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2018 Lembrando Teorema do divergente Teorema de Stokes Propriedade do rotacional VA dVFAdF ).(. As AdFsdF ).(. FFF 2)..( As Equações de Maxwell qAdE .0 0. AdB dt d sdE B . dt d isdB E 000. 0/. E 0. B t B E t E JB 000 Forma Integral Forma Diferencial Um pouco de história Oersted mostrou que uma corrente elétrica gera um campo magnético Faraday mostrou que um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis no tempo induzem campos magnéticos variáveis no tempo ),(),( trBtrE Ondas eletromagnéticas Aplicando o rotacional nas duas últimas equações de Maxwell e substituindo as duas primeiras obtemos E Portanto, densidade de corrente e densidade de cargas oscilantes são fontes de ondas eletromagnéticas. B t B J 2 2 2 000 E t E t J 2 2 2 00 0 0 . Phet Ondas eletromagnéticas Considere estas ondas quando elas estão bem longe da fonte: Região na qual e são nulos Comparando com a equação da onda Encontramos ),( trJ ),( tr B t B 2 2 2 000 E t E 2 2 2 000 ),( ),(1 0 2 2 2 2 tru t tru c smc /458.792.299 1 00 Ondas eletromagnéticas Descoberta de Maxwell “A velocidade das ondas transversais em nosso meio hipotético calculada a partir dos experimentos eletromagnéticos dos Srs Kohlrausch e Weber, concorda tão exatamente com a velocidade da luz, calculada pelos experimentos ópticos do Sr. Fizeau, que é difícil evitar a inferência de que a luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos”. Conclusão Existe uma conexão entre eletromagnetismo e óptica. Geração das O.E. Outro experimento importante foi a descoberta das ondas de rádio por Hertz. Ele também analisou a difração e interferência destas ondas e mediu sua velocidade c de propagação . O espectro eletromagnético Propriedades das O.E. Os campos E e B são perpendiculares entre si; Os campos E e B são perpendiculares à direção de propagação; Os módulos de E e B variam senoidalmente com a mesma frequência e estão em fase. Onda eletromagnética Considere a onda mostrada na figura ao lado A variação de E será dada por A solução desta equação é Uma solução particular para esta onda é em que ω é a frequência angular e k é o número de onda. 2 2 2 2 2 ),(),(1 0 x txE t txE c yy )()(),( ctxgctxftxEy )(),( 0 tkxsenEtxEy Onda eletromagnética Da mesma forma para o campo magnético obtemos Então, temos a representação mais simples de uma onda eletromagnética unidimensional Propagação na direção x E oscilando senoidalmente na direção y B oscilando senoidalmente na direção z. Estes três vetores (direções) obedecem uma orientação muito característica: regra da mão-direita. )(),( 0 tkxsenBtxBz Ondas eletromagnéticas Da 3ª equação de Maxwell temos: Logo Sendo Encontramos t B E t B k x txEy ˆ),( t B x txE zy ),( )(),( tkxsenEtxE my )(),( tkxsenBtxB mz c kB E m m c B E z y Exemplo O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana no vácuo é dado por com a > 0 e b > 0. (a) Calcule a relação existente entre as constantes a e b sabendo-se que o campo elétrico satisfaz a equação da onda; (b) Usando a lei de Faraday determine o vetor campo magnético . Ondas planas Assumimos que todos os pontos com o mesmo x apresentam o mesmo campo Então, consideramos uma onda plana. )(),( tkxsenEtxE my )(),( tkxsenBtxB mz Ondas planas Caso a onda se propagasse na direção y ou z o argumento do seno se tornaria Logo, para uma onda se propagando em uma direção qualquer podemos escrever o módulo de k é 2π/λ todos os pontos em que k.r é constante tem o mesma fase e o mesmo valor de campo. Não há outra maneira de expressar o campo além do seno? )( tky )( tkz ).(),( trksenEtrE m Energia e momento em O.E. É fato que as ondas eletromagnéticas transportam energia. Ex: sol, forno de microondas, cirurgias a laser. Para compreender essa energia é útil deduzir as relações para a energia associada a uma O.E. Vimos em Física 3 que a densidade de energia armazenada em um campo elétrico e/ou magnético segue a equação Logo, a densidade total de energia armazenada com campo de radiação é 2 0 2 1 EuE 2 02 1 BuB 2 0 2 0 2 1 2 1 BEu 20 2 00 0 2 0 2 1 2 1 EEEu Vetor de Poynting A taxa de energia transportada por uma O. E. por unidade de área é descrita por um vetor S denominado vetor de Poynting dado por S fornece a direção de propagação da onda; O módulo de S fornece a potência por unidade de área BES 0 1 udVdU 2 0 1 cE A P dt dU A S ))(( 20 AcdtEdU
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