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CÁLCULO II Aula 2 - INTEGRAL DEFINIDA Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA2 CÁLCULO II Conteúdo Programático desta aula definição de integral definida, interpretação gráfica, Propriedades, Teorema Fundamental do Cálculo, relação entre integral definida e a integral indefinida, área entre gráficos.. Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Área sob o Gráfico de uma Função Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Área sob o Gráfico de uma Função Área “sob”:é a região entre o gráfico de uma função f e o eixo x A1 área da porção acima do eixo x A2 área da porção abaixo do eixo x A1 + A2 = área total dessa região Área com sinal sob o gráfico de f entre x=a e x=b A1 - A2 Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Integral Definida Definição Seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a,b]. Então a área com sinal sob o gráfico de f entre x=a e x=b é denotada por Assim, Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Integral Definida integral definida de a até b de f(x)dx: O intervalo [a,b] é chamado intervalo de integração. Os números a e b são chamados respectivamente de limite inferior e superior de integração. Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Propriedade da integral definida Se f é integrável nos intervalos fechados , então onde a<c<b. Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Área como Limite de uma Soma Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Tomemos a soma das áreas destes retângulos ou ou A área abaixo da curva pode ser aproximada pelo somatório das áreas dos retângulos. Quanto maior o número de subintervalos n, mais próximas são as áreas da região sob a curva e dos retângulos. área da região procurada Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) Suponha que f seja uma função contínua sobre o intervalo fechado [a,b] e que então Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Teorema Fundamental do Cálculo O TFC relaciona a integral indefinida com a integral definida Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Notação: Se g é uma função qualquer e se os números a,bDom(g) então a notação lida “g(x) calculada entre x=a e x=b” é definida por Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Exercícios 1.Sendo f uma função definida por f(x)=1-x, use a geometria elementar para determinar: A área A1 acima do eixo X é a área de um triângulo de base 2 e altura 2. Daí: A1 = ½ .2.2=2ua (unidades de área). De modo análogo, a área A2 abaixo do eixo X é a área de um triângulo de base 1 e altura 1. Daí: A2=1/2.1.1=1/2ua Assim: Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Y X (-1,2) (2,-1) Observe que poderíamos fazer também usando o conceito de integral. Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II 2.Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a área da região sob o gráfico de f(x) entre os pontos dados Temos: Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II 2,25 Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II 3) Calcular Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Derivadas das funções trigonométricas inversas c) b) a) e) d) f) Tema da Apresentação INTEGRAL DEFINIDA – AULA 2 CALCULO II Na aula de hoje estudamos: A definição de Integral Definida A interpretação gráfica As propriedades O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) A relação entre a Integral Definida e a Integral Indefinida Área entre gráficos Exercícios Tema da Apresentação
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