Lista Teoria de Conjuntos

Prévia do material em texto

Lista sobre Teoria dos Conjuntos
1. Mostre que, para quaisquer conjuntos A, B, C em E:
(a) [A B ∧B ⊂ C]⇒ A C
(b) [A ⊂ B ∧B C]⇒ A C
2. Sejam A e B subconjuntos distintos de U . Mostre que a inclusão de conjuntos não possui a propriedade
simétrica, ou seja, (∀A)(∀B)(A ⊂ B → B ⊂ A) não é verdadeira.
3. Mostre que, se dois em três conjuntos A, B e C são disjuntos, então A ∩B ∩ C = ∅
4. Verifique se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
(a) (∀A)(∅ ∈ A)
(b) (∀A)(∅ ⊂ A)
(c) ∅ ∈ {∅, {∅}}
(d) ∅ ⊂ {∅, {∅}}
(e) ∅ = {0}
(f) 2 ∈ {{2}, {3, 4}}
(g) 2 ⊂ {{2}, {3, 4}}
(h) 2 ∈ {2, {2}, {3, 4}}
(i) {3, 4} ∈ {{2}, {3, 4}}
(j) 0 = ∅
(k) 0 ∈ ∅
(l) (∀a)(a ⊂ {a})
(m) {4} ∈ {4, {4}}
(n) {4} ⊂ {4, {4}}
(o) 4 ∈ {4, {4}}
(p) {{a, b}, {c}} ∩ {a, b, {c}} = {{c}}
(q) {{a, b}, {c}} ∩ {a, b, {c}} = {a, b, c}
5. Relacione os conjuntos A e B, utilizando igualdades ou inclusões (e suas negações, se necessário):
(a) A = {x ∈ Z|x < 4} e B = {x ∈ Z|x2 < 15}
(b) A = {x | x é a letra da palavra �mentecapto�} e B = { x | x é a letra da palavra �contempla�}
(c) A = {x | x é quadrado de área menor do que 25 unidades} e B = { x | x é quadrado de perímetro
menor do que 30 unidades}
(d) A = {x∈ Z | x é par} e B = { x∈ Z| x é ímpar}
6. Apresente conjuntos A,B e C que satisfaçam as condições dadas:
(a) A ∪B = {a, b, c, 1, 2, 4}
(b) A ∪ C = {a, b, 1, 2, 3, 4}
(c) A ∩B = {a, b}
(d) A ∩ C = {1, 2}
(e) B ∩ C = {4}
(f) A ∪B ∪ C = {a, b, c, 1, 2, 3, 4}
7. Verifique se os seguintes conjuntos são iguais. Justifique sua resposta.
(a) A = ∅ e B = {x ∈ N|x2 = −4}
(b) A = {0, 1, 2} e B =
{
x ∈ R|x
3 − 3x2 + 2x
x
= 0
}
(c) A = N e B = {x ∈ Z|x ≥ 0}
(d) A = [0, 1] e B = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}
(e) A é o conjunto dos números pares; B é o conjunto dos números múltiplos de 4.
(f) A = {x ∈ N;x2 < 47; B = {x ∈ N;x < 6;
8. Sejam E = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f} e C = {e, f, g, h}. Encontre:
1
(a) A ∪B
(b) A ∪ C
(c) A ∩B
(d) A ∩ C
(e) B ∩ C
(f) A ∪B ∪ C
(g) B ∪ C
(h) A ∩B ∩ C
(i) C \B
(j) A \ C
(k) A \B
(l) {EB
(m) A ∩ {EC
(n) A \ {EB
(o) B ∩ {EB
(p) ({EB) \ C
9. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto U . Verifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa,
justificando sua resposta:
(a) A 6= B e B 6= C =⇒ A 6= C
(b) A ⊂/B e B ⊂ C =⇒ A ⊂/C
(c) A ⊂ B e B ∈ C =⇒ A ⊂ C
(d) x ∈ A e A ∈ B =⇒ x ∈ B
(e) A ∈ B e B ∈ C =⇒ A ∈ C
(f) (A \B) ∪ (A ∩B) = A
(g) A \B ⊂ A ∪B
(h) A ∩ (A ∩B) = A ∩B
(i) {n ∈ N;n > 300} ⊂ {n ∈ N;n > 200};
(j) {n ∈ Z;n2 > 20} ⊂ {n ∈ Z;n2 > 45};
(k) {n ∈ Z;n3 < −10} ⊂ {n ∈ Z;n3 < 1}.
(l) x ∈ A ∪B =⇒ x ∈ A
(m) x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A \B
10. Mostre que, se A, B, C e D são subconjuntos quaisquer de E, então são verdadeiras as afirmações
abaixo.
(a) A ∩B = B \ {EA
(b) (A \B) ∪ (B \A) = (A ∪B) \ (A ∩B)
(c) (A \B) ∪B = A ∪B
(d) A \B ⊂ A ∪B
(e) A ∪ (A ∩B) = A
(f) (A \B) = A \ (A ∩B)
(g) A ⊂ ∅ =⇒ A = ∅
(h) (A \B) ∩ (C \D) = (A ∩ C) \ (B ∪D)
11. Verifique que a proposição (∀A,∀B, ∀C)[(A ∪ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)] não é verdadeira. Mostre ainda
que essa proposição é equivalente a C ⊂ A.
12. A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é definida por
A∆B = (A \B) ∪ (B \A).
(a) Encontre {1, 2, 3, 4, 5}∆{1, 3, 4}.
(b) Mostre que A∆∅ = A.
(c) Mostre que A∆A = ∅.
(d) Mostre que (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
(e) Mostre que A∆B = B∆A.
2