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CCC UUU RRR SSS OOO DDD EEE GGG EEE OOO RRR RRR EEE FFF EEE RRR EEE NNN CCC III AAA MMM EEE NNN TTT OOO DDD EEE III MMM ÓÓÓ VVV EEE III SSS RRR UUU RRR AAA III SSS AAApppoooiiiooo IIInnnssstttiiitttuuuccciiiooonnnaaalll::: GGGEEEOOODDDÉÉÉSSSIIIAAA EEE SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS DDDEEE RRREEEFFFEEERRRÊÊÊNNNCCCIIIAAA PPPrrrooofff ... DDDrrr ... NNNiii eee lll NNNaaasssccc iiimmmeeennntttooo TTTeee iii xxxeee iii rrraaa Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 2 APRESENTAÇÃO O presente trabalho destina-se como material de apoio para a disciplina de Geodésia e Sistemas de Referência dos Cursos de Georreferenciamento de Imóveis Rurais, que leciono em várias Instituições de Ensino deste país. Qualquer citação ao presente trabalho deve ser feita, seguindo-se as normas da ABNT, como: TEIXEIRA, N. N. Geodésia e Sistemas de Referência. Apostila do Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais. UESC – DCAA, Ilhéus/BA, 2017, 110pp. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 3 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 4 1.1 CONCEITUAÇÃO 4 1.2 ATUAÇÃO DA GEODÉSIA 5 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 8 2.1 TOPOGRAFIA 8 2.2 CARTOGRAFIA 12 2.3 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO 13 2.4 SENSORIAMENTO REMOTO 15 2.5 CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS 15 2.6 ERROS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO DEVIDO À CURVATURA TERRESTRE E À REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA 17 2.7 FORMAS DA TERRA 26 3 SISTEMAS DE COORDENADAS E DE REFERÊNCIA 38 3.1 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS 40 3.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA TERRESTRE CONVENCIONAL 42 3.3 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 44 3.4 SISTEMA GEODÉSICO LOCAL 46 3.5 SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS RETANGULARES 47 3.6 SISTEMAS DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS LOCAIS 53 3.7 SISTEMAS DE REFERÊNCIA 57 3.8 SISTEMAS DE REFERÊNCIA GEODÉSICOS ADOTADOS NO BRASIL 61 4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE 72 4.1 ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO 73 4.2 SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAMENTE INVERSAS 83 4.3 LINHA GEODÉSICA 85 5 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E DE SISTEMAS DE REFERÊNCIA 88 5.1 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 88 5.2 TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE REFERÊNCIAS 103 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS 108 Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 4 1 INTRODUÇÃO 1.1 CONCEITUAÇÃO A palavra Geodésia de forma literal expressa a “divisão ou particionamento da Terra”, e foi utilizado pela primeira vez por Aristóteles (384-322 a.C.). No entanto, tal expressão não é suficiente para definir com clareza a amplitude de atuação e importância desta ciência, havendo então necessidade de buscar, através de autores renomados, conceitos e definições da mesma. Deste modo, segundo GEMAEL (1987), Geodésia é a ciência que tem como objeto a determinação da forma e dimensões do nosso planeta, bem como a determinação dos parâmetros definidores do campo da gravidade. Com o acréscimo de uma outra componente que são suas variações temporais. No entanto, com o desenvolvimento da era espacial a sua área de atuação inclui hoje outros componentes do sistema solar, como por exemplo, a Selenodésia, que tem como objetivo o estudo da forma, dimensões e movimentos da Lua. TARDI-LACLAVERE (1951), divide a Geodésia em duas partes que são: Geodésia Teórica ou Matemática e Geodésia Operacional. Segundo ele, a primeira trata do estudo da forma e das dimensões da Terra, enquanto a segunda, estabelece os procedimentos para a medida de porções da Terra, que por suas dimensões requerem a consideração da curvatura terrestre. WILSON (1908) define a Geodésia como sendo a ciência que soluciona questões envolvendo a forma e dimensão da Terra, compreendendo ainda: A medida exata de uma linha de base de alguns quilômetros; Determinação da latitude, longitude e azimute de um dos extremos; Ampliação de base, pela triangulação; e Cálculo da triangulação. BOMFORD (1962) afirma que a Geodésia é a divisão da Terra, cujo objetivo principal é o de estabelecer uma estrutura geométrica precisa para apoiar os levantamentos topográficos. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 5 A consecução dos objetivos da Geodésia se dá por meio de operações geométricas realizadas sobre a superfície terrestre (medidas angulares e de distância) associadas a esparsas determinações astronômicas; ou utilizar medidas gravimétricas que conduzam ao conhecimento detalhado do campo da gravidade; ou mais modernamente, valer-se de medidas efetuadas sobre satélites artificiais (GEMAEL, 1987). Considerando-se variedade de operações e conseqüentemente de dados,a Geodésia pode assim ser dividida: Geodésia Geométrica; Geodésica Física; e Geodésia Espacial, ou Celeste ou ainda por Satélites. Considerando-se o desenvolvimento tecnológico a Geodésia pode, ainda, ser dividida em: Selenodésia; e Geodésia Marinha. 1.2 ATUAÇÃO DA GEODÉSIA Geralmente, a atuação da Geodésia se dá na solução de problemas, que podem ser divididos em Científicos e Científicos-Práticos. No que diz respeito à atuação cientifica, a principal tarefa da Geodésia é o estudo da forma e das dimensões do nosso planeta, bem como, de seu campo gravitacional externo. A solução deste problema compreende (ZAKATOV, 1981): 1. Determinação das medidas e do tipo de superfície matemática regular que represente a forma adequada da figura da Terra em sua totalidade. Considera-se que tal superfície seja a de uma elipsóide de revolução achatado, também denominado de elipsóide terrestre; 2. O estudo da figura real da Terra e seu campo de gravitacional exterior. Por figura real da Terra se entende a superfície física real da Terra. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 6 O estudo da figura real da Terra compreende a determinações de parâmetros ou magnitudes geodésicas que expressam os desvios de sua superfície com relação à superfície do elipsóide terrestre. Outros problemas científicos da Geodésia são: Detecção e análise de movimentos tridimensionais da crosta terrestre; Determinação da estrutura interna da Terra; Determinação da diferença dos níveis médios dos mares e quantificação dos movimentos das linhas de costa dos oceanos; Estudo dos movimentos dos pólos; Lançamento de satélites artificiais e monitoramento de seus movimentos, em seu ciclo de vida útil; Dentre outros. Atualmente, a observação e descrição do 'campo de gravidade' e sua variação temporal, é o problema científico de maior interesse da Geodésia. No que diz respeito aos problemas científicos-práticos, a Geodésia se ocupa com o desenvolvimento dos mais modernos métodos e instrumentos para a execução de medições e observações de alta precisão, como por exemplo: Medições lineares: precisão melhor do que 1:500.000; Medições de ângulos horizontais: = 0 ,7”; Medições de distâncias zenitais: precisão de poucos segundos; Nivelamento geodésico: = 0,05 mm/km; Neste tipo de problema inclui-se a determinação de coordenadas geodésicas (, , h) de pontos da superfície terrestre, a nível local, regional e global, com relação a um sistema único de coordenadas. Deste modo, com os métodos geodésicos se determina coordenadas com alta precisão de alguns pontos da superfície terrestre, os quais são denominados de rede geodésica de apoio. Por outro lado, como complementação da Geodésia, a Topografia – com seus métodos – utiliza os pontos das redes geodésicas de apoio para determinar os detalhes de porções da superfície terrestre. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 7 A Geodésia também oferece apoio às atividades de Cartografia. Neste contexto estão inclusos as técnicas, metodologias e especificações para a mensuração e representação de grandes extensões da superfície terrestre, abrangendo em muitas aplicações cidades, estados e nações. Em geral, o profissional ligado às atividades de mensuração lida comumente com três superfícies: a) Superfície Física da Terra: superfície que é palco das operações topográficas, geodésicas e astronômicas; b) Geóide, superfície que melhor representa a forma da Terra, o qual é obtido pelo prolongamento do nível médio dos mares, não perturbado, através dos continentes. Esta figura é bem definida fisicamente, porém de difícil tratamento matemático, pois possui muitas irregularidades; c) Superfície do modelo geométrico: superfície de referência, sobre a qual são efetuados os cálculos geodésicos. Geralmente, está superfície é o elipsóide revolução, pois possibilita tratamento matemático e se aproxima muito do Geóide. O elipsóide de revolução é obtido pela rotação de uma elipse meridiana em torno de seu eixo menor. Estas três superfícies podem ser vistas na figura 1.1. FIGURA 2.2 – SUPERFÍCIES UTILIZADAS NA MENSURAÇÃO a b Pn Ps Q´ Q P Superfície Física Geóide Elipsóide de Revolução G h H Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 8 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS No capítulo 1 explanou-se as definições envolvendo a Geodésia. Neste capítulo iniciar-se-á definindo as ciências correlatas a Geodésia, que também lidam com o mapeamento e posicionamento, e semelhantemente à Geodésia estudam os elementos geométricos para a representação da superfície terrestre que são: a) Topografia; b) Cartografia; c) Astronomia de Posição; e d) Sensoriamento Remoto e Fotogrametria (esta já definida no capítulo 1). 2.1 TOPOGRAFIA A Topografia é a ciência aplicada, que utiliza a Geometria Plana e a Trigonometria Plana como ferramenta, definindo a posição relativa de pontos sobre a superfície da Terra utilizando medidas de distâncias, direções e alturas, ou seja, medidas geométricas sobre a superfície da Terra. Além disto, esta ciência abrange também locação de pontos necessários à construção de obras da Engenharia, Arquitetura e Agronomia, como por exemplo, barragens, loteamentos e construções rurais. A palavra Topografia provém do grego topos que significa lugar e graphos que significa descrição, ou seja, descrição exata e minuciosa do lugar ou terreno. Deste modo, a Topografia pode descrever exatamente o local de interesse, o que é feito tanto numericamente – por meio das coordenadas dos pontos, quanto geograficamente – por meio dos desenhos obtidos com as medidas de ângulos e distâncias, ou das respectivas coordenadas. Esta descrição exata e minuciosa do terreno, que envolve a determinação de seu contorno, dimensão e posição relativa, não leva em conta os efeitos da curvatura terrestre proveniente de sua esfericidade. Deste modo, o modelo da Terra é Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 9 reduzido à uma superfície plana, onde os cálculos tornam-se menos complexos, permitindo, como mencionado anteriormente, a utilização da Geometria e Trigonometria Planas. A importância da Topografia reside no fato de que para o projeto e execução de obras envolvendo a Engenharia, Arquitetura e Agronomia, é necessário o conhecimento detalhado do terreno no qual o projeto será desenvolvido, o qual se obtém através do levantamento topográfico do local. Este levantamento compreende as seguintes etapas: Medição de ângulos; Medição de distâncias; Cálculos; e Desenho topográfico. 2.1.1 Finalidade da Topografia A finalidade da Topografia é a representação no papel da configuração de uma porção da superfície terrestre com todos os seus acidentes e objetos, que é feita por meio de projeção ortogonal cotada. Esta projeção é realizada sobre uma superfície de nível, ou seja, sobre uma superfície definida pela propriedade de ser, em cada um de seus pontos, normal à direção da gravidade: as projetantes dos diversos pontos a representar são, pois, as verticais desses pontos. A esta projeção ou imagem figurada de terreno dá-se o nome de planta ou plano topográfico (ESPARTEL ,1982), conforme pode ser visto pela figura 2.1. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 10 FIGURA 2.1 – PROJEÇÃO ORTOGONAL COTADA Na figura 2.1 as verticais verdadeiras 1, 2, 3, 4 e 5 são substituídas pelas verticais A, B, C, D e E que são perpendiculares ao plano HH’, que é o plano topográfico, e consideradas paralelas entre si dentro da área a representar. A vertical é constituída por uma reta que une um ponto qualquer da superfície física da Terra ao centro de massa da mesma. Esta reta pode ser materializada pelo fio de prumo do teodolito. 2.1.2 Distinção entre a Topografia e a Geodésia Tanto a Topografia como a Geodésia são ciências ligadas ao mapeamento, nas quais repousam elementos geométricos para representação da superfície terrestre, e por isso, não raras às vezes utilizam os mesmos instrumentos, técnicas e metodologias. No entanto, há duas diferenças principais que estão no tratamento dos dados e na consideração dos efeitos da curvatura terrestre. A Topografia, como mencionado anteriormente, limita-se à descrição minuciosa de pequenas porções da superfície terrestre. De acordo com alguns autores de compêndios topográficos esta limitação se estende até a área descrita por um círculo de 25km, 30km ou 50km de raio. No entanto, de acordo com a NBR Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 11 13.133/1994 (Norma da ABNT que fixa as condições para a execução de levantamentos topográficos no Brasil) o plano topográfico possui dimensão máxima limitada a 80km. A Geodésia tem por objetivo a determinação da forma e dimensões da Terra, levando em conta os efeitos provenientes da curvatura da terrestre, bem como da refração atmosférica. Neste contexto estão implícitos os estudos de soluções que visam transformar a superfície do elipsóide em uma superfície plana como a dos mapas e cartas. A figura 3.2 ilustra os instrumentos utilizados em Geodésia. FIGURA 3.2 – INSTRUMENTOS UTILIZADOS EM GEODÉSIA Geralmente, as soluções dos problemas em Geodésia são resolvidos por matemática não-elementar,enquanto, em Topografia os problemas são menos complexos, não exigindo o mesmo rigor matemático. Considerando-se seu campo de Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 12 atuação, que é toda a Terra e alguns componentes do Sistema Solar, a Geodésia é a ciência que abrange o todo, enquanto a Topografia se atém aos detalhes. Deste modo, devido ao seu âmbito restrito a Topografia é um capítulo da Geodésia. Porém, ambas se completam para a harmonia do conjunto, do qual resultam as cartas geográficas e topográficas (ESPARTEL, 1982). 2.2 CARTOGRAFIA Cartografia é a ciência e a arte de expressar graficamente, por meio de mapas e cartas o conhecimento humano da superfície e o ambiente terrestre. É ciência porque essa expressão gráfica, para alcançar exatidão satisfatória procura um apoio científico que se obtém pela consecução de determinações astronômicas, topográficas e geodésicas, utilizando-se também da matemática e física como ferramenta. É arte quando se subordina às leis estéticas da harmonia, clareza e simplicidade, procurando atingir o ideal artístico da beleza. Esta expressão ou representação gráfica dos detalhes físicos, naturais e artificiais de uma área restrita ou extensa da superfície terrestre, é feita sobre uma superfície plana – denominada de mapa ou carta – por meio de escalas médias e pequenas, levando em consideração os efeitos da curvatura terrestre. Nesta representação também está implícito o posicionamento rigoroso destes detalhes, os quais são atrelados a um sistema de referência de coordenadas. No entanto, dificuldades existem no que diz respeito à representação gráfica de detalhes da superfície terrestre sobre uma superfície plana. Estas dificuldades são provenientes do fato da a esfera ou o elipsóide de revolução não serem superfícies desenvolvíveis, ou seja, não há como abrir sua superfície transformando-a em um plano, isto é, um mapa ou carta. Por isso, ao longo do tempo foram desenvolvidos diversos sistemas de projeção capazes de permitir a Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 13 transformação, ainda que aproximada, da superfície terrestre. A maioria das projeções cartográficas são referidas a um plano, cone ou cilindro. A projeção utilizada no Brasil para representação cartográfica é Projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), que foi originada a partir da projeção conforme de Gauss. A figura 2.3 mostra o esquema da projeção UTM. FIGURA 2.3 – ESQUEMA DA PROJEÇÃO UTM 2.3 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO A astronomia de posição, também conhecida como astronomia de campo, ou esférica tem por finalidade a determinação da posição geográfica de pontos e azimutes de orientação na superfície terrestre. Esta posição geográfica é composta pelas coordenadas latitude e longitude. É uma das ciências mais antigas, cujo objeto de estudo é a natureza, o movimento e distribuição dos corpos celestes, bem como, a constituição do universo em seu conjunto. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 14 As atividades relacionadas à Astronomia de campo desempenharam um importante papel na resolução de problemas científicos e práticos da Geodésia e Topografia, como por exemplo: Determinações astronômicas da latitude e longitude nos pontos das triangulações geodésicas; Determinações astronômicas da latitude e longitude de pontos da superfície terrestre, os quais serviram como pontos de apoio em levantamentos topográficos; Determinação do Norte Verdadeiro ou Geográfico nos levantamentos topográficos; Determinação das coordenadas geográficas de navios em mar, e de aviões no ar. Muitos problemas da Astronomia de Campo são solucionados via resolução do triângulo esférico, também conhecido como triângulo astronômico, de posição ou paralático (ZAKATOV, 1981). Este triângulo é formado por três pontos da esfera celeste: Pólo, Zênite e o Astro, ligados por arcos de círculos máximos. A figura 2.4 mostra o esquema de um triângulo de posição. FIGURA 2.4 – TRIÂNGULO DE POSIÇÃO Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 15 2.4 SENSORIAMENTO REMOTO É a ciência e arte de adquirir informações a respeito de um objeto, área ou fenômeno a partir de medidas feitas por sensores, sem que haja contato com este objeto, área ou o fenômeno em estudo. Sensores são equipamentos capazes de coletar energia eletromagnética proveniente do objeto, converte-la em sinal passível de ser registrado e apresenta-lo em forma adequada à extração da informação. Qualquer veículo, terrestre, aéreo ou orbital capaz de suportar qualquer tipo de sensor em condição de operação é denominado de Plataforma de Aquisição. As plataformas de aquisição terrestres, ou simplesmente plataformas terrestres, são aquelas que se deslocam na superfície do terreno. Quando o sensor é transportado a bordo de uma aeronave, a plataforma é denomina de plataforma aérea. E finalmente, quando o sensor é transportado a bordo de satélites ou transportadores espaciais em órbita em torno da Terra, diz-se que a plataforma utilizada é uma plataforma espacial. A figura 2.5 mostra, respectivamente, uma plataforma terrestre, aérea e espacial. FIGURA 2.5 – EXEMPLO DE PLATAFORMAS DE AQUISIÇÃO Plataforma Terrestre Plataforma Aérea Plataforma Espacial: Satélite Landsat As imagens provenientes destes sensores podem ser utilizadas em Sistemas de Informações Geográficas (SIG) e na produção de mapas. 2.5 CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS O quadro 2.1 apresenta algumas das características da Geodésia e das ciências afins. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 16 QUADRO 2.1 – CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS CIÊNCIA CARACTERÍSTICAS Topografia Aplicada a áreas restritas Desconsidera os efeitos da curvatura Terrestre Determina o posicionamento de pontos Representa superfícies Sistema de referência local Modelo matemático: Plano Geodésia Aplicada a áreas extensas Determina coordenadas de pontos com alta precisão Considera os efeitos da curvatura terrestre e da refração atmosférica Modelo matemático: Elipsóide de revolução Sistema de referência nacional, continental e global Astronomia de Posição Considera os efeitos da curvatura terrestre Modelo matemático: Esfera Determinação de coordenadas por meio de observações de astros Fotogrametria Considera os efeitos da curvatura terrestre Aplicada a áreas extensas Superfície de referência: o mesmo dos pontos de apoio Sensoriamento Remoto Aplicada a áreas extensas: possibilita a cobertura global da Terra Considera os efeitos da curvatura terrestre Considera o efeito de rotação da Terra Permite a produção de mapas Cartografia Considera os efeitos da curvatura terrestre Representa superfícies através de Sistemas de Projeção Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 17 2.6 ERROSPLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO DEVIDO À CURVATURA TERRESTRE E À REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA 2.6.1 Erro Planimétrico A superfície de referência utilizada na Geodésia é o elipsóide de revolução, pois possibilita o tratamento matemático e se aproxima muito do Geóide, que é a forma da Terra. Deste modo, os problemas relativos à esfericidade da Terra proveniente de sua curvatura, são considerados nas atividades geodésicas, ao passo que na Topografia, essa consideração não é levada a contento, pois a sua superfície de referência é reduzida ao plano topográfico local. Esta aproximação torna o campo de atuação da Topografia restrito à pequenas porções da superfície terrestre, onde é de suma importância a definição da extensão máxima de sua atuação. Para definir esta extensão considere-se a figura 2.6. FIGURA 2.6 – CURVATURA TERRESTRE: ERRO PLANIMÉTRICO Nesta figura estão implícitas as seguintes grandezas: R: raio da Terra; Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 18 : ângulo central, que faz separação entre os pontos a e b da esfera; A e B: dois pontos situados na superfície física da Terra; a e b: projeções ortogonais dos pontos A e B na calota esférica, segundo os raios terrestres OA e OB; b´: é a projeção do ponto B no plano topográfico; b”: ponto concebido no plano topográfico, com a condição de que o arco ab seja igual à tangente ab”. Com o intuito de determinar a extensão máxima do campo de atuação da Topografia, determina-se primeiramente as equações do arco ab e da tangente ab”, os quais são expressos, respectivamente, por: tg.R´ab´D , (2.1) )rad(.RabD . (2.2) A subtração da equação (2.1) pela equação (2.2) resulta no erro de distância entre as projeções D e D´, ou seja: )- tg.(RDab´ab"bb´ . (2.3) Pela série de Taylor, tem-se a seguinte equação quando o ângulo central () for pequeno: 3 tg 3 . (2.4) Substituindo a equação (2.4) na equação (2.3), tem-se: Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 19 3 RD 3, (2.5) obtendo-se: 3 .R D 3 , (2.6) mas, como .RD , (2.7) que substituindo na equação (2.6), resulta, finalmente, em: 2 3 R.3 D D . (2.8) A tabela 2.1 apresenta os valores dos erros planimétricos para os ângulos central de 5’, 10’, 15’, 20’, 25’, 30’, 35’, 40’ e 0º43’10,32” (que corresponde a uma distância de 80km), onde são utilizadas as equações (2.1), (2.2) 2 (2.3). O raio da Terra aqui considerado é de 6.370km. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 20 TABELA 2.1 – ERRO PLANIMÉTRICO Ângulo Central () (º ‘ “) Distância Horizontal (D´) (m) Distância Esférica (D) (m) Erro Planimétrico Absoluto (m) Relativo 0º05´00” 9.264,796 9.264,789 0,007 1 : 1.323.000 0º10´00” 18.529,631 18.529,579 0,052 1 : 355.000 0º15’00” 27.794,545 27.794,368 0,177 1 : 157.000 0º20’00” 37.059,576 37.059,158 0,418 1 : 88.000 0º25’00” 46.324,764 46.323,947 0,817 1 : 56.000 0º30’00” 55.590,148 55.588,737 1,411 1 : 39.000 0º35’00” 64.855,767 64.853,526 2,241 1 : 28.000 0º40’00” 74.121,661 74.118,316 3,345 1 : 22.000 0º43’10,32” 80.000,000 79.995,794 4,206 1 : 19.000 Da tabela 2.1 pode-se inferir que quando se deseja obter precisões relativas acima de, aproximadamente, 1:1.000.000, pode-se considerar dentro de um raio de 10km a superfície terrestre como sendo plana. Este raio de ação corrobora com a extensão máxima das poligonais da classe IIIP, normatizada pela NBR 13133/1994 para o “adensamento do apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como executado, e obras de engenharia”. Por outro lado, um raio máximo de ação de 80km como preconizado pela NBR 13133/1994 para levantamentos topográficos resulta em um erro relativo de, aproximadamente, 1:19.000, valor este acima do que aquele especificado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE (PR, nº22, de 21-07-83), no que diz respeito aos levantamentos geodésicos para fins topográficos, o qual é de 1:5000. 2.6.2 Erro Altimétrico Para avaliar o erro de esfericidade presente nos levantamentos topográficos devido ao efeito da curvatura terrestre, considere a figura 2.7. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 21 FIGURA 2.7 – CURVATURA TERRESTRE: ERRO DE ESFERICIDADE Nesta figura estão presentes os seguintes elementos: bB: altura do ponto B com relação à esfera; bb´=h: representa o erro de esfericidade, cujo valor pode ser obtido do triângulo retângulo OAb´; b1B=h: altura do ponto B com relação ao plano topográfico de referência, o qual é tangente à esfera pelo ponto A=a; as demais grandezas são definidas conforme a figura 2.6. Da figura 2.7, solucionado o triângulo retângulo OAb´, tem-se que: 222 )AO(´)Ab(´)Ob( , (2.9) que substituindo pelas grandezas presentes neste triângulo, fica: 222 R´D)hR( , (2.10) Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 22 e finalmente, 2222 R´Dhh.R.2R . (2.11) Como o valor de 2h pode ser negligenciado pelo fato do mesmo ser muito pequeno em comparação com o valor do raio da Terra, tem-se que: R.2 ´D h 2 . (2.12) Considerando-se o raio da Terra igual a 6370km, e substituindo-o na equação (2.12), o erro de esfericidade fica definido como: 2112 ´D.10.7849´D.90000000784,0h , (2.13) em que D´ é dado em metros (m). A tabela 2.2 apresenta alguns valores de erros altimétricos. TABELA 2.2 – ERRO ALTIMÉTRICO Distância (m) Erro de Esfericidade (m) Tolerância – NBR13133 Niv. Classe IN (12mm.K 0,5 ) Tolerância – IBGE P/ Fins Topográficos PR, nº 22; (6mm.K 0,5 ) 100 0,0008 0,0037 0,0019 200 0,0031 0,0054 0,0027 3000,0071 0,0066 0,0033 500 0,0196 0,0085 0,0042 750 0,0442 0,0104 0,0052 1000 0,0785 0,0120 0,0060 Observa-se pelos valores constantes na tabela 2.2 que o erro de esfericidade é proporcional à distância. Acima de 300m o erro de esfericidade é maior Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 23 do que a tolerância preconizada pela NBR13133/1994 para o nivelamento geométrico classe IN, enquanto que pela PR nº 22 do IBGE isto ocorre acima de 200m. Por isso, é sempre recomendável que as distâncias niveladas em Topografia não sejam superiores a 80m. Devido à magnitude destes erros na representação altimétrica, não se pode substituir a esfera terrestre por um plano tangente como é feito na representação planimétrica, e cuidados adicionais devem ser tomados quando se almeja precisão nos nivelamentos geométricos, como, por exemplo, instalar o nível a igual distância das estações a serem niveladas. 2.6.3 Refração Atmosférica Em todas as atividades topográficas e ciências afins, como por exemplo, a Geodésia e Astronomia de Posição, o fenômeno de refração encontra-se presente, como bem colocado por GEMAEL (1987): “refração...autêntico calcanhar de Aquiles das Ciências Geodésicas”. Nas visadas de um ponto a outro a refração atmosférica, também chamada de refração terrestre em decorrência do ponto visado ser terrestre, “levanta” o alvo, ou de outra maneira, pode-se dizer que ela “levanta” o ponto visado. Isto ocorre porque o plano topográfico definido pelo ponto A é uma linha curva (e não uma linha reta), de forma que a curvatura AS é dirigida para o centro de massa da Terra, conforme pode ser visto na figura 2.8. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 24 FIGURA 2.8 – REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA Uma outra forma de ilustrar este problema é mostrado na figura 2.9. FIGURA 2.9 – REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA NO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO Devido ao efeito da Refração Atmosférica, no nivelamento geométrico, por exemplo, a leitura de mira será maior do que a do Plano de Referência Horizontal, gerando no operador a percepção de que o ponto ou o alvo (mira, nesta caso) foi levantado. Na presença da refração atmosférica, o erro de esfericidade ( h ) devido à curvatura terrestre é menor, ficando definido pela seguinte equação: Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 25 h).k1(´h , (2.14) onde: h : erro de esfericidade devido à curvatura terrestre (equação 2.13); 'h : erro de esfericidade e refração; k: coeficiente de refração. O coeficiente de refração varia em função das condições meteorológicas, de forma que no Brasil cada região possui seu próprio coeficiente de refração, como mostra a tabela 2.3; nesta tabela também são mostrados alguns coeficientes adotados em alguns países da Europa. TABELA 2.3 – COEFICIENTES DE REFRAÇÃO Localidade Coeficiente (k) Brasil Rio de Janeiro 0,17 Ponta Grossa 0,07 Litoral do Nordeste 0,11 Resende 0,13 Juiz de Fora 0,15 Países Europeus França 0,1678 Alemanha 0,1306 Rússia 0,1237 Inglaterra 0,1587 Fonte: JORDAN (1981) e GEMAEL (1987) Não obstante a estes valores, no Brasil assim como na Alemanha a Diretoria do Serviço Geográfico adotou o valor médio de k = 0,13. Deste modo, com este valor a equação (2.14) é reduzida para: h.87,0´h . (2.15) Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 26 Aplicando este valor para o erro de esfericidade correspondente à distância de 500m, tem-se: 0,01710,0196 . 87,0´h m, valor este muito superior às tolerâncias preconizadas pela NBR13133/1994 e a PR, nº 22 do IBGE, que são de 0,0085m e 0,0042m, respectivamente. 2.7 FORMAS DA TERRA 2.7.1 Histórico Desde os tempos mais remotos de nossa civilização, o problema concernente ao estudo da forma da Terra, ocupou a mente dos grandes cientistas e renomados pensadores. Primeiramente deve-se considerar que a conclusão de que a forma da Terra era uma esfera e, posteriormente, um elipsóide de revolução não foi imediata. As primeiras especulações a respeito da forma da Terra surgiram com pensadores gregos, especificamente por contemporâneos a Thales de Miletus, por volta de 625 a 547 a.C. A idéia da forma da Terra concebida pelo próprio Thales de Miletus era a de um corpo no formato de um disco, o qual flutuava no oceano, enquanto, Anaximander de Miletus (611 a 545 a.C), teve uma idéia totalmente diferente. Sua concepção era a de uma Terra cilíndrica, com seus eixos orientados na direção leste- oeste. De Anaximander também foi a primeira proposição de uma esfera celeste (VANICEK e KAKIWSKY, 1996). Contudo, o primeiro pensador que chegou a conclusão de uma Terra esférica foi o filósofo e matemático grego Pitágoras (580 a 500 a.C), idéia esta que prevaleceu por mais de dois milênios. Pitágoras, pouco antes de sua conclusão, se recusava a aceitar a idéia simplificada de uma Terra plana. Sócrates tinha as mesmas concepções, Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 27 com a diferença de que não conseguia prova-las. Com a idéia da esfericidade da Terra amplamente aceita em redor do mundo, Dicaerchus (morto em 285 a.C.) introduziu a teoria de coordenadas esféricas. O astrônomo e matemático Erastótenes (276 a 194 a.C.) introduziu a noção de obliqüidade do eixo de rotação da Terra. No entanto, a realização mais interessante do ponto de vista geodésico, estaria ainda por vir. Erastótenes mediu a diferença de latitude entre Alexandria e Siena, a partir do qual determinou o tamanho da Terra, considerada esférica até então. A precisão alcançada nesta medição é considerada elevada para sua época, o que faz com seus resultados sejam discutidos no contexto dos resultados modernos das dimensões da Terra dentro do escopo da Geodésia. A consecução desta célebre realização de Erastótenes seguiu as seguintes etapas (OLIVEIRA, 1998): a) Constatou-se que no dia de solstício de verão, o Sol iluminava o fundo de um poço em siena,; b) Constatou-se que ao mesmo tempo, em Alexandria projetava uma sombra de 7º12’ que corresponde a 1/50 de um círculo, conforme pode ser visto pela figura 2.10; FIGURA 2.10 – EXPERIÊNCIA DE ERATÓSTENES Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 28 Baseado nestas afirmações, Eratóstenes considerou ainda que: No dia de solstício de verão, o Sol do meio dia se colocava diretamente sobre a linha da zona do trópico de verão (trópico de câncer), concluindo que Siena estava inclinada nesta linha; A distância linear entre Alexandria e Siena era de aproximadamente 500 milhas; Siena e Alexandria pertenciam ao mesmo meridiano; Com estas consideraçõesa circunferência da Terra foi calculada da seguinte forma: 50x500=25000 milhas, valor este que difere apenas 0,40% do valor aceito hoje pela União Internacional de Geodésia e Geofísica (UIGG). Com este trabalho Eratóstenes não apenas ficou famoso, como também, ocupou posições de prestígio em Alexandria, sendo considerado o fundador da Geodésia (VANICEK e KAKIWSKY, 1996). Após isto, no primeiro século da presente era, os gregos e os árabes também realizaram determinações das dimensões da Terra. Mas a Idade Média foi um período tenebroso, não só para a Geodésia, como também, para as outras ciências. Neste período os dados referentes à esfericidade da Terra e suas dimensões foram praticamente esquecidos, e nenhuma descoberta significativa neste campo da ciência foi registrado. Mas no final do século XV com as grandes viagens marítimas, conduzidas por Colombo, Vasco da Gama, Magellan, entre outros, as ciências geodésicas tomaram novo impulso, onde se iniciou novas pesquisas para a determinação da forma e das dimensões da Terra. Com isto, o século XVI foi marcado pela expansão do conhecimento geográfico, impulsionado pelo surgimento de uma nova atividade: a produção de mapas, ou Cartografia, que foi definida como a arte de representar o produto final da Geodésia (VANICEK e KAKIWSKY, 1996; ZAKATOV, 1981). Neste mesmo período iniciou-se também a utilização da do método da triangulação nos levantamentos geodésicos, que foi um importante fator do desenvolvimento das medições de graus, que eram as medições conduzidas sobre a superfície terrestre com objetivo de determinar o raio da Terra. Com isto surgiu a Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 29 possibilidade de medir grandes distâncias sobre a superfície terrestre. Ainda no século XVII considerava-se a Terra como sendo uma esfera; então, todas as atividades de determinar as dimensões da Terra eram reduzidas a determinação de seu raio. Deste modo, em 1670 o francês Picard realizou a primeira medição moderna do tamanho da Terra, em que chegou ao valor de 6275km para o seu raio, representando assim, a primeira melhoria em relação ao valor encontrado por Erastótenes em 19 séculos. Posteriormente, Isaac Newton (1642-1727) lançou as bases da lei da gravitação universal, onde demonstrou que a Terra tem o formato de um Elipsóide achatado no sentido dos pólos, o que foi confirmado através de expedições francesas no Peru (1735-1742), onde mediu-se um arco que atravessa o equador, e uma outra na Lapônia (1736-1737) onde foram conduzidas medições de grau próximos a latitude de 66º. Uma vez comprovada a teoria de Newton a respeito da figura da Terra como um Elipsóide, começou uma nova etapa nas pesquisas de determinação de tal figura, onde fundou-se dois métodos: geométrico e o físico. A partir de então, estes dois métodos foram utilizados de maneira independente para determinar a forma e as dimensões do planeta. O método geométrico era baseado nos resultados derivados das medições dos elementos geométricos da superfície terrestre, como por exemplo: distâncias, ângulos e direções. O método físico era baseado na determinação da aceleração da força da gravidade sobre a superfície terrestre. Apesar de terem sido utilizados de forma independente, estes dois métodos propiciaram uma conclusão unívoca: a figura da Terra é muito próxima ao Elipsóide de revolução, mas não coincide com o mesmo. Deste modo, na segunda metade do século XIX, o físico Listing propôs o nome de Geóide para a figura da Terra. 2.7.2 Formas da Terra Presentes nas Atividades de Mensuração Nas atividades de mensuração, rotineiramente, considera-se as seguintes formas da Terra: Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 30 Terra Plana: geralmente empregada para os levantamentos de pequenas áreas da superfície terrestre. Exemplo: Soluções de Topografia; Terra Esférica: forma empregada para representar a superfície da Terra quando á área é extensa. Exemplo: Soluções para mapas de reconhecimento da superfície terrestre; Terra Elipsóidica: forma adotada para representar as áreas de tamanho médio, ou grande. Exemplo: Soluções de Cartografia; Terra Geoidal: forma da Terra considerada como verdadeira. Exemplo: Soluções de Geodésia Física. 2.7.2.1 Terra Plana Como já mencionado anteriormente, a forma da Terra adotada na Topografia é o plano, onde são determinados o contorno e as dimensões da superfície terrestre sem considerar os efeitos de sua curvatura. Mais detalhes podem ser vistos na seção 2.1.1 (Finalidade da Topografia). 2.7.2.2 Terra Esférica A conceituação envolvida na Astronomia de Posição baseia-se na hipótese da Terra e do Universo serem representados pela forma esférica. Deste modo, a Terra e o Universo são considerados esferas concêntricas. Em Geodésia, quando se necessita realizar cálculos aproximados ou quando as distâncias entre os diversos pontos são relativamente pequenas, também considera-se a Terra como uma esfera, devido à facilidade dos cálculos utilizando esta forma. Na Cartografia, no estudo de Projeções Cartográficas, utiliza-se o conceito de esfera-modelo. Este conceito baseia-se numa esfera imaginária desenhada na escala da projeção, e que serve como construção auxiliar para obtenção das projeções geométricas (Figura 2.11). Deste modo, quando se Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 31 considera a Terra como sendo esférica, o erro obtido é muito pequeno em virtude das escalas de projeção. FIGURA 2.11 – PROJEÇÕES GEOMÉTRICAS Na figura 2.11, tem-se três projeções geométricas, que são: Planas (ou Azimutais), Cônicas e Cilíndricas, que são superfícies desenvolvíveis que melhor se adaptam à esfera. Um outro exemplo bastante simples de representação da Terra esférica é o globo terrestre, que constitui uma representação tridimensional da superfície terrestre, livre de deformações. A figura 2.12 apresenta a ilustração de um globo terrestre. FIGURA 2.12 – GLOBO TERRESTRE O raio da esfera terrestre está relaciona-se diretamente com a escala utilizada. Deste modo, quando a escala é maior que 1:500.000, o raio da Terra pode ser calculado por: Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 32 22 sen.e1 b R , (2.16) onde: b: é o semi-eixo menor do elipsóide; e 2 : é a excentricidade; : é a latitude geodésica. E, quando a escala é menor do que 1:500.000, o raio da Terra pode ser calculado por: 2 ba R , (2.17) onde a e b, são, respectivamente, os semi-eixos maior e menor do elipsóide. 2.7.2.3 Elipsóide de Revolução É a superfície de referência adotada na Geodésia como o modelo geométrico para os cálculos geodésicos. Esta adoção se deve ao fato de que o elipsóide revolução se aproxima muito da forma real da Terra, que é o Geóide, e possibilita todo um tratamento matemático. O elipsóide de revolução ou biaxial é proveniente da rotação de uma elipsemeridiana em torno de seu eixo menor, o que torna tal elipsóide achatado. Se tal rotação fosse em torno de seu eixo maior ter-se-ia um elipsóide alongado. De qualquer forma, em Geodésia é utilizado o elipsóide de revolução ou biaxial. A figura 2.13 mostra uma elipse meridiana. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 33 FIGURA 2.13 – ELIPSE MERIDIANA A elipse meridiana pode ser definida de diversas formas. Em Geodésia, ela é definida pela sua dimensão e forma. A dimensão pelo seu semi-eixo maior (a) e a forma pelo achatamento (f). O achatamento (f) é definido por: a ba f . (2.18) O que ocorre na Geodésia é que as medições são realizadas na superfície física da Terra, mas os cálculos são efetuados na superfície do elipsóide (modelo teórico), conseqüentemente, os resultados são reduzidos a esta superfície. Praticamente, a Geodésia do século XIX se concentrou na pesquisa dos parâmetros do melhor elipsóide, por meio de levantamentos geodésicos associados à determinações astronômicas, e à medidas gravimétricas (GEMAEL, 1987; ZAKATOV, 1981). Com o surgimento das Técnicas Espaciais de Posicionamento, esta pesquisa ganhou mais um aliado que são os satélites artificiais, os quais propiciaram maior rapidez e precisão na determinação dos parâmetros definidores da figura da Terra. Deste modo, em diversos países foram definidos vários elipsóides que representavam a realidade regional e do momento na qual eram concebidos. No entanto, com o passar dos anos, as técnicas e a instrumentação de mensuração Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 34 geodésica evoluíram, possibilitando a determinação de parâmetros mais precisos para o elipsóide de revolução. Esta dinâmica resultava na substituição dos antigos elipsóides pelos novos. A tabela 2.3 mostra os parâmetros definidores de alguns elipsóides de revolução. TABELA 2.3 – ELIPSÓIDES DE REVOLUÇÃO Elipsóide Ano de Definição Parâmetros Semi-eixo maior (m) Achatamento Bessel 1841 6.377.397,000 1:299,15 Clarke 1866 6.378.206,000 1:295,00 Clarke 1880 6378.249,000 1:293,50 Hayford 1910 6378.388,000 1:297,00 krasovsky 1936 6.378.210,000 1:298,60 krasovsky 1940 6.378.245,000 1:298,30 SGR-67 1967 6.378.160,000 1:298,25 GRS80 1980 6.378.137,000 1:298,257222101 O elispóide SGR-67 corresponde à figura geométrica para a Terra do antigo Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), que era o Datum Sul-Americano de 1969 (South American Datum of 1969 – SAD69). Enquanto o elipsóide GRS80 representa a figura geométrica para a Terra do atual SGB, que é o Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano 2000, ou seja: SIRGAS2000. 2.7.2.4 Geóide É uma superfície de nível, obtida pelo prolongamento do nível médio dos mares, não perturbados (sem influência de marés e correntes), através dos continentes. Esta superfície é uma superfície equipotencial, pois todos os pontos desta superfície, possuem o mesmo potencial gravitacional (W), definido pela seguinte equação: Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 35 QVW , (2.19) em que: W: é o potencial gravífico ou da gravidade; V: é o potencial de atração ou newtoniano; Q: é o potencial centrífugo ou de rotação. As superfícies equipotenciais do campo da gravidade, cujo potencial gravífico é constante (W=C te ), são denominadas de geopes. Deste modo, os geopes devido à não homogênea distribuição de massas, são superfícies suavemente irregulares, e perpendiculares em todos os seus pontos, às linhas de força do campo. Estas linhas de força do campo gravífico são denominadas de verticais, que são curvas reversas (GEMAEL, 1999), conforme pode ser visto pela figura 2.14. FIGURA 2.14 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS DO CAMPO DA GRAVIDADE DA TERRA Deste modo, o Geóide constitui uma determinada superfície equipotencial do campo da gravidade, ou seja, é o geope que mais se aproxima do nível médio dos mares (VANICEK e KAKIWSKY, 1996). Devido ao seu Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 36 prolongamento ao longo dos continentes e ilhas (regiões que representam 25% da superfície terrestre), o Geóide encontra-se no interior da crosta. A figura 2.15 mostra o modelo geoidal TUM-2S, determinado a partir de 24 meses de observações gravimétricas dos satélites da missão CHAMP-GPS. FIGURA 2.15 – GEÓIDE GRAVIMÉTRICO Observações geodésicas recentes mostraram que o Geóide pode se ajustar num elipsóide de revolução geocêntrico (quando o centro do elipsóide coincide com o centro de massa da Terra), com uma proximidade de até algumas dezenas de metros. Neste ajustamento (Geóide-Elipsóide) o eixo menor do elipsóide coincide com o eixo polar de inércia da Terra. Quando estas condições são plenamente satisfeitas, o elipsóide é chamado de “normal body of the Earth – corpo normal da Terra”, ou por alguns pesquisadores de “mean Earth ellipsoid – elipsóide médio da Terra”, ou ainda de elipsóide geocêntrico de referência (VANICEK e KAKIWSKY, 1996), o qual pode ser visto na figura 2.16. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 37 FIGURA 2.16 – ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO COMO UM CORPO NORMAL DA TERRA Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 38 3 SISTEMAS DE COORDENADAS E DE REFERÊNCIA Numa primeira análise, em se tratando de Sistemas de Coordenadas para utilização em mensurações, bastaria definir um sistema de coordenadas cartesianas plano retangular (X, Y) que o problema estaria resolvido, uma vez que as operações topográficas são realizadas considerando-se um plano horizontal de referência. Em se tratando de levantamento topográfico onde as alturas (componente z ou cota) relativas dos pontos do terreno são requeridas, acrescentar-se-ia no sistema de coordenadas esta informação, em que este sistema ficaria definido por: (X, Y, Z) ou (X, Y, Cota), como pode ser visto pela figura 3.1. FIGURA 3.1 – SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS Na figura 3.1 o plano topográfico é tangente a esfera pelo ponto A. Deste modo, têm-se os seguintes elementos: Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 39 - Xa, Ya e Za: Coordenadas do ponto A; - Xb, Yb e Zb: Coordenadas do ponto B; - AO: Vertical do Ponto A; - Bb´:Vertical do ponto B. De forma rigorosa a vertical do ponto B é a linha reta OB; mas devido à não consideração da curvatura terrestre em face do plano topográfico, a vertical do ponto B é definidapela linha reta Bb´, perpendicular a este plano e paralela à vertical do ponto A. No entanto, com a evolução das técnicas e instrumentação de mensuração, especialmente, com o advento do Sistema de Posicionamento Global (GPS), a possibilidade de se obter nos levantamentos topográficos precisões do âmbito da Geodésia, é uma realidade palpável. E com isto, o profissional que lida com Topografia precisa ampliar seu leque de conhecimento das disciplinas de Geotecnologias que regem as atividades de representação da superfície terrestre. Entre estas disciplinas, encontra-se a de “Sistemas de Coordenadas”, pois com esta evolução, um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z) arbitrário, nem sempre refletirá a realidade envolvida no levantamento, quer seja quanto à sua finalidade, técnica empregada e/ou instrumentação utilizada. Um outro motivo para o conhecimento de Sistemas de Coordenadas, é quanto à utilização do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), sistema na qual muitas das atividades de posicionamento devem estar referenciadas, algumas delas por determinação da lei, como por exemplo: Georreferenciamento de Imóveis Rurais; Rede de Referência Cadastral Municipal; e Cadastro Técnico Municipal; No contexto das atividades de posicionamento, os sistemas de coordenadas mais utilizados são: 1. Sistema de Coordenadas Astronômicas ou Geográficas; 2. Sistema de Referência Terrestre Convencional; 3. Sistema de Coordenadas Geodésicas; 4. Sistema Geodésico Local Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 40 5. Sistema de Coordenadas Planas Retangulares; 6. Sistemas de Coordenadas Topográficas Locais. 3.1 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS As latitudes (a) e longitudes (a) astronômicas dos pontos da superfície física da Terra, bem como, os azimutes (Aa) de orientação são determinados por observações em corpos celestes, especificamente, o Sol e as estrelas, via procedimento de Astronomia de Posição, onde considera-se a Terra como uma esfera de raio arbitrário, denominada de esfera celeste. A figura 3.2 mostra as coordenadas latitude (a) e longitude (a) na esfera celeste FIGURA 3.2 – COORDENADAS ASTRONÔMICAS Na figura 3.2 a linha reta OA representa a vertical do ponto A. A latitude astronômica (a) do ponto A é o ângulo formado entre a sua vertical (OA) e a sua projeção no plano equatorial. Varia de 0º a 90º para o norte ou para o sul, sendo Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 41 positivo no hemisfério norte, e negativo no hemisfério sul. A longitude astronômica (a) é o ângulo diedro formado entre o meridiano astronômico médio de Greenwich e o meridiano astronômico do ponto A. Este ângulo varia de 0º a 180º para oeste ou leste. 3.1.1 Altitude Ortométrica Altitude ortométrica é a distância contada, ao longo da vertical, de um ponto qualquer da superfície física da Terra até o Geóide. Esta altitude possui significação física, pois tem valor igual a zero (H=0,0m) no nível médio dos mares e, a água corre desde um ponto de altitude ortométrica maior para um de valor menor. Isto torna a altitude ortométrica útil para aplicações de engenharia, arquitetura e agronomia.A figura 3.3 ilustra o conceito de altitude ortométrica. FIGURA 3.3 – ALTITUDE ORTOMÉTRICA Nível Médio dos Mares P P´ H Geóide Vertical de P Wo Wp Na figura 3.3 as grandezas Wo e WP, representam o geopotencial no Geóide e no ponto P, respectivamente. A diferença entre eles chama-se Número Geopotencial de um ponto P da superfície física da Terra, que corresponde ao trabalho da gravidade para transportar a unidade de massa entre as duas superfícies equipotenciais, ou seja, entre a superfície do geóide e do ponto P (GEMAEL, 1999). Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 42 3.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA TERRESTRE CONVENCIONAL Um sistema de coordenadas cartesianas geocêntricas é, por definição, aquele cuja origem coincide com o centro de massa da Terra (Geocentro) e cujos eixos (X, Y, Z) são solidários com ela (VANICEK e STEEVES, 1996). O sistema de coordenadas cartesianas geocêntricas mais comum em Geodésia é o CTRS. Este sistema de referência é o mais utilizado pelos sistemas espaciais de posicionamento (COSTA, 1999, p. 11). Um CTRS é definido como (COSTA, 1999, p. 11; NIMA, 2000, p. 2-1): É geocêntrico, com o centro de massa sendo definido para toda a Terra, incluindo oceanos e atmosfera; Sua escala é aquela definida pelo arcabouço “frame” terrestre local, dentro do conceito da teoria relativística da gravitação; Sua orientação foi inicialmente dada pelo Bureau International de I´Heure (BIH) para a época 1984,0; A evolução temporal de sua orientação não deve permitir rotação global residual com relação à crosta terrestre. A figura 3.4 mostra o CTRS. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 43 FIGURA 3.4 – REPRESENTAÇÃO DO CTRS Z Y X Centro de Massa da Terra Plano Equatorial Médio Eixo de Rotação Médio da Terra Plano Meridiano Médio de Greenwich G CIO Na figura 3.4, a origem e os eixos são definidos como (NIMA, 2000, p. 2-2): Origem no centro de massa da Terra (G), definido fisicamente; Eixo Z é o eixo de rotação médio da Terra, que coincide com o Conventional International Origin (CIO) e é positivo no sentido norte; o eixo de rotação médio é determinado pelas estações de observação do International Earth Rotation Service (IERS) desde 1988 em que o pólo norte fica designado como Conventional Terrestrial Pole (CTP); O plano XZ é escolhido de tal forma que seja paralelo ao plano meridiano médio de Greenwich; O plano XY corresponde ao plano equatorial médio; Os eixos X, Y e Z são ortogonais entre si e formam um sistema destrógiro. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 44 3.3 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS A superfície utilizada para representar as coordenadas geodésicas é aquela que mais se aproxima do Geóide, ou seja, o elipsóide revolução, geometricamente representado pelos seus parâmetros: semi-eixo maior (a) e achatamento (f). As coordenadas referidas ao elipsóide de revolução são: latitude geodésica (), longitude geodésica () e altitude elipsoidal ou geométrica (h). Estas coordenadas podem ser vistas na figura 3.5. FIGURA 3.5 – COORDENADAS GEODÉSICAS Na figura 3.5 a linha reta PI é normal ao elipsóide de revolução, conduzida a partir do ponto P. Deste modo, as coordenadas geodésicas mostradas nesta figura, são definidas como: Latitude geodésica () de um ponto P qualquer é o ângulo formado pela normal do ponto P com sua projeção equatorial. Também é considerada como sendo a latitude elipsóidica de P´, projeção normal (ou projeção de HELMERT) de P sobre o elipsóide (GEMAEL, 1987). A latitude geodésica varia de 0º a 90º, sendo positiva no pólo norte, onde é representado por =+90º ou =90ºN. No pólo sul ela énegativa, onde é representada por =-90º ou =90ºS. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 45 Longitude geodésica (): de um ponto P qualquer é o ângulo formado pela elipse meridiana que contém Greenwich e a elipse meridiana que contém o ponto P, medido sobre o equador. Também definido como o ângulo diedro formado pelos meridianos geodésicos de Greenwich, o qual é a origem (=0º), e o meridiano do ponto P. Cresce no sentido leste, variando de 0º 360º, ou positivamente no sentido leste variando de 0º a 180ºE, e negativamente no sentido oeste variando de 0º a 180ºW. Altitude elipsoidal ou geométrica (h) é a distância do ponto P, na superfície física da Terra, até o elipsóide (P´), contada ao longo da normal. Deste modo, um ponto P da superfície física da Terra tem a sua posição definida sem ambigüidade pela tríade geodésica (, , h). A figura 3.6 mostra as coordenadas geodésicas de um ponto genérico Pi, juntamente com suas coordenadas cartesianas tridimensionais. FIGURA 3.6 – COORDENADAS CARTESIANAS E GEODÉSICAS Z Y X O iY iX iZ i i ih iP iP ´ I G Pn Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 46 3.4 SISTEMA GEODÉSICO LOCAL Ao lado do CTRS é de significação o SGL ou sistema de coordenadas cartesianas elipsóidicas topocêntricas, porque as medidas geodésicas terrestres, como a distância entre dois pontos, o ângulo zenital elipsóidico e o azimute geodésico, ilustrados pela figura 3.7, a ele estão ligados pela direção da normal do ponto P0. FIGURA 3.7– REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA GEODÉSICO LOCAL Z Y X O h Z* Y* X* 01 Ag 01 01 d oP 1 P Na figura 3.7 , e h representam, respectivamente, a latitude geodésica, a longitude geodésica e a altitude elipsoidal do ponto P0. São propriedades do SGL (COSTA, 1999, p. 15; MORAES, 2001, p.152): Sistema cartesiano levógiro com origem no topocentro (P0); Não está associado com as características físicas da Terra; adota-se o elipsóide de revolução, para a representação das coordenadas geodésicas; G Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 47 Eixo Z* está contido no plano meridiano elipsóidico e tem sentido para o zênite elipsóidico; Eixo X* está contido no plano meridiano elipsóidico e tem sentido positivo para o norte geodésico; Eixo Y* coincide com a direção leste-oeste elipsóidica e tem sentido positivo para o leste; O plano X*Y* forma o horizonte elipsóidico topocêntrico que é perpendicular à normal do ponto P0; O azimute geodésico Ag da posição P1 em relação a posição de P0 é definido como o ângulo entre o plano meridiano elipsóidico de P0 e o plano formado pelo eixo Z* e o ponto P1; O ângulo zenital elipsóidico é o ângulo entre a normal elipsóidica no ponto P0 e o segmento de reta que liga o ponto P0 ao ponto P1; situa-se no intervalo 0 . 3.5 SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS RETANGULARES Como observou-se anteriormente, a forma da Terra não é plana, e a depender da finalidade ou da ciência ela pode ser representada por uma esfera, elipsóide ou mesmo por sua forma real que é o Geóide. No entanto, quando se retrata de representação da superfície, esta é feita em mapas, que são planos. A partir de então as dificuldades começam a surgir, pois nem a esfera e nem o elipsóide são superfícies desenvolvíveis, ou seja, não se pode planifica-las sem que haja deformações. Deste modo, quando se deseja representar a superfície terrestre em forma de cartas ou mapas, deve-se fazer uso dos sistemas de projeção, os quais permitem – de forma aproximada – a transformação da superfície terrestre. A maioria das projeções cartográficas são referidas a um plano, cone ou cilindro, conforme ilustra a figura 3.8. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 48 FIGURA 3.8 – PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS A partir da utilização dos sistemas de projeção são obtidas as coordenadas planas da superfície terrestre. Para que isto ocorra é necessário o estabelecimento de uma relação pontual e unívoca entre a superfície de referência, esfera ou elipsóide, e a superfície do desenho, a qual é plana. De forma geral, o que se trata nesta relação é a estimação das coordenadas planas (N, E) a partir das coordenadas (, ) de um ponto qualquer situado na superfície de referência, que pode ser a esfera ou o elipsóide. A terceira coordenada se refere a elevação do ponto, que geralmente é a altitude ortométrica (H). A projeção utilizada para representação cartográfica no Brasil é a projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), originada a partir da projeção conforme de Gauss. Esta projeção consiste num cilindro transverso ao eixo de rotação da Terra. A tangência do cilindro com a esfera se dá ao longo do meridiano central do fuso (figura 3.9). Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 49 FIGURA 3.9 – PROJEÇÃO CONFORME DE GAUSS Como visto pela figura 3.9, tem-se nesta projeção um conjunto de quadrículas, denominado de canevas, onde as retas verticais representam os meridianos e as retas horizontais representam tanto o equador como os paralelos. Esta projeção pode ser utilizada tanto para a Terra esférica como para elipsóidica. No caso da Terra esférica, os paralelos e meridianos são circunferências, e no caso da Terra elipsóidica, os paralelos são circunferências e os meridianos são elipses. Umas das grandes vantagens desta projeção e a representação de grandes áreas da superfície terrestre sobre um plano com poucas deformações. 3.5.1 Projeção UTM A projeção UTM, originada a partir da projeção conforme de Gauss, é um sistema de coordenadas retangulares útil às atividades de mensuração, pois permite a representação de extensas áreas da superfície terrestre, efetuando significativo controle de distorções provenientes dos efeitos da curvatura terrestre. Além disto, a projeção UTM é amplamente utilizada para fins de mapeamento, pesquisa científica, planejamento e execução de obras de engenharia, dentre outras. Esta projeção pode ser vista na figura 3.10. Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 50 FIGURA 3.10 – PROJEÇÃO UTM Observa-se pela figura 3.10 que a Projeção UTM é uma projeção cilíndrica conforme, pois possui um cilindro secante à superfície de referência, orientado de forma quer o eixo do cilindro esteja no plano do equador. O cilindro secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro da superfície de referência, criando assim, duas linhas de intersecção entre o cilindro e a superfície de referência. A área de projeção compreende apenas uma parcela da superfície de referência. Essa área é denominada de Fuso ou Zona. Cada fuso é representado pelo número do Fuso ou pela longitude do seu meridiano central. A figura 3.11 ilustra a área de projeção. FIGURA 3.11 – ÁREA DE PROJEÇÃOGeodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 51 No meridiano central o fator de redução de escala é: Ko= 0,9996. Nas linhas de secância a deformação é nula, ou seja: K= 1,0000. Entre as linhas de secância a escala é menor que a verdadeira, tem-se então: K<1, e na área exterior às linhas de secância a escala é maior que a verdadeira: K>1. Estas diferenças de escalas existem devido ao aumento do espaçamento entre os meridianos à medida que eles se afastam do meridiano central. No entanto, para manter a proporcionalidade da projeção conforme, a escala na direção norte-sul também é distorcida, fazendo com que haja uma escala diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do meridiano. As demais especificações da projeção UTM são: a) Projeção conforme de Gauss: cilíndrica, transversa e secante em dois pontos (figura 3.10); b) Amplitude dos fusos de 6º; c) Longitude de origem: a longitude do meridiano central do fuso; d) Latitude de origem: Equador com 0º; e) Falso Norte (translação norte): 10.000.000 m para o hemisfério sul; f) Falso Este (translação este): 500.000 m; g) Paralelos e meridianos interceptam-se em ângulos retos na projeção h) As zonas são numeradas de 1 a 60, a partir do antimeridiano de Greenwich, no sentido crescente para leste (figura 3.12); Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 52 FIGURA 3.12 – O MUNDO DIVIDIDO EM FUSOS DE 6º i) Limites de abrangência do sistema entre as latitudes: 84º N e 80º S; j) Os meridianos são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano central e os paralelos são representados pro linhas côncavas em relação ao pólo mais próximo, exceto a linha do equador e a linha de meridiano central de cada fuso que são representadas por linhas retas na projeção, como pode ser observado pela figura 3.13. FIGURA 3.13- REPRESENTAÇÃO DOS PARALELOS E MERIDIANOS NA PROJEÇÃO UTM Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 53 Na projeção UTM as coordenadas relativas aos eixos das ordenadas e das abscissas são representados pelas letras N e E, respectivamente. No eixo N, as ordenadas são positivas ao norte e negativas ao sul; enquanto que no eixo E, são positivas a leste, e negativas a oeste. É por isso, que no hemisfério sul se acrescenta as constantes 10.000.000m no eixo das ordenadas e 500.000m no eixo das abscissas, a fim de se evitar valores negativos. A figura 3.14 mostra o esquema do sistema de coordenadas retangulares da projeção UTM. FIGURA 3.14 – SISTEMA DE COORDENADAS UTM: HEMISFÉRIO SUL 3.6 SISTEMAS DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS LOCAIS O Sistema Topográfico Local (STL) é utilizado na estruturação da Rede de Referência Cadastral Municipal (cujo procedimento é descrito na NBR 14166) sendo sua implantação e manutenção atribuição e responsabilidade da administração municipal através de um órgão gestor. Em Topografia utiliza-se o Sistema de Coordenadas Topográfico Local, definido pela NBR 14166 – Rede de Referência Cadastral Municipal, por: “Sistema de representação, em planta, das posições relativas de pontos de um levantamento topográfico com origem em um ponto de coordenadas Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 54 geodésicas conhecidas, onde todos os ângulos e distâncias de sua determinação são representados em verdadeira grandeza sobre o plano tangente à superfície de referência (elipsóide de referência) do sistema geodésico adotado, na origem do sistema, no pressuposto de que haja, na área de abrangência do sistema, a coincidência da superfície de referência, com a do plano tangente, sem que os erros decorrentes da abstração da curvatura terrestre ultrapassem os erros inerentes às operações topográficas de determinação dos pontos do levantamento.” A figura 3.15 ilustra o Sistema Topográfico Local. FIGURA 3.15 - SISTEMA TOPOGRÁFICO LOCAL Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 55 Deste modo, o sistema de coordenadas plano-retangulares possui as seguintes características: Sua origem coincide com o Sistema Topográfico Local (STL), sendo esta um ponto de coordenadas geodésicas conhecidas; Os eixos X e Y estão no plano do horizonte local, tangente ao elipsóide de referência; O eixo Y coincide com a meridiana (linha norte-sul) geográfica, sendo orientado positivamente para o norte geográfico; e O eixo X coincide com a linha leste-oeste orientado positivamente para leste. Os pontos medidos no terreno são definidos por coordenadas cartesianas plano-retangulares ( xi ,yi ). A origem do Sistema Topográfico Local deve estar posicionada de modo que nenhuma coordenada plano-retangular, isenta do seu termo constante, tenha valor superior a 50 km, conforme visto na figura 3.16. FIGURA 3.16 – DISTÂNCIA MÁXIMA DO STL À ORIGEM Com o objetivo de se evitar valores negativos para estas coordenadas, são adicionadas as constantes 150.000 m a Xi e 250.000 m a Yi, com isso todas as abscissas iniciarão com o algarismo 1 e as ordenadas com o algarismo 2. O fator de elevação (c) eleva O plano do horizonte local à altitude ortométrica média, da área de abrangência do sistema, aplicando-se às coordenadas plano-retangulares de todos os pontos levantados geodésica e topograficamente Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 56 representados no STL, o fator de elevação (c) , que eleva este plano ao nível médio do terreno da área de abrangência do sistema caracterizando o Sistema Topográfico Local. O fator de elevação (c) poder ser calculado pela seguinte equação: m tm R hR c , (01) onde: c: o fator de elevação; ht: a altitude média do terreno em metros; Rm: o raio médio terrestre é expresso por: N.MR m , (02) em que: M é o raio de curvatura da seção meridiana, definido como: 2/322 2 )sene1( )e1(a M , (03) e N é o raio de curvatura da seção 1º vertical, dado por: 2/122 )sene1( a N . (04) A área de abrangência do sistema deve ser reduzida para desníveis superiores a 150 m. As coordenadas plano-retangulares (X, Y) dos marcos geodésicos de apoio imediato no STL são obtidas a partir de suas coordenadas geodésicas (.1, ë1) e das coordenadas da origem do sistema (.0 ,ë0 ), através da solução do problema inverso do transporte de coordenadas geodésicas onde calcula-se a distância e o azimute entre eles ( d01 , A01). Neste sistema as distâncias calculadas não precisam ser ajustadas pelo fator de escala (do sistema UTM), a elas devem ser aplicadas as
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