Aplicações da Função do 2º Grau

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RECONHECER UMA FUNÇÃO 
DO 2º GRAU 
CONSTRUIR E INTERPRETAR 
GRÁFICOS
E MUITO MAIS...
APLICAÇÕES COM 
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Matemática
Aplicada
Aplicações com Função do 2º Grau178
APLICAÇÕES COM 
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Prof.a Isabel Cristina Dias Alves Lisboa 
Prof.a Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!
E então, podemos começar?
Veremos nesse módulo a aplicabilidade do estudo da 
função de 2º grau, mas o seu êxito dependerá muito da sua 
dedicação, seu comprometimento e seu empenho!
Aplicações com Função do 2º Grau 179
APRESENTAÇÃO
Este estudo sobre as aplicações da função quadrática tem a finalidade de fazer você 
compreender e construir, por intermédio do conhecimento matemático adquirido, valores 
e atitudes de natureza diversa, visando a sua formação e a melhor compreensão de como 
chegamos aos conhecimentos atuais. Para tanto esperamos que você tenha um ensino 
que lhe possibilite análises, discussões e formulação de ideias.
Bons estudos!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo, você será capaz de:
• Reconhecer uma função do segundo grau;
• Associar a Teoria e a Prática, relacionando conceitos e aplicações práticas;
• Construir e interpretar gráficos;
• Utilizar e relacionar as situações-problema no modelo matemático para o estudo 
de função do 2º grau;
• Transformar a linguagem comum (escrita e falada) numa linguagem matemática 
(algébrica e gráfica);
• Aplicar a função quadrática em seu cotidiano.
Aplicações com Função do 2º Grau180
Função Quadrática
A função quadrática modela muitos fenômenos físicos, químicos e econômicos. É impor-
tante que a sua aprendizagem seja significativa, dessa forma, é fundamental que seja 
relacionado o formalismo matemático com suas aplicações no cotidiano.
Você verá que essas funções possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmen-
te em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, 
lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; 
nas áreas de Gestão (Administração, Contabilidade e Negócios) relacionando as funções 
custo, receita e lucro; e nas Engenharias, como na Civil presente nas diversas constru-
ções, e outras mais.
ATENÇÃO
Você notou que diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações, expostos nos 
meios de comunicação por meio dos jornais e revistas?
A presença dos gráficos é notada nos bancos, nos escritórios de contabilidade, nas fábricas, 
nos exames laboratoriais, nos rótulos dos produtos, nas informações de composição química 
de cosméticos, nas bulas de remédios,enfim em todos os lugares. 
Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos matemáticos e 
principalmente o que abordaremos nesse módulo, a função quadrática.
Como que um texto com ilustrações, é muito mais interessante, agradável e de fácil 
compreensão do que aqueles que só contemplam palavras, não é mesmo!
Para tanto, a Função Quadrática não será colocada aqui apenas na forma conceitual, mas 
apresentando a sua utilização em muitas áreas do conhecimento, visando a inserção da 
matemática no nosso cotidiano. 
Portanto o seu comprometimento com o estudo por meio da pesquisa, levantamento de 
dados, análise de resultados obtidos, questionamentos e debates, tornará a aplicação da 
matemática prazerosa a partir do momento em que seus conteúdos se relacionamcom as 
situações concretas.
Aplicações com Função do 2º Grau 181
Caro(a) aluno(a), à partir de agora você vai 
ver alguns exemplos de funções quadráticas 
utilizadas em vários ramos das ciências, 
observe com atenção!
APLICAÇÕES ECONÔMICAS UTILIZANDO 
A FUNÇÃO QUADRÁTICA
As funções econômicas são expressões matemáticas responsáveis por representar situ-
ações envolvendo todas as movimentações da empresa, principalmente as financeiras, 
com base no custo, na receita e no lucro. Quando relacionamos esta movimentação 
financeira estamos gerando fórmulas matemáticas, utilizando ferramentas capazes de 
determinar o lucro máximo ou mínimo da fabricação, venda ou prestação de serviços.E 
assim é possível se ter o Fluxo de Caixa da empresa, ou seja, a representação das entra-
das e saídas de dinheiro. E com base nesse estudo é possível fazer uma melhor análise da 
rentabilidade dos negócios realizados, como também elaborar os gráficos, que possuam 
uma metodologia mais ampla sobre os dados financeiros. Veja algumas dessas relações, 
ou seja, dessas funções.
Função Custo Total:
Os custos de empresas são classificados em duas categorias: fixos (CF) e variáveis (CV). 
Os custos fixos permanecem constantes em todos os níveis de produção e incluem comu-
mente fatores tais como aluguel, instalação, equipamentos, etc. Ele permanece constante, 
independentemente de volume de produção ou de venda. Os custos variáveis são aqueles 
que variam com a produção e que incluem fatores tais como mão-de-obra, matéria prima 
utilizada, gastos promocionais, etc.O custo total (CT) em qualquer nível de produção é a 
soma do custo fixo (CF) e do custo variável (CV) nesse nível de produção.
CT = CF + CV
Aplicações com Função do 2º Grau182
TOME NOTA
Uma função C que associa a produção de uma quantidade q de algum bem ao custo total é 
chamada de função custo.
O Custo Variável depende da quantidade 
produzida, e é o custo unitário multi-
plicado pela quantidade. No entanto o 
Custo Fixo não depende da quantidade 
produzida.
Veja o exemplo: 
Suponha que você seja dono de uma 
grande fabrica que produz pares de 
sapatos. A fábrica, o maquinário e o 
galpão são necessários para come-
çar a produção, denominados custos 
fixos, pois tais custos existem ainda que 
nenhum par de sapatos seja produzido. Por 
exemplo, os custos de trabalho e matéria prima 
são variáveis, pois tais quantias dependem da quanti-
dade de sapatos feitos.
Assim o Custo Total dessa fabrica (ou qualquer que seja a empresa) é dado pela fórmula:
CT = CF + CV,
em que CT é o Custo Total, CF é o Custo Fixo e CV é o Custo Variável da produção. 
Nesse exemplo, a fábrica de sapatos tem como custo fixo a importância de $ 160.000 e 
o custo unitário o valor $ 48. Nessas condições podemos expressar a função Custo Total 
com base nos dados:
CF = 160.000
CV = q . custo unitário
Custo unitário: custo unitário = $ 48
Quantidade produzida: q
assim:
CT = CF + CV
CT = 160.000 + 48.q
Na produção de q unidades, verificou–se que C(q) = 160.000 + 48q que é uma função 
de 1º grau. 
Aplicações com Função do 2º Grau 183
(mil $)
q0 1000 (quantidade de 
pares de sapato)
208
160
C
O exemplo a seguir ilustra outro tipo de Função Custo Quadrática:
Imagine que certa fabrica produz x unidades de um bem, e que o 
custo dessa produção em reais seja dado pela equação: 
C = x² – 80x + 3000. 
Com base nessa equação, vamos determinar a quantidade de unidades 
produzidas quando o custo for mínimo.
Lembrando que a função do 2º grau é dada por: y = ax2 + bx + c, temos a função 
equivalente dada por: C = x² – 80x + 3000
Temos:
y = C
a = +1
b = ‒ 80 
c = + 3000
A quantidade de unidades produzidas desse bem para que o custo seja mínimo será dado 
pela abscissa do vértice: xv.
Agora vamos determinar qual é esse o valor mínimo de custo. Mas como vimos acima, a 
quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo é de 40 peças, assim o 
valor mínimo do custo será encontrado por meio da ordenada do vértice:
2
( 80)
2.(1)
80
2
40
V
V
V
V
bx
a
x
x
x
−
=
− −
=
=
=
Aplicações com Função do 2º Grau184
O valor mínimo do custo dessa produção será de R$ 1.400,00.
A representação gráfica de C = x² – 80x + 3000 é a parábola abaixo:
Função Receita
A Função Receita é diretamente proporcional à quantidade vendida, ou seja, éo produto 
entre o preço de venda (p) e a quantidade vendida (q). 
Assim a função R que associa a venda de uma quantidade q de algum produto ao valor 
monetário p é chamada de Função Receita.
Se representarmos o preço por p e a quantidade vendida por q, teremos a função Receita 
dada por: 
RT = p. q
TOME NOTA
É indiferente indicar a quantidade de um determinado produto por “x” ou por “q”.
Como o preço é constante, ou seja, o preço não depende da quantidade vendida, o gráfico 
da receita em função da quantidade q de um determinado produto é uma reta que começa 
na origem, isto é, uma Função do 1º Grau Linear, como foi estudado no módulo Função 
do 1º Grau.
Em operações comerciais, diversos fatores contribuem para a formação da receita 
2
4
[( 80) 4.(1).(3000)]
4.(1)
[6400 12000]
4
( 5600)
4
5600
4
1400
V
V
V
V
V
V
y
a
y
y
y
y
y
−∆
=
− − −
=
− −
=
− −
=
=
=
3000
x
1400
0 40
Aplicações com Função do 2º Grau 185
proveniente do volume de vendas, entre eles estão o volume de produção e o potencial de 
mercado, porém, em alguns casos o rendimento total da empresa será somente função da 
quantidade vendida. O nosso interesse nesse módulo são as funções quadráticas, quando 
o preço é dado pela equação de demanda de um bem, a equação da Receita não será 
linear, e sim quadrática, que será o nosso alvo de estudo.
Acompanhe o exemplo:
Em uma empresa, para um determinado bem, tem-se o preço de venda dado pela equação 
p = 10 – q, onde p é o preço e q a quantidade vendida. Diante disso, podemos determinar 
a função receita e sua análise gráfica através do desenvolvimento a seguir:
Função Receita:
R = p.q
R = ( 10 – q ) . q
R = 10q – q2
Podemos determinar inicialmente a quantidade que maximiza (valor mais expressivo da 
curva) esta receita pela abscissa do vértice (ponto mais alto da curva) assim:
2V
bx
a
−
= que dará a quantidade que maximiza a receita.
Vamos inicialmente determinar esse valor, ou seja, essa quantidade.
Temos: R = – q2 + 10q
a = – 1 
b = + 10 
c = 0
Assim:
Essa quantidade maximiza a Receita.
Agora vamos calcular de duas maneiras a Receita correspondente a quantidade 5, ou seja, 
a Receita Máxima:
1º modo: Substituindo x = 5 na equação da Receita:
R = – q2 + 10q
R = – (5)2 + 10.(5)
R = –25 + 50
R = 25
2
10
2( 1)
10
2
5
V
V
V
V
bx
a
x
x
x
−
=
−
=
−
−
=
−
=
Aplicações com Função do 2º Grau186
2º modo: Utilizando a fórmula do yv
Ou seja, para obter a Receita Máxima de $25 a quantidade produzida e vendida é 5. 
A seguir calcularemos o preço que o empresário deverá vender o produto para obter a 
Receita Máxima.
O preço será calculado substituindo xv na função dada:
p = 10 – q
p= 10 – 5
p = 5
Veja a representação gráfica da Receita:
Assim, a Receita é uma função de 2º Grau e seu gráfico é uma parábola como a figura 
abaixo:
Função Lucro
O Lucro Total de uma empresa é a diferença entre as funções Receita e o Custo, que é 
dado pela fórmula:
LT = RT – CT
em que LT é o Lucro Total, RT é a Receita Total e CT é o Custo Total da produção.
2
2
2
( 4. . )
4
[10 4.( 1).0]
4.( 1)
[100 0]
4
100
4
25
V
V
V
V
V
V
by
a
b a cy
a
y
y
y
y
−
=
− −
=
− − −
=
−
− −
=
−
−
=
−
= +
25
0 5 10 q
R
Aplicações com Função do 2º Grau 187
Veja os exemplos a seguir:
1) No exemplo anterior, podemos considerar a função Custo como: 
 C = 20 + q,
ou seja, o Custo e a Receita são, respectivamente, as funções:
 C = 20 + q
 R = – q2 + 10q
Temos o Lucro que é determinado pela equação:
L = R – C 
L = – q2 + 10q – ( 20 + q )
L = – q2 + 10q – 20 ‒ q 
L = – q2 + 9q – 20
O gráfico dessa função Lucro é a parábola:
2) Na produção de x unidades de certo produto, verificou–se que a função Receita é dada 
por R(x) = 6000x – x² e a função Custo pela equação C(x) = x² – 2000x. Nessas 
condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo?
Inicialmente vamos determinar a função Lucro:
x4-20 4,5 5
L
1
4
2 2
2 2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) 6000 ( 2000 )
( ) 6000 2000
( ) 8000 2
( ) 2 8000
V
L x R x C x
L x x x x x
L x x x x x
L x x x y V
L x x x
= −
= − − −
= − − +
= −
= − +
Xv
yv
x
y
Aplicações com Função do 2º Grau188
Como você percebeu a função possui o coeficiente a negativo (a= ‒2), ou seja, a pará-
bola tem a concavidade voltada para baixo, e sendo assim, ela possui um ponto de maior 
valor, que será considerado o lucro máximo da função. Portanto o lucro máximo está 
associado ao valor da ordenada yV do vértice e o número de produtos fabricados com o 
valor do xV do vértice, cujas coordenadas são dadas por:
O Lucro máximo é obtido por meio da ordenada do vértice:
Assim o valor que gera o lucro máximo é de 8.000.000.
E o número de unidades produzidas visando o lucro máximo é dado pela abscissa do 
vértice:
Portanto são necessárias 2000 unidades para se obter um lucro máximo.
Vamos Construir o gráfico dessa situação-problema:
,
2 4
bV
a a
− −∆ =  
 
2
2
4
( 4. . )
4
[8000 4.( 2).0]
4.( 2)
[64.000.000 0]
8
64.000.000
8
8.000.000
V
V
V
V
V
V
y
a
b a cy
a
y
y
y
y
−∆
=
− −
=
− − −
=
−
− −
=
−
−
=
−
= +
2
8000
2( 2)
8000
4
2.000
V
V
V
V
bx
a
x
x
x
−
=
−
=
−
−
=
−
=
x2000
8.000.000
y
V
L
Aplicações com Função do 2º Grau 189
Ponto de Nivelamento ou Break Even Point 
Os pontos de nivelamento são aqueles que tornam o lucro nulo, ou seja, igual a zero, e 
isto acontece quando a Receita se iguala com o Custo.
A função demanda de um produto é dada por p = 15 – x e a função custo é dada por 
C = 30 + x. 
Assim vamos determinar alguns itens relativos a esses dados:
a) A equação da Função Receita;
 Como a Receita é o produto do preço de venda pela quantidade vendida, temos:
P = 15 ‒ x
C = 30 + x
q = x
Então:
R = p.q
R= (15 ‒ x ) . x
R= 15x – x2
R = – x2+ 15x
b) A representação gráfica da Função Receita. 
A função Receita é dada pela equação: R = – x2+ 15x,
Onde:
a = ‒1
b = 15
c = 0
Para representar esta função de 2º Grau, vamos determinar os pontos especiais que são 
os pontos do eixo OX (raízes), o Vértice e o ponto do eixo OY.
Os Pontos do eixo OX: ( x , 0 )
Assim vamos inicialmente calcular o discriminante ( ∆ =b2 – 4ac), temos:
∆ = ( 15)2 ‒ 4.(‒1).(0)
∆ = 225
Determinando as raízes 
2 4
2
b b acx
a
− ± −
= , teremos:
Vamos para o exemplo a seguir, onde 
abordamos tudo que foi aprendido até agora 
nesse módulo, me acompanhe!
Aplicações com Função do 2º Grau190
Os pontos do eixo OX são: (0,0) e (15,0)
As coordenadas do Vértice: ,
2 4
V
b
a a
∆ = − − 
 
 e
 e
 e
 e
O vértice é: 
15 225,
2 4
V   
 
 ou V = ( 7,5 ; 56,25)
As coordenadas do ponto de OY é: ( 0, c)
C = 0 → ( 0 , 0 )
Localizando esses pontos no plano e ligando-os temos o gráfico dessa Função Receita:
56,25
0 7,5 15 x
R
c) A Receita máxima e o preço que a maximiza:
 A Receita máxima é o yv , ou seja, quando y = 56,25
 E o preço que a maximiza é quando x = xv = 7,5, assim temos:
 p = 15 – x 
 p = 15 – 7,5 
 p = 7,5
2(15) (15) 4( 1).(0)
2( 1)
15 225
2
15 15 1515 15 2
15 152 0
2
x
x
x x
x
x x
− ± − −
=
−
− ±
=
−
− − = ⇒ =− ±  −=  − +−  = ⇒ =
 −
4
225
4
225
4
56,25
V
V
V
V
y
a
y
y
y
∆
= −
= −
−
=
=
2
15
2( 1)
15
2
7,5
VV
V
V
bX
a
X
X
X
= −
= −
−
=
=
Aplicações com Função do 2º Grau 191
d) A equação da função Lucro;
 Entende-se por Lucro a diferença entre a Receita e o Custo:
 L = R – C 
 Temos a Receita R = – x2 + 15x e o Custo C = 30 + x, então:
 L = – x2 + 15x – (30+x)
 L = – x2 + 15x – 30 – x
 L = – x2 + 14x – 30
e) O gráfico que representa a função lucro.
Como esta função também é de 2º Grau, vamos determinar os pontos especiais da 
parábola, onde:
a = ‒1 
b= 14
c = ‒30 
Assim vamos inicialmente calcular o discriminante ( ∆ =b2 – 4ac), temos:
∆ = ( 14) 2 ‒ 4.(‒1).(‒ 30)
∆ = 196 – 120
∆ = 76
Determinando as raízes 
2 4
2
b b acx
a
− ± −
=
Os pontos do eixo OX são: ( ≅ 11,36 ; 0) e ( ≅ 2,64 ; 0)
As coordenadas do Vértice: ,
2 4
V
b
a a
∆ = − − 
 
 e
 e
 e
 e
(14) 76
2( 1)
(14) 2 19
2
14 2 19 11,3614 2 19 2
2 14 2 19 2,64
2
x
x
x x
x
x x
− ±
=
−
− ±
=
−
 − −
= ⇒ ≅− ±  −= 
− − + = ⇒ ≅ −
4
76
4
76
4
19
V
V
V
V
y
a
y
y
y
∆
= −
= −
−
=
=
2
14
2( 1)
14
2
7
V
V
V
V
bX
a
X
X
X
= −
= −
−
=
=
Aplicações com Função do 2º Grau192
O vértice é: V ( 7 ,19 )
As coordenadas do ponto de OY é: ( 0, c)
C = 0 → ( 0, – 30 )
Localizando esses pontos no plano e ligando-os temos o gráfico dessa Função Lucro:
f) O lucro máximo e o preço que o maximiza.
 O lucro máximo é quando y = yv , ou seja, yv= 19 é a Receita Máxima.
 E o preço que a maximiza é:
 p = 15 – x
 p = 15 – (xv)
 p = 15 – 7
 p = 8
g) Os pontos de nivelamentos.
 Isto acontece quando a Receita é igual ao Custo, assim temos:
 R= 15x – x2 e C = 30 + x 
 R = C
 – x2+ 15x = 30 + x
 – x2+ 15x – 30 – x = 0
 – x2+ 14x – 30 = 0
Ou seja, é quando o Lucro se anula, e nesse caso são os zeros da função (raízes), que por 
sua vez já foram calculadas acima, que são:
x ≅ 11,36 e x ≅ 2,64
Substituindo ou em C = 30 + x ou em R = – x2+ 15x, teremos:
Para x ≅ 11,36 , então: 
C = 30 + 11,36
C = 41,36
72,640
-30
19
11,36 x
L
Aplicações com Função do 2º Grau 193
Para x ≅ 2,64, então:
C = 30 + 2,64
C = 32,64
Portanto os Pontos de Nivelamentos (PN) são:
PN1 = ( 11,36 ; 41,36) e PN2=(2,64 ; 32,64)
A representação gráfica das funções Custo e Receita num mesmo plano cartesiano, 
destacando os Pontos de Nivelamentos
OUTRAS ÁREAS DE APLICAÇÕES COMUNS 
UTILIZANDO A FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função quadrática modela muitos fenômenos físicos e químicos, por isso, é importante 
que a aprendizagem desta função seja significativa para você, sendo assim vamos, de 
maneira agradável, relacionar o formalismo matemático com as suas aplicações no coti-
diano, veja os exemplos:
1) Física e Entretenimento: Jogo de futebol: lançamento oblíquo
Veja um caso de aplicação prática da função de 2º grau: o lançamento oblíquo.
Durante uma partida de futebol, quando o jogador faz um lançamento para um compa-
nheiro, observa-se que a trajetória descrita pela bola é uma parábola. A altura máxima 
atingida pela bola é o vértice da parábola e a distância que separa os dois jogadores é 
o alcance máximo da bola. Para aprender sobre o movimento de um projétil aplicado ao 
futebol, quando o jogador chuta a bola, temos que examinar os seguintes fatores: a velo-
cidade ou a rapidez com que a bola deixa o pé do jogador que determinará quanto tempo 
a bola permanecerá no ar (tempo de suspensão);
• o ângulo do chute ajuda a determinar a distância que a bola percorrerá;
Quando a bola deixa o pé do jogador, ela está se movendo em determinada velocidade (a 
aceleração mais o ângulo de direção), dependendo da força com que ele chuta a bola. A 
bola se move em duas direções, horizontal e vertical. Veja a figura abaixo:
C, R
x
PN1
30
0
PN2
Aplicações com Função do 2º Grau194
IMPORTANTE
A rapidez da bola na direção horizontal e a rapidez da bola na direção vertical dependem do 
chute inicial (ângulo):
• Se a bola for chutada em um ângulo agudo, terá mais velocidade na direção vertical do 
que na horizontal: a bola irá alto e terá um tempo de suspensão longo, mas percorrerá 
uma distância curta. 
• Se a bola for chutada em um ângulo raso, terá mais velocidade na direção horizontal 
do que na vertical: a bola não irá tão alto e terá um tempo de suspensão curto, mas 
percorrerá uma grande distância. 
O jogador que chuta deve decidir o melhor ângulo em vista de sua posição no campo. Estas 
mesmas variáveis influenciam um passe ou um tiro de campo. No entanto, o jogador que bate 
o tiro de campo tem uma tarefa mais difícil, porque em geral a bola atinge sua altura máxima 
antes chegar às traves.
Continuando com o jogo de futebol, o movimento da bola lançado para cima verticalmen-
te, após o chute de um jogador foi descrito pela equação y = – x2 + 5x,onde y é a altura, 
em metros, atingida pela bola x segundos após o lançamento. Vamos determinar a altura 
máxima atingida e o tempo que essabola permanece no ar.
Pelos dados do problema temos:
1
5
0
a
b
c
= −
 =
 =
Aplicações com Função do 2º Grau 195
Assim para obter a altura máxima atingida pela bola basta calcular a ordenada yv do 
vértice:
E essa altura máxima é atingida após o tempo determinado pela abscissa xv do vértice:
Assim aos 2,5 segundos teremos a altura máxima de 6,25 metros.
2) Engenharia: construção Civil
CURIOSIDADE
A Ponte Suspensa, também chamada pendente, pode vencer distâncias ainda maiores que 
as em aço ou em viga, de até 2.100m. Com o desenvolvimento tecnológico e da engenha-
ria, os tirantes de corda transformaram-se em enormes cabos de aço. A ponte suspensa 
funciona estruturalmente como um arco invertido, formado por um cabo de aço num formato 
parabólico.
2
2
4
( 4 )
4
[(5) 4( 1).(0)]
4( 1)
[25 0]
4
25
4
25
4
6,25metros
V
V
V
V
V
V
V
y
a
b acy
a
y
y
y
y
y
−∆
=
− −
=
− − −
=
−
− −
=
−
−
=
−
=
=
2
5
2( 1)
5
2
5
2
2,5 segundos
V
V
V
V
V
bx
a
y
y
y
y
−
=
−
=
−
−
=
−
=
=
Aplicações com Função do 2º Grau196
Instalada sobre o Rio Pinheiros, em São Paulo, a ponte Octavio Frias de Oliveira é a maior 
ponte estaiada em curva do mundo (formato parabólico). Sua torre de 138 metros está 
conectada a 144 cabos de aço na extensão das duas pistas de 900 metros cada.
Abaixo temos uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco parabólico:
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da 
estrada e a distância entre dois quaisquer pontos 
consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos 
de sustentação são todos perpendiculares ao plano 
da estrada e que a altura do elemento central CG 
é 20m.
Pede-se:
a) Representar essa função graficamente no plano XOY, 
admitindo-se que o ponto A esteja na origem do sistema cartesiano.
Pelos dados do problema temos: 
• O ponto A (0,0)
• a distância horizontal entre dois pontos quaisquer é sempre constante e vale 25m;
• a altura máxima é em CG e vale 20m.
Então:
1007550250
A
B
C
D
EF G H
x
y
A B
C
D
F
G H
E
Aplicações com Função do 2º Grau 197
b) determinar a função representativa dessa situação-problema:
A função é do 2º Grau: y = ax2 + bx + c, portanto basta termos 3 pontos quaisquer, que 
determinaremos essa função.
Temos: A ( 0,0 ), C ( 50, 20 ) e E ( 100, 0 )
Para A ( 0,0 ) → y = ax2 + bx + c
 0 = a (0)2 + b (0) + c
 0 = c
Para C ( 50, 20 ) → y = ax2 + bx + c
20 = a (50)2 + b (50) + 0
20 = 2500a + 50b
Simplificando, membro a membro, por 10 ( princípio multiplicativo)
2 = 250a + 5bou 250a + 5b = 2
Para E ( 100,0 ) → y = ax2 + bx + c
0 = a(100)2 + b(100) + 0
0 =10.000a + 100b
Simplificando, membro a membro,por 100 (princípio multiplicativo)
0 = 100a + b ou 100a + b = 0
Resolvendo o sistema:
Pelo método da Adição, multiplicamos a segunda equação pelo número –5, e somando 
membro a membro das equações teremos:
 (princípio multiplicativo)
 (princípio multiplicativo)
250 5 2
100 0
a b
a b
+ =
 + =
250 5 2
100 5 0
250 2
250 2
2
250
1
125
a b
a b
a
a
a
a
+ =
 − =
− =
= −
−
=
= −
Aplicações com Função do 2º Grau198
Para o valor de b teremos:
 (princípio multiplicativo)
Simplificando a fração por 25 teremos:
Finalmente temos: 
1
125
a = − , 
4
5
b = e c= 0, assim a equação é:
c) determine a altura de DH desse arco;
A altura DH é definida quando x = 75, assim:
100 0
0 100
1100
125
100
125
a b
b a
b
b
+ =
= −
 = − − 
 
= +
100 : 25
125 : 25
4
5
b
b
= +
=
2
2
2
1 4 0
125 5
1 4
125 5
y ax bx c
y x x
y x x
= + +
= − + +
= − +
21 4.(75) (75)
125 5
1 5625 4 75.
125 1 5 1
5625 4.(75)
125 5
5625 :125 300 :5
125 :125 5 :5
45 60
1 1
45 60
15
y
y
y
y
y
y
y
= − +
   = − +   
   
= − +
= − +
= − +
= − +
=
Aplicações com Função do 2º Grau 199
A altura DH é igual a 15 metros. E finalmente o gráfico é:
100 (m)
(metros)
7550250
20
15 B
C
D
x
y
3) Medicina: gripe ou resfriado?
SAIBA MAIS 
Na cultura brasileira qualquer espirro é sinônimo de gripe. Mas não é verdade, nem sempre se 
trata de uma doença. Gripe e resfriados são doenças virais e vão muito além de um simples 
espirro. Embora os sintomas sejam semelhantes, os da gripe são bem mais intensos do que 
os resfriados. E para isto há os especialistas no assunto: os médicos.
Vamos considerar como exemplo, uma localidade, que durante um rigoroso inverno, 
sofreu uma epidemia de gripe. Segundo os dados recolhidos por técnicos e peritos da 
saúde, foram feitos coletas e que geraram a modelagem matemática do fenômeno, ou 
seja, o número de pessoas infectadas “N” ao final de “t” dias do mês de junho, dado 
pela equação:
N(t) = ‒ 16t 2 + 480 t, 0 ≤ t ≤ 30
Pede-se:
a) Determinar em que dia de junho, o número de pessoas infectadas com gripe se anulará.
 Como você viu, a função é do 2º grau, e consequentemente sua curva é a parábola 
CVB.
 Temos:
16
480
0
a
b
c
= −
 =
 =
Aplicações com Função do 2º Grau200
Os pontos que tornam a função nula ( N = 0 ) são as abscissas (raízes da equação) dos 
pontos pertencentes ao eixo OX:
Assim no dia 30 de junho a epidemia acabou.
b) Qual o número máximo de pessoas infectadas que foram registradas nessa cidade, e 
em que dia do mês de junho isso ocorreu?
Para saber o dia em que a epidemia atingiu o seu ápice, basta calcular as coordenadas do 
vértice onde:
xv nos dará o dia que ocorreu esse ápice e yv qual foi esse ápice.
Assim sendo temos:
E o valor máximo obtido será de:
Portanto no dia 15 de junho acontecerá o ápice da doença, ou seja, serão 3.600 pessoas 
infectadas.
2
2
2
2
( ) 16 480
16 480 0 0
4
2
480 ( 480) 4( 16).(0)
2( 16)
480 230.400
32
0480 480
3032
N t t t
t t
b b act
a
t
t
t
t
t
= − +
− + + =
− ± −
=
− ± − − −
=
−
− ±
=
−
=− ±
= ⇒  =− 
início da epidemia
término da epidemia
2
480
2( 16)
480
32
480
32
15
V
V
V
V
V
bx
a
x
x
x
x
−
=
−
=
−
−
=
−
=
=
230.400
4( 16)
230.400
64
230.400
64
3.600
V
V
V
V
V
y
y
y
y
y
= −∆
−
=
−
−
=
−
=
=
Aplicações com Função do 2º Grau 201
c) O Presidente do hospital municipal dessa cidade, necessitando de dados, perguntou 
aos técnicos responsáveis pela pesquisa, como estava a situação no dia 25 de junho 
do mês em questão:
No dia 25 de junho ( t =25), teremos:
N(t) = ‒16t2 + 480 t
N(t) = ‒16(25)2 + 480(25)
N(t) = ‒10.000 + 12.000
N(t) =2.000
No dia 25 de junho serão 2.000 pessoas infectadas.
d) Represente graficamente essa situação-problema.
 N(t) = - 16t2 + 480t é uma parábola CVB onde os pontos especiais são dados pela 
tabela abaixo:
t N(t) = ‒ 16t 2 + 480t ( t , N )
0 N= ‒16.02 + 480.(0) → N =0 ( 0, 0)
15 N= ‒16.152 + 480.(15) → N=3.600 (15, 3600)
30 N= ‒16.302 + 480.(30) → N =0 ( 30, 0)
Localizando esses pontos no plano e ligando-os teremos a parábola:
50 10 15 20 25 30
1000
2000
3000
4000 V(15,3600)
T (dias de junho)
CURIOSIDADE
Antenas Parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite 
um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabó-
lica, uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e, ocor-
rerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominada o foco da parábola, 
onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal 
que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e 
outros programas que você assiste normalmente.
Aplicações com Função do 2º Grau202
Caro(a) aluno(a), viu como estas 
aplicações fazem parte de nosso 
cotidiano, e nem percebemos?
Espero que você tenha 
compreendido bem todos os 
exemplos.
Até nosso próximo módulo!
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
GESTÃO PEDAGÓGICA
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Ester Cristina Santos de Oliveira
PRODUÇÃO DE 
DESIGN MULTIMÍDIA
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Matheus Guerra de Araújo
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
INFRA-ESTRUTUTURA E SUPORTE
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA 
Profa. Isabel Cristina Dias Alves Lisboa
Profa. Stella Maris Dias N. Costa Pinto
BELO HORIZONTE - 2013
Síntese
Chegamos ao final deste módulo, onde o nosso direcionamento foi um estudo mais espe-
cífico da função quadrática no que diz respeito ao conceito e a construção do seu gráfico. 
Para tanto inicialmente resolvemos equações de 2º grau com algumas exemplificações e 
depois com construções de gráficos de algumas funções.
A série de aplicabilidades de função do 2º grau, tanto econômicas como as do nosso coti-
diano, serão abordadas no próximo módulo e como pré-requisito para esse aprendizado 
você precisará rever e ampliar os conceitos algébricos aprendidos até agora.
Através deste estudo, você pôde perceber e reconhecer a “função” permitindo o desen-
volvimento do raciocínio lógico-matemático, apropriando-se desses conhecimentos para, 
em situações-problema, interpretar, avaliar ou planejar quaisquer situações que necessi-
tem da utilidade das funções quadráticas.
Referências
IEZZI, Gelson. ET AL.Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos e Funções.
Volume 1, São Paulo: editora Atual,2009.
MORETTIN, Pedro A. ET AL. Cálculo.Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: 
Editora Saraiva, 2005.
TAN, S.T. Matemática aplicada a Administração e Economia. 5 ed. São Paulo: Pioneira 
Thomson Learning, 2001.
BARRETO FILHO, Benigno.Matemática. Volume único. São Paulo: FTD, 2000.
IAN, Jacques. Matemática para Economia e Administração. 6ª Ed, São Paulo: Pearson, 
2010.
DOMINGUES, HyginoH. ; IEZZI, Gelson, Álgebra Moderna, 4ª ed, São Paulo: Atual,2003.
SITES
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes.htm