Função do 2º Grau: Noções Básicas

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ÃO DO
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2º GR
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Matemática
Aplicada
Função do 2º Grau160
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Prof.a Isabel Cristina Dias Alves Lisboa 
Prof.a Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo!
E então, podemos começar?
Veremos nesse módulo o estudo da função de 2º grau, 
mas o seu êxito dependerá muito da sua dedicação, seu 
comprometimento e seu empenho!
Função do 2º Grau 161
APRESENTAÇÃO
A matemática é um dos principais componentes da cultura geral do ser humano, podendo 
ser observada no dia-a-dia em casa, nas nossas diversões como nos jogos e parques, nas 
propagandas e outras situações do nosso cotidiano. A finalidade é fazer você compreen-
der e construir por intermédio do conhecimento matemático adquirido, valores e atitudes 
de natureza diversa, visando à sua formação e a melhor compreensão de como chegamos 
aos conhecimentos atuais. E a função do segundo grau, ou função quadrática, concebida 
como um conjunto de resultados, métodos, procedimentos extraídos da observação do 
cotidiano, será o alvo deste módulo. Para tanto esperamos que você tenha um ensino 
que lhe possibilite análises, discussões e formulação de ideias, para que o conhecimento 
adquirido possa ser utilizado nas situações vivenciadas diariamente ampliando e contri-
buindo para o seu desenvolvimento. 
Bons estudos!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo, você será capaz de:
• Identificar uma função polinomial do segundo grau;
• Distinguir a função do 2º grau em relação a outras funções;
• Utilizar e relacionar as grandezas como variáveis no modelo matemático para o 
estudo de função do 2º grau;
• Transcrever a linguagem comum (escrita e falada) numa linguagem matemática 
(algébrica e gráfica); 
• Aprender as noções básicas das funções de 2º grau , assim como suas aplicações; 
• Compreender o comportamento do gráfico da função quadrática a partir da mani-
pulação dos parâmetros a, b e c em f(x)=ax²+bx+c.
Função do 2º Grau162
Função do 2º Grau
INTRODUÇÃO
A noção de função do 2º grau ou função quadrática, associa-se originalmente à ideia de 
equação do 2º grau, pela necessidade de relacionar curvas a equações, ou seja, a álgebra 
relacionada à geometria. Assim a origem do adjetivo quadrática vem da palavra latina 
quadratum, que significa quadrado. 
Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um 
quadrado de lado x.
IMPORTANTE
No geral o prefixo quadr(i) indica o número 4, como quadrilátero e quadrante. Em latim a 
palavra quadratum é indicada para quadrado por que o quadrado tem quatro lados.
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Inicialmente vamos destacar o que é e como resolver a Equação de 2º Grau.
Equação do 2º grau é a sentença matemática do tipo ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c 
(a, b, c ∈ ℜ) são números reais, com a não nulo ( a ≠ 0).
Para resolver a equação do 2º grau, ou seja, para determinar os valores de x (denomi-
nados raízes) utilizaremos da fórmula abaixo denominada fórmula de Bhaskara, a saber:
2 4
2
b b acx
a
− ± −
= , sendo ∆=b2 – 4ac, teremos:
2
bx
a
− ± ∆
= , onde:
• ∆ > 0 → teremos duas raízes reais e distintas
• ∆ = 0 → teremos duas raízes reais e iguais
• ∆ < 0 → não teremos raízes reais
x
x
área: AQuadrado = lado x lado
 AQuadrado = x2
Função do 2º Grau 163
CURIOSIDADE
Caro(a) aluno(a), você saberia me dizer como se chegou à fórmula de Bhaskara? Então me 
acompanhe com bastante atenção!
A dedução da fórmula de Bhaskara foi feita assim:
• Partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
• Multiplicando ambos os membros por 4a: 
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 
• Somando b2 em ambos os membros: 
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 
• Reagrupando (fatores comuns):
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 ‒ 4ac
• O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito:
(2ax + b)2 = b2 ‒ 4ac
• Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de duas 
raízes: uma raiz negativa e outra positiva (±)
2(2 ) 4. .ax b b a c+ = ± −
• Isolando a incógnita x
22 4. .ax b b a c= − ± − (dividindo membro a membro por 2a)
• Já condicionado que a é diferente de zero, então pelo princípio multiplicativo 
temos:
2 4. .
2
b b a cx
a
− ± −
=
Essa fórmula é a fórmula de Bhaskara.
Então, como poderemos interpretar graficamente essas raízes?
A interpretação gráfica das raízes (passar da álgebra para a geometria) 
é mostrar onde elas se interceptam no eixo das abscissas (OX).
• ∆ > 0 x1 x2
• ∆ = 0 x1 =x2
• ∆ < 0 x∈ℜ (não existe raiz real)
 Bhaskara Acharya
163
Função do 2º Grau164
Veja alguns exemplos.
Resolvendo as equações de 2º grau em ℜ temos:
1) x2 – 3x – 4 = 0
 Na coleta de dados, temos:
1
3
4
a
b
c
=
 = −
 = −
Vamos inicialmente calcular o discriminante (∆ ) para depois substituir na fórmula de 
Bhaskara:
∆ = b2 – 4ac
∆ = (‒ 3)2 – 4.(1).(– 4)
∆ = 9 + 6
∆ = 16 (∆ > 0 → duas raízes reais e distintas: x1 e x2)
Assim as raízes são:
A representação gráfica na reta real é:
‒1 4
Portanto as raízes são: ‒1 ou 4.
2) x2 – 4x + 4 = 0
 Na coleta de dados, temos:
1
4
4
a
b
c
= +
 = −
 = +
1 1 1
2 2 2
2
( 3) 25
2.(1)
3 5 2 13 5 2 2
3 5 82 4
2 2
bx
a
x
x x x
x
x x x
− ± ∆
=
− − ±
=
+ − − = ⇒ = ⇒ = −+ ± =  + + = ⇒ = ⇒ =

Função do 2º Grau 165
Vamos inicialmente calcular o discriminante (∆ ) para depois substituir na fórmula de 
Bhaskara:
∆=b2 – 4ac
∆= (‒4)2 – 4.(1).(+4)
∆= 16 – 16
∆= 0(∆ = 0 → duas raízes reais e iguais: x1 = x2)
Assim as raízes são:
A representação gráfica na reta real é:
2
Portanto as raízes são: 2 ou 2 (iguais).
3) 3x2 – 2x + 7 = 0
 Com a coleta de dados temos:
3
2
7
a
b
c
= +
 = −
 = +
Vamos inicialmente calcular o discriminante (∆ ) para depois substituir na fórmula de 
Bhaskara:
∆=b2 – 4ac
∆=(–2) 2 – 4.(3).(7)
∆ = 4 – 84
∆ = – 80(∆< 0 → não existe raízes reais: x∈ℜ)
Assim não se aplica a substituição na fórmula de Bhaskara porque não existe raiz quadra-
da de números negativos nos reais.
( 2) 80
2.(3)
x x− − ± −= ⇒ ∉ℜ
1 1 1
2 2 2
2
( 4) 0
2.(1)
4 0 4 24 0 2 2
4 0 42 2
2 2
bx
a
x
x x x
x
x x x
− ± ∆
=
− − ±
=
+ − = ⇒ = ⇒ =+ ± =  + + = ⇒ = ⇒ =

Função do 2º Grau166
Portanto não tem solução real, e na representação da reta real não há a interseção (não 
há ponto)
E x ∈ ℜ ( não toca o eixo)
Então caro(a) aluno(a), após esses exemplos 
já podemos iniciar o conceito de Função 
Quadrática?
Vamos lá!
Função Quadrática ou Polinomial do 2º grau
Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números 
reais e a ≠ 0, é denominada função polinomial do 2º grau ou Função Quadrática.
Veja alguns exemplos de funções quadráticas:
1) f (x) = 3x2 – 4x + 1, onde:
 
3
4
1
a
b
c
= +
 = −
 = +
2) f (x) = x2 – 4, onde:
1
0
4
a
b
c
= +
 = −
 = −
3) f (x) = 2x2 + 3x +2, onde:
2
3
2
a
b
c
= +
 = +
 = +
4) f (x) = ‒2x2 + 8x, onde:
2
8
0
a
b
c
= −
 = +
 =
5) f (x) = ‒3x2, onde:
3
0
0
a
b
c
= −
 =
 =
Função do 2º Grau 167
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma curva denominada 
parábola, que será determinada por meio de alguns pontos especiais e outros aleatórios.
No primeiro momento, para construir o gráfico de uma função de 2º grau qualquer, basta 
atribuírmos a x alguns valores (especiais ou não), depois calculamoso valor correspon-
dente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. Mas inicialmente vamos 
conhecer algumas informações dessa curva:
Concavidade da Parábola
A parábola tem concavidade, que é a abertura da curva (formato côncavo), que ora está 
voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade (para cima ou 
para baixo) depende do coeficiente a, ou seja, de acordo com o sinal do coeficiente a, a 
saber:
• A parábola tem concavidade voltada para cima (C.V.C.) quando a é positivo.
• A parábola tem concavidade voltada para baixo (C.V.B.) quando a é negativo.
TOME NOTA
Concavidade é a boca ou abertura da curva, no caso da função quadrática é a boca da pará-
bola que poderá ser para cima ou para baixo, e isto vai ser determinado pelo sinal de a.
Veja os exemplos:
a > 0
a < 0
Vértice da Parábola
O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela, ou seja, o ponto mais 
baixo da curva ou o mais alto. E esse ponto é definido pelas seguintes coordenadas:
V = ( xV , yV ) onde 2V
bx
a
−
= e 
4V
y
a
−∆
=
Assim o vértice é dado por: V = ,
2 4
b
a a
− −∆ 
 
 
Para a localização do vértice na parábola devemos inicialmente encontrar o par ordenado 
de coordenadas xV e yV, depois localizá-lo no plano cartesiano, e após a representação 
dessa curva teremos:
Função do 2º Grau168
1º Caso: A parábola é côncava voltada para cima (CVC)
V
y
x
2
b
a
−
4a
−∆
O vértice é o ponto mais baixo da curva, assim produz o valor mínimo da função.
2º caso: A parábola é côncava voltada para baixo (CVB)
V
y
x
2
b
a
−
4a
−∆
O vértice é o ponto mais alto da curva, assim produz o valor máximo da função.
Pontos do Eixo das Abscissas
São os zeros da função ou simplesmente as raízes da função quadrática. Os pontos da 
parábola que interceptam o eixo das abscissas são os pontos cujas abscissas são as 
raízes da função, ou seja, os valores de x que tornam a função nula (y = 0). Para isso 
basta transformar a função em uma equação do 2º Grau: ax2 + bx + c = 0.
Sendo uma equação do 2º grau, a solução é feita utilizando a fórmula de Bhaskara:
2
bx
a
− ± ∆
=
Portanto esses pontos do eixo OX serão dados por: ,0
2
b
a
 − ± ∆
  
 
CVC (a > 0)
CVC (a < 0)
Função do 2º Grau 169
Ponto do eixo das Ordenadas
É o ponto da parábola que intercepta o eixo das ordenadas, ou seja, é o ponto onde a 
ordenada é encontrada quando x se anula (x = 0):
Veja o que acontece
A função quadrática é dada por: y = ax2 + bx + c
Se x = 0, então substituindo teremos:
y = a.(0)2 +b.(0) + c 
y = a.0 + b.0 + c
y = 0 + 0 + c
y = c
Portanto esse ponto será dado por: ( 0, c )
Agora, sabendo que esses são os pontos especiais poderemos representar a curva da 
função quadrática, ou seja, a parábola.
A representação geométrica de uma função polinomial do 2º grau (ou quadrática), 
y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. No primeiro momento, para 
construir um gráfico de uma função de 2º grau qualquer, basta atribuírmos a x alguns 
valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos 
assim obtidos. 
Portanto, formaremos pares ordenados, com eles iremos construir o gráfico. Mas o ideal 
para construir a parábola é que tomemos os seus pontos críticos, ou seja, os mais impor-
tantes para definir a curva, a saber:
• Os pontos onde a curva intercepta o eixo OX, ou seja, os pontos cujas abscissas 
são as raízes da função.
 P ∈ OX → P (x , 0) onde x é a raiz da função quadrática
 P ,0
2
b
a
 − ± ∆
  
 
 ∈ OX
• O ponto onde a curva intercepta o eixo OY.
 P ∈ OU → P (0 , y) onde y é o valor do ponto que intercepta o eixo OY.
 P ( 0 , c ) ∈ OY
• O Vértice, ou seja, o ponto mais baixo ou mais alto da curva, cujas coordenadas 
são dadas por:
 V ,
2 4
b
a a
∆ − − 
 
Função do 2º Grau170
Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Representando graficamente a função: y = x2 + x
Coletar todos os dados dessa função:
1
1
0
a
b
c
= +
 = +
 =
Como acabamos de verificar os pontos especiais dessa curva são:
• O Vértice
O vértice que é o ponto mais baixo ou o mais alto é dado pela fórmula abaixo:
V= ,
2 4
b
a a
− −∆ 
 
 
O discriminante ∆ = b2 – 4.a.c é:
∆ = (+1 )2 – 4 (1).(0)
∆ = 1 - 0
∆ = 1
Assim: V = ,
2 4
b
a a
− −∆ 
 
 
 V = (1) 1,
2(1) 4(1)
 − −
 
 
 V = 1 1,
2 4
 − − 
 
• Os pontos do eixo das abscissas:
Esses são os pontos que interceptam o eixo OX e são determinados pela fórmula de 
Bhaskara (raízes) da equação de 2º grau, cujas coordenadas são dadas por: 
,0
2
b
a
 − ± ∆
  
 
Para a função do 2º grau y = x2 + x, a equação do 2º grau é quando y = 0: 
x2 + x + 0 = 0
Função do 2º Grau 171
Assim as raízes são:
Portanto teremos dois pontos no eixo OX que são: ( - 1 , 0 ) e ( 0 , 0 )
• O ponto do eixo das ordenadas:
Esse ponto que intercepta o eixo OY dado por: ( 0, c )
Como c = 0 , então esse ponto é ( 0, 0 )
Temos 4 pontos especiais da parábola e como a =1>0 , sabemos que a parábola é cônca-
va para cima (CVC). Antes de representar esses pontos no plano cartesiano, vamos esco-
lher, também, outros pontos aleatórios como mostra a tabela a seguir:
x y = x2 + x Ponto (x , y)
-3 y = (-3)2 + (-3) → y = 9 – 3 → y = 6 ( -3, 6)
-2 y = (-2)2 + (-2) → y = 4 – 2 → y = 2 ( -2 , 2)
-1 y = (-1)2 + (-1) → y = 1 – 1 → y = 0 ( -1, 0)
1
2
− y = 
21
2
 − 
 
 + → y = 
1 1
4 2
− → y = 
1
4
−
1 1,
2 4
 − − 
 
0 y = (0)2 + (0) → y = 0 – 0 → y = 0 ( 0, 0 )
1 y = (1)2 + (1) → y = 1+1 → y = 2 ( 1 , 2 )
2 y = (2)2 + (2) → y = 4+ 2 → y = 6 ( 2, 6)
Localizando esses pontos no plano cartesiano e ligando-os teremos a parábola:
1 1 1
2 2 2
2
(1) 1
2.(1)
1 1 2 11 1 2 2
1 1 02 0
2 2
bx
a
x
x x x
x
x x x
− ± ∆
=
− ±
=
− − − = ⇒ = ⇒ = −− ± =  − + = ⇒ = ⇒ =

Função do 2º Grau172
y
4
6
8
1
2
−
1
4
−
Exemplo2:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 – 1,ou seja, y = x2 + 0 x – 1 
Inicialmente coletamos os dados:
1
0
1
a
b
c
= +
 =
 = −
 ( a > 0) parábola CVC
Pontos especiais:
Os pontos do eixo OX: ( x , 0)
Determinando as raízes da equação do 2º grau: x2 – 1 = 0, teremos:
 lembrando que ∆=b2 – 4ac2
2
0 4.(1).( 1)
2(1)
0 4
2
0 2 2 10 2 2 2
0 2 22 1
2 2
bx
a
b
x
x
x x x
x
x x x
− ± ∆
=
− ± − −
=
±
=
− − = ⇒ = ⇒ = −± = ⇒  + = ⇒ = ⇒ =

Função do 2º Grau 173
Os pontos do eixo OX são: ( ‒1,0) e ( 1,0)
• O ponto do eixo OY: ( 0, c )
 ( 0, –1)
• O Vértice: 
Podemos também escolher outros pontos aleatórios. Veja pela tabela:
x y = x2 ‒ 1 (x , y)
- 3 y = ( -3)2 ‒ 1 → y = 9 ‒ 1 → y = 8 ( ‒3, 8)
- 2 y = ( -2)2 ‒ 1 → y = 4 ‒ 1 → y = 3 ( ‒2 , 3)
- 1 y = ( -1)2 ‒ 1 → y = 1 ‒ 1 → y = 0 ( ‒1, 0)
0 y = ( 0)2 ‒ 1 → y = 0 ‒ 1 → y = ‒1 ( 0 , ‒1)
1 y = ( 1)2 ‒ 1 → y = 1 ‒ 1 → y = 0 ( 1, 0)
2 y = ( 2)2 ‒ 1 → y = 4 ‒ 1 → y = 3 ( 2 , 3)
3 y = ( 3)2 ‒ 1 → y = 9 ‒ 1 → y = 8 ( 3, 8)
Distribuindo esses pontos no plano cartesiano e ligando-os, construiremos o gráfico. O 
gráfico desse exemplo tem a concavidade voltada para cima (a > 0).
y
x-1
-1
1-2 2-3 3
3
8
( )
,
2 4
0 0,
2 4(1)
0 0,
2 4
0,0
V
V
V
V
b
a a
− −∆ =  
 
 −
=  
 
 =  
 
=
Função do 2º Grau174
Exemplo 3: 
Gráfico da função f(x) = – x2.
Inicialmente coletamos os dados de y = – x2+ 0x + 0.
1
0
0
a
b
c
= −
 =
 =
 ( a < 0) parábola CVB
Pontos especiais:
• Os pontos do eixoOX: ( x , 0) 
Determinando as raízes da equação do 2º grau: –x2 = 0, teremos:
 Lembrando que ∆ = b2 – 4ac
TOME NOTA
Nesse caso x1 = x1 porque ∆ = 0 → raízes reais e iguais.
• O ponto do eixo OY: (0 , c)
 ( 0, –1)
• O Vértice: 
2
1
2
2
0 0 4.(1).(0)
2(1)
0 0
2
0 0 0 00 0 2 2
0 0 02 0
2 2
bx
a
x
x
x x x
x
x x x
− ± ∆
=
± −
=
±
=
− = ⇒ = ⇒ =± = ⇒  + = ⇒ = ⇒ =

( )
,
2 4
0 0,
2 4(1)
0 0,
2 4
0,0
V
V
V
V
b
a a
− −∆ =  
 
 −
=  
 
 =  
 
=
Função do 2º Grau 175
Caro(a) aluno(a), nesse exemplo acima, 
percebemos que os pontos de OX, de OY e 
o Vértice são graficamente o mesmo ponto 
(0,0).
Assim teremos que escolher 
outros pontos aleatórios para 
representar o seu gráfico. 
Vamos lá?
Escolhendo outros pontos aleatórios. Atribuiremos qualquer valor para x e substituindo na 
função encontraremos o valor de y, formando pares ordenados. Veja a tabela:
x y = ‒ x2 (x , y)
–3 y = ‒( ‒3)2 → y = ‒ ( +9) → y = – 9 ( –3, – 9)
–2 y = ‒( ‒2)2 → y = – ( +4)→ y = – 4 ( –2 , – 4)
–1 y = ‒( ‒1)2 → y = – ( +1)→ y = – 1 ( –1, – 1)
0 y = ‒( 0)2 → y = – 0 → y = 0 ( 0 , 0)
1 y = –( 1)2 → y = – ( +1)→ y = – 1 ( 1, – 1)
2 y = –( 2)2 → y = – ( +4)→ y = – 4 ( 2 , – 4)
3 y = –( 3)2 → y = – ( +9)→ y = – 9 ( 3, – 9)
E para finalizar nosso estudo, distribuindo esses pontos no plano cartesiano e ligando-os, 
teremos o gráfico:
y
x
1 2 3-3 -2 -1
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
GESTÃO PEDAGÓGICA
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Ester Cristina Santos de Oliveira
PRODUÇÃO DE 
DESIGN MULTIMÍDIA
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
INFRA-ESTRUTUTURA E SUPORTE
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias N. Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
Síntese
Chegamos ao final deste módulo, onde o nosso direcionamento foi um estudo mais espe-
cífico da função quadrática no que diz respeito ao conceito e a construção do seu gráfico. 
Para tanto inicialmente resolvemos equações de 2º grau com algumas exemplificações e 
depois com construções de gráficos de algumas funções.
A série de aplicabilidades de função do 2º grau, tanto econômicas como as do nosso coti-
diano, serão abordadas no próximo módulo e como pré-requisito para esse aprendizado 
você precisará rever e ampliar os conceitos algébricos aprendidos até agora.
Através deste estudo, você pôde perceber e reconhecer a “função” permitindo o desen-
volvimento do raciocínio lógico-matemático, apropriando-se desses conhecimentos para, 
em situações-problema, interpretar, avaliar ou planejar quaisquer situações que necessi-
tem da utilidade das funções quadráticas.
Referências
IEZZI, Gelson. ET AL.Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos e Funções.
Volume 1, São Paulo: editora Atual,2009.
MORETTIN, Pedro A. ET AL. Cálculo.Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: 
Editora Saraiva, 2005.
TAN, S.T. Matemática aplicada a Administração e Economia. 5 ed. São Paulo: Pioneira 
Thomson Learning, 2001.
BARRETO FILHO, Benigno.Matemática. Volume único. São Paulo: FTD, 2000.
IAN, Jacques. Matemática para Economia e Administração. 6ª Ed, São Paulo: Pearson, 2010.
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