Aula 105 Algebra Linear (Matrizes)

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MATRIZES 
 
 
01. (FCC) Sejam as matrizes: 
 





 








15
c3b1
1cba
ba
NeM
. 
 
 Se M = N, então o valor do produto a.b.c é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
02. (FUNRIO) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = A
t
 . Assim, se a matriz 













234
1z0x
y212
A
 é 
simétrica, então x + y + z é igual a: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
03. (FUNRIO) Se uma matriz quadrada A é tal que A
t
 = - A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que m é 
anti-simétrica e: 














8c2cb
a2ba
aaa4
23
1312
M
 os termos a12, a13 e a23 de M valem respectivamente. 
 
a) - 4, - 2 e 4 
b) 4, 2 e - 4 
c) 4, - 2 e - 4 
d) 2, - 4 e 2 
e) 2, - 4 e - 2 
 
04. (FCC) Sejam 







43
21
A
, sabendo que 






dc
ba
= A + A
t 
+ I2, determine a + b + c + d. 
 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 28 
 
05. (FGV) Sabendo que a matriz 












2b108
c2ca
1b381a é simétrica, determine o valor de a + b + c. 
a) 5 
b) 8 
c) 12 
d) 16 
e) 18 
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06. (CESGRANRIO) Considere a matriz M = (aij)2x3 na qual aij = 0, se i < j e aij = i
2
 se i 
 
 
 
j. A matriz M
t
 é 
 
a) 








44
01
 
b) 








940
941
 
c) 












499
254
161 
d) 












00
40
41 
e) 












00
60
61 
 
 
07. A matriz quadrada A = (aij), de segunda ordem, é definida por aij = 2i – j. Então, A – A
t
 é: 
 
a) 






03
30
 
b) 





 
03
30
 
c) 






 02
20
 
d) 





 
02
20
 
e) 






02
20
 
 
08. (ESAF) Se A é uma matriz quadrada, define-se traço de A como a soma dos elementos da diagonal principal 
de A. Nestas condições, o traço da matriz A = (aij)3x3, onde aij = 2i – 3j, é igual a: 
 
a) 6 
b) 4 
c) - 2 
d) - 4 
e) – 6 
 
09. Seja a matriz A = (aij)2x3, definida por 












jise,j
jise,0
jise,i
1
ija
. Nessas condições, é verdade que 
 
a) a12 = 1 
b) a13 = 1/3 
c) a21 = 2 
d) a22 = 1/2 
e) a23 = 1 
 
 
 
 
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10. (ESAF) Sejam as matrizes 
 












 







4/297/3
00
,
4/257/4
8/75/3
,
10
01
CBA
 
 
e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por 
Y = (AB) + C, então o valor de x é: 
 
a) - 7/8 
b) 4/7 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
 
11. (ESAF) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão 
[A . (B . C)]
2 tem ordem igual a: 
 
a) 2 x 2 
b) 3 x 3 
c) 4 x 4 
d) 6 x 6 
e) 12 x 12 
 
 
12. (ESAF) Dada as matrizes 
 













b
a
Xe
1
2
B,
10
21
A
 
 
assinale os valores de a e b, de modo que AX = B 
 
a) a = 0 e b = 1 
b) a = 1 e b = 0 
c) a = 0 e b = 0 
d) a = 1 e b = 1 
e) a = 0 e b = -1 
 
 
13. (ESAF) Sejam as matrizes 
 













4321
5431
Be
33
62
41
A
 
 
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X = (A . B)
t
 , isto é, a matriz X é a matriz transposta 
do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a 
 
a) 2 
b) 1/2 
c) 3 
d) 1/3 
e) 1 
 
 
 
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14. (ESAF) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). 
Sabendo-se que aij = i
2
 + j
2 e que bij = 2ij, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: 
 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 24 
e) 32 
 
15. (ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” 
representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a 
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que aij = i
2 e que bij = (i - j)
2
, então 
o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: 
 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
 
 
 
DETERMINANTES 
 
 
16. Determine a soma dos determinantes 
104
51
57
68 

. 
 
a) 30 
b) 28 
c) 26 
d) 24 
e) 22 
 
17. Qual o valor do determinante da matriz 










621
341
321 ? 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
18. O valor do determinante 
babab
aa0
b2baa
2

 , para a = 2 e b = 3, é igual a: 
 
a) 18 
b) 28 
c) 38 
d) 48 
e) 58 
 
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19. (FCC) Sendo B = (bij)2x2, onde, 









jise,j3
jise,ji2
jise,1
bij
. Calcule detB
t
. 
 
a) 13 
b) - 25 
c) 25 
d) 20 
e) – 10 
 
20. (CESGRANRIO) Seja f:RR definida por f(x)=x.(x1). O valor do determinante da matriz 










)4(f)3(f)2(f
)3(f)2(f)1(f
)2(f)1(f)0(f é: 
 
a) 8 
b) 6 
c) - 6 
d) - 8 
e) 10 
 
21. (ESAF) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). 
Sabendo-se que (aij) = i
2 + j
2 e que bij = i
j
, então a razão entre os elementos s22 e s12 determinante da matriz S é 
igual a 
 
a) 1 
b) 3 
c) 4 
d) 2 
e) 6 
 
22. (ESAF) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A 
é igual a: 
 
a) 5 
b) 10 
c) 20 
d) 40 
e) 80 
 
23. (ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se 
que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de 
sua matriz transposta é igual a: 
 
a) - 2 
b) - 1/2 
c) 4 
d) 8 
e) 10 
 
24. (ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é 
a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a 
 
a) 1/3 
b) 3 
c) 9 
d) 27 
e) 81 
 
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25. (ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se 
todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 10
-6
 
b) 10
5
 
c) 10
10
 
d) 10
6
 
e) 10
3
 
 
26. (ESAF) Dada a matriz 






1X
11
 e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então ovalor de X é igual a: 
 
a) -1 
b) 0 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2 
 
27. (ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij , onde i representa a linha e j a 
coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a 
matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por: 
 













ababab
ababab
ababab
133312321131
232322222121
331332123111 
 
 Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 50 
b) - 50 
c) 0 
d) - 100 
e) 100 
 
28. (ESAF) Dadas as matrizes 






















32c
23b
15a
Be
642
235
cba
A
, de determinantes não nulos, para quaisquer 
valores de “a”, “b” e “c”, temos 
 
a) det(A) = det(B) 
b) det(B) = 2.det(A) 
c) det(A) = 2.det(B) 
d) det(A) = - 2.det(B) 
e) det(A) = - det(B) 
29. (ESAF) As matrizes 











735
642
321
X
 , 











1535
652
321
Y
 e 











302510
652
321
Z
 apresentam, respectivamente, 
determinantes iguais a: 
 
a) 0, 0 e 0 
b) 1, 1 e 1 
c) 0, 1 e 1 
d) 2, 3 e 4 
e) -1, -1 e -1 
 
 
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30. (ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira 
colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. 
Sabendo-se que o determinante de A é igual a x
3
, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é 
igual a: 
 
a) –x
-6
 
b) –x
6
 
c) x
3
 
d) –1 
e) 1 
 
31. (ESAF) O determinante da matriz 
















6000
b500
aaa0
ob22
X
 
 
onde a e b são inteiros positivos tais que a > 1 e b > 1, é igual a 
 
a) - 60a 
b) 0 
c) 60a 
d) 20ba
2
 
e) a(b - 60) 
 
32. (ESAF) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém 
suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a 
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)
2
 e que bij = i
2
, então o 
menor complementar do elemento y23 é igual a: 
 
a) 0 
b) - 8 
c) - 80 
d) 8 
e) 80 
 
33. (ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com y ≠ 90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo 
por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da matriz resultante? 
 











ycosysenycos
1ytg
1ytg1 
a) α cos y 
b) α
2
 tg y 
c) α sen y 
d) 0 
e) -α sen y 
 
34. (ESAF) Se 
5
431
zyx
134

, então 
431
134
zyx vale: 
 
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 3 
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35. (ESAF) Sejam A e B matrizes 3  3 tais que det(A) = 3 e det(B) = 4. Então det(A  2B) é igual a: 
 
a) 32 
b) 48 
c) 64 
d) 80 
e) 96 
 
36. (ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e 
dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica: 
 
a) Multiplicado por -1 
b) Multiplicado por - 16/81 
c) Multiplicado por 2/3 
d) Multiplicado por 16/81 
e) Multiplicado por - 2/3 
 
37. (ESAF) O determinante da matriz 












cb2a4
cba
012
B
 
 
a) 2bc + c – a 
b) 2b – c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
 
38. (ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde “i” representa a 
linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, é a matriz 
resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y = (yij). Sabendo-se que (xij) = i
1/2
 e que yij = (i - j)², então a potência 
dada por (a22)
a12
 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: 
 
a) 
2
e 2 
b) 
2
e 0 
c) - 
2
 e 1 
d) 2 e 0 
e) - 
2
 e 0 
 
39. (ESAF) Considerando-se as matrizes 







13
42
A
 e 







21
11
B
a soma dos elementos da diagonal principal 
da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: 
 
a) - 10 
b) - 2 
c) 1 
d) 2 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMAS LINEARES 
 
 
40. (ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos 
uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver 
infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X – Y = 2 e 2X + WY = Z, pode-se afirmar que 
se W = - 2 e Z = 4, então o sistema é 
 
a) impossível e determinado. 
b) impossível ou determinado. 
c) impossível e indeterminado. 
d) possível e determinado. 
e) possível e indeterminado. 
 
 
 
41. (ACEP) O sistema de equações lineares abaixo 
 











4w2zyx
3wz2yx
2wzy2x
1wzyx2
 
 
possui uma única solução (x, y, z, w). Pode-se afirmar que a soma S = x + y + z + w é igual a: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
42. (NCE) A soma dos valores de x e de y que satisfazem as equações 
02 
3
y
2
x
 e 3x – 2y = 0 é igual a: 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
43. (NCE) Sejam a, b e c números reais, tais que 








5ca2
8c2b
5b2a , o valor de a + b + c é: 
 
a) 18 
b) 6 
c) 12 
d) 3 
e) 5 
 
 
 
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44. (ESAF) Com relação ao sistema 











1
yx2
1z
2z3
yx2
1zyx , onde 3z + 2  0 e 2x + y  0, pode-se, com certeza, 
afirmar que: 
 
a) possui determinante igual a 4. 
b) é indeterminado. 
c) é impossível. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo. 
 
45. (ESAF) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que 
o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o 
mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? 
 
a) 4 
b) 1 
c) 3 
d) 2 
e) 5 
 
46. (ESAF) Considerando o sistema de equações lineares 
 





qpxx.2
2xx
21
21
 , 
 
pode-se corretamente afirmar que: 
 
a) se p = - 2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ - 2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = - 2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = - 2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
 
47. (ESAF) Se o sistema linear em x, y e z,








3zryx
2zqyx
1zypx tem solução única. A relação entre p, q e r é: 
 
a) p.q.r  p + q + r – 2 
b) p.q.r  p – q – r + 2 
c) p.q.r = 1 
d) p.q + q.r + p.r = 0 
e) p = q = r 
 
48. (ESAF) Para que o sistema 




2y5x4
1kykx
 seja possível e determinado, temos: 
 
 
a) k = 1 
b) k  0 
c) k = 2 
d) k  3 
e) k = 6 
 
 PROFESSOR THIAGO PACÍFICO 
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49. (ESAF) O sistema, com as incógnitas x, y, z 








0kzyx2
0zy2x
1zy2x onde k 
 IR, é possível e indeterminado se, e 
somente se: 
 
a) k = 0 
b) k = 1 
c) k = 2 
d) k = 3 
e) k = 4 
 
50. (ESAF) Se o sistema 





6y4mx
3myx
, tem infinitas soluções, então o valor de m
4
 – 8m
2
 + 23 é igual a: 
 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
e) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
C D B B D D B E A C A A A E D B C C A D 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
D D D E D A D C A B A C D C E E E D B E 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
B C B A E A A B C B