Cálculo 1 - Limites

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Limites 
Armando Paulo da Silva 
armando@utfpr.edu.br 
www.pessoal.utfpr.edu.br/armando 
 
 
Tangente vem do latim “tangens”, que significa 
tocando. Assim uma tangente é uma reta que 
toca a curva. 
 
COMO TORNAR PRECISA A IDÉIA DE TANGENTE? 
 
Para um círculo, poderíamos simplesmente, 
como Euclides, dizer que a tangente é uma reta 
que intercepta o círculo uma única vez. 
 
 
Reta tangente 
 
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Reta tangente 
 
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• No caso geral não parece ser verdade como 
podemos ver no exemplo abaixo: 
 
 
Reta tangente 
 
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Graficamente o limite quando em 
 
 
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Interpretação de limite 
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• Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão 
próximos quanto queiramos de L, desde que 
tomemos os valores de x suficientemente 
próximos de a mas não iguais a a), então 
escrevemos , que deve ser lido 
 como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”. 
• Exemplo: Tomemos a função . 
Definição: 
2 9
3
x
f x
x



( )
x a
f x L

lim ( )
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x f(x) 
2,5 5,5 
2,8 5,8 
2,9 5,9 
2,99 5,99 
2,999 5,999 
2,9999 5,9999 
... ... 
 
Comportamento da função f(x) 
quando x se aproxima de 3 
x f(x) 
3,4 6,4 
3,2 6,2 
3,1 6,1 
3,01 6,01 
3,001 6,001 
3,0001 6,0001 
... ... 
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Note que: 
 
 - quanto mais x se aproxima de 3 
por valores menores do que 3, mais 
o valor de f(x) se aproxima de 6. 
 - quanto mais x se aproxima de 3 
por valores maiores do que 3, mais 
o valor de f(x) se aproxima de 6. 
Logo, Matematicamente, afirma-se: 
 
 
 3
 lim ( ) 6
x
f x

Prof. Armando Paulo da Silva 
• Se os valores de f(x) 
puderem ser tomados 
tão próximos de L 
quanto queiramos 
desde que tomemos 
os valores de x 
suficientemente 
próximos de a (mas 
maiores do que a), 
então escrevemos 
• Se os valores de f(x) 
puderem ser tomados 
tão próximos de L 
quanto queiramos 
desde que tomemos 
os valores de x 
suficientemente 
próximos de a (mas 
menores do que a), 
então escrevemos 
 
Definição de limites laterais 
 
lim ( )
x a
f x L


 
lim ( )
x a
f x L


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Relação entre limites laterais e 
bilaterais 
 
 
 O limite bilateral de uma função 
f(x) existe em um ponto a se, e 
somente se, existirem os limites 
laterais naquele ponto e tiverem o 
mesmo valor, isto é: 
se, e somente se, 
 
 
 
 
 lim ( )
x a
f x L


 
 lim ( ) lim ( )
x a x a
f x L f x
  
 
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Definição formal de limites 
 
 Seja f(x) definida num intervalo aberto 
I, contendo a, exceto possivelmente no 
próprio a. Dizemos que o limite de f(x) 
quando x aproxima-se de a é L, e 
escrevemos: 
 
 
 
 
 
 
 lim ( )
x a
f x L


se para todo  > 0, existe um  > 0, 
tal que 
( )f x L  
0 x a   
sempre que 
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Definição formal de limite 
 
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Definição de limite 
 
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0 x a    a x a    
 e x a
( )f x L  
( )L f x L    
Dando a definição formal de uma 
maneira que não contenha o símbolo 
de valor absoluto: 
i) equivale a 
ii) equivale a 
 
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Reformulando a definição de 
limites, teremos: 
Significa que, existe um 
tal que x está no intervalo aberto 
então f(x) está no intervalo aberto 
 
 
 lim ( )
x a
f x L


0  0 
a a x a   ( , ) e ,
L L  ( , ).
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• Usando a definição de limite, prove que 
Exemplo 1: 
 1
 lim(3 1) 2
x
x

 
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Determine um para o dado, 
tal que 
 4
 lim( 1) 3 ; =0,2
x
x 

 
0  
se 0 então ( )x a f x L     
Sabendo que 
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• Usando a definição de limite, prove que 
Exemplo 2: 
2
 4
 lim 16
x
x


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Determine um para o dado, 
tal que 
2
 2
 lim( 2 1) 1 ; =0,001
x
x x 

  
0  
se 0 então ( )x a f x L     
Sabendo que 
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• P1. Sejam a e c números reais quaisquer, 
 então , isto é, o limite de uma 
 constante é a própria constante. 
• P2. Se a, b, m são números reais, então 
 
 
Exemplo: 
 
 
PROPRIEDADES 
 
 lim
x a
c c


 
 lim( )
x a
mx b ma b

  
 4
 lim(3 5)
x
x

 
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PROPRIEDADES 
P3. Se 
lim ( )
x a
f x L


 e 
lim ( )
x a
g x M


então: 
a) 
 
lim[ ( ) ( )] 
x a
f x g x L M

  
 
b) 
 
lim[ ( ). ( )] . 
x a
f x g x L M


 
c) 
 
( ) L
lim = desde que M 0
( ) Mx a
f x
g x

 
d) 
 
 
lim ( ) ( p/ inteiro positivo n) 
n n
x a
f x L

 
 
e) 
 
lim ( ) , desde que L 0 p/ n par nn
x a
f x L

 
 
f) 
 
 
lim ln ( ) ln. , desde que L 0 
x a
f x L

 
 
g) 
 
 
lim cos f(x) cos( ) 
x a
L


 
h) 
 
 
lim sen f(x) sen( ) 
x a
L


 
i) 
( )
 
lim f x L
x a
e e


 
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2
 2
lim ( 3 1)
x
x x

  
Exemplo: Determine o seguinte 
limite: 
Teorema: Se f é uma função polinomial, então 
 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


 
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Exemplo: Calcule 
 2
 3
5 2 1
lim
6 7x
x x
x
 

 Teorema: Se f é uma função racional, e 
a pertence ao domínio, então 
 
lim ( ) ( )
x a
q x q a


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Em alguns casos não é possível calcular o valor 
do limite por simples substituição. Ao adotar tal 
procedimento nos deparamos com resultados 
do tipo 
 
Limites indeterminados 
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2 2
2 2 2
3
 1 8
3
1
 
3
2 4
) lim ) lim
( 4) ( 2)
3 2 2
) lim d) lim
( 1) ( 8)
27 1
) lim
3 1
x x
x x
x
x x x
a b
x x
x x
c
x x
x
e
x
 
 

  
 
  
 


Calcular os limites abaixo: 
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