Trabalho de Mecânica dos Fluidos I sobre Escoamento Potencial Plano

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MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
Escoamento Potencial Plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal Fluminense 
Escola de Engenharia 
 
Universidade Federal Fluminense 
TEM – Escola de Engenharia 
Disciplina Mecânica dos Fluidos I 
 
 
 
 
 
Trabalho 
Escoamento Potencial Plano 
 
 
 
 
 
Isabela Florindo Pinheiro 
Mat.: 109.40.023 
 
 
 
Turma A1 
 
 
 
Professor: 
Felipe Rachid 
 
 
 
 
 
 
 
 
Niterói - RJ 
1º Semestre de 2011
Palavras-chave: Escoamento Potencial 
 Equação de Laplace 
 Função Corrente 
 Potencial de Velocidade 
 Escoamentos Elementares 
 Técnicas de Painéis 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO......................................................................................................................01 
1. Potencial de Velocidade...............................................................................................02 
2. Escoamentos Potenciais Bidimensionais......................................................................03 
2.1 Função Corrente (Fluido Incompressível)..............................................................03 
3. Escoamento Irrotacional: Equação de Laplace.............................................................06 
3.1 Função Corrente e Potencial de Velocidade para escoamento incompressível, 
irrotacional e bidimensional....................................................................................06 
3.2 Relação entre Função Corrente e Potencial de Velocidade....................................07 
3.3 Condições de Contorno no infinito........................................................................09 
3.4 Condições de Contorno na parede.........................................................................09 
4. Escoamentos Elementares (Singularidades).................................................................10 
4.1 Escoamento Uniforme qualquer..............................................................................11 
4.2 Fontes e Sorvedouros..............................................................................................12 
4.3 Vórtice Irrotacional.................................................................................................13 
4.4 Dipolo.....................................................................................................................16 
5. Superposição de Escoamentos Elementares.................................................................19 
5.1 Fonte e Escoamento Uniforme...............................................................................19 
5.2 Fonte, Sorvedouro e Escoamento Uniforme..........................................................20 
5.3 Dipolo e Escoamento Uniforme.............................................................................20 
5.4 Dipolo, Vórtice e Escoamento Uniforme...............................................................20 
5.5 Fonte e Vórtice.......................................................................................................21 
5.6 Fonte e Sorvedouro................................................................................................21 
5.7 Sorvedouro e Vórtice.............................................................................................22 
5.8 Par de Vórtices.......................................................................................................22 
6. Aplicações Práticas.......................................................................................................23 
7. Problema 6.75 (Introdução à Mecânica dos Fluidos - 7ª Edição)................................25 
8. Referências Bibliográficas............................................................................................27 
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Mecânica dos Fluidos I 
	
	
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INTRODUÇÃO 
 O estudo dos fenômenos físicos da mecânica dos fluidos e os seus métodos de análise 
se mostram de suma importância na vida de um engenheiro, tanto devido às questões teóricas 
como ao caráter prático da disciplina. Todo o conhecimento adquirido através da ampliação 
do seu estudo permitiu o desenvolvimento de áreas extremamente importantes na construção 
de uma sociedade de alicerce tecnológico. Esta afirmação sugere que a disciplina Mecânica 
dos Fluidos se faz presente em áreas onde há o uso de alta tecnologia como, por exemplo, a 
aerodinâmica de meios de transporte como carros e aviões; a geração de energia através das 
ondas do oceano ou da força dos ventos; o desenvolvimento de projetos de bioengenharia; e a 
criação de tecnologias para a proteção ao meio ambiente (tópico que se coloca cada vez mais 
pertinente no cenário atual). 
 Um dos aprendizados dentro da Mecânica dos fluidos é a análise dos escoamentos ao 
redor de corpos imersos num fluido. Ao assistir uma corrida de formula 1, não possuímos a 
noção exata da importância deste tópico dentro da construção de um projeto de um carro de 
corrida. Mas o que os engenheiros analisam é que os avanços da aerodinâmica do carro têm 
como objetivo diminuir a derrapagem nas curvas e, através de projeções feitas em 
computador, eles podem fazer com que o carro seja mais rápido – em termos quantitativos, 
uma melhora de 10% no coeficiente de arrasto, que depende da viscosidade do fluido, implica 
que ele seja cerca de um segundo mais rápido em uma pista típica. Esse é um dos vários 
exemplos das aplicações de análise do escoamento em Mecânica dos Fluidos. 
 No estudo proposto de escoamento ao redor de corpos, devem-se admitir algumas 
hipóteses, como por exemplo, a consideração das proposições de escoamento incompressível 
e irrotacional como sendo suficientes para escoamentos com efeitos de compressibilidade 
desprezíveis e efeitos viscosos confinados a finas camadas limites. Estas hipóteses levam a 
uma classe de escoamento denominada escoamentos potenciais e incompressíveis que serão 
analisadas em situações bidimensionais e tridimensionais, direcionando o estudo do 
escoamento potencial para a resolução de problemas e para a exposição de aspectos teóricos e 
aplicações práticas. 
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1. Potencial de Velocidade 
Para situações de escoamento potencial tridimensionais, a utilização do conceito de 
função de corrente não é recomendada, já que a mesma só é definida para situações 
bidimensionais (este conceito será aprofundado no capítulo 2). Então, para a resolução de 
problemas com escoamentos tridimensionais e irrotacionais, nos baseamos em uma 
ferramenta chamada de potencial de velocidade, que permite encontrar o campo vetorial u em 
termos de uma função escalar. 
O potencial de velocidade é adequado para descrever qualquer escoamento 
irrotacional. A base para o uso desse método é fornecida pelo teorema de Kelvin, que implica 
que na evolução de um fluido ideal, se o escoamento for irrotacional em algum momento, 
continua assim para sempre. 
Um escoamento irrotacional é aquele no qual os elementos fluidos movendo-se no 
campo de escoamento não estão sujeitos a qualquer rotação. Para𝜔 = 0,∇×𝑉 = 0 e assim: 
𝜔 = 12 𝑖 𝜕𝑤𝜕𝑦 − 𝜕𝑣𝜕𝑧 + 𝑗 𝜕𝑢𝜕𝑧 − 𝜕𝑤𝜕𝑥 + 𝑘 𝜕𝑣𝜕𝑥 − 𝜕𝑢𝜕𝑦 
O fator !! pode ser eliminado, definindo uma grandeza chamada vorticidade ξ, ou 
seja, 
𝜉 = 2𝜔 = ∇×𝑉 
Para 𝜔 = 0, ou seja, escoamento irrotacional: 
𝜕𝑤𝜕𝑦 − 𝜕𝑣𝜕𝑧 = 𝜕𝑢𝜕𝑧 − 𝜕𝑤𝜕𝑥 = 𝜕𝑣𝜕𝑥 − 𝜕𝑢𝜕𝑦 
Podemos formular uma relação chamada função potencial, ϕ, para um campo de 
velocidade irrotacional. Para isso, devemos usar a identidadevetorial fundamental rotacional 
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𝑔𝑟𝑎𝑑𝜙 = ∇×∇𝜙 = 0 que é válida se ϕ for uma função escalar tendo derivadas primeira e 
segunda contínuas. 
Então para um escoamento irrotacional no qual ∇×𝑉 = 0, deve existir uma função 
escalar ϕ tal que o gradiente de ϕ seja proporcional ao vetor velocidade 𝑉. Para que o sentido 
do escoamento seja o de ϕ decrescente, definimos ϕ tal que: 
𝑉 = −∇𝜙 
Portanto, 
𝑢 = −𝜕𝜙𝜕𝑥 , 𝑣 = −𝜕𝜙𝜕𝑦 , 𝑤 = −𝜕𝜙𝜕𝑧 
Em coordenadas cilíndricas: 
𝑢! = −𝜕𝜙𝜕𝑟 , 𝑢! = − 1𝑟 𝜕𝜙𝜕𝜃 , 𝑢! = −𝜕𝜙𝜕𝑧 
 
2. Escoamentos Potenciais Bidimensionais 
Escoamentos em que 𝑣 se mantém paralelo a um plano, por exemplo, ao plano xy, e 
independente de z são chamados de bidimensionais. Devido à menor dimensionalidade do 
espaço, a resolução de problemas é muitas vezes mais simples neste caso e o seu estudo pode-
nos ensinar muita coisa sobre escoamentos em geral. Em particular, se o fluido for 
incompressível irrotacional, pode-se usar o método de superposição de escoamentos 
elementares. 
2.1 Função Corrente (Fluido incompressível) 
É conveniente dispor de um meio para descrever matematicamente qualquer 
configuração de escoamento. Uma descrição adequada deverá retratar a noção da forma das 
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linhas de corrente e a escala das velocidades em pontos representativos de escoamento. Um 
dispositivo matemático que serve para esse propósito é a função de corrente (“stream 
function”), ψ. Ela é formulada como uma relação entre as linhas de corrente e o principio de 
conservação da massa. As linhas de corrente são dadas pela equação ψ(x, t) = Const. Em 
particular, ψ deve ser constante na superfície de qualquer obstáculo, uma vez que tal 
superfície é uma linha de corrente, num fluido ideal. 
Consideremos um escoamento bidimensional de um fluido incompressível. A equação 
de continuidade se reduz a: 
∇𝑉 = 0 
Em coordenadas cartesianas: 
𝜕𝑢𝜕𝑥 + 𝜕𝑣𝜕𝑦 = 0 
Existe em geral uma função ψ(x,y) tal que, 
𝑢 = 𝜕𝜓𝜕𝑦 ,𝑣 = −𝜕𝜓𝜕𝑥 . 
Deste modo a equação de conservação é automaticamente satisfeita. 
É importante lembrar que as linhas de corrente são linhas traçadas no campo de 
escoamento tais que, num dado instante, são tangentes à direção de escoamento em cada 
ponto do campo de escoamento. Logo, se 𝑑𝑟 é o comprimento de um elemento ao longo de 
uma linha de corrente, a equação da linha de corrente é dada por: 
𝑉×𝑑𝑟 = 0 = 𝑢î+ 𝑣𝚥 × 𝑑𝑥î+ 𝑑𝑦𝚥 = 𝑘(𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥) 
Então, a equação de uma linha de corrente num escoamento bidimensional é: 
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𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0 
Substituindo os componentes da velocidade u e v, em termos da função de corrente, 
encontramos que, ao longo de uma linha de corrente: 
𝜕𝜓𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝜓𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝜓 = 0 
Ψ = constante ao longo da linha de corrente. 
Como o diferencial de ψ é exato, a integral de dψ entre dois pontos no campo de 
escoamento, isto é, 𝜓! − 𝜓!, depende apenas dos pontos extremos da integração. 
 
Figura 1. Fluxo através da curva AB. 
A função de corrente também registra o fluxo de massa através de uma superfície. 
Considere a curva AB (figura 1), que representa a projeção no plano xy de uma superfície 
matemática. O fluxo de massa através desta curva (por unidade de comprimento na direção z, 
perpendicular à página), é: 
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𝑄 = 𝜌 𝒖𝑑𝑺!! 
Aproximamos o caminho ligando os pontos A e B por uma seqüência de retas curtas, 
paralelas alternativamente ao eixo x (nas quais n = -j) e ao eixo y (com n = i). Deixando o 
número de segmentos ir ao infinito, temos: 
𝑄 = 𝜌 −𝑣𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑦 = 𝜌 𝑑𝜓 = 𝜌 𝜓! − 𝜓!!! ,!! 
Mostrando que o fluxo de massa é proporcional à mudança da função de corrente entre 
os pontos terminais, não dependendo do caminho. 
 
3. Escoamento Irrotacional: Equação de Laplace 
3.1 Função de Corrente e Potencial de velocidade para escoamento incompressível, 
irrotacional e bidimensional 
Para um escoamento incompressível, bidimensional e irrotacional, temos expressões 
para os componentes de velocidade u e v em função de ψ e ϕ. 𝑢 = 𝜕𝜓𝜕𝑦 , 𝑣 = −𝜕𝜓𝜕𝑥 𝑢 = 𝜕𝜙𝜕𝑥 , 𝑣 = −𝜕𝜙𝜕𝑦 
Substituindo u e v na condição de irrotacionalidade: 
𝜕𝑢𝜕𝑥 − 𝜕𝑣𝜕𝑦 = 0 
Obtemos: 
𝜕!𝜓𝜕𝑥! + 𝜕!𝜓𝜕𝑦! = 0 
Substituindo u e v na equação de conservação da massa: 
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𝜕𝑢𝜕𝑥 + 𝜕𝑣𝜕𝑦 = 0 
Obtemos: 
𝜕!𝜙𝜕𝑥! + 𝜕!𝜙𝜕𝑦! = 0 
Isso significa que ambas ϕ e ψ satisfazem a equação de Laplace. 
∇!𝜙 = 0, ∇!𝜓 = 0, ∇𝜙.∇𝜓 = 0 
 
3.2 Relação entre Função Corrente e Potencial de Velocidade 
Pode-se demonstrar que as funções ϕ e ψ são ortogonais. 
Para ψ = constante, dψ = 0. 
𝑑𝜓 = 𝜕𝜓𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝜓𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 0 
A inclinação de uma linha de corrente, uma linha de ψ constante, é dada por: 
𝑑𝑦𝑑𝑥 ! = − 𝜕𝜓𝜕𝑥𝜕𝜓𝜕𝑦 = −−𝑣𝑢 = 𝑣𝑢 
Ao longo de uma linha de ϕ constante: 
𝑑𝜙 = 𝜕𝜙𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝜙𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 0 
A inclinação da linha de ϕ constante: 
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𝑑𝑦𝑑𝑥 ! = − 𝜕𝜙𝜕𝑥𝜕𝜙𝜕𝑦 = −𝑢𝑣 
Comparando as duas equações da inclinação pode verificar que as funções ϕ e ψ são 
ortogonais. 
Com esses conceitos em mente, pode-se concluir: 
I. Qualquer escoamento irrotacional incompressível tem potencial de velocidade e 
função corrente (para escoamento bidimensional) que satisfaz a equação de Laplace. 
II. Inversamente, qualquer solução da equação de Laplace representa o potencial de 
velocidade ou a função corrente (bidimensional) para um possível escoamento 
irrotacional incompressível. Observa-se que a equação de Laplace é uma equação 
diferencial parcial linear de segunda ordem. O fato que a equação seja linear é muito 
importante, pois suas soluções podem ser somadas parcialmente para obter novas 
soluções. Por exemplo, se 𝜓!,𝜓!,𝜓!… são soluções da equação de Laplace, então: 𝜓 = 𝜓! + 𝜓! + 𝜓!, também representa uma solução da equação de Laplace. Esta é 
a base matemática da técnica de superposição de escoamentos elementares para obter 
soluções de casos mais complexos. 
 
O escoamento irrotacional incompressível em torno de diferentes corpos é controlado 
por uma única equação, a equação de Laplace. As condições de contorno do problema 
definem o campo de escoamento especifico em torno do corpo especifico resultando numa 
distribuição específica de velocidade, pressão, etc. 
 
 Ψ ϕ ψ e ϕ 
Figura 2. Linhas de correntes e equipotenciais são ortogonais. 
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3.3 Condições de Contorno no infinito 
Longe do corpo e em todas as direções, o escoamento aproxima das condições de 
escoamento uniforme. Assim, no infinito: 𝑢 = 𝜕𝜙𝜕𝑥 = 𝜕𝜓𝜕𝑦 = 𝑉! 𝑣 = 𝜕𝑓𝜕𝑦 = 𝜕?𝜕𝑥 = 0 
Estas duas equações são chamadas de condições de contorno sobre a velocidade no 
infinito (Figura 3). 
 
Figura 3. As condições de contorno sobre o corpo e no infinito para escoamento ideal. 
 
3.4 Condições de contorno na parede 
Esta condição é também chamada de condição de tangencia a superfície do corpo. Se a 
velocidade deve ser tangencial, então o componente normal é zero. Se n é vetor unitário 
normal a superfície, a condição de contorno da parede pode ser escrita como: 𝑉.𝑛 = ∇.𝜙 .𝑛 = 0 
Ou 𝜕𝜙𝜕𝑛 = 0 
Essas equações são as condições de contorno sobre a velocidade na paredee são 
expressas em termos de ϕ. No caso de ψ, pode se escrever que a condição da parede é: 
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𝜕𝜓𝜕𝑠 = 0 
Onde, s é a distancia ao longo da superfície do corpo. Tendo em vista que a superfície 
do corpo é uma corrente ψ = constante, a forma do corpo é dada por 𝑦! = 𝑓(𝑥). 
Se o tratamento não para ϕ ou ψ, mas para velocidades i e v especificamente, a 
condição da parede é obtida da equação da linha de corrente, avaliada na superfície do corpo, 
ou seja, 𝑑𝑦!𝑑𝑥 = 𝑣𝑢 !"#$%&í!"# 
Esta condição não depende da formulação do problema em termos de ϕ e ψ. 
 
4. Escoamentos Elementares (Singularidades) 
A escolha das singularidades que geram a solução do problema de escoamento 
potencial não é única, ou seja, para descrever um mesmo escoamento podem-se utilizar 
diversas combinações de singularidades que sejam capazes de representar o fenômeno físico 
em questão. Uma vez que as singularidades são escolhidas e suas intensidades determinadas, a 
solução obtida é única. 
Vários problemas interessantes de escoamento potencial podem ser construídos a 
partir de soluções elementares: 
I. Escoamento Uniforme 
II. Fonte e Sorvedouro 
III. Vórtice 
IV. Dipolo 
As soluções destes problemas podem ser combinadas produzindo resultados úteis. 
Para isso, usamos o fato que a equação de Laplace é linear e usamos o princípio de 
superposição. 
Se 𝜙!e 𝜙! são soluções da equação de Laplace, a soma de 𝜙! + 𝜙! também é solução. ∇!𝜙! = 0 𝑒 ∇!𝜙! = 0 ⇒ ∇!(𝜙! + 𝜙!) = 0 
 
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4.1 Escoamento Uniforme Qualquer 
Para um escoamento uniforme ou escoamento paralelo irrotacional e em regime de 
velocidade V inclinada com ângulo α ao eixo x (figura 4): 
𝑢 = 𝑉𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝜕𝜙𝜕𝑥 = 𝜕𝜓𝜕𝑦 
𝑣 = 𝑉𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝜕𝜙𝜕𝑦 = 𝜕𝜓𝜕𝑥 
Conseqüentemente, 
𝜙 = 𝑉 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑢𝑥 + 𝑣𝑦 
𝜓 = 𝑉 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑢𝑦 − 𝑣𝑥 
As constantes de integração são omitidas o que não afeta as linhas de configuração 
neste tratamento geral. As constantes podem ser avaliadas, se for necessário, se os valores 
numéricos de ϕ ou ψ forem conhecidos num certo ponto no campo de escoamento. Em 
coordenadas polares, as equações tornam-se: 
𝜙 = 𝑉𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑉𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝛼) 
𝜓 = 𝑉𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑉𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼) 
 
Figura 4. Escoamento uniforme inclinado com ângulo a relativo ao eixo x. 
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4.2 Fontes ou Sorvedouros 
São singularidades que geram um campo de velocidades na direção radial apenas, cuja 
intensidade possui o significado físico de ser igual à vazão volumétrica rejeitada pela 
singularidade (fonte) ou absorvida pela singularidade (sorvedouro) e que passa através de uma 
circunferência que engloba a singularidade, no caso bidimensional ou de uma esfera, no 
tridimensional. São especialmente utilizados para modelar escoamentos simétricos, ou seja, 
para corpos simétricos com ângulo de ataque nulo. 
Na verdade, Fontes e sorvedouros são conceitos matemáticos convenientes, mas são 
exatamente equivalentes na natureza por se tratar de processo contínuo de geração ou sucção 
de fluido no ponto e respectivamente, e que as velocidades na região destes pontos 
aproximam de valores infinitos. 
A intensidade de uma fonte é definida como é definida como a vazão total, q, e para o 
sorvedouro, -q. Em qualquer raio da fonte, a velocidade tangencial 𝑣!é zero, !! !"!" 𝑒 !"!" são 
zeros, isto é, ϕ varia somente com r e ψ varia somente com θ, e assim: 
𝑣! = 𝑞2𝜋𝑟 = 𝑑𝜙𝑑𝑟 = 1𝑟 𝑑𝜓𝑑𝜃 
𝜙 = − 𝑞2𝜋 ln 𝑟 
𝜓 = 𝑞2𝜋 𝜃 
No sorvedouro temos: 
𝑣! = − 𝑞2𝜋𝑟 
𝜙 = 𝑞2𝜋 ln 𝑟 
𝜓 = − 𝑞2𝜋 𝜃 
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4.3 Vórtice Irrotacional 
A configuração de escoamento na qual as linhas de corrente são círculos, é chamada 
de vórtice circular. Se as partículas de fluido giram enquanto revolvem em torno do centro do 
vórtice, o vórtice é rotacional (forçado). Se as partículas não giram, o vórtice é irrotacional ou 
livre. 
No cálculo da distribuição de velocidade num vórtice irrotacional é considerado que a 
pressão por causa das forças centrífugas varia radialmente e que a equação de Bernoulli é 
aplicada através das linhas de corrente, isto é, radialmente. Na figura 5, a aceleração 
centrífuga 𝑣!! 𝑟 do elemento de fluido igual a força líquida de pressão atuando radialmente 
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para dentro dividida pela massa. Se a área da seção do elemento médio no plano normal ao 
raio é dA, então, 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 = 𝑑𝜌𝐴𝛾𝑔 𝑑𝐴𝑑𝑟 = 𝑑𝑝𝑔𝛾𝑑𝑟 = 𝑣!!𝑟 
Assim, 
𝑑𝑝𝛾 = 𝑣!!𝑔𝑟 𝑑𝑟 
A equação de Bernoulli aplicada para escoamento no plano horizontal é: 
𝑝𝛾 + 𝑣!2𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑑𝑝𝛾 = − 𝑣!𝑑𝑣!𝑔 
 
Figura 5. Escoamento num percurso curvo. 
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𝑣!!𝑔𝑟 𝑑𝑟 + 𝑣!𝑑𝑣!𝑔 = 0 
𝑣!𝑑𝑟 + 𝑟𝑑𝑣! = 0 𝑣!𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐶 
A intensidade, K, do vórtice é definida como: 
𝑘 = 2𝜋𝑣!𝑟 = 2𝜋𝐶 
E é considerada positiva para escoamento anti-horário. Sendo que não há escoamento 
radial, 
𝑣! = 𝜕𝜙𝜕𝑟 = 1𝑟 𝜕𝜓𝜕𝜃 = 0 
𝑣! = 1𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑟 = −𝑑𝜓𝑑𝜃 
Assim, 
𝜙 = 𝑣!𝑟𝜃 = 𝐾2𝜋 𝜃 
𝜓 = − 𝐾2𝜋𝑟 𝑑𝑟 = − 𝐾2𝜋 ln 𝑟 
 
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4.4 Dipolo 
Para produzir a configuração de um dipolo, uma fonte e um sorvedouro da mesma 
intensidade numérica q são considerados a se aproximarem um do outro tal que a distância δ! 
entre eles diminua aproximadamente à zero, suas intensidades aumentam de modo que o 
produto !!! δ! tende a um valor finito µ, onde µ é chamada de intensidade de dipolo com seu 
eixo na direção de δ!, considerada positiva do sorvedouro para a fonte. 
Figura 6. Representação gráfica de a) combinação de fonte e sorvedouro, b) dipolo na origem. 
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Para determinar as funções ϕ e ψ de um dipolo, usaremos a aproximação ln 1+ x =x se x ≪ 1. Tendo em vista que: 
𝑒! = 1+ 𝑥 + 𝑥!2! +⋯ ≅ 1+ 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≪ 1 
Sendo que para qualquer ponto P na figura 6b, 
𝜙!"#$% = 𝑞2𝜋 𝑙𝑛𝑟! 𝑒 𝜙!"#$%&"'#" = − 𝑞2𝜋 𝑙𝑛𝑟! 
A soma dos dois, 
𝜙 = 𝑞2𝜋 ln 1+ 𝛿!𝑟! ≅ 𝑞2𝜋 𝛿!cos (𝜃! − 𝛿𝜃)𝑟! 
À medida que 𝛿𝜃 se aproxima de zero, !!! 𝛿! se aproxima de µ e ϕ que se aproxima de !"#$%! para a função de ψ, 
𝜓 = 𝜃! − 𝜃! ≅ − 𝑞2𝜋 𝛿!𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟! 
À medida que 𝛿! se aproxima de zero, !!! 𝛿! aproxima-se de µ e conseqüentemente, ψ 
se aproxima de − !"#$%! . 
Assim, para o caso de dipolo, 
𝜙 = 𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 = 𝜇𝑥𝑥! + 𝑦! 
𝜓 = 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟 = − 𝜇𝑥𝑥! + 𝑦! 
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As curvas de ϕ = constante têm !!"#$ constante e, portanto, apresenta círculos tangentes 
ao eixo y. As curvas de ψ = constante têm !!"#$ constante e representa círculos tangentes ao 
eixo x. Os componentes da velocidade em qualquer ponto na configuração de dipolo são: 
𝑣! = 1𝑟 𝜕𝜓𝜕𝜃 = − 𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟! 
𝑣! = −𝜕𝜓𝜕𝑟 = − 𝜇𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟! 
O valor da velocidade absoluta no ponto é: 
𝑉 = 𝑣!! + 𝑣!! = 𝜇𝑟! 
Observa-se que a magnitude da velocidade é constante em qualquer circulo com o 
centro no dipolo. 
 
 
 
 
 
	
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5. Superposição de Escoamentos Elementares 
Foi demonstradoque as funções ψ e φ satisfazem a equação de Laplace (equação 
diferencial parcial, linear e homogênea). Portanto, as soluções podem ser superpostas para 
desenvolver configurações de escoamento mais complexas. 
Como não há escoamento na direção transversal a uma linha de corrente, qualquer 
contorno de linhas de corrente pode ser imaginado como representando uma superfície sólida. 
Escoamentos potenciais produzem corpos com sustentação, mas com arrasto nulo. Isto 
é um paradoxo, pois se não há atrito (escoamento invíscido), não deve haver nem sustentação 
nem arrasto. Este paradoxo é conhecido como “Paradoxo de D’Alambert”. 
Existem dois métodos para realizar a combinação de escoamentos elementares: 
a. Método Direto consiste na combinação de escoamentos elementares, seguida 
do cálculo direto da configuração de linhas de correntes, forma do corpo, campo de 
velocidade, ponto de estagnação e distribuição de pressão. 
b. Método Inverso calcula a forma do corpo que produzirá uma desejada 
distribuição de pressão. Singularidades distribuídas (vórtices, fontes e sorvedouros) 
localizadas no eixo ou na superfície do corpo são usadas para modelar o corpo. 
 
5.1 Fonte e Escoamento Uniforme 
 
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5.2 Fonte, Sorvedouro e Escoamento Uniforme 
 
 
5.3 Dipolo e Escoamento Uniforme 
 
 
5.4 Dipolo, Vórtice e Escoamento Uniforme 
 
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5.5 Fonte e Vórtice 
 
 
 
5.6 Fonte e Sorvedouro 
 
 
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5.7 Sorvedouro e Vórtice 
 
 
 
5.8 Par de Vórtices 
 
	
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Ø Tabela com os possíveis escoamentos irrotacionais 
	
	
6. Aplicações Práticas 
6.1 Técnicas dos Painéis 
Em aplicações aerodinâmicas modernas, os escoamentos tridimensionais, invíscidos e 
incompressíveis são sempre calculados usando técnicas numéricas de painéis. A filosofia dos 
painéis 2D é facilmente estendida aos painéis 3D. 
A idéia geral por trás dos programas de computador é cobrir o corpo tridimensional 
com painéis sobre os quais existe uma distribuição desconhecida de singularidades (fontes, 
dipolos ou vórtices). 
A figura 7 mostra a superfície de um corpo 3D substituída por um conjunto de painéis. 
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Estas incógnitas são obtidas através de um sistema de equações algébricas lineares 
geradas pelo cálculo da velocidade induzida nos pontos de controle nos painéis e aplicando a 
condição de escoamento tangencial. 
Para um corpo não sustentador, como mostra a figura 7, uma distribuição de painéis de 
fonte é suficiente. 
Para corpos sustentadores tanto painéis de fonte como de vórtice são necessários. 
 
 
Figura 7. Distribuições de painéis em um corpo não sustentador. 
 
Um exemplo atual do uso do método dos painéis em corpos sustentadores 
tridimensionais está ilustrado na figura 8, que mostra os painéis num vaivém sobre o Boeing 
747 para análise de escoamento potencial. 
Estes métodos tornaram-se padrão, pois fazem parte do processo de projeto de 
aeronaves dos maiores construtores de aviões. 
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Figura 8. Painéis sobre o Boeing 747. 
 
7. Problema 6.75 (Introdução à Mecânica dos Fluidos - 7ª 
Edição). 𝑉 = 𝑈 1− 𝑎𝑟 ! 𝑐𝑜𝑠𝜃ê! − 𝑈 1+ 𝑎𝑟 ! 𝑠𝑒𝑛𝜃ê! 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
A cabana semicilíndrica tem: 𝐷 = 6𝑚𝐿 = 18𝑚 
 
Durante uma tempestade: 
𝑈 = 100𝑘𝑚/ℎ𝑃∞ = 720𝑚𝑚𝐻𝑔𝑇∞ = 5°𝐶 
Hipóteses: 
(1) Escoamento Permanente 
(2) Fluido Incompressível 
(3) Sem atrito 
(4) r = a, 𝑉 = −2𝑈𝑠𝑒𝑛𝜃ê! 
 
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𝑃𝜌 + 𝑉!2 + 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑃𝜌 + 𝑉!2 = 𝑃∞𝜌 + 𝑉∞!2 𝑃 − 𝑃∞ = 𝜌2 𝑉∞! − 𝑉! = 𝜌2 𝑈! − 4𝑈!𝑠𝑒𝑛!𝜃 𝜌 = 𝑃𝑅𝑇 = 1,2𝑘𝑔/𝑚! 𝐹! = 𝑃∞ − 𝑃 𝑑𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑃∞ − 𝑃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝐿𝑎𝑑𝜃 =!!! = 𝜌𝑈!2 4𝑠𝑒𝑛!𝜃 − 1 𝑠𝑒𝑛𝜃𝐿𝑎𝑑𝜃!! 𝐹! = 53𝜌𝑈!𝑎𝐿 = 83,3𝑘𝑁 
 
 
Figura 9. Escoamento ao redor de um cilindro completo. 
 
 
Figura 10. Escoamento ilustrativo do semi-cilindro. 
	
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8. Referências Bibliográficas 
 
http://www.demec.ufmg.br/site/cursos/arquivos/46.pdf 
http://www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema890/aula2.pdf 
http://wwwusers.rdc.puc-rio.br/mecflu2/4-MecanicaFluidosII-Irrotacional.pdf 
http://plato.if.usp.br/~fma0324d/bidim_fg.pdf 
http://www.fisica.ufmg.br/~dickman/transfers/hidro/cap6%28EscPotencial%29.pdf 
Acesso: 29/05/2011 
FOX, Robert W., PRITCHARD, Philip J., MCDONALD, Alan T. Introdução à 
Mecânica dos Fluidos. LTC. 7ª Edição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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