivada parcial fy no ponto A, assim: fy(x, y) = 2y e fy(1, 2) = 4. Portanto, a equação da reta tangente pode ser escrita como: t : x = 1z − 5 = 4(y − 2) . Na Figura 1.5 podem ser visualizados, respectivamente, o gráfico da fun- ção z = x2 + y2 e do plano x = 1 e o gráfico da intersecção e da reta tangente. 17 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Figura 1.5: Gráficos do exemplo 1.1.8 Exemplo 1.1.9. Seja z = 2x2 + 5y2x− 12x. Calcule a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f(x, y) com y = 1, no ponto B(2, 1,−6). Solução: A inclinação da reta tangente é dada pela derivada parcial fx no ponto B, assim: fx(x, y) = 4x+ 5y 2 − 12 e fx(2, 1) = 1. Escreve-se então a equação da reta tangente: t : y = 1z + 6 = 1(x− 2) = y = 1z + 6 = x− 2 . Exercício 1.1.5. Escreva a equação da reta tangente à curva de intersecção da superfície z = e−x2 sen(3y) com o plano x = 1 no ponto C(1, 0, 0). Exercício 1.1.6. Obtenha a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície z = 1 2 √ 24− x2 − 2y2 com o plano y = 2 no ponto D ( 1, 2, √ 15 2 ) . Exercício 1.1.7. Determine a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: a) z = x2 + y2 com o plano y = 2, no ponto A(2, 2, 8). b) z = √ 34− 9x2 − 4y2 com o plano y = 2, no ponto B(1, 2, 3). 18 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Exercício 1.1.8. Considere a função f(x, y) = y2 + 1√ x2 + y2 , determine: a) o domínio de f ; b) fx(3, 4); c) fy(3, 4); d) a declividade da reta tangente à curva intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto (3, 4). Exercício 1.1.9. Mostre que a função w = cos(2x+2ct) é uma solução da equação da onda unidimensional ∂2w ∂t2 = c2 ( ∂2w ∂x2 ) , onde w é a altura da onda, x é a variável distância, t é a variável tempo é c é velocidade com a qual a onda se propaga. Exercício 1.1.10. Mostre que a função f(x, y) = ln( √ x2 + y2) satisfaz a equação de Laplace ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = 0. Respostas dos exercícios 1.1.5 t : x = 1z = 3 e y . 1.1.6 − 1 2 √ 15 1.1.7 a) 4 b) −3. 1.1.8 a) R2 − {(0, 0)} b) − 3 125 c) 996 125 d) 996 125 . 1.1.3 Derivada parcial e a Regra da cadeia Primeiramente, trata-se da regra da cadeia para funções segundo trajetó- rias determinadas xi(t). Se f(x1, . . . , xn) tem derivadas parciais ∂f ∂xi contínuas para i = 1, . . . , n e xi(t) são funções diferenciáveis de t então a função composta u = f(xi(t), . . . , xn(t)) 19 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU RG - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS é diferenciável e: du dt = n∑ i=1 ∂f ∂xi dxi dt . Exemplo 1.1.10. Se u = √ x e x = ecos(t) + e−sen(t), calcule du dt , utilizando a regra da cadeia. Solução: Note que u é uma função de uma variável e x, por sua vez, uma função da variável t. A função composta, portanto, depende de apenas 1 variável u = x(t). Observe o esquema de possibilidades: u du dx�� x dx dt�� t A derivada de u em relação a t é dada por: du dt = du dx · dx dt Assim, du dt = 1 2 √ x · {ecos(t)[−sen(t)] + e−sen(t)[− cos(t)]} du dt = 1 2 √ x · [−ecos(t)sen(t)− e−sen(t) cos(t)] . Caso Geral da Regra da Cadeia Se u = f(x1, . . . , xn) tem derivadas parciais contínuas e xi = xi(t1, . . . , tm), onde i = 1, . . . , n, então as derivadas parciais de u em relação à variável tj, j = 1, . . . ,m são: ∂u ∂tj = n∑ i=1 ∂f ∂xi ∂xi ∂tj . Exemplo 1.1.11. Se w = sen( √ t) e t = x2 − y z , calcule ∂w ∂x , ∂w ∂y , ∂w ∂z , utilizando a regra da cadeia. Solução: Note que w = sen( √ t) é função de uma variável e t é uma função de 3 variáveis. Portanto, w(t) é uma função de 3 variáveis. Com o intuito de visualizar a 20 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS dependência de w em relação às variáveis independentes x, y e z, pode-se representar o seguinte esquema de possibilidades: w �� t �� ��? ?? ?? ?? ? x y z Seja w = f(t) e t = g(x, y, z), tem-se w = h(x, y, z), então pela regra da cadeia tem-se as derivadas parciais: ∂w ∂x = dw dt · ∂t ∂x = sen( √ t) 2 √ t · 2x z = x sen( √ t) z √ t ∂w ∂y = dw dt · ∂t ∂y = sen( √ t) 2 √ t · ( −1 z ) = −sen( √ t) 2z √ t ∂w ∂z = dw dt · ∂t ∂z = sen( √ t) 2 √ t · ( − 1 z2 ) = −sen( √ t) 2z2 √ t . Exemplo 1.1.12. Considere a função: u = f(x, y, z) = xy + xz onde x = t v r y = t z = v r . Calcule ∂f ∂r . Solução: Fazendo o esquema de possibilidades para visualizar a dependência de u em relação às variáveis independentes t, v e r: u wwooo ooo ooo ooo oo �� ''OO OOO OOO OOO OOO x ���� �� �� �� �� ��> >> >> >> > y �� z ���� �� �� �� �� t v r t v r Aplicando a regra da cadeia, tem-se: ∂f ∂r = ∂f ∂x · ∂x ∂r + ∂f ∂y · ∂y ∂r + ∂f ∂z · ∂z ∂r ∂f ∂r = (y + z)tv + x · 0 + xv. 21 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Onde y + z = t+ vr e x = tvr, logo: ∂f ∂r = (t+ vr)tv + (tvr)v = t2v + rtv2 + rtv2 = 2rtv2 + tv2. Exemplo 1.1.13. Se w = 3xy − 4y2, x = 2s er e y = r e−s, calcule ∂w ∂s , ∂w ∂r . Solução: No esquema de possibilidades tem-se a dependência de w em relação às variáveis r e s: w ~~~~ ~~ ~~ ~~ ��@ @@ @@ @@ @ x �� y �� ��? ?? ?? ?? r s r s Aplicando a regra da cadeia, tem-se: ∂w ∂s = ∂w ∂x · ∂x ∂s + ∂w ∂y · ∂y ∂s = 3y(2er) + (3x− 8y)(−r−s). Como x = 2ser e y = re−s, tem-se: ∂w ∂s = 3re−s(2er) + (6ser − 8re−s)(−re−s) ∂w ∂s = 6rer−s − 6rser−s + 8r2e−2s ∂w ∂s = 6rer−s(1− s) + 8r 2 e2s . A derivada parcial em r é dada por: ∂w ∂r = ∂w ∂x · ∂x ∂r + ∂w ∂y · ∂y ∂r = 3y(2ser) + (3x− 8y)(e−s). Substituindo x e y, tem-se: ∂w ∂r = 3re−s(2ser) + (6ser − 8re−s)(e−s) ∂w ∂s = 6rser−s + 6ser−s − 8r2e−2s ∂w ∂s = 6ser−s(1 + r) + 8r2 e2s . 22 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G -IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Exemplo 1.1.14. Seja z = x2 ln(y) onde x = ln(u) e y = 3u ln(u) , utilizando a regra da cadeia, calcule dz du . Solução: Uma outra maneira de ilustrar o esquema de possibilidades é: z ∂z ∂x ∂z∂y ��? ?? ?? ?? ? x dx du ��? ?? ?? ?? ? y dy du u Aplicando a regra da cadeia: dz du = ∂z ∂x · dx du + ∂z ∂y · dy du dz du = 2x ln(y) ( 1 u ) + x2 y [ 3 ln(u)− 3 [ln(u)]2 ] . Substituindo x e y, obtém-se: dz du = 2 ln(u) u ln ( 3u ln(u) ) + [ln(u)]2 3u ln(u) [ 3 ln(u)− u [ln(u)]2 ] dz du = 2 ln(u) u ln ( 3u ln(u) ) + ln(u)[ln(u)− 1] u . Do esquema de possibilidades tem-se que z depende apenas de 1 variável, ou seja, também pode-se reescrever z em função de u e calcular a derivada ordinária dz du , assim: z = [ln(u)]2 ln ( 3u ln(u) ) dz du = 2 ln(u) u ln ( 3u ln(u) ) + [ln(u)]2 1 3u ln(u) [ 3 ln(u)− 1 [ln(u)]2 ] dz du = 2 ln(u) u ln ( 3u ln(u) ) + ln(u)[ln(u)− 1] u . Exemplo 1.1.15. Seja w = (x+ y)2, x = t cos(t) e y = t sen(t), calcule dw dt . Solução: 23 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Fazendo o esquema de possibilidades, tem-se: w ∂w ∂x ~~~~ ~~ ~~ ~~ ∂w∂y ��@ @@ @@ @@ @ x dx dt ��? ?? ?? ?? ? y dy dt t Pela regra da cadeia dw dt = ∂w ∂x · dx dt + ∂w ∂y · dy dt , o que torna o cálculo extenso. Como visto no item anterior pode-se reescrever w em função de t: w = [t cos(t) + tsen(t)]2 = t2[1 + 2 cos(t)sen(t)] = t2[1 + sen(2t)]. Assim, dw dt = 2t[1 + sen(2t)] + t2[2 cos(2t)]. Exercício 1.1.11. Calcule ∂f ∂t e ∂f ∂v , onde f, t, v são dados no exemplo 1.1.12. Exercício 1.1.12. Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais indi- cadas para cada uma das funções dadas: a) s = t r2 tg(uv) onde t = x+ yz2 r = x2 + 3yz u = xz2 v = xyz , ∂s ∂x b) w = cos(xy) + eyz onde x = 2t+ 1 y = t2 z = 1 t , dw dt c) u = x2 − y2 onde x = 3r − sy = r + 2s , ∂u∂r e ∂u∂s d) w = ln(u+ v) onde u = e−2tv = t3 − t2 , dwdt e) w = xyz exyz onde x = 3t2 + 4 y = ln(t) z = et , dw dt 24 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS f) u = 9x2 + 4y2 onde x = r cos(t)y = r sen(t) , ∂u∂r g) w = esen( y x) onde x = sen(t)y = cos(t) , dwdt h) w = u3 + u2v − 3v onde u = sen(xy)v = y ln(x) , ∂w∂x e ∂w∂y i) w = e u v onde u = x2 − y2v = x3 + y3 , ∂w∂y . Respostas dos Exercícios 1.1.11 ∂f ∂t = tvr + v2r2; ∂f ∂v = t2r + vr2 + tvr2. 1.1.12 a) ∂s ∂x = r2 tg(uv) + 4rtx tg(uv) − tr2vz2 cosec2(uv)− tr2uyz cosec2(uv) b) dw dt = −2y sen(xy) + 2t[−x sen(xy) + z eyz]− y e yz t2 c) ∂u ∂r = 6x− 2y; ∂u ∂s = −2x− 4y d) dw dt = 2 e2t + 3t2 − 2t x+ y e) dw dt = exyz[6yzt(1 + xyz) + xz t (1 + xyz) + xy et(1 + xyz)] f) ∂u ∂r = 2(9x cos(t) + 4y sen(t)) g) dw dt = −1 x cos (y x ) esen( y x) [ y x cos(t) + sen(t) ] h) ∂w ∂x = (3u2 + 2uv)y cos(xy) + (u2 − 3) (y x ) ; ∂w ∂y = (3u2 + 2uv)x cos(uv) + (u2 − 3) ln(x) i) ∂w ∂y = −y v e u v [ 2 + 3uy v ] . 25 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F- FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS 1.1.4 Diferenciabilidade de funções de 2 variáveis Definição 1.1.2. Diz-se que z = f(x, y) é diferenciável em P (x0, y0) se e somente se existem constantes reais a e b tais que lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk√ h2 + k2 = 0. (1.1.2) Teorema 1.1.2. Se z = f(x, y) for diferenciável em P (x0, y0) então z = f(x, y) é contínua em P (x0, y0). Exemplo 1.1.16. A função f(x, y) = 2xy2 x2 + y4 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é diferenciável em (0, 0)? Solução: Basta mostrar que a função não é contínua em (0, 0). Pelo Teorema 1.1.2, conclui-se que a função considerada não é diferenciável. Utilizando a definição 1.1.2 e a definição de derivada parcial de função de duas variáveis, tem-se lim h→0 f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ah h = 0. Consequentemente, lim h→0 f(x0 + h, y0)− f(x0, y0) h = a = ∂f ∂x (x0, y0). Da mesma forma, b = ∂f ∂y (x0, y0). Assim, uma função de duas variáveis é diferenciável em (x0, y0) se e so- monte se vale 1.1.2 e se a função admite derivadas parciais em (x0, y0). A definição 1.1.2 pode ser reescrita: Definição 1.1.3. Diz-se que z = f(x, y) é diferenciável em P (x0, y0) se ∂f ∂x (x0, y0) e ∂f ∂y (x0, y0) existirem e se lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− [ f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)h+ ∂f ∂y (x0, y0)k ] √ h2 + k2 = 0. (1.1.3) 26 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.1. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS Observação 1.1.4. Se uma das derivadas parciais de f não existe em P (x0, y0), então f(x, y) = z não é diferenciável em (x0, y0). Se o limite (1.1.3) não existir ou for diferente de zero, então f não é diferenciável, mesmo que as derivadas parciais existam no ponto P (x0, y0). Exemplo 1.1.17. Mostre que a função f(x, y) = √ x2 + y2 não é diferenciável em P (0, 0). Solução: Para mostrar que uma função não é diferenciável em um ponto P , basta mostrar que uma das derivadas parciais não existem, ou mostrar que o limite (1.1.3) não existe ou é diferente de zero. Calculando a derivada parcial em relação a x no ponto (0, 0), tem-se: ∂f ∂x (0, 0) = lim h→0 f(0 + h, 0)− f(0, 0) h = lim h→0 |h| h . Como o limite anterior não existe, a derivada parcial fx não existe no ponto P (0, 0). Logo a função f(x, y) não é diferenciável em P (0, 0). A não existência de derivada na origem pode ser verificada na Figura 1.6 que apresenta o gráfico da função. Figura 1.6: Gráfico da função f(x, y) = √ x2 + y2 Exemplo 1.1.18. Mostre que a função f(x, y) = 3x2y é diferenciável. Solução: 27 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.2. DIFERENCIAL TOTAL Para todo (x, y) ∈ R2 f admite derivadas parciais ∂f ∂x = 6xy ∂f ∂y = 3x2. Resta verificar que lim (h,k)→(0,0) 3(x+ h)2(y + k)− 3x2y − 6xyh− 3x2k√ h2 + k2 = 0. Exemplo 1.1.19. Verifique se a função f(x, y) = 3y3 x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é diferenciável em (0, 0). Solução: Primeiramente é preciso verificar que as derivadas parciais existem em (0, 0). Pela definição, mostra-se que ∂f ∂x (0, 0) = 0 e ∂f ∂y (0, 0) = 2. Como as derivadas parciais existem em (0, 0), deve-se verificar que o limite 1.1.3 existe e é 0. Tomando os caminhos x = 0 e y = x é possível verificar que o limite assume um valor diferente de 0 pelo caminho y = x. Portanto, f(x, y) não é diferenciável em (0, 0). 1.2 Diferencial Total Definição 1.2.1. Se f é uma função de 2 variáveis x e y, e f é diferenciável no ponto (x, y), então a diferencial total de f é a função df dada por: df(x, y,∆x,∆y) = ∂f ∂x (x, y)∆x+ ∂f ∂y (x, y)∆y. Se z = f(x, y), tem-se: ∆z = ∂z ∂x ∆x+ ∂z ∂y ∆y, (1.2.1) e se z = f(x, y) é diferenciável, então: ∆z ' dz, ∆x ' dx e ∆y ' dy. 28 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.2. DIFERENCIAL TOTAL Logo, reescrevendo (1.2.1): dz = ∂z ∂x dx+ ∂z ∂y dy. Analogamente, se z = f(x1, x2, . . . , xn), então a diferencial total de z é dada por: dz = ∂f ∂x1 dx1 + ∂f ∂x2 dx2 + . . .+∂f ∂xn dxn. Exemplo 1.2.1. Calcule a diferencial total da função definida por z = x2exy + 1 y2 . Solução: A diferencial total é dada por: dz = ∂z ∂x dx+ ∂z ∂y dy dz = (2xexy + x2yexy)dx+ ( yx3exy − 2 y3 ) dy. Exemplo 1.2.2. Sendo x = sen(r) cos2(θ) e y = cos2(r) sen(θ), mostre que: dx− dy = [cos2(θ) cos(r) + sen(2r)sen(θ)]dr − [sen(2θ)sen(r) + cos2(r) cos(θ)]dθ. Solução: Para mostrar a igualdade devem-se calcular as diferenciais totais dx e dy dadas por: dx = ∂x ∂r dr + ∂x ∂θ dθ dy = ∂y ∂r dr + ∂y ∂θ dθ. Assim, dx = [cos(r) cos2(θ)]dr + [sen(r)2 cos(θ)(−sen(θ))]dθ dy = [2 cos(r)(−sen(r))sen(θ)]dr + [cos2(r) cos(θ)]dθ. Utilizando as identidades trigonométricas, escreve-se: dx−dy = [cos(r) cos2(θ)]dr+[−sen(2θ)sen(r)]dθ−{[−sen(2r)sen(θ)]dr+[cos2(r) cos(θ)]dθ}. Portanto, dx− dy = [cos2(θ) cos(r) + sen(2r)sen(θ)]dr − [sen(2θ)sen(r) + cos2(r) cos(θ)]dθ. 29 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.2. DIFERENCIAL TOTAL Observação 1.2.1. A diferencial total e a regra da cadeia Se u = f(x1, . . . , xn) e cada coordenada xi é função de t, tem-se: du dt = n∑ i=1 ∂f ∂xi · dxi dt du = n∑ i=1 ∂f ∂xi · dxi dt · dt. Observação 1.2.2. A diferencial total para funções como no caso geral da regra da cadeia não é tratada em cursos iniciais de cálculo. 1.2.1 Aplicações As diferenciais podem ser aplicadas no cálculo de erros. Seja w = f(x1, x2, . . . , xn) uma função diferenciável em P , define-se: O erro máximo da função w = f(x1, x2, . . . , xn) é: EMax = dw. Também pode ser chamado de erro aproximado ou valor aproximado. O erro relativo da função w = f(x1, x2, . . . , xn) é: ERel = dw w = EMax w . O erro percentual da função w = f(x1, x2, . . . , xn) é: EPc = 100 · ERel. Exemplo 1.2.3. Utilize diferenciais para determinar aproximadamente o erro má- ximo no cálculo da área de um triângulo retângulo, cujos catetos têm como medida 6 cm e 8 cm com um possível erro de 0, 1 cm para cada medida. Solução: A área de um triângulo é dada por A = x·y 2 , assim para determinar o erro máximo no cálculo da área, utiliza-se a diferencial dA = Ax dx+ Ay dy: EMax = dA = y 2 dx+ x 2 dy EMax = 8 · (0, 1) 2 + 6 · (0, 1) 2 = 0, 7 cm2. O erro relativo e o erro percentual são dados, respectivamente por: ERel = dA A = 0, 7 24 = 0, 02916. EPc = 100 dA A = 2, 916%. 30 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.2. DIFERENCIAL TOTAL Exemplo 1.2.4. As dimensões de uma piscina foram obtidas com erro possível de 0, 05 m e foram encontradas as dimensões 4, 6 e 8 m. Pergunta-se: a) Qual é o erro máximo possível no volume desta piscina? b) Qual é o erro percentual? Solução: a) O volume da piscina é dado por V (x, y, z) = x · y · z, assim: EMax = dV = Vx dx+ Vy dy + Vz dz EMax = dV = yz dx+ xz dz + xy dz EMax = 48(0, 05) + 32(0, 05) + 24(0, 05) = 5, 2m3. b) O erro percentual é dado por: EPc = 100 dV V = 100 · 5, 2 192 = 2, 7%. Exercício 1.2.1. Determine a diferencial total das funções: a) f(x, y) = 3x3y2 − 2xy3 + xy − 1 b) z = x− y x+ y c) f(x, y, z) = xy2 − 2zx2 + 3xyz2. Exercício 1.2.2. Um terreno tem forma retangular. Estima-se que seus lados me- dem 1.200 m e 1.900 m, com um erro máximo de 9 m e 14 m, respectivamente. Determine o possível erro no cálculo da área do terreno. Qual o erro percentual? Exercício 1.2.3. Obtenha o aumento aproximado no volume de um cilindro circular reto, quando o raio da base varia de 8 cm para 8, 2 cm e a altura varia de 21 cm até 21, 7 cm. Respostas dos exercícios 1.2.1 31 Notas de aula de Cálculo - FURG IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - IM E F - FU R G - 1.3. DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS a) df = (9x2y2 − 2y3 + y)dx+ (6x3y − 6xy2 + x)dy b) dz = 2y dx− 2x dy (x+ y)2 c) df = (y2 − 4xz + 3yz2)dx+ (2xy + 3xz2)dy + (6xyz − 2x2)dz. 1.2.2 1, 48%. 1.2.3 112pi. 1.3 Derivadas parciais de funções implícitas Teorema 1.3.1. Seja F (x, y, z) = 0 a equação que define z implicitamente como uma função diferenciável de x e y, então ∂z ∂x = −Fx(x, y, z) Fz(x, y, z) e ∂z ∂y = −Fy(x, y, z) Fz(x, y, z) para Fz(x, y, z) 6= 0. Demonstração: Seja F (x, y, z)
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