Provas AV2 Pilar

Prévia do material em texto

1 
 
PROVAS AV2 DE CONCRETO 2 - PILAR 
 
Questão (cód. 216334) 
 
Seja um pilar de canto com fck=20 MPa e seção de 20 x 40 cm, conforme a figura. 
 
1 - Utilize o processo simplificado da NBR 6118 para determinar as excentricidades de 1º 
ordem, sabendo que: 
 
• A viga V101 possui seção de 12x30 cm e vão de 4 m carregado por 22,2 KN/m; 
• A viga V103 possui seção de 12x50 cm e vão de 6 m carregado por 10,0 kN/m; 
• O pilar possui 3,40 m de comprimento de flambagem nas duas direções e esforço 
normal de 816 KN. 
 
2 - Classifique o pilar quanto à esbeltez nas duas direções e, se for o caso, determine as 
excentricidades de 2º ordem. 
3 - Determine as excentricidades acidentais e também as associadas aos momentos mínimos. 
4 - Determine as excentricidades finais e as respectivas taxas de armadura com utilização do 
ábaco adequado. 
5 - Apresente um croqui com detalhamento da armadura de pilar, incluindo a armadura 
transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
���� (���	�) 
���� (�����) P1 
 (�����) 
2 
 
1º Passo: Verificar dados da questão 
- Tipo de concreto: ��� − ��� = �� ��� 
- Valor da força normal: �� = ��� �� 
- Comprimento equivalente de flambagem 
 ��� = ��� = �, �� � = ��� �� 
- Dados da seção transversal ℎ� � ℎ e calcular o (� 
Seção 20 x 40 cm 
)* = ℎ� � ℎ 
)* = 20 -. � 40 -. 
(� = ��� ��� 
 
 
2º Passo: Calcular o esforço solicitante 
01 = 23 � 24 � 05 
01 = 1,0 � 1,4 � 816 90 
�: = ����, � �� 
 
3º Passo: Resolver o que é pedido na questão 
3.1 - Utilize o processo simplificado da NBR 6118 para determinar as excentricidades de 1º 
ordem. 
 
 
 
ℎ� = 20 -. 
ℎ =
40 -
. 
3 
 
Direção x: 
- Cálculo do ;5,<3=>?@>1A 
 
 
;5,<3=>?@>1A = B � CD12 = 22,2 � 4
D
12 = 29,6 90. . = �G�� ��. �� 
 
- Cálculo do HIJK>@ HI,?LI<@JA@ HI,J34<@JA@ 
HIJK>@ = HI,?LI<@JA@ = HI,J34<@JA@ = 
M � ℎ�N12C<�2
= 
40 � 20N12340 2
= �	�, G ��� 
 
- Cálculo do HPJ=> 
HPJ=> = 
M � ℎN12C<4 (QãS TUTVWQS) = 
12 � 30N12400 -. = �X, 	 ��� 
 
- Cálculo do momento fletor solicitante na base e no topo 
;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ = ;5,<3=>?@>1A � @YZ[\]@Y,^_Y`]Za]b @cZd\b @Y,Zef`]Za] 
 
;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ = 2960 90. -. � ghi,j *klghi,j *klb im,h *klb ghi,j *kl 
 
��,no��pnqp = ��,rst�pnqp = ���� ��. �� 
 
- Cálculo do momento fletor total na base e no topo 
;5,uAIA = − ;5,v>?< = ;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ + ;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@2 
 
B = 22,2 90/. 
C = 4 . 
4 
 
;5,uAIA = − ;5,v>?< = 1218 + 12182 
��,yqtq = − ��,z�r� = ���X ��. �� 
 
- Majorar o momento fletor 
;1,uAIA = − ;1,v>?< = ;5,uAIA = − ;5,v>?< � 1,4 
;1,uAIA = − ;1,v>?< = 1827 � 1,4 
�:,yqtq = − �:,z�r� = �		X, � ��. �� 
 
- Calcular a excentricidade de 1° ordem na direção x 
Tg� = ;1,uAIA = − ;1,v>?<01 = 
2557,8 90. -.1142,4 90 
��� = �, �� �� 
 
Direção y: 
- Cálculo do ;5,<3=>?@>1A 
 
 
;5,<3=>?@>1A = B � CD12 = 10,0 � 6
D
12 = 30 90. . = ���� ��. �� 
 
- Cálculo do HIJK>@ HI,?LI<@JA@ HI,J34<@JA@ 
HIJK>@ = HI,?LI<@JA@ = HI,J34<@JA@ = 
M � ℎ2N12C< 2
= 
20 � 40N12340 2
= ��X, 	 ��� 
 
 
 
B = 10,0 90/. 
C = 6 . 
5 
 
- Cálculo do HPJ=> 
HPJ=> = 
M � ℎN12C<4 (QãS TUTVWQS) = 
12 � 50N12600 -. = ���, � ��� 
 
- Cálculo do momento fletor solicitante na base e no topo 
;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ = ;5,<3=>?@>1A � @YZ[\]@Y,^_Y`]Za]b @cZd\b @Y,Zef`]Za] 
 
;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ = 3000 90. -. � iDm,h *kliDm,h *klb D}~,N *klb iDm,h *kl 
 
��,no��pnqp = ��,rst�pnqp = ����, 	 ��. �� 
 
- Cálculo do momento fletor total na base e no topo 
;5,uAIA = − ;5,v>?< = ;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ + ;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@2 
 
;5,uAIA = − ;5,v>?< = 1286,5 + 1286,52 
��,yqtq = − ��,z�r� = �G�G, � ��. �� 
 
- Majorar o momento fletor 
;1,uAIA = − ;1,v>?< = ;5,uAIA = − ;5,v>?< � 1,4 
;1,uAIA = − ;1,v>?< = 1929,8 � 1,4 
�:,yqtq = − �:,z�r� = �X��, X ��. �� 
 
- Calcular a excentricidade de 1° ordem na direção x 
Tg = ;1,uAIA = − ;1,v>?<01 = 
2701,7 90. -.1142,4 90 
��� = �, �� �� 
 
 
 
 
6 
 
3.2 - Classifique o pilar quanto à esbeltez nas duas direções e, se for o caso, determine as 
excentricidades de 2º ordem. 
- Cálculo do momento fletor mínimo 
 
np�çãq � 
;g1,kJ3,� = 01 (1,5 + (0,03 � ℎ�)‚, -S. ℎ T. -. 
;g1,kJ3,� = 1142,4 (1,5 + (0,03 � 20 -.)‚ 
��:,�no,� = ��GG, �� ��. �� ≤ ��: = �		X, � ��. �� 
 
np�çãq � 
;g1,kJ3, = 01 „…1,5 + (0,03 � ℎ †‡, -S. ℎ T. -. 
;g1,kJ3, = 1142,4 (1,5 + (0,03 � 40 -.)‚ 
��:,�no,� = ����, 	 ��. �� ≥ ��: = �X��, X ��. �� 
 
- Índice de esbeltez 
np�çãq � 
‰� = 3,46 � C<�ℎ� =
3,46 � 340 -.20 -. 
Š� = 	�, �� 
 
np�çãq � 
‰ = 3,46 � C< ℎ = 
3,46 � 340 -.40 -. 
Š� = �G, �� 
 
- Esbeltez limite 
Direção x: 
Momento fletor mínimo menor que o momento de 1° ordem 
��:,�no,� = ��GG, �� ��. �� ≤ ��: = �		X, � ��. ��, o que leva ao cálculo de 
‹v , conforme a fórmula abaixo: 
‹v = 0,6 + 0,4 � ;Œ;> ≥ 0,4 
7 
 
‹v = 0,6 + 0,4 � (−2557,8)2557,8 = 0,2 ≤ 0,4 → Žz = �, � 
‰g,� = 25 + 12,5 
Tg�ℎ�‹v , -S. 35 ≤ ‰g ≤ 90 
 
‰g,� = 25 + 12,5 
2,24 -.20 -.0,4 
 
Š�,� = ��, � 
 
Direção y: 
Momento fletor mínimo maior que o momento de 1° ordem 
��:,�no,� = ����, 	 ��. �� ≥ ��: = �X��, X ��. �� , o que leva ‹v = 1,0. 
 
‰g, = 
25 + 12,5 Tg ℎ ‹v , -S. 35 ≤ ‰g ≤ 90 
 
‰g, = 25 + 12,5 
2,36 -.40 -.1,0 
 
Š�,� = �	, X ≥ �	 → Š�,� = �	 
 
Logo temos 
‰� < ‰g,� = 	�, �� < ��, � 0ãS ãS -S‘W’TH“’S S TUTWVS ’T 2º SH’T. 
‰ < ‰g, = �G, �� < �	, � 0ãS ãS -S‘W’TH“’S S TUTWVS ’T 2º SH’T. 
 
Nesse caso não há necessidade da excentricidade de 2º ordem. 
 
 
 
 
 
8 
 
3 - Determine as excentricidades associadas aos momentos mínimos. 
np�çãq � 
Tg�,kJ3 = ��GG, �� ��. ��1142,4 90 
���,�no = �, � �� 
 
np�çãq � 
Tg ,kJ3 = ����, 	 ��. ��1142,4 90 
���,�no = �, X �� 
 
4 - Determine as excentricidades finais e as respectivas taxas de armadura com utilização do 
ábaco adequado. 
- Excentricidade final 
 
 
 
 
 
- Cálculo do • 
ν = 01)* � U*1 ( 5—*k˜)
= 1142,4 90800 -.D � 2,01,4
 
™ = �, � 
 
���,�no = �, X �� 
�� = �, �� �� 
9 
 
np�çãq � 
• = š � T�ℎ� = 1,0 � 
2,24 -.20 -. 
› = �, �� 
 
np�çãq � 
• = š � Tg ,kJ3ℎ = 1,0 � 
2,7 -.40 -. 
› = �, �X 
 
- Consultar o ábaco o valor de pq e calcular a (r correspondente 
pq = �, X 
)? = œ HS100 � ℎ� � ℎ 
)? = ž 1,7100Ÿ � 20 � 40 
(r = ��, � ��� 
 
5 - Apresente um croqui com detalhamento da armadura de pilar, incluindo a armadura 
transversal. 
- Cálculo da armadura mínima 
)?,kJ3 = 0,15 01U 1 ≥ 0,004 � ℎ� � ℎ 
U 1 = 501,15 = 43,5 
)?,kJ3 = 0,15 1142,4 9043,5 ≥ 0,004 � 20 � 40 
(r,�no = �, G ��� ≥ �, � ���  ¡! 
 
Logo: 
)? > )?,kJ3 
��, � ��� > �, G ���  ¡! 
� ∅ �� �� → �	, �� ��� 
 
 
10 
 
- A taxa de armadura 
¥ = )?)* � 100 = 
15,00800 � 100 = 1,9 % < ¥ká� = 4 % → ¨©! 
ª = �, G % < ª�á� = � % →  ¡! 
 
- Armadura transversal 
 
∅u ≥ « 5 ..∅K4 = 164 = 4 .. → ∅y = 	 �� 
 
- Espaçamento 
 
¬ká� ≤ « 20 -.M (.T‘SH ’W.T‘ãS ’S ­WC“H) = 20 -.12 � ∅K ­“H“ ®) − 50 = 12 � 1,6 -. = 19,2 -. → ¯�á� = �G �� 
 
- Croqui 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℎ =
40 -
. 
�� � ∅y = �� � �, 	 �� = �� �� 
�� � ∅y = �� � �, 	 �� = �� �� 
ℎ� = 20 -. 
� ∅ �� �� 
11 
 
Questão (cód. 216335) 
Seja um pilar birotulado com comprimento de 6,75 m, fck=25MPa,cobrimento de 2,5 cm 
d’ = 4 cm, seção 26x40 cm e carga de 930 kN, que não recebe momento de viga (apenas carga 
normal). 
1 - Classifique o pilar quanto à esbeltez e, se for o caso, determine as excentricidades de 2º 
ordem. 
2 - Determine as excentricidades acidentais e mínimas. 
3 - Determine as excentricidades finais e as respectivas taxas de armadura com utilização do 
ábaco mais adequado. 
4 - Apresente um croqui com o detalhamento da armadura do pilar, incluindo a armadura 
transversal. 
 
1º Passo: Verificar dados da questão 
- Tipo de concreto: ��	 − ��� = �	 ��� 
- Valor da força normal: �� = G�� �� 
- Comprimento equivalente de flambagem 
 ��� = ��� = �, X	 � = �X	 �� 
- Dados da seção transversal ℎ� � ℎ e calcular o (� 
Seção 26 x 40 cm 
)* = ℎ� � ℎ 
)* = 40 -. � 26 -. 
(� = ���� ��� 
 
 
 
ℎ� = 40 -. 
ℎ =
26 -
. 
12 
 
2º Passo: Calcular o esforço solicitante 
01 = 23 � 24 � 05 
01 = 1,0 � 1,4 � 930 90 
�: = ���� �� 
 
3º Passo: Resolver o que é pedido na questão 
3.1 - Classifique o pilar quanto à esbeltez e, se for o caso, determine as excentricidades de 2º 
ordem. 
- Índice de esbeltez 
np�çãq � 
‰� = 3,46 � C<�ℎ� =
3,46 � 675 -.40 -. 
Š� = 	�, � 
 
np�çãq � 
‰ = 3,46 � C< ℎ = 
3,46 � 675 -.26 -. 
Š� = �G, � 
 
- Esbeltez limite 
Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1ª ordem, 
daí �� = � � Žz = �, �, assim temos: 
 
‰g = 25 + 12,5 
Tgℎ‹v , -S. 35 ≤ ‰g ≤ 90 
 
‰g,� = ‰g, = 25 ≥ 35 → Š�,� = Š�,� = �	 
 
Logo temos 
‰� < ‰g,� = 	�, � > �	, � ¬ãS -S‘W’TH“’S S TUTWVS ’T 2º SH’T. ‘“ ’WHTçãS �; 
‰ < ‰g, = �G, � > �	, � ¬ãS -S‘W’TH“’S S TUTWVS ’T 2º SH’T. ‘“ ’WHTçãS 2. 
 
13 
 
- Cálculo da excentricidade de 2ª ordem 
Cálculo do momento fletor mínimo 
 
np�çãq � 
;g1,kJ3,� = 01 � (1,5 + (0,03 � ℎ�)‚, -S. ℎ T. -. 
;g1,kJ3,� = 1302 90 � (1,5 + (0,03 � 40 -.)‚ 
��:,�no,� = �	�	, � ��. �� 
 
np�çãq � 
;g1,kJ3, = 01 � „…1,5 + (0,03 � ℎ †‡, -S. ℎ T. -. 
;g1,kJ3, = 1302 90 � (1,5 + (0,03 � 26 -.)‚ 
��:,�no,� = �G��, � ��. �� 
 
Calcular o ™ 
ν = 01)* � U*1 ( 5—*k˜)
 
ν = 1302 901040 -.D � 2,51,4 90-.D
 
™ = �, X 
 
Calcular o 
�
p 
np�çãq � 
CH = 0,005ℎ (š + 0,50) ≤ 0,005ℎ 
CH = 0,00540 -. (0,7 + 0,50) ≤ 0,00540 
�p = �, ����� � ��±� ��±� ≤ �, �	 � ��±� ��±� →  ¡! 
 
 
 
 
14 
 
np�çãq � 
CH = 0,005ℎ(š + 0,50) ≤ 0,005ℎ 
CH = 0,00526 -. (0,7 + 0,50) ≤ 0,00526 
�p = �, ���	� � ��±� ��±� ≤ �, G� � ��±� ��±� →  ¡! 
 
Cálculo da excentricidade máxima de 2ª ordem 
np�çãq � 
TD� = CT�D10 � CH 
TD� = 675D10 � 1,04166 � 10±² 
��� = �, X	 �� 
 
np�çãq � 
TD = CT2D10 � CH 
TD = 675D10 � 1,60256 � 10±² 
��� = X, � �� 
 
Cálculo do momento de 2ª ordem 
np�çãq � 
;1,uAu,� = ‹v � ;g1,³ + 01 � CT�D10 � CH ≥ ´ ;g1,³;g1,kJ3 , T ;g1,³ ≥ ;g1,kJ3 
;1,uAu,� = (1,0 � 3515,4 90. -.) + (1302 90 � 4,75 -.) 
�:,yqy,� = G�GG, G ��. �� ≥ ��:,�no = �	�	, � ��. �� →  ¡! 
 
np�çãq � 
;1,uAu, = ‹v � ;g1,³ + 01 � CT2D10 � CH ≥ ´ ;g1,³;g1,kJ3 , T ;g1,³ ≥ ;g1,kJ3 
;1,uAu, = (1,0 � 2968,6 90. -. ) + (1302 90 � 7,03 -.) 
�:,yqy,� = �����, X ��. �� ≥ ��:,�no = �G��, � ��. �� →  ¡! 
15 
 
3.2 - Determine as excentricidades mínimas. 
np�çãq � 
Tg�,kJ3 = ;g1,kJ3,�01 
Tg�,kJ3 = 3515,4 90. -.1302 90 
���,�no = �, X �� 
 
np�çãq � 
Tg ,kJ3 = ;g1,kJ3, 01 
Tg ,kJ3 = 2968,6 90. -.1302 90 
���,�no = �, � �� 
 
3.3 - Determine as excentricidades finais e as respectivas taxas de armadura com utilização do 
ábaco mais adequado. 
- 1º WVµ“çãS ’T -áC-µCS 
T� = Tg�,kJ3 + TD� 
T� = 2,7 -. + 4,75 -. 
�� = X, �	 �� 
 
- 2º WVµ“çãS ’T -áC-µCS 
T = Tg ,kJ3 + TD 
T = 2,3 -. + 7,3 -. 
�� = G, � �� 
 
Calcular o valor de • 
np�çãq � 
• = š � T�ℎ� 
• = 0,7 � 7,45 -.40 -. 
› = �, �� 
16 
 
np�çãq � 
• = š � T ℎ 
• = 0,7 � 9,6 -.26 -. 
› = �, �� 
 
- Consultar o ábaco o valor de pq e calcular a (r correspondente 
Os valores para o ábaco serão: 
™ = �, X e › = �, �� 
 
O valor de HS correspondente é: 
pq = �, �� 
)? = œ HS100 � ℎ� � ℎ 
)? = ž3,18100 Ÿ � 26 � 40 
(r = ��, � ��� 
 
3.4 - Apresente um croqui com o detalhamento da armadura do pilar, incluindo a armadura 
transversal. 
- Cálculo da armadura mínima 
)?,kJ3 = 0,15 � 01U 1 ≥ 0,004 � ℎ� � ℎ 
U 1 = 501,15 = 43,5 
)?,kJ3 = 0,15 � 1302 9043,5 ≥ 0,004 � 26 � 40 
(r,�no = �, 	 ��� ≥ �, � ���  ¡! 
 
Logo: 
)? > )?,kJ3 
��, � ��� > �, 	 ���  ¡! 
� ∅ �	 �� → �	, �� ��� 
 
17 
 
- A taxa de armadura 
¥ = )?)* � 100 = 
35,001040 � 100 
ª = �, � % < ª�á� = � % →  ¡! 
 
- Armadura transversal 
 
∅u ≥ « 5 ..∅K4 = 254 = 6,3 .. → ∅y = �, � �� 
 
- Espaçamento 
 
¬ká� ≤ « 20 -.M (.T‘SH ’W.T‘ãS ’S ­WC“H) = 26 -.12 � ∅K ­“H“ ®) − 50 = 12 � 2,5 -. = 30,0 -. → ¯�á� = �� �� 
 
 
- Croqui 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℎ =
40 -
. 
�� � ∅y = �� � �, �� �� = ��, � �� �� � ∅y = �� � �, �� �� = ��, � �� 
ℎ� = 26 -. 
� ∅ �	 �� 
18 
 
Questão 21.2 (Apostila página 83) 
 
Seja um pilar de extremidade com fck=25 Mpa e seção de 15 x 50 cm, conforme a figura. 
 
1 - Utilize o processo simplificado da NBR 6118 para determinar a excentricidade de 1º ordem, 
sabendo que: 
 
• A viga V101 possui seção de 14x60 cm e vão de 5,25 m carregado por 39,0 KN/m; 
• O pilar possui 280 cm de comprimento de flambagem e esforço normal de 650 KN. 
 
2 - Classifique o pilar quanto à esbeltez nas duas direções e, se for o caso, determine a 
excentricidade de 2º ordem. 
3 - Determine a excentricidade associadas aos momentos mínimos. 
4 - Determine as excentricidades finais e as respectivas taxas de armadura com utilização do 
ábaco adequado. 
5 - Apresente um croqui com detalhamento da armadura de pilar, incluindo a armadura 
transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
V
1
0
1 
(1
4
x6
0
) 
19 
 
1º Passo: Verificar dados da questão 
- Tipo de concreto: ��	 − ��� = �	 ��� 
- Valor da força normal: �� = �	� �� 
- Comprimento equivalente de flambagem 
 ��� = ��� = �, �� � = ��� �� 
- Dados da seção transversal ℎ� � ℎ e calcular o (� 
Seção 15 x 50 cm 
)* = ℎ� � ℎ 
)* = 50 -. � 15 -. 
(� = X	� ��� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo: Calcular o esforço solicitante 
01 = 23 � 24 � 05 
01 = 1,20 � 1,4 � 650 90 
�: = ��G� �� 
 
3º Passo: Resolver o que é pedido na questão 
3.1 - Utilize o processo simplificado da NBR 6118 para determinar a excentricidade de 1º 
ordem. 
 
ℎ� = 50 -. 
ℎ =
15 -
. 
� �� 
¶ 
· 
20 
 
A excentricidade de 1º ordem será calculada para direção y. 
- Cálculo do ;5,<3=>?@>1A 
 
 
;5,<3=>?@>1A = B � CD12 = 39 � 5,25
D
12 = 89,58 90. . = �G	� ��. �� 
 
- Cálculo do HIJK>@ HI,?LI<@JA@ HI,J34<@JA@ 
HIJK>@ = HI,?LI<@JA@ = HI,J34<@JA@ = 
M � ℎN12C<�2
= 
50 � 15N12280 2
= ���, � ��� 
- Cálculo do HPJ=> 
HPJ=> = 
M � ℎN12C<4 (QãS TUTVWQS) = 
14 � 60N12525 -. = ��� ��� 
 
- Cálculo do momento fletor solicitante na base e no topo 
;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ = ;5,<3=>?@>1A � @YZ[\]@Y,^_Y`]Za]b @cZd\b @Y,Zef`]Za] 
 
;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ = 8958 90-. � g}},² *klg}},² *klb ²~} *klb g}},² *kl 
 
��,no��pnqp = ��,rst�pnqp = ���� ���� 
 
- Cálculo do momento fletor total na base e no topo 
;5,uAIA = − ;5,v>?< = ;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@ + ;5,J34<@JA@ = ;5,?LI<@JA@2 
 
B = 39,0 90/. 
C = 5,25 . 
21 
 
;5,uAIA = − ;5,v>?< = 1321 + 13212��,yqtq = − ��,z�r� = �G�� ��. �� 
 
- Majorar o momento fletor 
;1,uAIA = − ;1,v>?< = ;5,uAIA = − ;5,v>?< � 1,4 � 23 
;1,uAIA = − ;1,v>?< = 1982 � 1,4 � 1,20 
�:,yqtq = − �:,z�r� = ���� ��. �� 
 
- Calcular a excentricidade de 1° ordem na direção x 
Tg = ;1,uAIA = − ;1,v>?<01 = 
3330 90. -.1092 90 
��� = �, �	 �� 
 
3.2 - Classifique o pilar quanto à esbeltez nas duas direções e, se for o caso, determine as 
excentricidades de 2º ordem. 
- Cálculo do momento fletor mínimo 
 
np�çãq � 
;g1,kJ3,� = 01 (1,5 + (0,03 � ℎ�)‚, -S. ℎ T. -. 
;g1,kJ3,� = 1092 (1,5 + (0,03 � 50 -.)‚ 
��:,�no,� = ��X� ��. �� 
 
np�çãq � 
;g1,kJ3, = 01 „…1,5 + (0,03 � ℎ †‡, -S. ℎ T. -. 
;g1,kJ3, = 1092 (1,5 + (0,03 � 15 -.)‚ 
��:,�no,� = ���G ��. �� ≤ ��: = ���� ��. �� 
 
- Índice de esbeltez 
np�çãq � 
‰� = 3,46 � C<�ℎ� =
3,46 � 280 -.50 -. 
Š� = �G, � 
22 
 
np�çãq � 
‰ = 3,46 � C< ℎ = 
3,46 � 280 -.15 -. 
Š� = ��, � 
 
- Esbeltez limite 
Direção x: 
Na direção x não ocorrem momentos fletores e excentricidade de 1º ordem, o que leva 
‹v = 1,0 T Tg = 0. 
 
‰g,� = 25 + 12,5 
Tg�ℎ�‹v , -S. 35 ≤ ‰g ≤ 90 
 
‰g,� = 25 + 12,5 
050 -.1,0 
 
Š�,� = �	 ≥ �	 → Š�,� = �	 
 
Direção y: 
Momento fletor mínimo menor que o momento de 1° ordem 
��:,�no,� = ���G ��. �� ≤ ��: = ���� ��. �� , o que leva ao cálculo de ‹v , conforme 
a fórmula abaixo: 
‹v = 0,6 + 0,4 � ;Œ;> ≥ 0,4 
‹v = 0,6 + 0,4 � (−3330)3330 = 0,2 ≤ 0,4 → Žz = �, � 
‰g, = 
25 + 12,5 Tg ℎ ‹v , -S. 35 ≤ ‰g ≤ 90 
‰g,� = 25 + 12,5 
3,05 -.15 -.0,4 
Š�,� = ��, G 
 
23 
 
Logo temos 
‰� < ‰g,� = �G, � < �	, � 0ãS ãS -S‘W’TH“’S S TUTWVS ’T 2º SH’T. 
‰ < ‰g, = ��, � < ��, G 0ãS ãS -S‘W’TH“’S S TUTWVS ’T 2º SH’T. 
 
Nesse caso não há necessidade da excentricidade de 2º ordem. 
 
3 - Determine as excentricidades associadas aos momentos mínimos. 
np�çãq � 
Tg�,kJ3 = 3276 90-. 1092 90 
���,�no = � �� 
 
np�çãq � 
Tg ,kJ3 = 2129 90-.1092 90 
���,�no = �, G	 �� 
 
4 - Determine as excentricidades finais e as respectivas taxas de armadura com utilização do 
ábaco adequado. 
- Excentricidade final 
np�çãq � 
�� = ���,�no = � �� 
 
np�çãq � 
�� = ��� = �, �	 �� 
 
- Cálculo do • 
ν = 01)* � U*1 ( 5—*k˜)
= 1092 90750 -.D � 2,51,4
 
™ = �, �� 
 
 
24 
 
 
np�çãq � 
• = š � T�ℎ� = 0,82 � 
3 -. 50 -. 
› = �, �	 
 
np�çãq � 
• = š � Tg ,kJ3ℎ = 0,82 � 
3,05 -.15 -. 
› = �, �X 
 
- Consultar o ábaco o valor de pq e calcular a (r correspondente 
pq = �, �G 
)? = œ HS100 � ℎ� � ℎ 
)? = ž2,19100 Ÿ � 50 � 15 
(r = ��, � ��� 
 
5 - Apresente um croqui com detalhamento da armadura de pilar, incluindo a armadura 
transversal. 
- Cálculo da armadura mínima 
)?,kJ3 = 0,15 01U 1 ≥ 0,004 � ℎ� � ℎ 
U 1 = 501,15 = 43,5 
)?,kJ3 = 0,15 1092 9043,5 ≥ 0,004 � 50 � 15 
(r,�no = �, X� ��� ≥ � ���  ¡! 
 
Logo: 
)? > )?,kJ3 
��, � ��� > �, X� ���  ¡! 
�� ∅ ��, 	 �� → ��, �� ��� 
 
25 
 
- A taxa de armadura 
¥ = )?)* � 100 = 
16,00750 � 100 = 2,1 % < ¥ká� = 4 % → ¨©! 
ª = �, � % < ª�á� = � % →  ¡! 
 
- Armadura transversal 
∅u ≥ « 5 ..∅K4 = 12,54 = 3,1 .. → ∅y = 	 �� 
 
- Espaçamento 
¬ká� ≤ « 20 -.M (.T‘SH ’W.T‘ãS ’S ­WC“H) = 15 -.12 � ∅K ­“H“ ®) − 50 = 12 � 1,25 -. = 15 -. → ¯�á� = �	 �� 
 
- Distância entre eixos 
“P = ℎ − ¸2 � (- + ∅u) + 
0ú.THS ’T M“HH“2 � ∅Kº¬ + ∅K 
“P = 50 − »2 � (2,5 + 0,5) + 
122 � 1,25¼5 + 1,25 
�½ = �, � �� 
 
- Croqui 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�, � �� 
ℎ �=
15 -
. 
�� � ∅y = �� � �, 	 �� = �� �� �� � ∅y = �� � �, 	 �� = �� �� 
ℎ = 50 -. 
�� ∅ ��, 	 ��