lista1 calculo 1

Prévia do material em texto

Lista de Exerc´ıcios
Ca´lculo 2 - Prof. Leandro
Lista-1
UnB - 2009/02
19 de agosto de 2009
Esta lista esta´ dispon´ıvel em formato PDF no site, http://leandromat.wordpress.com e
ela consiste de alguns dos exerc´ıcios do livro: Ca´lculo-Volume 1, G.B. Thomas, que se
encontram nas pa´ginas 477 e 478.
Nos exerc´ıcios 1-8 :
• Estabelec¸a uma integral para a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva dada em torno
do eixo indicado.
• Fac¸a um esboc¸o da curva e se poss´ıvel tambe´m da superf´ıcie de revoluc¸a˜o pedida.
• Caso tenha acesso a alguma ferramenta de ca´lculo nume´rico, determine numericamente o valor
da a´rea da superf´ıcie.
1- y = tg(x), 0 ≤ x ≤ pi/4, eixo x;
2- y = x2, 0 ≤ x ≤ 2, eixo x;
3- xy = 1, 1 ≤ y ≤ 2, eixo y;
4- x = sen(y), 0 ≤ y ≤ pi, eixo y;
5- x
1
2 + y
1
2 = 3, entre os pontos de coordenadas (4, 1) e (1, 4), eixo x;
6- y + 2
√
y = x, 1 ≤ y ≤ 2, eixo y;
7- x =
∫ y
0
tg(t) dt, 0 ≤ y ≤ pi
3
, eixo y;
8- y =
∫ y
1
√
t2 − 1 dt, 1 ≤ x ≤
√
5, eixo y.
Determinando a´reas de superf´ıcies
9- Determine a a´rea da superf´ıcie lateral do cone gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x, do segmento
de reta x− 2y = 0, 0 ≤ x ≤ 4.
10- Determine a a´rea da superf´ıcie lateral do cone gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, do segmento
de reta x− 2y = 0, 0 ≤ x ≤ 4.
11- Determine a a´rea de superf´ıcie do tronco de cone gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x, do
segmento de reta y = x2 +
1
2 , 1 ≤ x ≤ 3.
12- Determine a a´rea da superf´ıcie do tronco de cone gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, do
segmento de reta y = x2 +
1
2 , 1 ≤ x ≤ 3.
Nos exerc´ıcios 13-21, determine as a´reas das superf´ıcies geradas pela rotac¸a˜o das curvas em torno
dos eixos indicados. Caso tenha dispon´ıvel alguma ferramenta gra´fica, trace o gra´fico dessas curvas.
1
Lista de exerc´ıcios-Ca´lculo 2 2
13- y =
x3
9
, 0 ≤ x ≤ 2, eixo x;
14- y =
√
x, 34 ≤ x ≤ 154 , eixo x;
15- y =
√
2x− x2, 12 ≤ x ≤ 32 , eixo x;
16- y =
√
x+ 1, 1 ≤ x ≤ 5, eixo x;
17- x =
y3
3
, 0 ≤ y ≤ 1, eixo y;
18- x =
y
3
2
3
− y 12 , 1 ≤ y ≤ 3, eixo y;
19- x = 2
√
4− y, 0 ≤ y ≤ 154 , eixo y;
20- x =
√
2y − 1, 58 ≤ y ≤ 1, eixo y;
21- x = cosh(y), 0 ≤ y ≤ ln(2), eixo y;
22- Usando uma curva adequada, mostre que a a´rea da superf´ıcie de uma esfera de raio r e´ dada
por 4pir2.
23- Mostre que a a´rea lateral de um cone de altura h e raio da base r e´ pir
√
r2 + h2. Obtenha este
resultado usando a reta y =
r
h
x, 0 ≤ x ≤ h.