Cap.2 Flexão 2014 Rev. Fev. 2015 (1)

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CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 2 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG 
 
Fevereiro 2015 
 
FLEXÃO NORMAL SIMPLES 
__________________________________________________________________________ 
 
 
2.1 - Introdução 
 
 
Dentre os esforços solicitantes (entes mecânicos aferidos ao centro geométri-
co da seção transversal, obtidos pela integração conveniente das tensões nesta se-
ção) o momento fletor M, é em condições normais, o esforço preponderante no di-
mensionamento de peças estruturais como lajes e vigas. 
 
 Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos ei-
xos principais da seção transversal, a flexão é dita normal. Se este momento atua 
isoladamente tem-se a flexão normal simples. Se simultaneamente atua uma força 
normal N a flexão é dita normal composta. Quando o momento atuante têm com-
ponentes nos dois eixos principais da seção transversal a flexão é dita oblíqua e se 
acompanhada de força normal é dita oblíqua composta. 
 
Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, po-
dendo, no entanto em situações especiais, ser o único esforço solicitante. Nesse 
caso tem-se a flexão pura, situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as car-
gas simétricas P, quando se despreza o peso próprio da viga. 
 
Segundo o item 16.1 da NBR 6118:2014, o objetivo do dimensionamento, da 
verificação e do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites 
último (ELU) e de serviço (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas 
partes. Essa segurança exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo: 
 
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2.2 
 
Sd  Rd (MSd  MRd) (2.1) 
 
Onde Sd é a solicitação externa de cálculo e Rd é a resistência interna de cálculo. 
 
Como a solicitação estudada é o momento fletor a equação 2.1 no seu se-
gundo termo (entre parênteses) foi adaptada para o momento externo solicitante de 
cálculo (MSd) ser menor ou igual ao momento interno resistente de cálculo (MRd), 
mostrados na figura 2.1 . 
 
 
 
 Figura 2.1 – Esforços solicitantes externos e internos na seção transversal 
 
 
Na figura 2.1, a seção transversal retangular de uma viga é mostrada a es-
querda e parte da vista lateral é mostrada a direita onde estão concentrados em seu 
centro geométrico (CG) os esforços externos solicitantes NSd e MSd. Como é flexão 
simples a força normal solicitante é igual à zero. Por equilíbrio as resultantes inter-
nas de compressão no concreto Rcc e de tração no aço Rst são iguais. A resultante 
no concreto é obtida pela integração das tensões normais de compressão do con-
creto (σc) na área com hachuras da seção transversal, definida pela profundidade x 
da linha neutra (LN). A resultante no aço é obtida pelo produto da área de aço As 
(steel) pela tensão de tração no aço σs. 
 
Para garantir a segurança o momento externo solicitante de cálculo MSd tem 
de ser menor ou igual ao momento interno resistente de cálculo MRd, que conforme 
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2.3 
 
a figura 2.1 é dado pelo binário (duas forças iguais, paralelas e de sentidos opostos 
separadas por uma distância, o braço de alavanca z) interno resistente MRd: 
 
 MSd ≤ MRd = Rcc . z = Rst . z (2.2) 
 
Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o 
concreto um material bem menos resistente à tração do que à compressão, tão logo 
a barra seja submetida a um momento fletor capaz de produzir tensões de tração 
superiores àquelas que o concreto pode suportar, surgem fissuras de flexão, trans-
versais ao eixo da barra, próximas ao centro da viga e fissuras inclinadas próximas 
aos apoios, conforme mostrado na figura 2.2. As primeiras são devidas ao momento 
fletor, maior no centro, e as últimas devido ao cisalhamento, maior nos apoios. 
 
 
 
Figura 2.2 – Fissuras de flexão 
 
 
Caso não existisse as armaduras de flexão e de cisalhamento estas fissuras 
provocariam a ruptura total da viga. Os esforços internos de tração são transmitidos 
às armaduras por meio da aderência aço-concreto. É como se as armaduras “cos-
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2.4 
 
turassem” as fissuras, conforme esquematicamente mostrado na figura 2.2, o que 
impede que as mesmas cresçam indefinidamente. Conforme será visto adiante no 
capítulo referente à fissuração, a abertura e o controle dessas fissuras dependerão 
substancialmente das características e do detalhamento final da armadura de flexão. 
 
A ruína de uma peça à flexão é um fenômeno de difícil caracterização, devido 
basicamente à complexidade envolvida no funcionamento conjunto aço-concreto. 
Portanto para que esta tarefa seja possível convenciona-se que a ruína de uma 
seção à flexão é alcançada quando, pelo aumento da solicitação, é atingida a ruptu-
ra do concreto à compressão ou da armadura à tração. 
 
 
2.2 – Solicitações normais 
 
Por solicitação normal entende-se toda solicitação que produza na seção 
transversal tensões normais. Neste grupo estão naturalmente a força normal, o mo-
mento fletor ou ambos atuando simultaneamente. 
 
A ruptura do concreto à compressão é considerada atribuindo-se de forma 
convencional encurtamentos últimos para o concreto. Para seções parcialmente 
comprimidas, admite-se que a mesma ocorra quando o concreto atinge na sua fibra 
mais comprimida o encurtamento limite último cu, ver equações (1.9b) e (1.9c). Para 
seções totalmente comprimidas o encurtamento máximo da fibra mais comprimida 
varia de c2 a cu (ver hipóteses básicas adiante). 
 
Para o aço admite-se que a ruptura à tração ocorra quando se atinge um a-
longamento limite último su = 10 ‰. O alongamento máximo de 10 ‰ deve-se a 
uma limitação da fissuração no concreto que envolve a armadura e não ao alonga-
mento real de ruptura do aço, que é bem superior a este valor. 
 
Atinge-se, então, o estado limite último - ELU, correspondente a ruptura do 
concreto comprimido ou a deformação plástica excessiva da armadura. O momento 
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2.5 
 
fletor solicitante de cálculo MSd é o momento de ruptura, enquanto o momento de 
serviço será o de ruptura dividido pelo coeficiente de ponderação das ações f, ou 
seja: 
 
f
Sd
serv
γ
M
M 
 (2.3) 
 
2.2.1 – Hipóteses básicas e domínios de deformação 
 
Conforme o item 17.2 da NBR 6118:2014, na análise dos esforços resistentes 
de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses bá-
sicas: 
 
1 As seções transversais se mantêm planas após a deformação, os vários casos 
possíveis são ilustrados na figura 2.3 (como consequência a deformação em um 
ponto é proporcional a sua distância a linha neutra); 
2 a deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve sera mesma do concreto em seu entorno (perfeita aderência aço-concreto); 
3 as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser des-
prezadas no ELU (resistência nula do concreto à tração); 
4 Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções parcialmente compri-
midas considera-se o valor convencional de εcu (domínios 3, 4 e 4a da figura 
2.3). Nas seções inteiramente comprimidas (domínio 5) admite-se que o encur-
tamento da borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varie de εcu a εc2, 
mantendo-se inalterado e igual a εc2 a deformação a uma distância, a partir da 
borda mais comprimida, a ser discutida adiante (ver figura 2.3); 
5 Para o alongamento máximo de ruptura do aço considera-se o valor convencio-
nal de 10 ‰ (domínios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformação plástica 
excessiva; 
6 A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagra-
ma parábola-retângulo da figura 2.4c, já definido na figura 1.2, com a tensão de 
pico igual a fc=0,85fcd (ver tabela 1.11). Permite-se a substituição deste por um 
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2.6 
 
diagrama retangular simplificado de altura y = λx (figura 2.4d), onde o parâmetro 
λ pode ser tomado igual a: 
 
λ = 0,8 para fck ≤ 50 MPa 
 (2.4) 
λ = 0,8 - ( fck – 50 ) / 400 para fck > 50 MPa 
 
Onde a tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada igual a: 
 
αcfcd quando a largura da seção, medida paralelamente à LN, 
não diminuir a partir desta para a borda mais comprimida; 
 (2.5a) 
0,9 αcfcd no caso contrário. 
 
Sendo αc definido como: 
 
 αc = 0,85 para fck ≤ 50 MPa 
 (2.5b) 
 αc = 0,85 [1,0 – (fck – 50) / 200] para fck > 50 MPa 
 
As diferenças de resultados obtidos com estes dois diagramas são pequenas e 
aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. 
 
7 A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformações usando 
os diagramas tensão-deformação, com seus valores de cálculo. 
 
Na figura 2.4b mostra-se o diagrama de deformações para o ELU do concreto 
com seção parcialmente comprimida. Se a deformação de ruptura do concreto εcu 
corresponde à profundidade X, para uma deformação igual a εc2, por regra de três 
simples, determina-se a distância ac2 = [(εcu - εc2) / εcu] X (ver figura 2.4d). O diagra-
ma de tensões parábola-retângulo fica dividido em dois trechos com alturas ac2 no 
trecho parabólico e (X - ac2) no trecho com tensões constantes. A resultante total de 
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2.7 
 
compressão no concreto Rcc é a soma das resultantes Rcc1 e Rcc2, dos trechos com 
tensões constante e parabólico respectivamente. 
 
Conforme a hipótese básica 6, para o diagrama parábola-retângulo, a tensão 
constante é sempre igual a fc=0,85fcd. Considerando-se concretos do grupo I (até 
classe C50) em que εcu = 3,5‰ e εc2 = 2‰ a distância ac2 = (4 / 7) X e a do trecho 
constante (X – ac2) = (3 / 7) X. Para esta situação as resultantes Rcc1 e Rcc2 ficam: 
 
 
bXf
21
9
X
7
3
bfR cccc1 
 
 
bX0,809fbXf
21
17
R cccc 
 
 
bXf
21
8
X
7
4
bf
3
2
R cccc2 
 
 
 
Na resultante Rcc2 o valor (2/3) resulta da integração da parábola do segundo 
grau (fck ≤ 50 MPa) σc no retângulo de largura b e altura ac2 = (4 / 7) X. 
 
As resultantes totais Rcc das figuras 2.4c e 2.4d serão equivalentes se adicional-
mente, as distâncias Z até a LN nos dois casos forem as mesmas. Na figura 2.4c, o 
equilíbrio exige que: 
 
Rcc1 Z1 + Rcc2 Z2 = Rcc Z 
 
X
14
11
X
7
4
X
2
1
Z1 






 
0,584XX
238
139
R
ZRZR
Z
cc
2cc21cc1 


 
 
X
14
5
X
7
4
8
5
a
8
5
Z c22 
 
 
 
 
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2.8 
 
 O valor (5/8) em Z2 resulta do ponto de aplicação da resultante do diagrama 
parabólico (segundo grau para fck ≤ 50 MPa) para as tensões no concreto. 
 
Os valores 0,809 e 0,584 são aproximadamente iguais aos valores 0,8 e 0,6, que 
representam respectivamente a altura do diagrama retangular e do ponto de aplica-
ção da resultante da figura 2.4d, diagrama retangular simplificado, quando fck ≤ 50 
MPa. 
 
Na figura 2.3 a armadura tracionada ou menos comprimida é As e a mais 
comprimida ou menos tracionada é A’s. A profundidade da linha neutra x é conside-
rada positiva da borda mais comprimida para baixo. A seção transversal mostrada a 
esquerda é a representada na vista lateral a direita, onde os alongamentos são mar-
cados do seu lado esquerdo e os encurtamentos do lado direito. 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 – Domínios de deformação da NBR 6118:2014 
 
 
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2.9 
 
 
Figura 2.4 – Diagramas tensão-deformação para o concreto 
 
 
 
Figura 2.5 – Valores de fc para o diagrama σxε retangular simplificado 
 
 
Para a construção da figura 2.3 a seção transversal sem deformações, por-
tanto sem solicitação é inicialmente tracionada pelo seu centro geométrico produzin-
do tração uniforme. Nesta situação a seção solicitada desloca-se verticalmente para 
a esquerda (alongamento) e como o concreto não resiste à tração (hipótese básica 
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2.10 
 
3) a única possibilidade de se ter um estado limite último é tracionar igualmente as 
duas armaduras com a deformação última do aço εsu=10‰ (hipótese básica 5). Com 
isto a seção transversal é deslocada para a reta “a”, ou reta da tração centrada, 
onde devem ser dimensionados os tirantes (peças preponderantemente solicitadas à 
tração) sem momentos. Caso as armaduras não sejam simétricas haverá momento 
fletor. 
 
O domínio 1 de deformações começa na reta “a” quando a seção solicitada 
é paralela à seção sem solicitação com ambas cruzando-se no infinito, onde a pro-
fundidade da linha neutra é x = - ∞(para cima). Continuando a solicitação da seção a 
partir da reta “a”, pode-se dar uma pequena excentricidade da força normal de tra-
ção produzindo uma flexo-tração com alongamento maior na armadura As (mais tra-
cionada). Para que se tenha um estado limite último o alongamento nesta armadura 
é εsu=10‰ representado pelo ponto A. 
 
Girando-se em torno deste ponto, o domínio 1 abrange todas as solicitações 
desde esta reta, onde x = - ∞ , até quando a linha neutra atingir a profundidade nula, 
x=0. Neste domínio a seção está inteiramente tracionada com solicitações variando 
desde a tração centrada até flexo-tração (tração não uniforme) sem compressão. 
 
O domínio 2 é caracterizado também pelo ELU correspondente à deforma-
ção plástica excessiva do aço (ponto A), agora com a seção transversal parcialmen-
te comprimida até que simultaneamenteseja atendido o ELU para a ruptura do con-
creto à compressão, neste caso, com εc = εcu. As solicitações possíveis neste domí-
nio são de flexo-tração com excentricidades maiores que as do domínio 2, flexão 
simples pois tem-se simultaneamente resultantes de compressão (concreto) e de 
tração (aço), e flexo-compressão com excentricidades pequenas, sem ruptura à 
compressão do concreto, ou seja, εc ≤ εcu. 
 
A profundidade da LN varia desde X=0 até a profundidade limite X=X2L que 
por semelhança de triângulos na figura 2.6 resulta: 
 
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2.11 
 
 
d
10ε
X
ε cu
2L
cu 
 (2.6) 
 
0,259dd
103,5
3,5
X2L 


 para concretos de classes até C50 (2.6a) 
 
d
10ε
ε
X
cu
cu
2L


 para concretos de classes C55 até C90 (2.6b) 
 
Onde d é altura útil da seção, distância da borda mais comprimida da seção 
até o centro da armadura mais tracionada As e εcu é o encurtamento de ruptura do 
concreto, dado nas equações (1.9a) e (1.9b). 
 
Por simplicidade os valores ‰ foram suprimidos da equação (2.6a). Nesta 
equação tem-se o valor absoluto da profundidade X2L, que não depende do tipo de 
aço usado, mas do grupo do concreto. Em muitos casos é conveniente usar o valor 
relativo da profundidade limite do domínio 2, um valor adimensional dado por: 
 
 
 
Figura 2.6 – Profundidade limite do domínio 2 (X2L) 
 
0,259
d
X
ξ 2L2L 
 p/ concretos de classes até C50 (2.7a) 
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2.12 
 
10ε
ε
ξ
cu
cu
2L


 p/ concretos de classes C55 até C90 (2.7b) 
 
A partir do X2L não se pode mais girar a seção pelo ponto A, o que produziria 
deformações superiores à εcu no concreto. Portanto a parir deste ponto a seção deve 
girar pelo ponto B, desde a deformação εsu até a deformação εyd, correspondente a 
tensão de escoamento de cálculo do aço. Este domínio particular de deformação é o 
domínio 3 da figura 2.3, caracterizado basicamente pela flexão simples (seções 
subarmadas) e flexo-compressão com ruptura à compressão do concreto e com o 
escoamento da armadura As. A linha neutra varia desde a profundidade limite do 
domínio 2 até ao valor limite do domínio 3, X3L (figura 2.7). 
 
Como as deformações do aço neste domínio estão no intervalo εyd ≤ εs ≤10‰, 
a tensão na armadura As é constante e igual a fyd (figura 1.4). Na figura 2.7 o valor 
X3L também é obtido por semelhança de triângulos resultando: 
 
 
d
εε
X
ε ydcu
3L
cu


 (2.8) 
 
yd
3L
3L
ε3,5
3,5
d
X
ξ


 p/ concretos de classes até C50 (2.9a) 
ydcu
cu
3L
εε
ε
ξ


 p/ concretos de classes C55 até C90 (2.9b) 
 
Nota-se nas equações 2.8 e 2.9 que as profundidades absoluta e relativa limi-
tes do domínio 3 dependem do tipo de aço usado e do grupo do concreto. Esses 
valores estão apresentados na tabela 2.1. 
 
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2.13 
 
 
Figura 2.7 – Profundidade limite do domínio 3 (X3L) 
 
Tabela 2.1 – Valores limites de ε para o concreto e ξL para os domínios 
 
Deformações limites do concreto e profundidades relativas dos domínios 2 e 3 
CLASSE 
εc2 
‰ 
εcu 
‰ 
ξ2L 
ξ3L 
CA 25 
εyd=1,035‰ 
CA 50 
εyd=2,070‰ 
CA 60 
εyd=2,484‰ 
Até C50 2,000 3,500 0,259 0,772 0,628 0,585 
C55 2,199 3,125 0,238 0,752 0,602 0,557 
C60 2,288 2,884 0,224 0,736 0,582 0,537 
C65 2,357 2,737 0,215 0,726 0,569 0,524 
C70 2,416 2,656 0,210 0,720 0,562 0,517 
C75 2,468 2,618 0,207 0,717 0,558 0,513 
C80 2,516 2,604 0,207 0,716 0,557 0,512 
C85 2,559 2,600 0,206 0,715 0,557 0,511 
C90 2,600 2,600 0,206 0,715 0,557 0,511 
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2.14 
 
 No domínio 4 a seção continua girando em torno do ponto B desde a posição 
final do domínio 3 até que a deformação na armadura As seja nula. Embora possível, 
neste domínio o dimensionamento à flexão simples (seções superarmadas) deve ser 
evitado por questões econômicas, como será visto mais adiante. A armadura As tra-
balha com uma tensão de tração menor ou igual a fyd, não aproveitando de forma 
racional o material constituinte mais caro do concreto armado. Portanto a solicitação 
preponderante deste domínio é a flexo-compressão. 
 
 A profundidade limite deste domínio é X4L=d, ficando a profundidade relativa 
ξ
4L = 1. 
 
 Ainda pode-se girar em torno do ponto B até que seção tenha deformação 
nula na fibra inferior mais tracionada. Isto caracteriza um domínio de deformação 
muito pequeno que recebe um nome secundário de domínio 4a, caracterizado pela 
flexo-compressão com armaduras comprimidas. A linha neutra varia de d até a altura 
total da peça h. 
 
 Se continuasse a girar em torno do ponto B a seção transversal estaria intei-
ramente comprimida e nesta situação o encurtamento na fibra a [(εcu – εc2) / εcu] h 
da borda mais comprimida seria maior que εc2, o que contraria a hipótese básica 4, 
ou seja em peças inteiramente comprimidas o encurtamento da fibra mais comprimi-
da varia de εcu a εc2, desde que a [(εcu – εc2) / εcu] h desta borda o encurtamento seja 
constante e igual a εc2 (figura 2.8). Isto significa que no domínio 5 a seção gira em 
torno do ponto C. Este domínio caracteriza-se por peças submetidas à flexo-
compressão com as armaduras comprimidas, até a compressão centrada (reta b). 
 
A figura 2.8 representa a situação de deformação correspondente aos limites 
entre o final do domínio 4a e o início do domínio 5. Nesta situação onde X = h, a dis-
tância a0-2 é obtida por regra de três simples resultando: 
 
20
c2cu
a
ε
h
ε


 (2.10a) 
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2.15 
 
h
7
3
ah
7
4
a u220  
 p/ concretos de classe até C50 (2.10b) 
20u2
cu
c2
20 ahah
ε
ε
a  
 p/ concretos de classe C55 até C90 (2.10c) 
 
 
 
Figura 2.8 – Início do domínio 5 - Localização do ponto C 
 
Naturamente neste domínio a flexão simples não é possível, sendo o mesmo 
caracterizado pela flexo-compressão com excentricidades maiores e capazes de 
comprimir inteiramente a seção transversal. Este domínio vai desde a situação mos-
trada na figura 2.8 até a reta “b”, da compressão centrada, onde a profundidade 
limite da LN é X5L = + ∞. 
 
 
 
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2.16 
 
2.3 - Seções subarmada, normalmente armada e superarmada 
 
No caso particular da flexão simples, dos cinco domínios existentes ficam eli-
minados os de número 1 (seção totalmente tracionada), 4a e 5(seção totalmente 
comprimida), restando pois os domínios possíveis 2,3 e 4. 
 
Os domínios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seção subarmada on-
de a armadura escoa antes da ruptura do concreto à compressão, sd  yd, com a 
armadura tracionada trabalhando com a máxima tensão de cálculo, fyd. O domínio 4 
corresponde ao que se denomina seção superarmada, onde o concreto atinge o 
encurtamento convencional de ruptura εcu antes da armadura escoar, sd < yd, com 
a armadura tracionada trabalhando com tensões inferiores a fyd. 
 
Costuma-se chamar normalmente armada uma seção que funciona no limite 
entre as duas situações acima, isto é, na qual, teoricamente, o encurtamento último 
convencional do concreto comprimido e a deformação de escoamento do aço ocor-
ram simultaneamente. Na figura 2.3 a situação de peças normalmente armadas o-
corre no limite entre os domínios 3 e 4. 
 
Segundo o professor Tepedino, J. M. (1980) em suas apostilas de notas de 
aula, “em princípio, não há inconveniente técnico na superarmação, a não ser, tal-
vez, alguma deformação excessiva por flexão, fato que pode ser prevenido. No en-
tanto, a superarmação é antieconômica, pelo mau aproveitamento da resistência do 
aço. Por isto mesmo, sempre que possível, devem-se projetar seções subarmadas 
ou normalmente armadas, sendo a mesma desaconselhável pela NBR 6118”. 
 
A NBR 6118:2014 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuição de 
momentos e condições de dutilidade: 
 
 “A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha 
neutra no ELU. Quanto menor é x/d, tanto maior será essa capacidade. 
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2.17 
 
Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a posição da 
linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: 
 
a) x/d  0,45 para concretos com fck  50 MPa; ou (2.11a) 
 
b) x/d  0,35 para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa; (2.11b) 
 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armadu-
ras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões.” 
 
E no item 17.2.3, dutilidade de vigas: 
 
“Nas vigas é necessário garantir boas condições de dutilidade respeitando os limites 
de posição da linha neutra (x/d) dados em 14.6.4.3, sendo adotada, se necessário, 
armadura de compressão. 
 
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores 
menores da posição da linha neutra x, que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz 
a elementos estruturais com ruptura frágil. A ruptura frágil está associada a posições 
da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.” 
 
Analisando-se a tabela 2.1 construída para concretos de classes C20 até C90 
e os valores limites de (x/d) dados acima, para garantir o adequado comportamento 
dútil, nota-se que para os três tipos de aços usados estas profundidades relativas 
limites são maiores que os valores ξ2L e menores que os valores ξ3L da tabela. De 
agora em diante os valores relativos limites serão ξL = (x/d)L = 0,45 para concretos 
com fck ≤ 50 MPa e ξL = (x/d)L = 0,35 para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa e 
tanto um quanto outro estão localizados no domínio 3. 
 
 
 
 
 
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2.18 
 
2.4 - Seção retangular submetida à flexão simples 
 
Segundo Tepedino (1980) “no caso da seção retangular, pode-se, sem erro 
considerável e obtendo-se grande simplificação, adotar, para os domínios 2 e 3 (se-
ção subarmada ou normalmente armada), o diagrama retangular para as tensões no 
concreto, permitido pela NBR 6118”, representado na figura 2.4d. 
 
 
 
 Figura 2.9 – Seção retangular submetida à flexão simples 
 
 
Na figura 2.9 tem-se: 
 b – largura da seção retangular (na NBR 6118:2014 é dado por bw) 
 h – altura total da seção retangular 
 d – altura útil da seçã transversal (profundidade da armadura As) 
 d’ – profundidade da armadura A’s (borda mais comprimida até o CG de A’s) 
 x – profundidade da linha neutra para o diagrama σxε parábola-retângulo 
 y – profundidade da linha neutra para o diagrama σxε retangular 
 z – braço de alavanca do binário interno resistido pelo concreto (distância en-
tre Rcc e Rst) 
 λ – parâmetro de redução da altura do diagrama retangular simplificado, dado 
nas equações (2.4) 
 αc – parâmetro de redução da resistência do concreto na compressão, dado 
nas equações (2.5) 
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2.19 
 
 Rcc – resultante interna de compressão no concreto 
 Rst – resultante interna de tração na armadura As 
 R’sd – resultante interna de compressão na armadura A’s 
 Md - momento externo solicitante de cálculo (até agora dado por MSd) 
 
A armadura tracionada As é racionalmente dimensionada na flexão simples 
quando trabalha com a máxima tensão possível sd = fyd, ou seja, apenas nos domí-
nios 2 e 3, onde a profundidade relativa da linha neutra (
ξ
=x/d) é menor ou igual à 
profundidade relativa limite do domínio 3 (
ξ
3L). Atendendo esta premissa básica do 
dimensionamento à flexão, a resultante de tração Rst deve ser obtida pelo produto 
da área As (incógnita) pela tensão σs = fyd, conforme mostrado na figura 2.9. 
 
Conforme a figura 2.9 a tensão do concreto no diagrama retangular deve ser 
fc = αc fcd = 0,85 fcd (para concretos de classe até C50), pois a seção dimensionada 
é retangular, equações (2.5a) e (2.5b). Ainda de acordo com esta figura pode-se es-
crever duas equações de equilíbrio: o somatório de momentos é nulo em relação ao 
ponto de aplicação de As (equação 2.12) e o somatório de forças horizontais é nulo 
(equação 2.13). 
 
 
 ''sd'scd ddσA
2
y
dbyfM 






 (2.12) 
 
 
yds
'
s
'
scd fA-σAbyf0N d
 (2.13) 
 
Onde: fcby = Rcc; A’sσ’sd = R’sd; Asfyd = Rst; (d-y/2) = z. 
 
Na equação (2.12) os três termos representam momentos, o primeiro o mo-
mento fletor externo solicitante de cálculo e os dois da direita, momentos fletores 
internos resistentes de cálculo devidos à resultante de compressão do concreto e à 
resultante de compressão na armadura A’s, respectivamente. Ao dividir os termos 
desta equação de equilíbrio por outro que tem a mesma dimensão de um momento, 
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2.20 
 
por exemplo, (fc b d
2), obtém-se uma nova equação de equilíbrio em termos adimen-
sionais, que depois das simplificações é dada por: 
 
 







d
d'
1
bdf
σ'A'
K'K
c
sds
 (2.14) 
Onde: 
 
2
c
d
bdf
M
K 
 (2.15) 
é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor externo soli-
citante de cálculo; 
 
 





















2
α
1α
2d
y
1
d
y
bdf
2
y
dbyf
K'
2
c
c (2.16) 
 
é o parâmetro adimensionalque mede a intensidade do momento fletor interno resis-
tente de cálculo, devido ao concreto comprimido. 
 
O terceiro termo de (2.14) é também adimensional e mede a intensidade do 
momento fletor interno resistente de cálculo, devido à armadura A’s comprimida. 
 
Na equação (2.16),  é o valor da profundidade relativa da linha neutra refe-
rente ao diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, dada por: 
 
 
λξ
d
λX
d
y
α 
 (2.17) 
 
A equação (2.16) representa uma equação do segundo grau em  e, portanto 
conforme (2.17) em função da incógnita x (profundidade da linha neutra), que depois 
de resolvida fornece entre as duas raízes do problema, o seguinte valor possível: 
 
 
2K'11α 
 (2.18) 
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2.21 
 
 
A raiz com o sinal positivo foi descartada uma vez que o seu valor máximo ou 
limite, para qualquer classe de concreto, é igual a αmax = λmax (x/d)L,max = λmax 
ξ
L,max 
= 0,8 x 0,45 = 0,36 < 1. 
 
Da equação (2.14), multiplicando-se e dividindo-se o último termo simultane-
amente por fyd, obtém-se a expressão para o cálculo da armadura comprimida A’s: 
 
 
φ
d
d'
1
K'K
f
bdf
A'
yd
c
s 



 (2.19) 
 
Onde φ representa o nível de tensão na armadura comprimida, que é sempre 
menor ou igual a 1, dada por: 
 
 
1
f
σ
φ
yd
'
sd 
 (2.20) 
 
A partir da equação de equilíbrio (2.13) determina-se a armadura de tração As 
dada por: 
 
 
yd
sds
yd
c
s
f
σ'A'
f
byf
A 
 (2.21) 
 
Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.21) 
por d e substituindo a relação (’sd / fyd) do terceiro termo pela equação (2.20), ob-
tém-se: 
 
 
φA'
d
y
f
bdf
A s
yd
c
s 
 (2.22) 
 
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2.22 
 
Substituindo-se as equações (2.17), (2.18) e (2.19) na equação (2.22) obtém-
se: 
 
 As = As1 + As2 (2.23) 
 
com 
 
 
 2K'11
f
bdf
α
f
bdf
A
yd
c
yd
c
s1 
 (2.24) 
 
 
d
d'
1
K'K
f
bdf
φA'A
yd
c
ss2



 (2.25) 
 
Normalmente calcula-se primeiramente a armadura As. Caso a parcela As2 
seja diferente de zero, calcula-se a armadura comprimida A’s, segundo (2.25), dada 
por: 
 
 
φ
A
A' s2s 
 (2.26) 
 
 
2.4.1 – Seções com armaduras simples e dupla 
 
A armadura de compressão A’s nem sempre é necessária para equilibrar o 
momento externo solicitante Md (representado adimensionalmente por K), que nesse 
caso será equilibrado internamente apenas pelo momento devido ao concreto com-
primido (representado adimensionalmente por K’). A única possibilidade matemática 
de se ter armadura A’s nula e conseqüentemente também As2, é fazer em (2.19) ou 
em (2.25), K’ = K. Essa igualdade tem uma explicação física coerente com a situa-
ção de armadura simples (sem armadura de compressão). Quando o momento ex-
terno Md (K), for equilibrado apenas pelo momento interno devido ao concreto com-
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2.23 
 
primido (K’), tem-se fisicamente K = K’, não sendo necessária portanto, armadura 
de compressão A’s. 
 
Conforme visto anteriormente na equação (2.9), a máxima profundidade rela-
tiva da linha neutra para se ter seção subarmada ou normalmente armada é a cor-
respondente ao limite do domínio 3. Com esta profundidade limite obtém-se o máxi-
mo momento interno resistente devido ao concreto K’L (sem necessidade de A’s), 
que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, 
a partir da equação (2.16), obtém-se: 
 
 







2
α
-1αKK LL
'
LL
 (2.27) 
Com 
 
3L
LL
L λξ
d
x
λ
d
y
α 












 (2.28) 
 
O valor de αL em (2.28) é função de 3L que depende do tipo de aço empre-
gado. Segundo a NBR 6118:2014, item 14.6.4.3, os valores limites L=0,45 ou 
L=0,35 para proporcionar o adequado comportamento dútil, “podem ser alterados 
se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo, os que 
produzem confinamento nessas regiões”. Este confinamento da região comprimida 
da seção transversal pode ser obtido com os próprios estribos (armadura transversal 
de combate ao cisalhamento) ou adicionalmente com estribos menores e menos es-
paçados cofinando apenas a área comprimida da seção transversal, Delalibera 
(2002). Os valores alterados de αL e KL, sem o adequado comportamento dútil, para 
os três tipos de aços usados estão listados na tabela 2.2. 
 
 
 
 
 
 
 
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2.24 
 
 Tabela 2.2 – Valores de KL SEM o adequado comportamento dútil 
 (x/d)L = (x/d)3L 
CLASSE λ 
KL 
CA 25 CA 50 CA 60 
Até C50 0,8000 0,427 0,376 0,358 
C55 0,7875 0,417 0,362 0,342 
C60 0,7750 0,408 0,349 0,330 
C65 0,7625 0,400 0,340 0,320 
C70 0,7500 0,394 0,333 0,313 
C75 0,7375 0,389 0,327 0,307 
C80 0,7250 0,384 0,322 0,302 
C85 0,7125 0,380 0,318 0,298 
C90 0,7000 0,375 0,314 0,294 
 
 
 
 Tabela 2.3 – Valores de KL COM o adequado comportamento dútil 
 
CLASSE λ ξL= (x/d)L αL= λ(x/d)L KL= αL(1- αL/2) 
Até C50 0,8000 0,45 0,360 0,295 
C55 0,7875 0,35 0,276 0,238 
C60 0,7750 0,35 0,271 0,234 
C65 0,7625 0,35 0,267 0,231 
C70 0,7500 0,35 0,263 0,228 
C75 0,7375 0,35 0,258 0,225 
C80 0,7250 0,35 0,254 0,222 
C85 0,7125 0,35 0,249 0,218 
C90 0,7000 0,35 0,245 0,215 
 
 
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2.25 
 
Na tabela 2.3 estão listados os valores de αL e KL, com o adequado compor-
tamento dútil, que dependem apenas do valor da resistência fck do concreto. Estes 
serão os valores considerados nesta apostila. 
 
A seção normalmente armada (x=x3L) descrita no item 2.3, resiste ao máximo 
momento aplicado sem a necessidade de armadura de compressão (armadura sim-
ples), quando não se preocupa com o adequado comportamento dútil da viga. Esta 
situação correspondente aos valores da tabela 2.2, não é mais possível quando se 
deseja este comportamento, onde a necessidade de armadura de compressão acon-
tece para momentos aplicados menores, conforme os valores menores de KL apre-
sentados na tabela 2.3. 
 
A partir da equação (2.15) e considerando-se os valores limites da tabela 2.3, 
obtém-se: 
 
 
 2cLdL bdfKM 
 (2.29) 
 ou 
 
bfK
M
d
cL
d
L 
 (2.30) 
 
onde: 
 MdL é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura sim-
ples 
 dL é a altura útil mínimanecessária para resistir ao Md com armadura 
simples 
 
Caso o momento de cálculo solicitante seja maior que MdL ou ainda que a al-
tura útil seja menor que dL, o que significa em ambos os casos K > KL, torna-se ne-
cessário adicionalmente para o equilíbrio, a armadura de compressão A’s. Essa situ-
ação, com a utilização simultânea de armaduras As e A’s, caracteriza seções dimen-
sionadas à flexão simples com armadura dupla. 
 
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2.26 
 
Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente 
por ser antieconômica. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 
2.3, caso se pretenda absorver um momento solicitante superior ao MdL apenas com 
armadura de tração, isto não significa necessariamente peças superarmadas (domí-
nio 4). Já com os valores da tabela 2.2, caso a mesma situação ocorra e seja possí-
vel o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), esta seção será obrigatoria-
mente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.2 referem-se ao final do 
domínio 3. 
 
Na situação de armadura dupla K > KL (Md > MdL), basta fazer nas equações 
de dimensionamento à flexão em seções retangulares (2.19), (2.24) e (2.25), K’ = 
KL. Esta igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente 
ao concreto comprimido K’ é igual ao máximo momento fletor externo de cálculo 
sem necessidade de armadura de compressão, KL. 
 
 Esta parcela (Md1=MdL=KL < Md=K) do momento total será resistida pelo bi-
nário interno formado pelas resultantes do concreto (Rcc,max=fcbyL) (máxima área 
comprimida do concreto) e do aço (Rst1=As1fyd). Na expressão de Rcc,max acima 
yL=λXL, com λ e XL (0,45d ou 0,35d) dependendo do valor de fck. Com Md1 esgota-se 
a capacidade resistente do concreto, a diferença ∆Md = Md–MdL = Md2 = K-KL, será 
absorvida pelo binário interno formado pelas resultantes da segunda parcela da ar-
madura tracionada Rst2=As2fyd e da armadura comprimida R’sd = A’sσ’sd (ver figura 
2.10). 
 
 
Figura 2.10 – Seção retangular com armadura dupla 
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2.27 
 
2.4.2 – Nível de tensão φ na armadura comprimida A’s 
 
 No cálculo da armadura comprimida A’s aparece o nível de tensão φ, equa-
ção (2.20), que normalmente vale 1, ou seja ’sd = fyd. A tensão na armadura com-
primida ’sd é função da deformação ’sd, que por sua vez depende da profundidade 
relativa da linha neutra  = (x/d). Na situação de armadura dupla (onde A’s  0) esta 
profundidade relativa é constante e igual ao valor L = 0,45 ou L = 0,35 dado na ta-
bela 2.3, que conforme já visto situa-se no domínio 3, onde εc,max = εcu (figura 2.10). 
 
 A deformação ’s pode ser calculada a partir da equação (2.32), retirada por 
semelhança de triângulos na figura 2.10: 
 
 
L
cu
L
s
x
ε
d'x
ε'


 (2.31) 
 
 
cu
L
L
cu
L
L
s ε
d
x
d
d'
d
x
ε
x
d'x
ε'














 (2.32) 
 
Caso ’s seja menor que o valor da deformação de cálculo correspondente ao 
escoamento yd, a tensão ’sd é obtida pela aplicação da Lei de Hooke, ’sd = Es.’s, 
o que implica em valor de φ menor que 1. Caso contrário ’sd = fyd, o que implica em 
φ = 1. Fazendo-se na equação (2.32) ’s  yd obtém-se a equação (2.33) que ex-
pressa a relação (d’/d) abaixo da qual se tem φ = 1: 
 
 




















cu
yd
lim ε
ε
1
d
x
d
d'
 (2.33) 
 
O aço CA-25 é pouco usado no Brasil, o CA-60 é normalmente usado para 
flexão em lajes, onde não se usa armadura dupla, restando, pois o aço CA-50, que é 
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2.28 
 
o mais utilizado para flexão em vigas. Os valores das relações (d’/d) e (d/d’) que 
atendem à condição φ=1 estão indicados na tabela 2.4, para os três tipos de aço. 
 
 Tabela 2.4 – Valores das relações (d’/d) e (d/d’) para se ter φ = 1 
 
CLASSE 
εcu 
‰ 
CA 25 
εyd = 1,035 ‰ 
CA 50 
εyd = 2,070 ‰ 
CA 60 
εyd = 2,484 ‰ 
(d’/d)≤ (d/d’)≥ (d’/d)≤ (d/d’)≥ (d’/d)≤ (d/d’)≥ 
Até C50 3,500 0,317 3,155 0,184 5,439 0,131 7,655 
C55 3,125 0,234 4,272 0,118 8,460 0,072 13,929 
C60 2,884 0,224 4,456 0,099 10,123 0,049 20,600 
C65 2,737 0,218 4,595 0,085 11,724 0,032 30,909 
C70 2,656 0,214 4,681 0,077 12,950 0,023 44,120 
C75 2,618 0,212 4,725 0,073 13,650 0,018 55,820 
C80 2,604 0,211 4,742 0,072 13,933 0,016 62,000 
C85 2,600 0,211 4,747 0,071 14,016 0,016 64,039 
C90 2,600 0,211 4,747 0,071 14,016 0,016 64,039 
 
 
 
Os valores da tabela 2.4 para concretos com fck < 50 MPa são atendidos para 
as vigas usuais de concreto armado, ou seja, geralmente o nível de tensão na arma-
dura comprimida é igual a 1. No entanto, a medida que a resistência do concreto 
aumenta estes valores diminuem (d’/d) ou aumentam (d/d’) para valores não pratica-
dos usualmente nas vigas de concreto, o que significa valores de φ = ’sd / fyd < 1. 
Nestes casos o valor de φ é dado por: 
 
 1
f
Eε
d
x
d
d'
d
x
φ
yd
scu
L
L 












 (2.34a) 
 
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2.29 
 
Particularizando os valores da tabela 2.4 e a equação (2.34a) para concretos 
com fck ≤ 50 MPa e aço CA 50, obtém-se: 
 
1φ 
 para (d’/d) ≤ 0,184 ou (d/d’) ≥ 5,439 (2.34b) 
 
1
d
x
d
d'
d
x
1,6905φ
L
L 












 caso contrário (2.34c) 
 A tabela 2.5 foi construída agrupando-se os parâmetros usuais do concreto 
para o cálculo à flexão. 
 
Tabela 2.5 – Parâmetros do concreto para cálculo à flexão 
 
Parâmetros usuais do concreto 
fck (MPa) (X/d)L εc2 (‰) εcu (‰) λ αc 
≤ 50 0,45 2,000 3,500 0,8000 0,85000 
55 0,35 2,199 3,125 0,7875 0,82875 
60 0,35 2,288 2,884 0,7750 0,80750 
65 0,35 2,357 2,737 0,7625 0,78625 
70 0,35 2,416 2,656 0,7500 0,76500 
75 0,35 2,468 2,618 0,7375 0,74375 
80 0,35 2,516 2,604 0,7250 0,72250 
85 0,35 2,529 2,600 0,7125 0,70125 
90 0,35 2,600 2,600 0,7000 0,68000 
 
Todo o dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples 
encontra-se de forma resumida na próxima página. 
 
 
 
 
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2.30 
 
 
 
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2.31 
 
2.5 – Seção T ou L submetidas à flexão simples 
 
As vigas de concreto armado são normalmente construídas solidárias (monoli-
ticidade do CA) com as lajes que nelas apoiam. Ao trabalharem juntas as deforma-ções e consequentemente as tensões nos pontos em comum das vigas e lajes são 
as mesmas. Se estas tensões são de compressão as lajes colaboram na resistência 
interna à compressão aumentando o desempenho final da viga. Se a contribuição 
das lajes ocorre nas duas laterais da seção transversal tem-se uma viga de seção T 
e quando ela é só de um lado, tem-se uma viga de seção L, situações ilustradas na 
figura 2.11. 
 
As vigas de concreto armado com seção geométrica em T ou L são compos-
tas de uma nervura ou alma (de largura bw) e uma mesa (de largura bf), conforme 
ilustrado nas figuras 2.11 e 2.12. As mesmas só podem ser consideradas como tal 
se a mesa estiver comprimida, caso contrário se comportarão como seção retangu-
lar de largura b=bw. 
 
Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o dia-
grama retangular simplificado, seja menor ou igual à altura da mesa (y  hf), a seção 
será tratada como retangular, de largura b=bw=bf. 
 
 Também no caso da seção em T ou L é válida e vantajosa a substituição do 
diagrama parábola-retângulo pelo retangular simplificado. Para seções subarmadas 
atendendo aos limites da NBR 6118:2014, (x/d)L=0,45 ou (x/d)L=0,35, tem-se (yd ≤ 
s ≤ 10‰) o que implica em (s = fyd). 
 
 Conforme figura 2.12 podem ser montadas as equações de equilíbrio (2.35) e 
(2.36) referentes, respectivamente, ao somatório de momentos em relação ao ponto 
de aplicação da armadura As e ao somatório de forças horizontais. Nesta figura 
fcbwy = Rcc1 e fc(bf-bw)hf = Rcc2 representam respectivamente as resultantes de 
compressão do concreto na região da nervura (hachura mais intensa) e nas abas da 
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2.32 
 
mesa (hachura menos intensa). Os braços de alavanca destas resultantes são res-
pectivamente Z1 = d - (y/2) e Z2 = d - (hf/2). 
 
 
Figura 2.11 – Aspectos geométricos das vigas de seção T ou L 
 
 
 
 
Figura 2.12 – Seção T submetida à flexão simples 
 
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2.33 
 
   d'dσ'A'
2
h
dhbbf
2
y
dybfM sds
f
fwfcwcd 












 (2.35) 
 
 
  0fAσ'A'hbbfybfN ydssdsfwfcwcd 
 (2.36) 
 
Dividindo-se todos os termos da equação (2.35), conforme procedimento aná-
logo ao da seção retangular, por um termo com a dimensão de momento (fc bw d
2) e 
lembrando-se que  = y/d e φ = (’sd/fyd), obtém-se: 
 
 

























d
d'
1
dbf
φfA'
2d
h
1
d
h
1
b
b
2
α
1α
dbf
M
wc
ydsff
w
f
2
wc
d
 (2.37) 
 
Passando-se o terceiro termo da equação (2.37) para o lado esquerdo ao da 
igualdade e fazendo-se 
 
 













2d
h
1
d
h
1
b
b
dbf
M
K ff
w
f
2
wc
d
 (2.38) 
 
 







2
α
1αK'
 (2.39) 
 
obtém-se a mesma equação (2.14) deduzida para seção retangular. 
 
O valor de K em (2.38) foi obtido diminuindo-se do momento total solicitante 
de cálculo Md o momento interno resistido apenas pelas laterais (abas) da mesa 
comprimida, terceira parcela de (2.38), o que transforma o problema da viga T em 
uma flexão de seção retangular de largura bw. 
 
Levando-se (2.38) e (2.39) em (2.37) obtém-se: 
 
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2.34 
 
 
φ
d
d'
1
K'K
f
dbf
A'
yd
wc
s 



 (2.40) 
 
Os critérios para limitação do valor de K são os mesmos da seção retangular, 
portanto: 
 
 K  KL  K’ = K 
 
 K > KL  K’ = KL 
 
Da equação (2.36) obtém-se As, que multiplicada e dividida por d resulta: 
 
 
s
f
w
f
yd
wc
s φA'
d
h
1
b
b
α
f
dbf
A 












 (2.41) 
 
O valor de  pode ser obtido de (2.39) resultando como na seção retangular a 
equação (2.18), que levada em (2.41) fica: 
 
 
2s1s AAA 
 
(2.42) 
 
 













d
h
1
b
b
2K'11
f
dbf
A f
w
f
yd
wc
s1
 (2.43) 
 
 
d
d'
1
K'K
f
dbf
A
yd
wc
s2



 (2.44) 
 
Da mesma forma que na seção retangular 
 
 
φAA' s2s 
 (2.45) 
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2.35 
 
 
Fazendo-se bf = bw = b nas equações (2.42) a (2.45) elas se transformam nas 
equações (2.23) a (2.26) para a seção retangular, como era de se esperar. 
 
Analisando-se a equação (2.38) nota-se que quando K = 0, o momento exter-
no de cálculo Md é igual ao momento interno resistido apenas pelas abas comprimi-
das da mesa. Como nesse caso o trecho da mesa de largura bw ainda está compri-
mido, a profundidade da linha neutra, para se ter o equilíbrio, será menor que hf. Is-
so significa que mesmo para pequenos valores de K positivos, a linha neutra cortará 
a mesa e o dimensionamento se fará como seção retangular de largura bf. 
 
O valor positivo de K abaixo do qual a mesa estará parcialmente comprimida 
é encontrado fazendo-se em (2.39) K = K’, uma vez que para pequenos valores de 
K a armadura comprimida é igual a zero. Como K’ = (1-/2) e nesse caso y0 = hf, 
tem-se: 
 
 













2d
h
1
d
h
2
α
1αK'K ff000
 (2.46) 
 
Para valores de K  K0 o dimensionamento deve ser feito como seção retan-
gular bfh. Embora este seja o procedimento correto, sabe-se que usando o limite K  
0 do Prof. Tepedino (1980), a armadura calculada como seção T com 0  K  K0, dá 
praticamente a mesma que como seção retangular bfh, neste mesmo intervalo. A 
diferença entre estas duas armaduras é normalmente menor que a verificada quan-
do se escolhe o número de bitolas comerciais para atender à armadura efetivamente 
calculada. Portanto, por simplicidade, para efeito desta apostila o limite K  0 será o 
utilizado para se ter a mesa parcialmente comprimida, ou seja, dimensionamento 
como se fosse uma seção retangular bfh. 
 
Normalmente a largura colaborante da mesa bf (determinada no item seguin-
te) conduz a valores de momentos internos resistentes, que dificilmente precisam de 
uma profundidade da linha neutra superior à hf. Nessa situação o melhor seria, de-
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2.36 
 
terminar o máximo momento interno de cálculo resistido pela mesa inteiramente 
comprimida, denominado momento de referência MdRef, dado por: 
 
 







2
h
dhbfM fffcdRef
 (2.47) 
 
Conforme 
 
 Md MdRef  y  hf  seção retangular bfh 
 
 Md > MdRef  y > hf  seção T ou L 
 
Na maioria das vezes Md ≤ MdRef o que transforma o dimensionamento da viga 
T ou L como se fosse uma viga de seção retangular bfh. A comparação entre os dois 
momentos é o procedimento mais praticado no dimensionamento. 
 
2.5.1 – Determinação da largura colaborante da mesa ( bf ) 
 
Quando uma viga submetida à flexão deforma, ela traz consigo a laje que lhe 
é solidária, que se estiver comprimida auxiliará na absorção do momento fletor atu-
ante. Adotando-se o diagrama retangular simplificado da NBR-6118:2014, a tensão 
na mesa comprimida correspondente ao trecho comum com a nervura (bw), deve ser 
igual a fc = αc fcd. 
 
Afastando-se desse trecho nos dois sentidos laterais da mesa, conforme mos-
trado na figura 2.13, a tensão de compressão deve diminuir até zero, para pontos na 
laje bem distantes da nervura. Essa distribuição de tensões na mesa pode ser obtida 
pela teoria da elasticidade, mas pela NBR-6118:2014 ela é substituída por uma dis-
tribuição uniforme simplificada, com tensão igual a fc, e com uma largura total cola-
borante igual a bf, de tal forma que as resultantes de compressão em ambas as dis-
tribuições sejam estaticamente equivalentes. 
 
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2.37 
 
 
Figura 2.13 – Distribuição de tensões na mesa da seção T 
 
Segundo a NBR-6118:2014, no item 14.6.2.2, “a largura colaborante bf deve 
ser dada pela largura bw acrescida de no máximo 10% da distância (a) entre pontos 
de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. 
 
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento do tramo con-
siderado, como se apresenta a seguir: 
 
 viga simplesmente apoiada a = 1,00 , 
 tramo com momento em uma só extremidade a = 0,75 ; 
 tramo com momentos nas duas extremidades a = 0,60 ; 
 tramo em balanço a = 2,00 . 
 
Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante 
exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura”. 
 
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2.38 
 
Na figura 2.14 apresenta-se um corte genérico de uma fôrma mostrando as 
seções transversais de duas vigas T, a viga 1 com mísulas e a segunda normal. A 
largura efetiva da nervura da viga com mísulas, ba, é a soma da largura bw com os 
menores catetos dos triângulos formados pelas mesmas (ba = bw + a + c). 
 
 
 
Figura 2.14 – Determinação da largura bf em vigas de seção T 
 
Nesta figura b1 é a largura colaborante a ser considerada na lateral da viga T 
do lado em que a laje tem continuidade e b3 é a usada do lado sem continuidade, ou 
seja, laje em balanço. O limite do valor b1 é a metade da largura livre entre as faces 
das duas vigas, dado por b2, e para b3 este limite é o valor disponível b4 da laje em 
balanço. Naturalmente na viga com seção L os valores b3 = b4 = 0. 
 
 b1  0,5 b2 b1  0,1 a 
 (2.48) 
 b3  b4 b3  0,1 a 
 
Todo o dimensionamento de vigas com seções T ou L submetidas à flexão 
simples encontra-se de forma resumida na próxima página. 
 
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2.39 
 
 
 
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2.40 
 
2.6 – Prescrições da NBR 6118:2014 referente às vigas 
 
2.6.1 – Armadura longitudinal mínima de tração 
 
De acordo o item 17.3.5.2 da NBR-6118:2014, a armadura mínima de tração, 
em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo di-
mensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a se-
guir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15 %. 
 
 Md,min = 0,8 W0 fctk,sup (2.49) 
 
Onde: 
 W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, 
relativo à fibra mais tracionada; 
 fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração, e-
quação (1.13b), item 8.2.5 da NBR-6118:2014. 
 
De acordo equações (1.13b) obtém-se: 
 
fctk,sup = 1,3 fct,m = 0,39 (fck)
2/3 (MPa) fck ≤ 50 MPa 
 (2.50) 
fctk,sup = 1,3 fct,m = 2,756 ln(1 + 0,11fck) (MPa) fck > 50 MPa 
 
Alternativamente segundo a NBR 6118:2014 a armadura mínima pode ser 
considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela 
2.6 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
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2.41 
 
 Tabela 2.6 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas 
 (Tab. 17.3 NBR 6118:2014) 
 
Valores de ρmin
 a = (As,min/Ac) % 
 fck 
seção 
20 25 30 35 40 45 50 
Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 
 fck 
seção 
55 60 65 70 75 80 85 90 
Retangular 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
a Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de 
aço CA 50, (d/h) = 0,8, γc = 1,4 e γs = 1,15, seção retangular. Caso es-
ses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado. 
 
 
O dimensionamento para o momento Md,min dado em (2.49) deve conduzir a 
um valor Kmin = (Md,min / fcbd
2) < KL, portanto seção com armadura simples que nes-
te caso será: As = As,min. O valor de Kmin para seção retangular conforme tabela 2.6 
é dado por: 
 
 
    ck
supctk,
2
c
c
22
cdc
2
supctk,
2
c
mind,
min
f
f
d/h6α
0,8γ
hd/hbfα
6
bh
0,8f
bdf
M
K 






 (2.51) 
 
 Com os valores de fctk,sup das equações (2.50), γc = 1,4, αc = 0,85 para fck ≤ 
50 MPa e αc = 0,85[1 – (fck – 50) / 200] para fck > 50 MPa, obtém-se os seguintes 
valores de Kmin: 
 
 
1/3)(
ck2
c
c
min f
d/hα
γ
0,052K

 (MPa) fck ≤ 50 MPa 
 (2.52) 
 
 
 
ck
ck
2
c
c
min
f
0,11f1ln
d/hα
γ
0,367K


 (MPa) fck > 50 MPa 
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___________________________________________________________________________ 
 
2.42 
 
Conforme equação (2.24) a armadura mínima pode ser dada por: 
 
       
yd
cdc
mincmin
yd
cdc
mins,
f
fA
2K11d/hα2K11
f
hd/hbfα
A 
 (2.53a) 
 
 
  minc
cd
yd
min
cdc
ydmins,
min 2K11d/hα
f
f
ρ
fA
fA
ω 
 (2.53b) 
 
 
  
yd
cd
minc
c
mins,
min
f
f
2K11d/hα
A
A
ρ 
 (2.53c) 
 
Onde ωmin e ρmin são respectivamente as taxas mecânica e geométrica de armadura 
mínima. 
 
 Assim, exemplificando para um concreto fck = 35 MPa, do primeiro grupo da 
tabela 2.6, αc = 0,85, γc = 1,4, (d/h) = 0,8, tem-se: 
 
 
 
0,040935
0,80,85
1,4
0,052K
1/3
2min
    
 
0,001634
500/1,15
35/1,4
2x0,0409110,85x0,8xρmin 
 ≈ 0,164%, conforme tabela 
2.6. 
 
 Para um concreto do segundo grupo da tabela 2.6, por exemplo fck = 90 MPa, 
tem-se: 
0,68
200
5090
10,85α c 




 

 
 
 
 
0,0314
90
0,11x901ln
0,80,68
1,4
0,367K
2min



 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Flexão Normal Simples 
___________________________________________________________________________ 
 
2.43 
 
   0,002564
500/1,15
90/1,4
2x0,0314110,80,68ρmin 
 ≈ 0,256%, conforme tabela 2.6. 
 
 Caso os parâmetros sejam diferentes dos que originaram a tabela 2.6 (aço 
CA 50, d=0,8h, γc=1,4 e γs=1,15) as novas taxas de ρmin deverão ser recalculadas 
conforme as equações e os dois exemplos acima, obedecido o limite mínimo de 
0,15%. A tabela 2.7 relaciona as taxas de armaduras mínimas para seção retangular 
com várias relações (d/h), aço CA 50 e CA 60. 
 
Tabela 2.7 – Taxas de armaduras mínimas para vigas com seção retangular 
 
Valores de ρmin = (As,min/Ac) 
Seções retangulares, γc=1,4, γs=1,15 
fck 
(d/h)=0,70 (d/h)=0,75 (d/h)=0,80 (d/h)=0,85 (d/h)=0,90 (d/h)=0,95 
CA 50 CA 60 CA 50 CA 60 CA 50 CA 60 CA 50 CA 60 CA 50 CA 60 CA 50 CA 60 
20 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 
25 0,151 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 
30 0,170 0,150 0,158 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 
35 0,188 0,157 0,175 0,150 0,164 0,150 0,153 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 
40 0,205 0,171 0,191 0,159 0,179 0,150 0,168 0,150 0,158 0,150 0,150 0,150 
45 0,222 0,185 0,206 0,172 0,194 0,161 0,181 0,151 0,171 0,150 0,161 0,150 
50 0,238 0,198 0,221 0,184 0,208 0,172 0,194 0,162 0,183 0,153 0,173 0,150 
55 0,241 0,201 0,225 0,187 0,211 0,175 0,197 0,164 0,186 0,155 0,176 0,150 
60 0,251 0,209 0,233 0,194 0,219 0,182 0,205 0,171 0,193 0,161 0,183 0,152 
65 0,259 0,216 0,241 0,201 0,226 0,188 0,212 0,176 0,200 0,166 0,189 0,157 
70 0,267 0,222 0,248 0,207 0,233 0,194 0,218 0,182 0,206 0,172 0,195 0,162 
75 0,274 0,229 0,255 0,213 0,239 0,199 0,224 0,187 0,212 0,176 0,199 0,166 
80 0,282 0,235 0,262 0,218 0,245 0,204 0,230 0,192 0,217 0,181 0,203 0,169 
85 0,288 0,240 0,268 0,224 0,251 0,209 0,236 0,196 0,222 0,185 0,210 0,175 
90 0,295 0,245 0,274 0,228 0,256 0,214 0,241 0,201 0,227 0,189 0,215 0,179 
 
 
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2.44 
 
2.6.2 – Armadura de pele 
 
Segundo o item 17.3.5.2.3 da NBR-6118:2014, a armadura mínima lateral, ou 
de pele, ou armadura de costela, deve ser 0,10 % Ac,alma em cada face da alma da 
viga e composta por barras de aço CA 50 ou CA 60, dispostas longitudinalmente, 
com espaçamento não maior que 20 cm ou d/3 (18.3.5), respeitado o disposto em 
17.3.3.2 (toda armadura de pele tracionada deve manter um espaçamento menor ou 
igual a 15L, da bitola longitudinal). 
 
“Em vigas com altura menor ou igual a 60 cm, pode ser dispensada a utilização de 
armadura de pele. 
As armaduras principais de tração e de compressão não podem ser computadas no 
cálculo da armadura de pele”. 
 
2.6.3 – Armadura total na seção transversal (tração e compressão) 
 
De acordo o item 17.3.5.2.4 da NBR 6118:2014, “A soma das armaduras de 
tração e de compressão (As + A’s) deve ser menor que 4%Ac, calculada na região 
fora da zona de emendas, devendo ser garantidas as condições de dutilidade reque-
ridas em 14.6.4.3”. 
 
 
2.6.4 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais em vigas 
 
De acordo o item 18.3.2.2 da NBR 6118:2014 “O espaçamento mínimo livre 
entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve 
ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
 
 na direção horizontal (ah) 
 - 20 mm; 
 - diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
 - 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo; 
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2.45 
 
 na direção vertical (av) 
 - 20 mm 
 - diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
 - 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo”. 
 
Estes valores se aplicam também as regiões de emenda por traspasse das 
barras. 
 
Na figura 2.15 estão indicados os espaçamentos mínimos na direção horizon-
tal (ah) e vertical (av). Com base nessa figura obtém-se a largura útil (bútil) da viga 
dada por: 
 
 bútil = bw – 2(c + t) (2.54) 
Onde: 
 c é o cobrimento nominal da armadura (cobrimento mínimo acrescido da 
tolerância de execução) 
 t é o diâmetro da armadura transversal (estribo) 
 
O número máximo de barras longitudinais com diâmetro L que cabem em 
uma mesma camada, atendendo ao espaçamento horizontal ah especificado acima, 
fica: 
 
 
Lh
hútil
Φ/cam
Φ a
ab
n



 (2.55) 
 
Adota-se como valor final do número de barras por camada, o calculado em 
(2.55), arredondado para o número inteiro imediatamente inferior. 
 
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2.46 
 
 
Figura 2.15 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais 
 
 
2.6.5 – Armaduras de ligação mesa-nervura ou talão-alma 
 
Segundo o item 18.3.7 da NBR-6118:2014, “os planos de ligação entre mesas 
e almas ou talões e almas devem ser verificados com relação aos efeitos tangenci-
ais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do comprimento da viga, 
tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras necessária 
para resistir às trações decorrentes desses efeitos. 
As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser conside-
radas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre 
ambas, se necessário. A seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se 
por toda a largura útil e ancorada na alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro”. 
 
 
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2.47 
 
2.6.6 – Cobrimento mínimo das armaduras 
 
O cobrimento mínimo das armaduras deve ser observado conforme o prescri-
to na NBR 6118:2014, no item 7.4.7. 
 
“7.4.7.1 Para atender aos requisitos estabelecidos nesta Norma, o cobrimento mí-
nimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o ele-
mento considerado. Isto constitui um critério de aceitação. 
7.4.7.2 Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem con-
siderar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tole-
rância de execução (Δc). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores 
devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela 7.2, para Δc = 10 
mm. 
7.4.7.3 Nas obras correntes o valor de Δc deve ser maior ou igual a 10 mm. 
7.4.7.4 Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tole-
rância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor 
Δc = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deveser explicitada nos desenhos 
de projeto. Permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na 
tabela 7.2 em 5 mm. 
7.4.7.5 Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da 
armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma 
determinada barra deve sempre ser: 
a) cnom ≥ Φ barra; 
b) cnom ≥ Φ feixe = Φ n = Φ (n)
1/2; 
c) cnom ≥ 0,5 Φ bainha. 
 
7.4.7.6 A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto 
não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: 
 
dmáx ≤ 1,2 cnom 
 
 
 
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2.48 
 
Tabela 2.8 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobri-
mento nominal para Δc = 10mm (Tabela 7.2 NBR 6118:2014) 
 
Tipo de Estrutura 
Componente 
ou 
Elemento 
Classe de Agressividade Ambiental 
Tabela 6.1 NBR 6118:2014 
I 
 
II 
 
III 
 
IV
c 
 
Cobrimento Nominal - mm 
Concreto Armado 
Laje
b 20 25 35 45 
Viga/Pilar 25 30 40 50 
Elementos 
estruturais em 
contato com o 
solo
d 
30 40 50 
Concreto Protendido
a 
Laje 25 30 40 50 
Viga/pilar 30 35 45 55 
a - Cobrimento nominal da bainha ou dos fios, cabos e cordoalhas. O cobrimento da armadura passiva 
deve respeitar os cobrimentos para o concreto armado. 
b - Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com re-
vestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais 
como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências 
desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm. 
c –Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de 
água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e 
intensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. 
d – No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter 
cobrimento nominal ≥ 45 mm. 
 
 
Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido, os cobrimentos 
definidos na tabela 7.2 podem ser reduzidos em até 5 mm.” 
 
 
 
 
 
 
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2.49 
 
2.7 – Exemplos de aplicação 
 
Os exemplos de aplicação adiante apresentados servem para fixar os concei-
tos de solicitações normais e flexão simples em seções retangular e T ou L. 
 
2.7.1 – Exemplos de solicitações normais 
 
Traçar o diagrama de interação NxM que solicita a seção retangular 20x40 
cm2 abaixo, com fck=25 MPa, aço CA 50, 6 bitolas longitudinais L =12,5 mm, con-
forme figura figura 2.16. Como a resistência do concreto deste exemplo é menor que 
50 MPa (grupo I) εc2 = 2‰, εcu = 3,5‰, λ = 0,8 e αc = 0,85. Como é aço CA 50 εyd = 
(50/1,15) / 21 = 2,07‰. 
 
fc = 0,85x2,5 / 1,4 = 1,518 kN/cm
2 (tabela 1.11) 
fyd = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm
2 (tabela 1.11) 
AsΦ=12,5 = π Φ
2 / 4 = 1,227 cm2 (tabela 1.4) 
 
Para traçar o diagrama de forma mais simplificada determinam-se os pontos 
correspondentes aos pares (N,M) para algumas posições da LN no estado limite úl-
timo ligando-os posteriormente. Os pontos escolhidos são aqueles correspondentes 
às posições limites da LN que definem os domínios de deformação. 
 
1) Profundidade x = - ∞ (início do domínio 1) 
 
 Para x = - ∞ a seção deformada no estado limite último (ELU) é a apresenta-
da na figura 2.16. Esta posição é correspondente à reta “a” dos domínios de defor-
mação, figura 2.3, onde todos os pontos da seção transversal têm a mesma defor-
mação εc=εs=10‰. Portanto: 
 
εs1=εs2=εs3 = 10‰,  σs1=σs2=σs3 = fyd=43,48 kN/cm
2 
As1=As2=As3=2x1,227 = 2,454 cm
2  Rs1=Rs2=Rs3=2,454x43,48=106,70 kN 
 
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2.50 
 
 
 
Figura 2.16 – Seção com ELU correspondente a x = - ∞ 
 
Os sentidos positivos dos esforços solicitantes Nd e Md são os indicados na fi-
gura 2.16, normal de compressão e momento fletor tracionando os pontos da parte 
inferior da seção. Os esforços internos, resultantes Rs1, Rs2, Rs3, conforme indicados 
são todos de tração. As equações de equilíbrio ficam: 
 
∑Fh=0  Nd + Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0  Nd = - 3x106,70 = - 320,10 kN 
 
∑MCG=0  Md + Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0  Md = 0 
 
 Na segunda equação de equilíbrio d’’=h-d, que neste caso do exemplo é o 
mesmo valor de d’, representa a distância entre a face inferior da seção de concreto 
e o centro da armadura As. Os valores das solicitações de serviço N e M para x = - ∞ 
são obtidos dividindo-se os valores de cálculo Nd e Md pelo coeficiente de majoração 
das ações f. Assim: 
 
N = Nd / 1,4 = -320,10 / 1,4 ≈ - 229 kN (tração) 
M = Md / 1,4 = 0 
 
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2.51 
 
 Os valores de N e M acima são os mesmos desde a posição da LN variando 
de x = - ∞ até x = x1 (ver deformações na fig. 2.16), onde a deformação da armadu-
ra As1 chega ao valor εs1 = εyd = 2,07‰ (aço CA 50). Embora com a LN inclinada, 
quando x = x1 tem-se as mesmas resultantes da figura 2.16 e, portanto o mesmo par 
de esforços solicitantes. Nesta figura o valor de x1 é obtido fazendo-se semelhança 
de triângulos obtidos com a linha tracejada que passa pelos pontos A e onde εs1=εyd. 
 
d'x1
εε
dx1
0,010ε yds1s3




  
4,35
ε0,010
0,010d'dε
x1
s1
s1 



cm 
 
Para um valor no intervalo (–x1 < x < 0), por exemplo x = - 2 cm, os valores 
calculados são: 
 
εs1=1,58‰<εyd εs2 = 5,79‰> εyd Rs1 = 81,42 kN Rs2= Rs3 = 106,7 kN 
Nd= - 294,82 kN, N = - 211 kN (tração) Md=404,48 kNcm, M = 289 kNcm 
 
2) Profundidade x = 0 (final domínio 1, início do domínio 2) 
 
 Para x = 0 a seção deformada no estado limite último (ELU) é a apresentada 
na figura 2.17. Esta posição é correspondente aos limites entre os domínios 1 e 2, 
figura 2.3, onde todos os pontos da seção transversal ainda estão tracionados. Nes-
te caso o ELU é definido pelo ponto A, deformação plástica excessiva do aço, fican-
do a armadura As3 com a deformação εs3 = εsu = 10‰. As deformações εs1 e εs2 são 
obtidas por semelhança de triângulos. 
 
202/402/ 





h
s2s1s3 ε
4d'
ε
36d
0,010ε
  εs1=0,00111=1,11‰<εyd=2,07‰ 
  εs2=0,00556=5,56‰>εyd=2,07‰ 
σs1=Esεs1=21000x1,11‰=21x1,11 = 23,33 kN/cm
2  Rs1=2,454x23,33 = 57,26 kN
 
σs2=σs3 = fyd=43,48 kN/cm
2  Rs2= Rs3=106,70 kN
 
 
Escrevendo-se as equações de equilíbrio: 
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2.52 
 
∑Fh=0  Nd + Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0 
 Nd = - 57,26 – 2 x 106,70 = - 270,66 kN 
 
∑MCG=0  Md + Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0)