Ondas Eletromagnéticas

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2018
Lembrando
 Teorema do divergente
 Teorema de Stokes
 Propriedade do rotacional
 
VA
dVFAdF ).(.

 
As
AdFsdF

).(.
FFF

2)..( 
As Equações de Maxwell
  qAdE

.0
  0. AdB

  dt
d
sdE B

.
dt
d
isdB E
 000. 

0/.  E

0.  B

t
B
E





t
E
JB





000 
Forma Integral Forma Diferencial
Um pouco de história
 Oersted mostrou que uma corrente elétrica gera um 
campo magnético
 Faraday mostrou que um campo magnético variável no 
tempo induz um campo elétrico
 Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis no 
tempo induzem campos magnéticos variáveis no 
tempo
),(),( trBtrE


Ondas eletromagnéticas
 Aplicando o rotacional nas duas últimas equações de 
Maxwell e substituindo as duas primeiras obtemos
E
 Portanto, densidade de corrente e densidade de cargas oscilantes 
são fontes de ondas eletromagnéticas.
B
t
B
J



2
2
2
000 


 
E
t
E
t
J 

2
2
2
00
0
0
.








 

Phet
Ondas eletromagnéticas
 Considere estas ondas quando elas estão bem longe da fonte:
 Região na qual e são nulos
 Comparando com a equação da onda
 Encontramos 
),( trJ
),( tr
B
t
B 

2
2
2
000 


 
E
t
E 

2
2
2
000 


 
),(
),(1
0 2
2
2
2
tru
t
tru
c






smc /458.792.299
1
00


Ondas eletromagnéticas
 Descoberta de Maxwell
“A velocidade das ondas transversais em nosso meio
hipotético calculada a partir dos experimentos
eletromagnéticos dos Srs Kohlrausch e Weber, concorda
tão exatamente com a velocidade da luz, calculada pelos
experimentos ópticos do Sr. Fizeau, que é difícil evitar a
inferência de que a luz consiste nas ondulações
transversais do mesmo meio que é a causa dos
fenômenos elétricos e magnéticos”.
 Conclusão
 Existe uma conexão entre eletromagnetismo e óptica.
Geração das O.E. 
 Outro experimento importante foi a descoberta das 
ondas de rádio por Hertz.
 Ele também analisou a difração e interferência destas 
ondas e mediu sua velocidade c de propagação .
O espectro eletromagnético
Propriedades das O.E.
 Os campos E e B são perpendiculares entre si;
 Os campos E e B são perpendiculares à direção de 
propagação;
 Os módulos de E e B variam senoidalmente com a 
mesma frequência e estão em fase.
Onda eletromagnética
 Considere a onda mostrada
na figura ao lado
 A variação de E será dada por
 A solução desta equação é 
 Uma solução particular para esta onda é
em que ω é a frequência angular e k é o número de onda.
2
2
2
2
2
),(),(1
0
x
txE
t
txE
c
yy






)()(),( ctxgctxftxEy 
)(),( 0 tkxsenEtxEy 
Onda eletromagnética
 Da mesma forma para o campo magnético obtemos
 Então, temos a representação mais simples de uma 
onda eletromagnética unidimensional
 Propagação na direção x
 E oscilando senoidalmente na direção y
 B oscilando senoidalmente na direção z.
 Estes três vetores (direções) obedecem uma orientação 
muito característica: regra da mão-direita.
)(),( 0 tkxsenBtxBz 
Ondas eletromagnéticas
 Da 3ª equação de Maxwell temos:
 Logo
 Sendo
 Encontramos
t
B
E





t
B
k
x
txEy






ˆ),(
t
B
x
txE
zy




 ),(
)(),( tkxsenEtxE my 
)(),( tkxsenBtxB mz 
c
kB
E
m
m 

c
B
E
z
y

Exemplo 
O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana no 
vácuo é dado por 
com a > 0 e b > 0.
(a) Calcule a relação existente entre as constantes a e b 
sabendo-se que o campo elétrico satisfaz a equação da 
onda;
(b) Usando a lei de Faraday determine o vetor campo 
magnético .
Ondas planas
 Assumimos que todos os pontos com o mesmo x 
apresentam o mesmo campo
 Então, consideramos uma onda plana.
)(),( tkxsenEtxE my 
)(),( tkxsenBtxB mz 
Ondas planas
 Caso a onda se propagasse na direção y ou z o 
argumento do seno se tornaria
 Logo, para uma onda se propagando em uma direção 
qualquer podemos escrever
 o módulo de k é 2π/λ
 todos os pontos em que k.r é constante tem o mesma 
fase e o mesmo valor de campo.
 Não há outra maneira de expressar o campo além do 
seno? 
)( tky  )( tkz 
).(),( trksenEtrE m  

Energia e momento em O.E.
 É fato que as ondas eletromagnéticas transportam energia. 
 Ex: sol, forno de microondas, cirurgias a laser. 
 Para compreender essa energia é útil deduzir as relações 
para a energia associada a uma O.E. 
 Vimos em Física 3 que a densidade de energia armazenada 
em um campo elétrico e/ou magnético segue a equação
 Logo, a densidade total de energia armazenada com 
campo de radiação é 
2
0
2
1
EuE 
2
02
1
BuB 

2
0
2
0
2
1
2
1
BEu

    20
2
00
0
2
0
2
1
2
1
EEEu  
Vetor de Poynting
 A taxa de energia transportada por uma O. E. por unidade 
de área é descrita por um vetor S denominado vetor de 
Poynting dado por
 S fornece a direção de 
propagação da onda;
 O módulo de S fornece a 
potência por unidade de área
BES


0
1

udVdU 
2
0
1
cE
A
P
dt
dU
A
S 
))(( 20 AcdtEdU 