Cal Dif e Integral II Unid 1 2

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Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
1 
 
 
 
 
SABE – Sistema Aberto de Educação 
 
Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto 
Varginha - MG - 37010-540 
Tele: (35) 3219-5204 - Fax - (35) 3219-5223 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05 
 
Centro Universitário do Sul de Minas - UNIS/MG 
Unidade de Gestão da Educação a Distância – GEaD 
 
Mantida pela 
Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas - FEPESMIG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Varginha/MG 
 
 
 
 
 
 
 
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Todos os direitos desta edição reservados ao Sistema Aberto de Educação – SABE. 
É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou parte do mesmo, sob 
qualquer meio, sem autorização expressa do SABE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
515.43 
A474g ALVES, Alessandro Ferreira. 
Guia de Estudo – Cálculo Diferencial e 
Integral II - Unid. I e II. Alessandro Ferreira Alves 
Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2007. 
60p. 
 
1. Antidiferenciação – Primitiva. 2. Integral 
Indefinida. 3. Integral Definida. 4. Teorema 
Fundamental de Cálculo. I. Título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REITOR 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
 
GESTOR 
Prof. Ms. Tomás Dias Sant’ Ana 
 
 
Supervisor Técnico 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
 
Coord. do Núcleo de Recursos Tecnológicos 
Profª. Simone de Paula Teodoro Moreira 
 
 
Coord. do Núcleo de Desenvolvimento Pedagógico 
Profª. Vera Lúcia Oliveira Pereira 
 
 
Revisão ortográfica / gramatical 
Profª. Maria José Dias Lopes Grandchamp 
 
 
Design/diagramação 
Prof. César dos Santos Pereira 
 
 
Equipe de Tecnologia Educacional 
Profª. Débora Cristina Francisco Barbosa 
Jacqueline Aparecida da Silva 
Prof. Lázaro Eduardo da Silva 
 
 
 
 
Autor 
ALESSANDRO FERREIRA ALVES 
Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia, 
mestre em Matemática pela UNICAMP e doutor em Engenharia Elétrica 
também pela UNICAMP, no UNIS/MG ministra Matemática, Estatística 
e Computação em cursos de graduação e pós-graduação, além de já 
ter coordenado cursos de pós-graduação e a Pesquisa e Extensão do 
curso de Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
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TABELA DE ÍCONES 
 
 
 
REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada. 
Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática para ser 
realizada. Fique atento a ele. 
 
PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na busca por 
mais informação. 
 
PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado para 
responder a um questionamento. 
 
CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de idéias, partes ou unidades 
do curso virão precedidas desse ícone. 
 
IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser encarado 
como um sinal de alerta que o orienta para prestar atenção à informação 
indicada. 
 
HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra página do módulo 
impresso ou endereço de Internet. 
 
EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver necessidade de 
exemplificar um caso, uma situação ou conceito que está sendo descrito 
ou estudado. 
 
SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência utilizados no curso 
e também faz sugestões para leitura complementar. 
 
APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática de uso 
profissional ligada ao que está sendo estudado. 
 
CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de ações para fins 
de verificação de uma rotina ou um procedimento (passo a passo) para a 
realização de uma tarefa. 
 
SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema abordado 
de forma a possibilitar a obtenção de novas informações ao que já foi 
referenciado. 
 REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados 
anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
5 
SUMÁRIO 
 
 
 
TABELA DE ÍCONES ................................................................................................. 4 
INTRODUÇÃO........................................................................................................ 6 
Unidade 01 – A Integral Indefinida e Algumas Técnicas de 
Integração............................................................................................................... 8 
Objetivos:.................................................................................................................... 8 
1.1. O Processo de Antidiferenciação – Primitiva Imediatas................................... 8 
1.2. Algumas Técnicas de Antiderivação .............................................................. 18 
1.2.1. Regra de Cadeia para Antiderivação.......................................................... 18 
1.2.2. Mudança de Variável (ou Integração por Substituição) .............................. 21 
1.3. A Função Exponencial e a Função Logarítmica............................................. 22 
1.4. A Derivada e a Integral Indefinida da Função Exponencial............................ 26 
1.5. A Derivada e a Integral Indefinida da Função Logarítmica ............................ 27 
1.6. A Técnica da Integração por Partes............................................................... 28 
Unidade 02 – A Integral de Riemann – A Integral Definida e 
Aplicações............................................................................................................ 34 
Objetivos:.................................................................................................................. 34 
1.7. Partição de um Intervalo ................................................................................ 34 
1.8. Soma de Riemann ......................................................................................... 35 
1.9. Integral de Riemann: Definição...................................................................... 38 
1.10. Propriedades da Integral ............................................................................ 39 
1.11. Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo ............................................... 41 
Exercícios de Aprendizagem .................................................................................... 45 
1.6 Cálculo de Áreas............................................................................................ 46 
1.7 Aplicação à Fisica: um Estudo de Caso em Cinemática ................................ 54 
Exercícios de Aprendizagem .................................................................................... 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
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INTRODUÇÃO 
 
Olá, tudo bem? Estamos iniciando mais um semestre, e espero que, 
novamente, tenhamos uma relação harmoniosa, transparente, amigável e, acima de 
tudo, relevante para os nossos objetivos. Ministraremos a disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral II, que, na verdade, é a continuação da disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral I, disciplina ministrada, no semestre passado, pela professora 
Iracema. 
No Cálculo I, vocês estudaram a parte de limites, derivadas e aplicações, sendo 
que agora daremos continuidade a este contexto, começando com o estudo da 
Integral Indefinida (antidiferenciação), bem como, com a Integral definida e sua 
relação com o cálculo de áreas e volumes e técnicas de integração. Talvezo Cálculo 
Diferencial e Integral constitua a principal parte do curso de Licenciatura em 
Matemática. Seguindo a mesma estratégia do semestre anterior, sempre que for 
apresentada alguma definição e ou algum resultado, será colocado uma série de 
exemplos resolvidos, bem como, uma série de exercícios propostos. 
 
 
A nossa disciplina está dividida em quatro unidades. São elas: 
 
• Unidade 01 – A Integral Indefinida e Algumas Técnicas de Integração. 
 
• Unidade 02 – A Integral de Riemann – A Integral Definida e Cálculo de Áreas 
 
• Unidade 03 – Integração por Substituição Trigonométrica e Integração por 
Frações Parciais. 
 
• Unidade 04 – Outras Aplicações envolvendo a Integral. 
 
As atividades propostas no guia são para que você faça a aplicação da teoria e 
enriqueça os novos conhecimentos adquiridos. 
Todas elas estão resolvidas no ambiente virtual MIDIATECA. 
Tente resolvê-las. Se surgirem dúvidas, vá até a MIDIATECA e tente esclarecê-
las. 
Ainda continua com dúvidas? Fale comigo por e-mail ou sala de bate-papo. 
Não deixe de fazer as atividades; elas são importantes mecanismos para o 
desenvolvimento de habilidades com cálculos escritos e mentais. 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
7 
A compreensão total dos conteúdos será efetivada mediante o seu empenho 
em realizar as atividades propostas e compreendê-las. 
Não deixe dúvidas sem respostas. 
Comunique-se com os colegas ou fale comigo! 
Também encontram-se, na MIDIATECA, a distribuição de pontos relativos às 
atividades propostas e avaliações; e ainda endereços eletrônicos para você 
enriquecer suas aulas ou pesquisar mais detalhadamente os conteúdos. 
Novamente devo ressaltar que, no início, talvez, vocês sintam certa dificuldade 
nas justificativas de alguns resultados, nas demonstrações; porém, esta dificuldade 
vai desaparecendo com o passar do tempo. 
Agora, é mãos a obra! 
Desde já, os meus sinceros agradecimentos. 
 
 
“Não existe Matemática sem entusiasmo”. 
Alessandro Ferreira Alves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidade 01 – A Integral Indefinida e Algumas Técnicas de 
Integração 
 
 
Objetivos: 
- introduzir e interpretar o processo de antidiferenciação, que é, o 
processo inverso da diferenciação; 
- adquirir técnicas de demonstração; 
- calcular, sem dificuldades, primitivas imediatas; 
- estar familiarizado com as primeiras técnicas de integração, que são: a 
mudança de variável e a integração por partes; 
- reconhecer a técnica a ser empregada na resolução de integrais 
indefinidas; 
- resolver aplicações envolvendo a teoria discutida na unidade. 
 
Você já está familiarizado com operações inversas. Adição e subtração, 
multiplicação e divisão são operações inversas, bem como potenciação e radiciação. 
Nesta unidade, vamos desenvolver a operação inversa da diferenciação chamada 
de antidiferenciação. Começaremos introduzindo a noção de antiderivada ou 
primitiva. 
 
 
1.1. O Processo de Antidiferenciação – Primitiva Imediatas 
 
 
 
Seja f uma função definida num intervalo I, i.e., f: I ℜ→ . Uma 
primitiva (ou antiderivada) de f em I é uma função F definida em I tal 
que F’(x) = f(x) ∀ x∈I, ou seja, a derivada de F(x) é igual à função f(x) 
para todo x pertencente ao intervalo I. 
 
 
Vejamos alguns exemplos introdutórios: 
Exemplo 01: F(x) = 
3
1
.x 3 é uma primitiva de f(x) = x 2 em ℜ , pois: para todo ∀ x∈ ℜ , 
temos que F’(x) = 
3
1
. 3. x 2 = x 2 = f(x). Note que, neste caso, I = ℜ . 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
9 
Exemplo 02: F(x) = 4.x 3 + x 2 + 5 é uma primitiva de f(x) = 12. x 2 + 2.x, para todo x 
real, pois: F’(x) = 4.3. x 2 + 2.x + 0 = 12. x 2 + 2.x = f(x). 
 
Exemplo 03: F(x) = senx é uma primitiva para f(x) = cosx, pois: F’(x) = [senx]’ = cosx 
= f(x). 
 
Exemplo 04: F(x) = cosx é uma primitiva para f(x) = -senx, pois: F’(x) = [cosx]’ = - 
senx = f(x). 
 
Em geral, se uma função F(x) for uma primitiva de uma função f(x) num intervalo I e 
se a função G(x) for definida por 
G(x) = F(x) + C, 
em que C é uma constante arbitrária, então: 
G’(x) = [F(x) + C]’ = F’(x) + 0 = F’(x) 
ou seja, 
G’(x) = F’(x) 
E G(x) também é uma primitiva de f no intervalo I. 
Em verdade, vamos mostrar que se F(x) for qualquer primitiva particular de f(x) em I, 
então toda primitiva de f(x) em I, será dada por F(x) + C, onde C é uma constante 
qualquer. 
 
Exemplo 05: A função de F(x) = x 2 é uma primitiva de f(x) = x em I = ℜ , 
analogamente, G(x) = x 2 + 3 também é uma primitiva de f(x) = x em I = ℜ . Observe 
que, no lugar do número 3 poderia vir qualquer outro valor numérico e assim mesmo 
a função G(x) seria uma primitiva de f(x) no conjunto dos números reais. 
 
Resumindo, observamos que se f(x) possui uma primitiva particular F(x) então ela 
admite na verdade uma infinidade de primitivas, que diferem por um valor constante. 
 
Teorema 01: Se f(x) e g(x) forem duas funções, tais que f ’(x) = g’(x) para todo x no 
intervalo I, então haverá uma constante K, tal que 
f(x) = g(x) + K para todo x em I. 
 
Demonstração: 
Vamos definir uma função h(x) no intervalo I da seguinte forma: 
h(x) = f(x) – g(x) 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
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desta forma, para todo x em I, 
h’(x) = f ’(x) – g’(x) 
onde, usamos que a derivada de uma diferença é a diferença entre as derivadas. 
Porém, por hipótese, f ’(x) = g’(x) para todo x em I. Logo: 
h’(x) = 0 para todo x em I 
 
(*) Agora, vamos usar o seguinte resultado que, provavelmente, vocês viram no 
curso de Cálculo Diferencial e Integral I: se a derivada de uma função f(x) se anula 
em todo um intervalo I, então f(x) é constante, isto é, f(x) = K (constante). 
 
Sendo assim, usando (*) para a função h(x), concluímos que 
h(x) = K, i.e., h(x) é constante. 
Portanto, 
h(x) = f(x) – g(x) = K 
ou seja, 
f(x) = g(x) + K 
 
c.q.d. 
 
 
Teorema 02: Se F(x) for uma primitiva particular de f(x) em um intervalo I, então toda 
primitiva de f(x) em I será dada por 
(I) F(x) + C 
onde C é uma constante arbitrária e todas as primitivas de f(x) em I poderão ser 
obtidas de (I), atribuindo-se certos valores a C. 
 
Demonstração: 
Suponhamos que G(x) represente qualquer primitiva de f(x) em I, então G’(x) = f(x) 
para todo x∈I. Além disso, como F(x) é uma primitiva particular de f(x) em I, temos 
que F’(x) = f(x) para todo x∈I. Daí, segue que G’(x) = F’(x) para todo x∈I. Logo, pelo 
Teorema 01, existe uma constante C, tal que 
G(x) = F(x) + C para todo x em I 
Como G(x) representa qualquer primitiva de f(x) em I, segue que toda primitiva de 
f(x) pode ser obtida de F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária. 
c.q.d. 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
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Definição: Chamamos de Antidiferenciação o processo de encontrar o conjunto de 
todas as primitivas de uma dada função. 
O símbolo ∫ denota a operação de antidiferenciação e escrevemos 
∫ dxxf )( = F(x) + C 
onde, F’(x) = f(x) e d(F(x)) = f(x).dx. 
 
Obs: 
 
i) O conjunto de todas as primitivas de f(x) é a Integral Indefinida de f(x) 
em relação à x, denotada por ∫ dxxf )( . 
ii) ∫ é o símbolo de uma integral. 
 
iii) f(x) é o integrando de uma integral, e x é a variável de integração. 
 
iv) Leibniz introduziu a convenção de escrever a diferencial de uma função 
após o símbolo de antidiferenciação. 
 
v) Podemos escrever também ∫ ))(( xFd = F(x) + C. 
 
vi) Podemos considerar que o símbolo deantidiferenciação ∫ significa a 
operação inversa da operação denotada por d para o cálculo diferencial. 
 
vii) Se {F(x) + C} for o conjunto de todas as funções cuja diferencial é f(x).dx, 
também será o conjunto de todas as funções cujas derivadas são f(x). 
Assim sendo, a antidiferenciação é considerada como a operação de 
encontrar o conjunto de todas as funções, tendo uma dada derivada. 
 
Como a antidiferenciação é a operação inversa da diferenciação, os Teoremas sobre 
antidiferenciação podem ser obtidos dos Teoremas que envolvem diferenciação. 
Desta maneira, os Teoremas a seguir podem ser provados a partir dos Teoremas 
correspondentes da diferenciação, estudados no semestre anterior. Vejamos os 
primeiros resultados importantes como seguem, que são chamados de tabeladas 
imediatas. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
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Teorema 03: ∫dx = x + C. 
 
Demonstração: 
Notemos que ∫dx = ∫ dx.1 , logo ∫dx = x + C, já que [x]’ = 1. 
 
 
Teorema 04: ∫ dxxfa )(. = a. ∫ dxxf )( , em que a é uma constante. 
Note que o Teorema 04 estabelece que, para determinar uma antiderivada de uma 
constante vezes uma função, encontramos inicialmente uma antiderivada da função 
multiplicando-a, em seguida, pela constante, que no nosso caso é a. 
Qual é a justificativa (demonstração) do Teorema 04? Tente fazer, é bem simples! 
 
Teorema 05: Se f 1 e f 2 estão definidas no mesmo intervalo, então 
∫ + dxxfxf )]()([ 21 = ∫ dxxf )(1 + ∫ dxxf )(2 . 
O Teorema 05 nos diz que, para determinar uma antiderivada da soma de duas 
funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funções separadamente 
e então, somamos resultados, ficando subentendido que ambas as funções estão 
definidas no mesmo intervalo. O Teorema 05 pode ser estendido a um número 
qualquer, finito, de funções. Combinando o Teorema 05 com o Teorema 04, temos o 
seguinte resultado: 
 
Teorema 06: Se f 1 , f 2 , ..., f n estão definidas no mesmo intervalo, então 
∫ +++ dxfcxfcxfc nn ]....)()(.[ 2211 = ∫ dxxfc )(. 11 + ∫ dxxfc )(. 22 + ... + ∫ dxxfc nn )(. , 
onde c 1 , c 2 , ..., c n são constantes. 
 
Vejamos mais alguns resultados, que usaremos nos próximos exercícios e ao longo 
de todo curso. 
 
Teorema 07: Se n for um número racional, dxxn∫ = Cn
xn
+
+
+
1
1
, n 1−≠ . O caso n = – 1 
será discutido mais à frente, pois aparecerá a função logarítmica. 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
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Demonstração: 
Basta notarmos que D x n
nnn
x
n
xn
n
xn
n
x
=
+
+
=
+
+
=





+
−++
1
).1(
1
).1(
1
111
. 
 
Vejamos alguns exemplos, a fim de aplicar os resultados discutidos anteriormente. 
 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
Calcular as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) dxx∫ 2 = 
 
b) dx
x∫ 2
1
 
 
c) dxx .3∫ 
 
d) ∫ + dxx )5.3( 
 
e) dxxxxx )7.2.9.8.5( 234 +−+−∫ 
 
f) ∫
+
3
4
2 7.5
t
t dt 
 
g) dx
x
xx .
1
. 





+∫ 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
14 
Solução: 
 
a) dxx∫ 2 = C
xCx +=+
+
+
312
312
 
 
b) dx
x∫ 2
1
= C
x
CxCx +−=+
−
=+
+−
−+− 1
112
112
 
 
c) dxx .3∫ = CxCxC
xCxdxx +=+=+=+
+
=
+
∫
3 43
43
41
3
1
3
1
.
4
3
.
4
3
3
41
3
1 
 
d) 
∫ + dxx )5.3( = ∫ ∫+ dxxdx 5.3 =
CxxCCxxCxCxdxdxx ++=+++=++





+=+∫ ∫ .5.2
3).5.3(.5.
2
3).(5
2
.3.5..3 221221
2
, onde 
C = ).5.3( 21 CC + . 
 
Obs: Para não sobrecarregarmos a notação, resolvemos as integrais de forma 
separada, e apenas no final colocamos a constante de integração C. A resposta 
deve ter uma constante, pois como vimos se trata de uma integral indefinida. 
 
e) dxxxxx )7.2.9.8.5( 234 +−+−∫ = ∫ ∫∫∫∫ +−+− dxxdxdxxdxxdxx .729.8.5 234 = 
Cxxxxx ++−+− .7.3.2 2345 (Verifique os cálculos!). 
 
f) ∫
+
3
4
2 7.5
t
t dt = 
CttCttdttdttdt
t
dt
t
t
+







−+







=+












−
+












=+=+
−
−
−
∫∫∫∫ 3
1
3
53
1
3
5
3
4
3
2
3
4
3
4
2
.3.7.
5
3
.5
3
1.7
3
5.5.7.5
1
.7.5 
= 3.t 3
5
 – 
3
1
21
t
 + C 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
15 
g) dx
x
xx .
1
. 





+∫ = CxxC
xxdxxdxxdxxxx ++=++=+=+ ∫∫∫
−
− 2
1
2
52
1
2
5
2
1
2
3
12
1
.2.
5
2
2
1
2
5).( 
 
Os Teoremas para a antiderivada das funções seno e co-seno seguem 
imediatamente dos Teoremas correspondentes para diferenciação. 
 
Teorema 08: ∫ +−= Cxxdx cossen 
 
Demonstração: 
De fato, basta notarmos que D x (– cosx ) = – (– senx) = senx. 
 
 
Teorema 09: ∫ += Cxxdx sencos 
 
Demonstração: 
De fato, basta notarmos que D x (senx ) = cosx. 
 
Os Teoremas, que discutiremos a seguir, são conseqüências dos Teoremas para as 
derivadas das funções: tangente, co-tangente, secante e co-secante. As 
demonstrações são imediatas, obtidas com o cálculo da derivada do segundo 
membro das fórmulas. 
 
Teorema 10: ∫ += Ctgxxdx
2sec . 
 
Teorema 11: ∫ +−= Cgxxdxec cotcos
2
. 
 
Teorema 12: ∫ += Cxdxtgxx sec..sec . 
 
Teorema 13: ∫ +−= Cecxdxgxecx cos.cot.cos . 
Tente justificar os Teoremas anteriores para exercitar, é bastante simples! 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
16 
As identidades trigonométricas são freqüentemente usadas quando calculamos 
antiderivadas envolvendo funções trigonométricas. As dez identidades fundamentais 
abaixo são de fundamental importância: 
 
• senx . cosecx = 1 
 
• cosx . secx = 1 
 
• tgx . cotgx = 1 
 
• tgx = 
x
x
cos
sen
 
 
• cotgx = 
x
x
sen
cos
 
 
• secx = 
xcos
1
 
 
• cosecx = 
xsen
1
 
 
• sen 2 x + cos 2 x = 1 
 
• 1 + tg 2 x = sec 2 x 
 
• 1 + cotg 2 x = cosec 2 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
17 
Exercícios de Aprendizagem 
 
Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) ∫ − dxxectgxx )cos.5.sec.3( 2 
 
b) dx
x
xgx
∫
−
sen
sen.3cot.2 2
 
 
c) ∫ ++ dxxgxtg )4cot( 22 
 
d) dxxx )cos(sen 22 +∫ 
 
e) ∫ ecxdxx cos.cos 
 
 
Solução: 
 
a) ∫ − dxxectgxx )cos.5.sec.3( 2 = Cgxxdxxectgxdxx +−−=−∫ ∫ )cot.(5sec.3.cos.5.sec.3 2 
= Cgxx ++ cot.5sec.3 
 
b) dx
x
xgx
∫
−
sen
sen.3cot.2 2
= dx
x
xgx
x
dx
x
xdx
x
gx
∫∫∫∫ −=− sen
sen3cot.
sen
1
.2
sen
sen.3
sen
cot.2 22
 = 
 
= ∫ ∫ ++−=+−−−=− CxxecCxxecsenxdxgxecx cos.3cos.2)cos.(3)cos.(23cot.cos.2 
 
 
c) ∫ ++ dxxgxtg )4cot( 22 = ∫ ∫∫ +=+−+− xdxecxdxdxxecx 2222 cossec]4)1(cos1[(sec 
+ 2. ∫dx = tgx – cotgx +2.x + C 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
18 
d) dxxx )cos(sen 22 +∫ = ∫dx = x + C (Usamos a Relação Trigonométrica 
Fundamental) 
 
e) ∫ xdxx sec.cos = ∫dx = x + C (Usamos a relação cosx.secx = 1) 
 
1.2. Algumas Técnicas de Antiderivação 
 
Em diversas situações, as primitivas não podem ser encontradas diretamente, desta 
forma, é necessário estudarmos algumas técnicas. A partir do momento em que o 
grau de complexidade das integrais vai aumentando, é natural pensarmos em novas 
técnicas para contornar tais situações. 
 
1.2.1. Regra de Cadeia para AntiderivaçãoExemplo: Vamos encontrar a derivada de 102 )1.(
10
1
x+ . Para isto, aplicando a Regra 
da Cadeia para derivadas, i.e., a regra para cálculo da derivada de uma função 
composta (vista no semestre anterior), temos: 
D x [ 102 )1.(10
1
x+ ] = xxxx .2.)1().2.()1.(10.
10
1 921102 +=+ − 
Agora, suponhamos que desejamos antiderivar a função xx .2.)1( 92+ . Então, 
necessitamos calcular 
(I) =+∫ xdxx .2.)1( 92 ).2.()1( 92 xdxx∫ + 
 
Para encontrarmos um tal procedimento para esta situação, consideremos 
(II) g(x) = 1 + x 2 e g’(x) = 2.x.dx 
 
Logo, podemos escrever (I) como 
(III) ]).('.[)]([ 9 dxxgxg∫ 
Daí, pelo Teorema 07, segue que 
(IV) 109 .
10
1
. uduu =∫ + C (Fizemos u = g(x) logo du = g’(x).dx) 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
19 
Notemos que (III) é da mesma forma que o primeiro membro de (IV), assim: 
]).('.[)]([ 9 dxxgxg∫ = 10)](.[10
1
xg + C 
logo, 
10292 )1.(
10
1).2.()1( xxdxx +=+∫ + C 
 
A justificativa para o nosso raciocínio utilizado anteriormente é o seguinte Teorema 
abaixo, denominado de Regra da Cadeia para Antiderivação. 
 
Teorema 14: Sejam: g uma função diferenciável de x e o intervalo I, a imagem de g. 
Suponha que f seja uma função definida em I e que F seja uma primitiva de f em I. 
Então: 
])('[)).(( dxxgxgf∫ = F(g(x)) + C 
onde, F’(x) = f(x). 
 
Demonstração: 
 
Temos que F’(x) = f(x), pois F é uma primitiva de f, daí 
(I) F’(g(x)) = f(g(x)) 
 
Agora, aplicando a Regra da Cadeia para derivação considerando a função F(g(x)), 
obtemos: 
D x [F(g(x)] = F’(g(x)). g’(x) 
 
Substituindo (I) na igualdade acima, segue que 
D x [F(g(x)] = f(g(x)). g’(x) 
 
isto é, a função F(g(x)) é uma primitiva para a função f(g(x)).g’(x), da qual segue que 
])('[)).(( dxxgxgf∫ = F(g(x)) + C 
c.q.d. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
20 
Obs: 
1) (Caso Particular do Teorema) – Se g for uma função diferenciável e se n for um 
número racional, n ≠ -1, segue que 
C
n
xgdxxgxg
n
n +
+
=
+
∫ 1
)]([])('.[]([
1
 
 
2) A Regra da Cadeia para Antiderivação é: ])('[)).(( dxxgxgf∫ = F(g(x)) + C, onde F 
é uma primitiva de f. Se nessa fórmula f for a função co-seno, então F será a função 
seno e teremos 
])('[)).(cos( dxxgxg∫ = sen(g(x)) + C 
 
 
Exemplos: 
 
a) ∫ + dxx 4.3 
Cxxdxxdxxdxx ++=
+
+
=+=+=+
+
∫∫∫ 2
312
1
2
1
2
1
)43.(
3
2
.
3
1
 
1
2
1
)4.3(
.
3
1).3.(
3
1
.)4.3()4.3(4.3 
= Cx ++ 2
3
)43.(
9
2
 
Neste caso, fizemos g(x) = 3.x + 4 logo g’(x) = 3.dx. 
 
b) Cxxdxxdxxx +==∫ ∫ )sen(.2
1).2.(
2
1
.)cos()cos(. 222 
 
Tente fazer os seguintes exemplos utilizando o mesmo raciocínio das letras 
anteriores! 
 
c) dxxx 832 ).25.( +∫ 
 
d) dx
x
x
∫
−
43
2
)81(
.4
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
21 
e) ∫ dxxx )sen(. 2 
 
f) dxx∫ −3 43 
 
 
1.2.2. Mudança de Variável (ou Integração por Substituição) 
 
É possível calcular uma primitiva após efetuarmos uma mudança de variável. Nosso 
objetivo aqui, é, através de uma mudança de variável, simplificarmos a integral a ser 
calculada para uma já conhecida (tabelada imediata). Esta técnica é muito parecida 
com a que discutimos anteriormente. 
 
Exemplo 01: Calcule dxxx +∫ 1.
2
 
Vamos efetuar a seguinte mudança de variável 
u = 1 + x , ou ainda, x = u – 1 
daí 
du = dx 
Então: 
dxxx +∫ 1.
2
= duuduuduuduuuuduuu ∫∫∫∫∫ +−=+−=− 2
1
2
3
2
5
22
1
2
.2).12(.)1( 2
1
 
 
= Cuuu ++−
2
3
2
5.2
2
7
2
3
2
5
2
7
= Cxxx ++++−+ 2
3
2
5
2
7
)1.(
3
2)1.(
5
4)1.(
7
2
 
 
Exemplo 02: Calcule dxx∫ −
5)9( 
Vamos efetuar a seguinte mudança de variável 
u = x - 9 
daí 
du = dx 
Então: 
dxx∫ −
5)9( = CxCuCuduu +−=+=+
+
=
+
∫ 6
)9(
615
6615
5
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
22 
Exemplo 03: Calcule ∫ dxx)3sen( 
Vamos efetuar a seguinte mudança de variável 
u = 3x 
daí 
du = 3.dx, ou seja, dx = 
3
du
 
Então: 
∫ dxx)3sen( = CxCuudu
du
u +
−
=+−== ∫∫ )3cos(.3
1)cos.(
3
1
sen.
3
1
3
.sen 
 
Antes de estudarmos a próxima técnica de integração, que é a integração por 
partes, vamos fazer uma rápida revisão sobre a função exponencial e a função 
logarítmica. Nossa tarefa aqui, é encontrar as derivadas da função exponencial e da 
função logarítmica a fim de resolver integrais que envolvam estas funções. 
 
1.3. A Função Exponencial e a Função Logarítmica 
 
Definição: Sendo b um número real positivo e diferente da unidade, chamamos de 
função exponencial a função definida por 
 
f: *+ℜ→ℜ 
 x a f(x) = b x 
Exemplos: 
a) f: *+ℜ→ℜ definida por f(x) = 2 x 
 
 
Figura 01: O gráfico da função exponencial f(x) = 2 x . 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
23 
b) f: *+ℜ→ℜ definida por f(x) = 
x






2
1
 
 
 
Figura 02: O gráfico da função exponencial f(x) = 
x






2
1
 
Observe que: 
• para os dois exemplos anteriores o conjunto imagem é *+ℜ , isto é, para 
todo x real, 2 x > 0, e para todo x real, 
x






2
1
> 0; 
• se x 1 > x 2 , então 21 22 xx > , isto é, a função f(x) = 2 x é crescente; 
• se x 1 > x 2 , então 
21
2
1
2
1 xx






>





, isto é, a função f(x) = 
x






2
1 é decrescente. 
 
Em geral, temos: 
 
I) O conjunto imagem da função exponencial f(x) = b x , com 0 < b 1≠ , é *+ℜ , 
isto é, qualquer que seja o número real x teremos b x > 0. 
II) Sendo b >1, então se x 1 > x 2 ⇒ 21 xx bb > , isto é, a função exponencial 
f(x) = b x é crescente. 
III) Sendo 0 < b < 1, então x 1 > x 2 ⇒ 21 xx bb < , isto é, a função exponencial 
f(x) = b x é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
24 
 
Figura 03: Gráficos da função exponencial mostrando crescimento e decrescimento. 
 
 
Definição: Sendo b um número real positivo e diferente da unidade, chamamos 
função logarítmica a função 
g: ℜ→ℜ+* 
 xa g(x) = xblog 
 
 
Note que o logaritmo só é definido para números positivos. Caso a base seja um 
número entre 0 e 1, o logaritmo será um número negativo. 
 
Se 11log yxb = e 22log yxb = , então 11 ybx = e 22 ybx = , onde {x 1 , x 2 } ∗+ℜ⊂ . 
Considerando x 1 > x 2 , temos: 
 
 



<<<<
>>>
10,loglog,,
1,loglog,,
2121
2121
bsexxéistoyy
bsexxéistoyy
bb
bb
 
 
Resumindo: 
 
• b > 1 ⇔ a função g(x) = xblog é crescente; 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
Figura 04: O gráfico da função f(x) = x2log – função crescente. 
 
 
• 0 < b < 1 ⇔ a função g(x) = xblog é decrescente. 
 
Figura 05: O gráfico da função f(x) = x
2
1log – função decrescente. 
 
Repare que f: *+ℜ→ℜ , f(x) = b x e g: ℜ→ℜ+* , g(x) = xblog são funções bijetoras (b 
> 0 e b ≠ 1), ou seja, são sobrejetoras e injetoras. 
Além disso, f(g(x)) = b )(xg = b xblog = x, para todo x, x ∗+ℜ∈ , e g(f(x)) = log b b x = x, 
para todo x real. 
Com base nisto, podemos afirmar que g(x) = xblog é a função inversa de f(x) = b x . 
Os gráficos de g e f são, portanto, curvassimétricas com relação à reta y = x 
(bissetriz dos quadrantes ímpares). 
 
Obs: (Nomenclatura para logaritmos) – Temos a seguinte nomenclatura para 
logaritmos: 
• log 10 x = log x = logaritmo decimal de a (quando a base for b = 10 omitimos a 
base); 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
26 
• log e x = lnx = logaritmo neperiano de x (quando a base for b = e – constante 
de Euler escrevemos apenas lnx). 
 
1.4. A Derivada e a Integral Indefinida da Função Exponencial 
 
Dada a função f(x) = b x , com b > 0 e b ≠ 1, calculemos a sua derivada. Temos: 
 
f ‘(x) = bb
x
bb
x
bb
x
bb
x
xfxxf xx
x
x
x
x
x
xxx
xx
ln.1lim.1.limlim)()(lim
(*)0000
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
−∆+ ∆
→∆
∆
→∆
∆+
→∆→∆
 
 
(*) Usamos o seguinte resultado sobre limites: a
u
au
u
ln1lim
0
=
−
→
. 
Portanto 
f(x) = b x ⇒ f ‘(x) = b x . lnb 
 
 
Sendo assim, no caso particular da função exponencial de base b = e, f(x) = e x , 
temos: 
f(x) = e x ⇒ f ‘(x) = e x . lne 
ou seja, 
f(x) = e x ⇒ f ‘(x) = e x (pois lne = 1) 
 
Conseqüentemente, obtemos: 
C
b
bdxb
x
x +=∫ ln
 
e 
Cedxe xx +=∫ 
 
Exemplos: 
 
a) Cdx
x
x +=∫ 2ln
22 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
27 
b) Cdx
x
x +=∫ 5ln
55 
 
c) Cdx
x
x +=∫ 7ln
77 
 
 
1.5. A Derivada e a Integral Indefinida da Função Logarítmica 
 
Para calcularmos a derivada da função logarítmica, necessitamos relembrar o 
Teorema da Derivada da Função Inversa, que foi discutido no Cálculo Diferencial e 
Integral I. 
 
Teorema 15: (Derivada da Função Inversa) – Seja a função y = f(x) bijetora e 
derivável em I, tal que f ’(x) ≠ 0 para x em I. Então a função inversa x = f 1− (y) é 
derivável em f(I) e que 
(f 1− )’(y) = )('
1
xf , sendo y = f(x). 
Em símbolos, temos o seguinte: 
x = f 1− (y) ⇔ (f 1− )’(y) = )('
1
xf 
 
Desta forma, sabemos que a função logarítmica é a função inversa da função 
exponencial, então: 
y = log b x ⇔ x = b y 
E vimos também que se x = b y então x’ = b y .lnb. 
Logo, pelo Teorema da Derivada da Função Inversa, segue que: 
y’ =
bxbbbbx xy b ln.
1
ln.
1
ln.
1
'
1
log === 
 
Resumindo 
y = log b x ⇒ y’ = bx ln.
1
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
28 
Em particular, se b = e , segue que 
y = lnx ⇒ y’ = 
xex
1
ln.
1
= 
Portanto, temos: 
dx
x∫
1
 = lnx + C 
obviamente considerando x > 0 para a existência de lnx. 
 
 
 
1.6. A Técnica da Integração por Partes 
 
Consideremos duas funções f e g. Suponhamos que f e g sejam definidas e 
deriváveis num certo intervalo I ℜ⊆ . Sabemos da teoria de derivadas, que: 
[f(x).g(x)]’ = f ’(x).g(x) + g’(x).f(x) (Derivada de um produto) 
ou seja, 
f(x). g’(x) = [f(x).g(x)]’ – f’(x).g(x) 
 
Agora, suponhamos que f’(x).g(x) admita primitiva em I e notando que f(x).g(x) é uma 
primitiva de [f(x).g(x)]’, (Por quê?) então f(x).g’(x) também admite primitiva em I e 
 
∫ ∫−= dxxgxfxgxfdxxgxf )().(')().()(').( 
 
Tomando 



=⇒=
=⇒=
dxxgdvxgv
dxxfduxfu
).(')(
).(')(
 
segue que 
∫ ∫−= duvvudvu ... (Fórmula da Integração por Partes) 
 
Obs: 
i) A priori, toda integral poderia ser resolvida pela integração por partes, já 
que pode ser colocada na forma do primeiro membro da igualdade acima, 
porém veremos que não é tão simples assim; 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
29 
 
ii) A chamada de u e dv deve ser da seguinte forma: devemos chamar de u 
algo que seja fácil para derivar, e de dv algo que seja fácil para integrar, 
pois, olhando para a fórmula da integração por partes de u, temos que 
encontrar du, e de dv, temos que encontrar v; 
 
iii) Na determinação de v (através da integração de dv) aparece uma 
constante (pois se trata de uma integral indefinida), mas ela pode ser 
desprezada já que desaparece no desenvolvimento dos cálculos; 
 
iv) A integração por partes é freqüentemente usada quando o integrando 
envolve logaritmos, funções trigonométricas inversas (discutiremos na 
última unidade) e produtos de funções. 
 
Exemplos: 
1) dxex x∫ . 
Vamos chamar u = x e dv = e x .dx, daí: du = dx e v = e x . Desta maneira, pela 
fórmula da integração por partes, segue que: 
dxex x∫ . = x. e
x
– dxex∫ = x. e
x
– e x + C 
2) ∫ xdxln 
Vamos chamar u = lnx e dv = dx, daí: du = 
x
1
.dx e v = x. Desta maneira, pela fórmula 
da integração por partes, segue que: 
∫ xdxln = x.lnx – dxx
x∫
1
. = x.lnx – x + C 
 
3) ∫ xdxx cos. 
Vamos chamar u = x e dv = cosx.dx, daí: du =dx e v = senx. Desta maneira, pela 
fórmula da integração por partes, segue que: 
∫ xdxx cos. =x.senx – ∫ dxx.sen = x.senx – (–cosx) + C = x.senx + cosx + C 
 
4) ∫ xdxx ln. 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
30 
Vamos chamar u = lnx e dv = x.dx, daí: du =
x
1
.dx e v = 
2
2x
. Desta forma, pela 
fórmula da integração por partes, segue que: 
∫ xdxx ln. = lnx. 2
2x
– dx
x
x 1
.
2
2
∫ = lnx. 2
2x
 – dxx..
2
1
∫ = lnx. 2
2x
 – 
4
2x
 + C 
 
5) dxex x∫ .2 
Este é o típico caso em que teremos que efetuar duas vezes a integração por 
partes.. Inicialmente, vamos chamar de u = x 2 e dv = e x dx, então: du = 2.x.dx e v = 
e x . Daí, segue que: 
dxex x∫ .
2
 = x 2 . e x – dxex x∫ ..2 = x
2
. e x – dxex x∫ ..2 
Note que a integral do segundo membro foi resolvida no Exemplo 1, logo: 
dxex x∫ .
2
= x 2 . e x – 2.[x.e x – x] + C = x 2 . e x – 2x.e x + 2.x + C 
 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
1) Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando as primitivas imediatas 
discutidas no referencial teórico: 
a) dxe x∫ ln b) dxex )ln(∫ c) dxe x∫
2ln
 
 
d) dx
x
x
∫ 3 2 e) dxx
x
∫
−
3
.2
2
 f) dxxx ]cos.3sen.3[ 22∫ + 
 
g) dx
xx∫ 22 sen.cos
1
 h) dx
x
xx
∫
+
2
3
 g) dxx∫ +13 
 
 
 
2) Utilizando a técnica da mudança de variável, determine: 
a) dx
x
x
∫
)sen(
 b) ∫ + dxx )1.3sen( c) dxx
x
∫
ln
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
31 
 
d) dxe x∫ 5 e) ∫ − dxx)5cos( f) ∫
−
2).37( x
dx
 
 
g) dxxe x .sen.cos.6∫ h) dxx
x
∫ + 21
 i) ∫ dxx)5sen( 
 
j) ∫ tgxdx l) xdxe x cos.sen∫ m) dxxx )cos(..3 2∫ 
 
n) dx
x
e x
∫ 2
1
 o) dx
e
e
x
x
∫
− 2
 p) dx
x
x
∫
−
+
75
3
 
 
q) dxxx )sen(. 54∫ r) ∫ xx
dx
ln.
 s) dx
x
x
∫
30][ln
 
 
 
 
3) Utilizando o método da integração por partes, calcule as seguintes integrais 
indefinidas: 
a) dxxx∫ )3sen(. b) ∫ dxxx )2cos(. c) dxxex∫ sen. 
 
d) xdxex cos.∫ e) ∫ dxex x3. f) dxx x∫ 3. 
 
g) dxx∫ 2][ln h) dxxx .sec. 2∫ i) ∫ xdxx ln.2 
 
j) ∫ xdxx ln.3l) dxex x∫ 3 m) ∫ +− dxxx )5cos().1.3( 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
32 
4) Calcule xdx∫ 2cos , da seguinte forma: 
 
a. utilizando a integração por partes; faça cos 2 x = cosx.cosx; 
 
b. utilizando a relação trigonométrica cos(2x) = cos 2 x – sen 2 x . 
 
 
5) Encontre xdxx cos.sen3∫ . 
 
6) Encontre xdx∫ 3cos . 
 
7) Calcule xdx∫ 3sen . 
 
8) Verifique que Ctgxxxdx ++=∫ seclnsec . 
 
9) Calcule: 
 
a. [ln x ]’; 
 
b. dx
x∫
1
 (x > 0). 
 
 
10) Calcule xdx∫ 2sen . (Veja o exercício 04). 
 
11) Calcule xdxxn ln.∫ , onde n é um número racional diferente de –1. 
 
12) Calcule dx
x
x
∫
)sen(
. 
 
 
 
 
 
 
 
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33 
13) Mostre que, na integração por partes, a constante que deveria aparecer no 
cálculo de v não interfere na resposta, i.e., ela desaparece no 
desenvolvimento dos cálculos. 
 
14) Calcule dxxx∫ − 2]sen[cos . 
 
15) Calcular xdxtgx∫ 2sec. da seguinte forma: 
 
a. fazendo u = tgx; 
 
b. fazendo v = secx; 
 
c. explique o porquê da diferença das respostas de (a) e (b). 
 
 
16) Seja a uma constante não nula. Verifique que: 
 
a) Ce
a
dxe xaxa +=∫
..
.
1
 
 
b) Cxa
a
dxxa +=∫ ).sen(.
1).cos( 
 
c) Cxa
a
dxxa +−=∫ ).cos(.
1).sen( 
 
17) Calcular xdxecgx∫ 2cos.cot da seguinte forma: 
 
a. fazendo u = cotgx; 
b. fazendo v = cosecx; 
c. explique o porquê da diferença das respostas de (a) e (b). 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
34 
Unidade 02 – A Integral de Riemann – A Integral Definida e 
Aplicações 
 
 
Objetivos: 
- estar plenamente familiarizado com os aspectos teóricos que envolvem 
a Integral de Riemann; 
- interpretar as principais propriedades da Integral Definida; 
- calcular, sem dificuldades, Integrais Definidas; 
- interpretar geometricamente e Calcular áreas de figuras planas através 
do emprego das Integrais Definidas; 
- interpretar, sem dificuldades, os Teoremas Fundamentais do Cálculo 
Diferencial e Integral. 
 
 
Nesta unidade, introduziremos o conceito de Integral de Riemann e estudaremos 
algumas de suas propriedades. A Integral tem uma infinidade de aplicações tanto na 
geometria (cálculo de áreas, comprimento de arco, etc.) como na Física (cálculo de 
trabalho, de massa, etc). Nosso principal objetivo, nesta unidade, é efetuar a ponte 
entre a Integral Indefinida e a Integral Definida pelo Teorema Fundamental do 
Cálculo, bem como resolver integrais definidas e calcular áreas de figuras planas. 
 
 
1.7. Partição de um Intervalo 
 
Definição: Uma partição P de um intervalo [a, b] é um conjunto finito P = {x 0 , x 1 , ..., 
x n } em que a = x 0 < x1 < x 2 < ...< x n = b. 
Uma partição P de [a, b] divide [a, b] em n intervalos [x 1−i , x i ], i = 1, 2, ..., n. 
 
 
 
Figura 01: Representação da partição P de um intervalo [a, b]. 
 
A amplitude do intervalo [x 1−i , x i ], será indicada por ix∆ = x i – x 1−i . Assim: 
1x∆ = x1 – x 0 , 122 xxx −=∆ , etc. 
Os números 1x∆ , 2x∆ , ..., nx∆ não são necessariamente iguais; o maior deles 
denomina-se amplitude da partição P e indica-se por máx ix∆ . 
Uma partição P = {x 0 , x1 , ..., x n } de [a, b] será indicada simplesmente por 
P: a = x 0 < x1 < x 2 < ...< x n = b. 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
35 
 
1.8. Soma de Riemann 
 
Sejam f uma função definida em [a, b] e P: a = x 0 < x1 < x 2 < ...< x n = b uma partição 
de [a, b]. Para cada índice i (i = 1, 2, ..., n) seja c i um número em [x 1−i , x i ] escolhido 
arbitrariamente. 
 
 
Figura 02: Definição dos números c i . 
 
 
Definição: Desta maneira, o número 
nni
n
i
i xcfxcfxcfxcf ∆++∆+∆=∆∑
=
).(...).().().( 2211
1
 
é chamado de soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos números c i . 
Note que, se f(c i ) > 0, f(c i ). ix∆ será então a área do retângulo R i determinado 
pelas retas x = x 1−i , x = x i , y = 0 e y = f(c i ); se f(c i ) < 0, a área de tal retângulo será 
– f(c i ). ix∆ . Vejamos a Figura abaixo: 
 
 
 
Figura 03: Área dos retângulos R i . 
 
 
 
Geometricamente, podemos então interpretar a soma de Riemann 
i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
 
 
como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos R i que estão acima do 
eixo x e a soma das áreas dos que estão abaixo do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
36 
 
Figura 04: Soma das áreas dos retângulos. 
 
Seja F uma função definida em [a, b] e seja P: a = x 0 < x1 < x 2 < x 3 < x 4 = b uma 
partição de [a, b]. O acréscimo F(b) – F(a) que a F sofre quando se passa de x = a 
para x = b é igual à soma dos acréscimos F(x i ) – F(x 1−i ) para i variando de 1 a 4: 
F(b) – F(a) = F(x 4 ) – F(x 0 ) = [F(x 4 ) – F(x 3 )] + [F(x 3 ) – F(x 2 )] + [F(x 2 ) – F(x 1 )] + 
[F(x 1 ) – F(x 0 ) ] 
Isto é, 
F(b) – F(a) = )]()([ 1
4
1
−
=
−∑ i
i
i xFxF 
De modo geral, se P: a = x 0 < x1 < x 2 < ...< x n = b for uma partição de [a, b], então 
F(b) – F(a) = )]()([ 1
1
−
=
−∑ i
n
i
i xFxF 
 
Exemplo: Sejam F e f definidas em [a, b] e tais que F’ = f em [a, b]; assim F é uma 
primitiva de f em [a, b]. Seja a partição P: a = x 0 < x 1 < x 2 < ...< x n = b de [a, b]. Prove 
que escolhendo convenientemente ic em [x 1−i , x i ] tem-se 
F(b) – F(a) = i
n
i
i xcf ∆∑
=
.)(
1
 
 
Solução: 
 
De acordo com o que vimos acima, 
F(b) – F(a) = )]()([ 1
1
−
=
−∑ i
n
i
i xFxF 
 
Agora, aplicando o TVM (Teorema do Valor Médio) para a função F no intervalo 
[x 1−i , x i ], temos que existe um ponto ic em [x 1−i , x i ] tal que 
F'( ic ) = 
1i
1-ii
x
 ) F(x - )F(x
−
− ix
 
 
Ou seja 
F(x i ) – F(x 1−i ) = F'( ic ).(x i – x 1−i ) 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
37 
E como temos que F’ = f em [a, b] e 1−−=∆ iii xxx , resulta que 
F(b) – F(a) = i
n
i
i xcf ∆∑
=
.)(
1
 
c.q.d. 
 
Suponhamos que, no exemplo anterior, f seja contínua em [a, b] e que os ix∆ sejam 
suficientemente pequenos; desta maneira, para qualquer escolha de c i em 
[x 1−i , x i ], f(c i ) deve diferir muito pouco de f( ic ). É razoável, então, que nestas 
condições i
n
i
i xcf ∆∑
=
.)(
1
 seja uma boa avaliação para o acréscimo F(b) – F(a), isto é: 
F(b) – F(a) ≅ i
n
i
i xcf ∆∑
=
.)(
1
 
É coerente, ainda, esperarmos que a aproximação acima será tanto melhor quanto 
menores forem os ix∆ . Veremos mais adiante que, no caso de f ser contínua em [a, 
b], 
F(b) – F(a) = 
0.
lim
→∆ ixmáx
i
n
i
i xcf ∆∑
=
.)(
1
 
em que máx. ix∆ indica o maior número do conjunto { ix∆ / i = 1, 2, ..., n}. 
 
O sentido em que tal limite deve ser considerado será esclarecido na próxima 
seção. Note que máx. ix∆ → 0 implica que todos os ix∆ tendem também a zero. 
Vejamos de uma forma diferente o que acabamos de descrever, ou seja, vamos 
ver uma versão cinemática do que acabamos de discutir. 
Para tal, consideremos uma partícula deslocando-se sobre o eixo Ox com 
função de posição x = x(t) e com velocidade v = v(t) contínua em [a, b]. Observe que 
x = x(t) é uma primitiva de v = v(t) (já que a velocidade é igual à derivada do espaço 
em função do tempo). Seja a = t 0 < t 1 < t 2 < ...< t n = b uma partição de [a, b] e 
suponhamos máx. it∆ suficientemente pequeno (o que implica que todos os it∆ são 
suficientemente pequenos). Sendo c i uminstante qualquer entre t 1−i e t i , a 
velocidade v(c i ) é um valor aproximado para a velocidade média entre os instantes 
t 1−i e t i : 
v(c i ) iii
i
i tcvxou
t
x ∆≅∆
∆
∆
≅ ).( 
(observe que pelo Teorema do Valor Médio (TVM), existe um instante ic entre t 1−i e 
t i tal que iii tcvx ∆=∆ ).( ), onde ix∆ é o deslocamento da partícula entre os instantes 
t 1−i e t i . Como a soma dos deslocamentos ix∆ , para i variando de 1 a n, é igual ao 
deslocamento x(b) – x(a), resulta que 
x(b) – x(a) ≅ i
n
i
i tcv ∆∑
=
).(
1
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
38 
Novamente, é razoável esperarmos que, à medida que as amplitudes it∆ tendem a 
zero, a soma i
n
i
i tcv ∆∑
=
).(
1
 tende a x(b) – x(a): 
x(b) – x(a) = 
0.
lim
→∆ itmáx
i
n
i
i tcv ∆∑
=
.)(
1
. 
 
 
 
1.9. Integral de Riemann: Definição 
 
Nesta seção, é de nosso interesse definir a Integral Definida que em verdade é 
conhecida como a Integral de Riemann. 
Definição: Sejam f uma função definida em [a, b] e L um número real. Dizemos que 
i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
 tende a L, quando máx. ix∆ → 0, e escrevemos 
0.
lim
→∆ ixmáx
i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
 = L 
se, para todo ε >0 dado, existir um δ >0 que só dependa de ε mas não da particular 
escolha dos c i , tal que 
∑
=
−∆
n
i
ii Lxcf
1
).( < ε 
para toda partição P de [a, b], com máx. ix∆ < δ . 
Este número L, que quando existe é único, é chamado de Integral de Riemann 1 de 
f em [a, b] e indicamos por 
∫
b
a
dxxf )( . 
Desta maneira, por definição, 
∫
b
a
dxxf )( = 
0.
lim
→∆ ixmáx
i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
 
 
Se ∫
b
a
dxxf )( existe, então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em [a, b]. 
É comum referirmo-nos a ∫
b
a
dxxf )( como integral definida de f em [a, b]. 
 
Observação Importante: Por definição, colocamos que: 
∫
a
a
dxxf )( = 0 e ∫
a
b
dxxf )( = – ∫
b
a
dxxf )( (a < b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
39 
1.10. Propriedades da Integral 
 
Vamos analisar as primeiras e principais propriedades da Integral Definida, que 
estão listadas no seguinte resultado: 
 
Teorema 01: Sejam f e g integráveis em [a, b] e k uma constante. Então: 
a) f + g é integrável em [a, b] e ∫∫ ∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ; 
b) k.f 1é integrável em [a, b] e ∫ ∫=
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )(.)(. ; 
c) Se f(x) ≥ 0, então ∫ ≥
b
a
dxxf )( 0; 
d) Se c∈[a, b] e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então 
∫∫ ∫ +=
b
c
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()( . 
 
Demonstração: 
 
a) Para toda a partição P de [a, b] e qualquer que seja a escolha de c i em [x 1−i , x i ], 
temos: 
 
 
 
 
Da integrabilidade de f e g segue que dado ε >0 existe δ >0 tal que 
 
 
e 
 
 
 
 
1
 1 – Foi o matemático alemão Bernard Riemann que deu o primeiro tratamento adequado da integral, meados do 
século XVIII. 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
40 
para toda partição P de [a, b] com máx ix∆ < δ . Logo, 
 
 
 
para toda partição P de [a, b] com máx ix∆ < δ . Desta forma: 
 
 
 
ou seja, f + g é integrável e ∫∫ ∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ . 
 
 
b) Fica como exercício! Tente fazer, é bem parecido com o procedimento utilizado 
na letra anterior. 
 
 
c) Como f(x) ≥ 0 em [a, b], para toda partição P de [a, b] e qualquer que seja a 
escolha dos c i 
0).(
1
≥∆∑
=
i
n
i
i xcf 
 
Se tivéssemos ∫
b
a
dxxf )( < 0, tomando-se ε >0 tal que ∫
b
a
dxxf )( +ε < 0, existiria um 
δ >0 tal que 
∫
b
a
dxxf )( – ε < i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
< ∫
b
a
dxxf )( +ε 
 
para toda partição P de [a, b] com máx ix∆ < δ . Assim, para alguma partição P 
teríamos 
i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
< 0 
que é um absurdo. 
Portanto, se f(x) ≥ 0 então, ∫ ≥
b
a
dxxf )( 0. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
41 
d) Para toda partição P de [a, b], com c∈P, 
 
 
temos 
 
∑ ∫ ∫
=






+−∆
n
i
c
a
b
c
ii dxxfdxxfxcf
1
)()().( ≤ 
∑ ∫∑ ∫
+==
−∆+





−∆
n
mi
b
c
ii
m
i
c
a
ii dxxfxcfdxxfxcf
11
)().()().( 
 
Como por hipótese, f é integrável em [a, c] e em [c, b], dado ε >0, existe δ >0 tal 
que, para toda partição P de [a, b], com c∈P, e máx ix∆ < δ 
2
)().(
1
ε
<





−∆∑ ∫
=
m
i
c
a
ii dxxfxcf 
e 
 
2
)().( ε<−∆∑ ∫
=
n
mi
b
c
ii dxxfxcf 
 
Segue, então, pela integrabilidade de f em [a, b] que 
 
∫∫ ∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ . (Por quê?) 
 
Agora, discutiremos, sem dúvida nenhuma, um dos resultados mais importantes do 
Cálculo Diferencial e Integral, que é o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
 
1.11. Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 
De acordo com a definição de integral, se f for integrável em [a, b], o valor do limite 
i
n
i
i
xmáx
xcf
i
∆∑
=
→∆
).(lim
10.
 
será sempre o mesmo, independentemente da escolha dos c i , e igual a ∫
b
a
dxxf )( . 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
42 
Assim, se, para uma particular escolha dos c i , tivermos 
 
i
n
i
i
xmáx
xcf
i
∆∑
=
→∆
).(lim
10.
 = L 
então teremos L = ∫
b
a
dxxf )( . 
 
Teorema (1 0 Teorema Fundamental do Cálculo) – Se f for integrável em [a, b] e 
se F for uma primitiva de f em [a, b], então 
∫
b
a
dxxf )( = F(b) – F(a) 
 
 
Demonstração: 
 
Suponhamos que f seja integrável em [a, b] e que admita uma primitiva F(x) em [a, 
b], isto é, F’(x) = f(x) em [a, b]. Seja P: a = x 0 < x1 < x 2 < ...< x n = b uma partição 
qualquer de [a, b]. Daí, escrevemos 
F(b) – F(a) = )]()([ 1
1
−
=
−∑ i
n
i
i xFxF 
(veja segunda seção desta unidade). 
 
Segue, então, do TVM (Teorema do Valor Médio), que, para uma conveniente 
escolha de ic em [x 1−i , x i ], teremos 
F(b) – F(a) = ii
n
i
xcF ∆∑
=
).('
1
 
ou 
 
(I) F(b) – F(a) = ii
n
i
xcf ∆∑
=
).(
1
 
Se para uma partição P de [a, b], os ic forem escolhidos como em (I), teremos 
i
n
i
i
xmáx
xcf
i
∆∑
=
→∆
).(lim
10.
 = F(b) – F(a) 
e, portanto, 
∫
b
a
dxxf )( = F(b) – F(a) 
c.q.d. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
43 
Obs: 
i) Pode ser provado, ainda, que toda função contínua em [a, b] é integrável 
em [a, b]; por enquanto, vamos admitir e utilizar tal resultado (tal fato será 
provado mais adiante). Desta forma, segue então, do primeiro teorema 
fundamental do cálculo, que se f for contínua em [a, b] e F uma primitiva 
de f em [a, b], então 
∫
b
a
dxxf )( = F(b) – F(a) 
 
ii) Em verdade, para encontrarmos uma integral definida, primeiramente 
encontramos a integral indefinida e depois calculamos as imagens F(b) e 
F(a) e determinamos a diferença F(b) – F(a). 
 
Vejamos, agora, alguns exemplos ilustrativos, no qual, utilizando o resultado 
anterior, encontraremos diversas integrais definidas. Mãos à obra! 
 
 
Exemplo 01: Calcule dxx∫
2
1
2
. 
Solução: Sabemos que F(x) =3.
3
1
x é uma primitiva de f(x) = x 2 , e f é contínua em 
[1, 2], desta forma: 
dxx∫
2
1
2
= 
3
1
3
8)1()2(.
3
1 2
1
3
−=−=




 FFx = 
3
7
 
ou seja, 
dxx∫
2
1
2
= 
3
7
 
 
 
Exemplo 02: Calcule dx∫
−
3
1
4 . 
 
Solução: Sabemos que F(x) =4x é uma primitiva de f(x) = x 2 , e f é contínua em [1, 
2], desta forma: 
dxx∫
−
3
1
.4 = [ ] )1()3(.4 31 −−=− FFx = 12 – 4.(-1) = 16 
ou seja, 
dxx∫
−
3
1
.4 = 16 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
44 
Exemplo 03: Calcule dxxx∫ −+
2
0
2 ]1.3[ . 
 
Solução: dxxx∫ −+
2
0
2 ]1.3[ = 
3
202
2
12
3
2)0()2(
2
.3
3
32
0
23
=−+=−=





−+ FFxxx 
 
 
 
Exemplo 04: Calcule dx
x∫
2
1
2
1
. 
 
Solução: dx
x∫
2
1
2
1
= dxx∫
−
2
1
2
= 
2
1
1
1
2
1)1()2(1
2
1
=





−−=−=





− FF
x
 
 
 
Exemplo 05: Calcule dx
xx
]11[
2
1
3∫ + . 
 
Solução: dx
xx
]11[
2
1
3∫ + = 




 +
=−=





−
8
32ln.8)1()2(
.2
1ln
2
1
2 FFx
x 
 
 
Exemplo 06: Calcule dxx∫
8
0
2sen
pi
. 
Solução: dxx∫
8
0
2sen
pi
= 
4
22
2
1)
4
cos(.
2
1)0()
8
(2cos.
2
1 8
0
−
=+−=−=





−
pipi
pi
FFx 
 
 
 
Exemplo 07: Calcule dxe x∫
−
1
0
. 
 
Solução: dxe x∫
−
1
0
= [ ]
e
FFe x 11)0()1(10 −=−=− − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
45 
Exercícios de Aprendizagem 
 
1) Calcular as seguintes integrais definidas: 
 
a) ∫ +
1
0
)3( dxx b) ∫
−
+
1
1
)12( dxx c) ∫
4
0 2
1 dx 
 
d) ∫
−
−
1
2
2 )1( dxx e) ∫
3
1
dx f) ∫
−
2
1
.4 dx 
 
g) ∫
3
1
3
1 dx
x
 h) ∫
−
1
1
.5 dx i) ∫ −+
2
0
2 )3.3( dxxx 
 
j) ∫ −
1
0
3 )
2
1
.5( dxx l) ∫
−
+
1
1
)32( dxx m) ∫ +
0
1
)32( dxx 
 
n) ∫
−
−
1
1
)21( dxx o) ∫
−
+
1
2
2 )
1( dxx
x
 p) ∫
4
0
dxx 
 
q) ∫
4
1
1 dx
x
 r) ∫
8
0
3 dxx s) ∫
−
+−
0
1
3 )32( dxxx 
 
t) ∫
1
0
8 dxx u) ∫ +
3
1
2 )
15( dx
x
 v) ∫
−
3
3
3dxx 
 
x) ∫
−
++
1
1
37 )( dxxxx w) ∫ +
1
2
1
)3( dxx z) ∫
−
1
1
ln dxe x 
 
2) Utilizando as técnicas de integração já estudadas encontre as seguintes integrais 
definidas abaixo: 
a) ∫ +
1
0
2)3( dxx b) ∫
−
+
1
1
3)22( dxx c) ∫
−
2
3
2cos
pi
pi
xdx 
 
c) ∫
−
0
3sen
pi
xdx d) dxex x∫
1
0
. e) ∫
2
1
ln xdx 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
46 
f) ∫
2
1
ln. xdxx g) ∫
pi
0
sen. xdxx h) ∫
pi
0
cos. xdxx 
 
i) xdxx ln.
2
1
4
∫ j) xdxx cos.2∫
−
pi
pi
 l) dxex x.
1
0
3
∫ 
 
 
3) Refazer as integrais da Unidade 01, considerando como uma integral definida, 
onde os limites de integração serão definidos por você de forma apropriada. 
 
 
1.6 Cálculo de Áreas 
 
Seja f contínua em [a, b], com f(x)≥ 0 em [a, b]. Neste momento, estamos 
interessados em definir a área do conjunto A do plano limitado pelas retas x = a, x = 
b, y = 0 e pelo gráfico de y = f(x). Vejamos a figura abaixo: 
 
 
 
Figura 05: Área do conjunto A – nosso objetivo nesta seção. 
 
Consideremos, então, P: a = x 0 < x1 < x 2 < ...< x n = b uma partição de [a,b] e sejam 
ic e ic em [x 1−i , x i ] tais que f( ic ) é o valor mínimo, e f( ic ), o valor máximo de f em 
[x 1−i , x i ]. 
Uma boa definição para a área de A deverá implicar que a soma de Riemann 
i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
 seja uma aproximação por falta da área de A e que i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
 seja 
uma aproximação por excesso, isto é: 
 
i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
≤ área de A ≤ i
n
i
i xcf ∆∑
=
).(
1
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
47 
Vejamos a interpretação geométrica na figura abaixo: 
 
 
Figura 06: Aproximação das áreas dos retângulos – por falta e por excesso. 
 
 
Como as somas de Riemann mencionadas tendem a ∫
b
a
dxxf )( , quando máx. →∆ ix 0, 
nada mais natural do que definir a área de A por 
 
área A = ∫
b
a
dxxf )( 
 
 
Obs: 
 
i) De forma similar, definimos a área de A, no caso em que f é uma função 
integrável qualquer, com f(x)≥ 0 em [a, b]; 
 
 
ii) Sempre é interessante você desenhar (ou representar) geometricamente o 
conjunto do qual você quer determinar a área; é um procedimento simples, 
que auxilia na interpretação do cálculo. 
 
 
Vamos começar agora a calcular diversas áreas de conjuntos definidos no plano 
euclidiano 2ℜ , a partir do que discutimos na seção anterior. 
 
 
Exemplo 01: Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 1, y 
= 0 e pelo gráfico de f(x) = x 2 . 
 
 
Solução: Inicialmente devemos representar geometricamente o conjunto do qual 
queremos determinar a área. Notemos que temos x = 0 (representa o eixo dos y), x 
= 1 (reta paralela ao eixo y), y = 0 (representa o eixo dos x) e f(x) = x 2 (representa a 
parábola cujo vértice é a origem O(0, 0) do plano cartesiano). 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
48 
Desta forma, temos o seguinte gráfico associado: 
 
 
Figura 07: Conjunto A do exemplo 01 – delimitação da área a ser calculada. 
 
Sendo assim, temos: 
área A = 
3
1
3
1
0
31
0
2
=





=∫
xdxx u.a. 
 
Ou seja, a área do conjunto A é igual a 
3
1
. 
Além disso, observe que: 
 
• os limites de integração definem a variação da variável x para delimitação da 
área a ser calculada. 
 
• a unidade colocada u.a. significa unidades de área. 
 
Exemplo 02: Calcule a área do conjunto A = 





 ≤≤≤≤ℜ∈ 2
2 1021/),(
x
yexyx . 
Solução: De forma similar, inicialmente, notemos que A é o conjunto do plano 
limitado pelas retas x = 1 (reta paralela ao eixo dos y), x = 2 (reta paralela ao eixo 
dos y), y = 0 (representa o eixo dos x) e pelo gráfico de y = 2
1
x
. Geometricamente, 
temos a situação descrita na figura abaixo: 
 
 
 
Figura 08: Conjunto A do exemplo 02 – delimitação da área a ser calculada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
49 
Sendo assim, temos: 
 
área A = 
2
1)1(
2
111 2
1
2
1
2 =−−−=





−=∫ x
dx
x
 u.a. 
 
Ou seja, a área do conjunto A é igual a 
2
1
. 
 
 
As situações que apresentaremoslogo a seguir sugerem como estender o conceito 
de área para uma classe mais ampla de subconjuntos do 2ℜ . 
Vejamos a figura abaixo: 
 
 
 
Figura 09: Área a ser calculada quando f(x) ≤ 0 em [a,b]. 
 
 
Neste caso, observamos que a menos de sinal a ∫
b
a
dxxf )( representa a área da 
região hachurada, ou seja, área A = – ∫
b
a
dxxf )( . (Lembre-se de que não existe área 
negativa!). 
 
Vejamos uma outra situação que poderemos ter, descrita na figura abaixo, na qual 
devemos usar a noção de somarmos áreas. 
 
 
Figura 10: Área a ser calculada quando f(x) ≤ 0 em [c, d] e f(x) ≥ 0 em [a,c] e em [d, b]. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
50 
Seja A o conjunto hachurado. Neste caso, temos: 
área = dxxfdxxfdxxfdxxf
b
a
b
d
c
a
d
c
∫∫∫ ∫ =+− )()()()( 
 
Observe que: 
 
∫
b
a
dxxf )( = ∫∫ ∫ ++
b
d
c
a
d
c
dxxfdxxfdxxf )()()( = soma das áreas dos conjuntos acima do 
eixo Ox menos soma das áreas dos conjuntos abaixo do eixo Ox. Em verdade, é 
como se subdividíssemos o conjunto A em diversos subconjuntos considerando 
acima e abaixo do eixo x. 
 
Vejamos, agora, uma outra situação, sendo que, neste caso, irá aparecer mais do 
que uma função no contexto, isto é, teremos f(x) e g(x), duas funções; aqui, 
analisaremos a diferença entre as duas de tal forma que esta diferença seja positiva. 
Vejamos com maiores detalhes abaixo. Consideremos a figura abaixo que retrata 
esta situação: 
 
Figura 11: Cálculo da área de um conjunto delimitado pela diferença entre duas funções. 
 
Notemos que a área do retângulo hachurado da figura 11 é dada por 
 
[f( ic ) – g( ic )]. ix∆ 
 
Logo: 
∑
=
→∆
∆−
n
i
iii
xmáx
xcgcf
i 10.
)].()([lim = ∫ −
b
a
dxxgxf )]()([ = área A 
 
em que A é o conjunto limitado pelas retas x = a, x = b e pelos gráficos de y = f(x) e y 
= g(x), com f(x) ≥ g(x) em [a, b], ou seja, f(x) – g(x) ≥ 0 em [a, b]. 
 
Obs: Grosso modo, para termos f(x) ≥ g(x) ou f(x) – g(x) ≥ 0 em [a, b], basta 
analisarmos qual das dos gráficos das duas funções está acima da do outro, assim: 
 
• f(x)≥ g(x) ou f(x) – g(x) ≥ 0 em [a, b] – significa que o gráfico de f(x) está acima 
do gráfico de g(x); 
 
• g(x) ≥ f(x) ou g(x) – f(x) ≥ 0 em [a, b] – significa que o gráfico de g(x) está acima 
do gráfico de f(x). 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
51 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a teoria discutida anteriormente. 
 
 
Exemplo 03: Pede-se: 
 
a) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x 3 , pelo eixo x e pelas 
retas x = -1 e x = 1. 
b) Calcule dxx∫
−
1
1
3
. 
Solução: 
 
a) Inicialmente vamos plotar o gráfico da função f(x) = x 3 e delimitar a região cuja 
área queremos calcular. Devemos notar, também, que a função f(x) = x 3 é negativa 
em [-1, 0] e positiva em [0, 1]. Sendo assim, devemos dividir a região total (A) em 
(A 1 + A 2 ) e então: 
 
área A = área A 1 + área A 2 
 
Desta forma, geometricamente temos: 
 
Figura 12: Área a ser calculada no exemplo 03. 
 
Logo: 
área A 1 = ∫
−
=−
0
1
3
4
1dxx 
e 
 área A 2 = ∫ =
1
0
3
4
1dxx 
Portanto, 
área A = área A 1 + área A 2 = ¼ + ¼ = ½ 
 
 
 
b) dxx∫
−
1
1
3
 = 
4
1
4
1
4
)1(
4
1 4
−=
−
− = 0 = área A 2 – área A 1 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
52 
Exemplo 04: Calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 2 e pelo 
gráfico de y = x 2 . 
 
Solução: Neste exemplo, estamos na situação de termos no contexto duas funções 
f(x) e g(x) (que são y = 2 e y = x 2 ). Desta forma, a função a ser integrada deve ser a 
diferença entre as duas respeitando que a diferença deve ser positiva. 
Representando, no plano, as curvas citadas no exemplo, temos a seguinte 
disposição geométrica: 
 
Figura 13: Disposição geométrica do exemplo 04. 
 
De acordo com a última observação, segue: 
área A = 
3
5
3
.2]2[
1
0
31
0
2
=





−=−∫
x
xdxx 
 
Note que pegamos a diferença [2 – x 2 ] ,pois o gráfico de y = 2 está acima do gráfico 
de y = x 2 . 
 
Exemplo 05: Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x 2 ≤ y 
≤ x . 
 
Solução: Inicialmente vamos desenhar as duas curvas. Sendo assim, a figura 
abaixo representa os gráficos das curvas y = x 2 e y = x . 
 
 
Figura 14: Disposição geométrica do exemplo 05. 
 
 
área = 
3
1
3
1
3
2
3
.
3
2][
1
0
3
3
1
0
2
=−=





−=−∫
x
xdxxx 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
53 
Note que: 
• Para definirmos os limites de integração, analisamos a interseção entre as 
curvas y = x 2 e y = x , ou seja, na figura, observamos que, na área a ser 
calculada, a variação de x é de x = 0 até x = 1; 
• Para cada x em [0, 1], (x, y) pertence ao conjunto se, e somente se, x 2 ≤ y 
≤ x ; 
• As curvas y = x 2 e y = x são inversas uma da outra no intervalo [0, 1]; 
• Os pontos nos quais as curvas se interceptam são as soluções do 
sistema




=
=
xy
xy 2
 . 
 
 
Exemplo 06: Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y = x e y = 
x 2 . 
 
Solução: As curvas y = x e y = x 2 interceptam-se nos pontos de abscissas 0 e 1. 
Então, temos a seguinte disposição geométrica: 
 
 
 
 
 
Figura 15: Disposição geométrica do exemplo 06. 
 
Desta forma: 
área = 1
2332
][][
2
1
231
0
2
1
32
2
1
0
2
=





−+





−=−+− ∫∫
xxxxdxxxdxxx 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
54 
Neste caso: 
 
• tivemos que dividir o intervalo [0, 2] em dois subintervalos [0, 1] e [1, 2] já 
que, de acordo com a figura, no primeiro subintervalo o gráfico de y = x está 
acima do gráfico de y = x 2 ; enquanto que, para o segundo subintervalo, o 
gráfico de y = x 2 está acima do gráfico de y = x. 
• a interseção das curvas são as soluções do sistema 



=
=
2xy
xy
 . 
 
 
 
 
1.7 Aplicação à Fisica: um Estudo de Caso em Cinemática 
 
 
Consideremos, agora, uma partícula que se desloca sobre o eixo x com equação x = 
x(t) e com velocidade v = v(t) contínua em [a, b]. A diferença x(b) – x(a) é o 
deslocamento da partícula entre os instantes a e b. Como x(t) é uma primitiva de 
v(t) (Por quê?), segue do primeiro Teorema Fundamental do Cálculo que 
x(b) – x(a) = ∫
b
a
dttv )( . 
 
Por outro lado, definimos o espaço percorrido pela partícula entre os instantes a e b 
por 
∫
b
a
dttv )( . 
 
Se v(t) ≥ 0 em [a, b], o deslocamento entre os instantes a e b será igual ao espaço 
percorrido entre estes instantes, que, por sua vez, será numericamente igual à área 
do conjunto A limitado pelas retas t = a, t = b, pelo eixo Ot e pelo gráfico de v = v(t). 
Vejamos a interpretação geométrica descrita na figura abaixo: 
 
 
 
Figura 16: Disposição geométrica da velocidade em função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
55 
Suponhamos, agora, por exemplo, que v(t) ≥ 0 em [a, c] e v(t) ≤ 0 em [c, b]. Vejamos 
a figura abaixo: 
 
 
Figura 17: Configuração do deslocamento num intervalo subdividido em dois. 
 
 
Neste caso, o deslocamento entre os instantes a e b será 
x(b) – x(a) = ∫
b
a
dttv )( = área A 1 – área A 2 
enquanto o espaço percorrido entre estes instantesserá 
∫
b
a
dttv )( = ∫
c
a
dttv )( – ∫
b
c
dttv )( = área A 1 + área A 2 . 
 
 
 
Exemplo 07: Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2 – t. 
Pede-se: 
 
a) Calcule o deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 3. Discuta o resultado 
encontrado. 
 
b) Calcule o espaço percorrido entre os instantes 1 e 3. 
 
 
Solução: 
 
a) Vejamos a figura abaixo: 
 
 
Figura 18: Gráfico da equação v(t) = 2 – t. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
56 
Temos: 
x(3) – x(1) = 
3
1
3
1
2
2
.2)2(∫ 





−=−
t
tdtt = 0. 
Em [1, 2], v(t) >0, o que significa que no intervalo de tempo [1, 2] a partícula avança 
no sentido positivo; em [2, 3], v(t) <0, o que significa que, neste intervalo de tempo, a 
partícula recua, de tal modo que, no instante t = 3, ela volta a ocupar a mesma 
posição por ela ocupada no instante t = 1. Vejamos a figura abaixo que descreve 
este processo. 
 
 
 
Figura 18: Interpretação geométrica do resultado. 
 
b) O espaço percorrido entre os instantes t = 1 e t = 3 é dado por 
∫ ∫∫ −−−=−
2
1
3
2
3
1
)2()2(2 dttdttdtt = 1. 
Observe que o espaço percorrido entre os instantes 1 e 2 é 
∫ =−
2
1 2
1)2( dtt 
e que o espaço percorrido entre os instantes 2 e 3 é 
∫∫ =−−=−
3
2
3
2 2
1)2(2 dttdtt . 
 
 
Para fixar as idéias, resolva os seguintes exercícios de aprendizagem que estão 
propostos logo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
57 
 
Exercícios de Aprendizagem 
 
1) Calcular a área da figura definida pela reta y = 2.x + 1 e o eixo x, no intervalo 
[0,3]. 
 
2) Calcular a área da figura formada pela curva y = x 2 + 2.x + 1 e o eixo x, no 
intervalo [0, 2]. 
 
3) Calcular a área da figura formada pela curva y = x 2 – 9 e o eixo x no 
intervalo [0,5]. 
 
4) Calcular a área entre as curvas y = x 2 e y = -x 2 + 6.x + 5,625. 
 
5) Calcular a área da figura compreendida entre a parábola y = x 2 e a reta y = 3 
– 2x. Representar geometricamente. 
 
6) Calcular a área da figura compreendida pelas retas x = 0, y = 
3
.2 x−
 e y = x – 
5. Representar geometricamente. 
 
7) Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e 
pelo gráfico de f(x) = x 2 . Representar geometricamente. 
 
8) Calcule a área sob o gráfico de f(x) = x 2 – 5.x + 9, 1 ≤ x ≤ 4. Representar 
geometricamente. 
 
 
Nos exercícios de 9 a 15, represente geometricamente o conjunto A dado e calcule a 
área. 
 
9) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo Ox e pelo 
gráfico de y = x 3 . 
 
10) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gráfico 
de y = x . 
 
11) A é o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que x 2 – 1 ≤ y ≤ 0. 
 
12) A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ 4 – x 2 . 
 
13) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 2, y = 0 e pelo gráfico 
de y = x 2 + 2.x + 5. 
 
14) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = pi , y = 0 e pelo gráfico 
de y = cosx. 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
58 
 
15) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 
2
pi
 e pelos gráficos de y 
= senx e y = cosx. 
 
 
16) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2.t – 3, t ≥ 0. 
 
a) Calcule o deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 3. 
 
b) Qual o espaço percorrido entre os instantes t = 1 e t = 3? 
 
c) Descreva o movimento realizado pela partícula nos instantes t = 1 e t = 
3. 
 
17) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = sen2t, t ≥ 0. 
Calcule o espaço percorrido entre os instantes t = 0 e t = pi . 
 
18) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = –t 2 + t, t ≥ 0. 
Calcule o espaço percorrido entre os instantes t = 0 e t = 2. 
 
19) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t 2 –2.t – 3, t 
≥ 0. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t = 0 e t = 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – CÁCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
59 
REFERÊNCIAS 
 
 
 
Básica 
 
ANTON, H. Cálculo Um Novo Horizonte. Vols. 1 e 2, São Paulo: Bookman. 6ª ed. 
ÁVILA, G. Cálculo II e III. LTC, 1981 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Vols. 2-3, LTC, 2001 
 
 
 
Complementar 
 
BLACHMAN, N. Mathematica: A Practical Approach. Prentice-Hall, 1992. 
EDWARDS JR., C. H. E PENNEY, D. E. Cálculo com Geometria Analítica. Vols. 2-
3. Prentice-Hall do Brasil, 1997. 
KAPLAN, W. Cálculo Avançado. Vol. I, Edgard Blücher, 1972. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. II. 3ª ed. Harbra, 1994. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. II, 2ª ed. Makron 
Books, 1995. 
SHENK. Cálculo e Geometria Analítica. Vol. I, Campus, 1985.