Apostila Limites e Derivadas[1]

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LIMITES
�
1. Calcule os limites:
a) 
		b) 
c) 
		d) 
e) 
_____________________________________
2. Determine:
a) 
		b) 
c) 
	d) 
e) 
	f) 
_____________________________________
3. Calcule:
a) 
		b) 
c) 
		d) 
_____________________________________
4. Ache o valor de:
a) 
		b) 
c) 
	d) 
_____________________________________
5. Calcule os limites:
a) 
b) 
_____________________________________
6. Calcule 
, em cada caso:
a) 
	
b) 
		c) 
d) 
		e) 
_____________________________________
7. Dada a função 
, calcule:
a) 
			b) 
c) 
			d) 
e) 
_____________________________________
8. Dada a função 
 diga se f(x) é contínua nos pontos:
a) x = 0	b) x = – 1	c) x = 2
_____________________________________
9. Seja m 
 R e f: R → R a função definida por: 
Calcular o valor de m para que f(x) seja contínua em x = 3.
_____________________________________
10. Dada a função 
, diga se f(x) é contínua nos pontos:
a) x = 5		b) x = 2
_____________________________________
11. Seja 
R e seja f: R → R a função definida por 
Calcule
 para que f(x) seja contínua em x=3.
12. Determine se a função f , definida por:
é contínua ou descontínua nos pontos:
a) x = 1		b) x = 3
_____________________________________
13. Mostre se a função 
é contínua ou descontínua em x = 3.
_____________________________________
14. Considere a função, definida em R por:
Calcular o valor de k para que a função seja contínua em x = 1.
_____________________________________
15. Dada a função:
Determinar m para que f(x) seja contínua em x = 2.
Sugestão: multiplicar o numerador e denominador pelo “conjugado” 
.
_____________________________________
16. A função contínua y = f(x) está definida no intervalo [– 4, 8] por:
Sendo a e b números reais.
Calcule os valores de a e b e esboce o gráfico cartesiano da função dada.
_____________________________________
17. Determine:
a) 
b) 
18. Determine: 
a) 
b) 
_____________________________________
19. Ache o valor de:
a) 
		b) 
_____________________________________
20. Calcule:
a) 
	
			
b) 
		
c) 
_____________________________________
21. Calcule:
a) 
			e) 
b) 
			f) 
c) 
			g) 
d) 
			h) 
_____________________________________
22. Calcule 
_____________________________________
23. Determine:
a) 
			c) 
b) 
		d) 
24. Calcule 
_____________________________________
25. Determine:
a) 
		c) 
b) 
		d) 
_____________________________________
26. Calcule:
a) 
	c) 
b) 
	d) 
_____________________________________
27. Calcule:
a) 
b) 
c) 
_____________________________________
28. Calcular 
_____________________________________
29. Ache o valor de 
_____________________________________
30. Calcular 
_____________________________________
31. Determine:
a) 
		b) 
_____________________________________
32. Determine 
33. Calcule 
_____________________________________
34. Calcule 
_____________________________________
35. Calcule:
a) 
		c) 
b) 
		d) 
_____________________________________
36. Calcule:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
_____________________________________
37. Fatore as expressões e simplifique as frações para obter o valor de:
a) 
		c) 
b) 
			d) 
_____________________________________
38. Calcular o valor de 
_____________________________________
39. Determine:
a) 
	
b) 
c) 
		d) 
e) 
_____________________________________
40. Calcule 
_____________________________________
41. Multiplique o numerador e o denominador pelo “conjugado” de um deles para determinar:
a) 
		b) 
_____________________________________
42. Calcular o valor de 
_____________________________________
43. Calcular o valor da expressão 
_____________________________________
44. Determine o valor de 
Sugestão: multiplicar o denominador e numerador pelos “conjugados” de ambos.
_____________________________________
45. Calcular 
_____________________________________
46. Calcule 
_____________________________________
47. Calcule:
a) 
			b) 
_____________________________________
48. Determine: 
_____________________________________
49. Calcular o valor de 
_____________________________________
50. Dada a função 
 , calcule:
a) 
		b) 
51. Calcule:
a) 
		c) 
b) 
		d) 
_____________________________________
52. Calcule 
_____________________________________
53. Ache o valor de 
_____________________________________
54. Calcule:
a) 
		c) 
b) 
		d) 
_____________________________________
55. Calcular 
 para:
a) k = 0		b) k ≠ 0
_____________________________________
56. Calcular:
a) 
b) 
c) 
_____________________________________
57. Determine 
_____________________________________
58. Sejam 
R e a 
 R, a ≠ 0. Determine:
a) 
b) 
59. A função f: R → R, com
é contínua para x = 4. Calcular o valor de m.
_____________________________________
60. A função 
 não está definida para x = 1. Seja f(1) = k. Calcular o valor de k para que a função f(x) seja contínua no ponto x = 1.
_____________________________________
61. Esboce o gráfico da função e determine o limite:
a) 
		d) 
b) 
		e) 
c) 
		f) 
_____________________________________
62. Calcule:
a) 
		b) 
_____________________________________
63. Calcular os limites:
a) 
		b) 
_____________________________________
64. Calcule:
a) 
		b) 
_____________________________________
65. Esboce o gráfico da função e determine o limite:
a) 
		b) 
_____________________________________
66. Calcular:
a) 
		b) 
67. Esboce o gráfico da função e dê o valor de:
a) 
		b) 
_____________________________________
68. Calcule 
_____________________________________
69. Calcule:
a) 
		c) 
b) 
		d) 
_____________________________________
70. Determinar 
_____________________________________
71. Calcular o valor de 
_____________________________________
72. Ache o valor de 
_____________________________________
73. Determine 
_____________________________________
74. Determine:
a) 
b) 
_____________________________________
75. Calcule o valor de 
_____________________________________
76. Calcule:
a) 
		b) 
_____________________________________
77. Sabendo que 
, calcule 
78. Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
a) 
	c) 
b) 
	d) 
_____________________________________
79. Ache o valor de 
_____________________________________
80. Calcule 
_____________________________________
81. Calcule 
_____________________________________
82. Determine 
_____________________________________
83. Calcule 
_____________________________________
84. Se 
, calcule ln a.
_____________________________________
85. Calcule 
.
Sugestão: 
_____________________________________
RECORDANDO
1. Calcule:
a) 
b) 
c) 
2. Ache o valor de 
.
_____________________________________
3. Seja λ um número real e seja f: R → R a função tal que:
Calcule λ para que exista 
_____________________________________
4. Sabendo-se que 
, x ≠ m, então podemos afirmar que:
m é maior do que 4
m é menor do que – 4
m 
 [1, 4]
m 
 [– 4, 1]
não existe m, tal que 
_____________________________________
5. Seja f definida por 
 
o valor de 
 é:
a) 1	b) 2	c) 3	d) 4	e) 5
_____________________________________6. Determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
_____________________________________
7. Calcule 
_____________________________________
8. Determine m para que
 
9. Determine:
a) 
	b) 
_____________________________________
10. O valor de 
 é:
a) zero	 b) + ∞ c) – ∞ d) 2 e) 1
_____________________________________
11. Determine:
a) 
	
b) 
c) 
		d) 
_____________________________________
12.Calcule:
a) 
		b) 
c) 
		d) 
_____________________________________
13. Dada a função f: R → R, definida por 
, calcule 
_____________________________________
14. Calcule 
_____________________________________
15. Determine 
_____________________________________
16. Calcule:
a) 
	b) 
_____________________________________
17. Determine:
a) 
	b) 
18. Dada a função f: R → R tal que 
Determinar o valor de m de modo que f(x) seja contínua em x = 1.
_____________________________________
19. Calcule 
_____________________________________
20. Sabe-se que 
. Conclui-se que 
:
a) é 
		b) é 0		c) é infinito
d) é indeterminado		e) não existe
_____________________________________
21. Calcule 
_____________________________________
22. Calcule:
a) 
	b) 
_____________________________________
23. Determinar 
Sugestão: 
_____________________________________
24. Calcular 
Sugestão: 
_____________________________________
25. Determine 
DERIVADAS
1. Aplicando a definição, calcule a derivada da função f(x) = x2 + x no ponto de abscissa:
a) x = 3		b) x = – 2
_____________________________________
2. Dada a função f(x) = x2 – 5x + 6. Calcule:
a) f ’(1)		b) f ’(– 4)
_____________________________________
3. Dada a função f(x) = 2 – x3, calcule f’(– 2)
_____________________________________
4. Dada a função 
, determine, se existir, a derivada da função no ponto de abscissa:
a) x = 1		b) x = 0
_____________________________________
5. Dada a função 
, determine a derivada de f(x) no ponto x = 1.
_____________________________________
6. Usando a definição, calcule a derivada da função f(x) = 3x + 1
_____________________________________
7. Usando a definição, calcule f’(x) em cada caso:
a) f(x) = – 5x2		b) 
_____________________________________
8. Dada a função 
, determine a derivada de f(x) para x = 4.
_____________________________________
9. Calcule a derivada f’(x) das seguintes funções:
a) f(x) = 8		f) 
b) 
	g) 
c) f(x) = x6		h) 
d) f(x) = x-5		i) f(x) = 7x2
e) 
		j) f(x) = – 4x
10. Ache a derivada das seguintes funções:
a) 
		c) 
b) 
		d) 
_____________________________________
11. Dada a função 
, calcule a derivada de f(x) no ponto x = 8.
_____________________________________
12. Ache a derivada f’(x) das seguintes funções:
a) 
	c) 
b) 
	d) 
_____________________________________
13. Dada a função 
. Calcular a derivada da função para:
a) x = 1		c) x = 3
b) x = 4		d) x = 6
_____________________________________
14. Ache a derivada f’(x) das seguintes funções:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
_____________________________________
15. Considere as funções definidas em R por g(x)= 4x + 1 e h(x) = 2x – 3.
a) Calcule f’(x), sabendo que f(x) = g[h(x)]
b) Calcule f’(2)
_____________________________________
16. Se 
, calcule f’(π).
_____________________________________
17. Determinar a derivada f’(x) das funções para x = 2 nos seguintes casos:
a) f(x) = 6x3 – 5x2 + 2x – 1
b) f(x) = 5x4 – 2x2 + 18
c) f(x) = 2x5 – 3x2 + 4x – 2
18. Determine a derivada das funções:
a) 
b) 
c) 
d) 
_____________________________________
19. Dada a função de R em R definida por f(x) = x3 – 12x + 7, determine o valor de sua derivada para x = – 3.
_____________________________________
20. Calcule f’(x) das seguintes funções:
a) f(x) = 3x . sen x
b) f(x) = sen x . cos x
c) f(x) = x2 . cos x
d) f(x) = x3 . (2x2 – 3x)
_____________________________________
21. Calcule a derivada f’(x) das seguintes funções:
a) f(x) = (x + 4) (x – 2)
b) f(x) = (x – 1) (2x – 3)
c) f(x) = (x3 – 7) (2x2 + 3)
d) f(t) = (t2 – 1) (t2 + 1)
_____________________________________
22. Em cada caso, calcule a derivada f’(t):
a) f(t) = (t2 + 1) . (t3 – 2)
b) f(t) = (t5 – 2t3) . (t2 + t – 2)
_____________________________________
23. Dada a função
f(x) = (x2 – 1) . (x2 + x – 2) . (1 – x)
Calcule a derivada f’(x) para:
a) x = 0	c) 
b) x = 1	d) x = – 2
_____________________________________
24. Determine a derivada f’(x) das seguintes funções:
a) 
	b) 
_____________________________________
25. Calcule a derivada das funções para x = 2 nos seguintes casos:
a) 
	b) 
_____________________________________
26. Considere a função definida em R por 
a) Determine as raízes de f’(x)
b) Calcule f’(1) e f’(– 1)
c) Resolva a inequação f’(x) < 0
27. Dada a função 
, determine f’(x).
_____________________________________
28. Aplicando a derivada do quociente, demonstre que:
a) Se f(x) = cotg x, então f’(x) = – cosec2 x
b) Se f(x) = sec x, então f’(x) = tg x . sec x
c) Se f(x) = cosec x, então f’(x) = – cotg x . cosec x
_____________________________________
29. Dado 
, calcular 
_____________________________________
30. Quais os valores de x que anulam a derivada f’(x) da função 
_____________________________________
31. Calcule a derivada das funções:
a) f(x) = cos 6x
b) f(x) = sen (3x + 1)
c) f(x) = sen 3x – cos 2x
d) f(x) = sen 2x + sen 4x
_____________________________________
32. Dada a função 
, calcule f’(x)
_____________________________________
33. Calcule a derivada das funções:
a) f(x) = sen2 x
b) f(x) = sen2 (1 – x2)
_____________________________________
34. Determinar a derivada das funções:
a) f(x) = (x2 – 1)3	b) f(x) = (x3 – 2x)2
c) f(x) = (x4 – 3x2 + 1)2
_____________________________________
35. Considere a função definida em R – {2} por 
. Calcule:
a) f’(x)			b) f’(3)
_____________________________________
36. Ache a derivada das funções:
a) 
	
b) 
_____________________________________
37. Dada a função 
,determinar:
a) f’(x)			b) f’(3)
38. Calcular a derivada da função
 para x = 2.
_____________________________________
39. Sabendo que 
 , determinar f’(1).
_____________________________________
40. Determinar a derivada f’(x) das funções:
a) 
b) 
_____________________________________
41. Calcule a derivada da função
 para x = 2.
_____________________________________
42. Determine a derivada das funções:
a) 
		d) 
b) 
	e) 
c) 
	f) 
_____________________________________
43. Dada a função 
, calcule f’(2).
_____________________________________
44. Dada a função 
, determinar f’(1).
_____________________________________
45. Dado 
, calcule f’(1).
_____________________________________
46. Sabendo que 
, determine f’(x)
_____________________________________
47. Calcule a derivada f’(x) das seguintes funções:
a) 
	c) 
b) 
	d) 
_____________________________________
48. Se f(x) = ln (x2 – 4x + ). Calcule f’(x).
_____________________________________
49. Se 
, determine f’(x).
_____________________________________
50. Determine f’(x), sabendo que 
.
51. Determine f’(x) sabendo que 
.
_____________________________________
52. Calcule o valor da derivada de:
a) 
 para x = 2
b) 
 para x = – 1
c) 
 para x = 0
d) 
 para x = 1
_____________________________________
53. Dada a função 
. Calcule:
a) f’(4)		b) f’(6)		c) f’(10)
_____________________________________
54. Ache as quatro primeiras derivadas da função f(x)= x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1.
_____________________________________
55. Se f(x) = sen x + cos x, determine f(4)(x).
_____________________________________
56. Determine a derivada segunda de 
f(x) = 4x3 – 5x2 + 2x – 1 no ponto x = 0.
_____________________________________
57. Calcule a derivada terceira da função 
 para x = 2.
_____________________________________
58. Seja a função f(x) = 4x3 + 2x2 – 5x + 2, calcule f’(0) + f’’(0) + f’’’(0).
_____________________________________
59. Obtenha as leis das duas primeiras funções derivadas de 
.
_____________________________________
60. Dada a função f(x) = sen x – cos x. Calcule:
a) f’
	b) f’’
	c) f’’’
_____________________________________
61. Calcule o coeficiente angular da tangente ao gráfico das funções a seguir nos pontos de abscissa também indicados:
a) 
 para x = – 1
b) 
 para x = 4
c) 
 para x = 8
62. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 5 no ponto de abscissa x = 0.
_____________________________________
63. Seja a curva de equação y = x3 – 12x. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (4, 16).
_____________________________________
64. Qual a equação da reta tangente ao gráfico da função 
 no ponto 
?
_____________________________________
65. Considere a função f: R → R definida por f(x) = x3 – 3x2 + x + 2. Calcule as coordenadas dos pontos do gráfico dessa função nos quais a reta tangente tem coeficiente angular igual a 1.
_____________________________________
66. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 – 4 e que seja paralela à reta de equação y = 2x – 1.
_____________________________________
67. Determinar um ponto sobre a curva f(x) = x3 – 1 de tal modo que a reta tangente à curva nesse ponto seria paralela à reta y = 12x + 1.
_____________________________________
68. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = – 3 cos x no ponto em que 
.
_____________________________________
69. Determinar a equação da reta tangente à curva y = 2x2 – 1, no ponto de abscissa x = 1.
_____________________________________
70. Em que ponto da curva f(x) = x2 – 3x – 4 a reta tangente é paralela ao eixo Ox?
_____________________________________
71. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 – 4x + 1, que é perpendicular à reta 2y + x – 5 = 0.
_____________________________________
72. Determinar a equação da reta tangente à curva 
 no ponto de abscissa x = 10.
_____________________________________
Aplicando a regra de L’Hospital, resolva:
73. 
74. 
_____________________________________
75. 
_____________________________________
76. 
_____________________________________
77. 
_____________________________________
78. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções:
a) 
		b) 
c) 
d) 
e) 
_____________________________________
79. Dada a função 
, determine k para que f(x) seja crescente em R.
_____________________________________
80. Dada a função 
, determine:
a) o ponto em que o gráfico corta o eixo y
b) os pontos em que a reta tangente ao gráfico de f(x) é paralela ao eixo x
c) um esboço do gráfico de f’(x)
d) o conjunto em que f(x) é crescente
e) o conjunto em que f(x) é decrescente
f) um esboço do gráfico de f(x)
_____________________________________
81. Considerando a concavidade da parábola, classifique os pontos cujas abscissas são os pontos críticos das funções quadráticas:
a) f(x) = x2 – x + 1 b) f(x) = x – x2
_____________________________________
82. Determine os pontos cujas abscissas são pontos críticos da função 
f(x) = x4 – 4x3 + 4x2 + 2
_____________________________________
83. Calcule os pontos 
, sendo que 
 é o ponto crítico das funções:
a) f(x) = 2x3 + 3x2 + 1 b) f(x) = x3 – 3x
c) f(x) = (x2 – 1)2 + 3
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