3º Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral I (1)

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3º Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral I
01. Se um tanque mantém 5000 galões de água, que escoa pelo fundo em 40 minutos, então a
Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t minutos como
V = 5000.
2
40
1 




 
t , 0 ≤ t ≤ 40. Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do
tanque depois de 5 min. (0,5
ponto) 
02. A quantidade de carga Q em coloumbs (C) que passa através de um ponto em um fio até o
instante t (medido em segundos) é dada por Q(t) = t3 – 2t2 + 6t + 2. Encontre a corrente quando
t = 0,5 s. (A unidade da corrente é o ampére 1A = 1 C/s). (0,5 ponto)
03. A Lei de Gravitação de Newton diz que a magnitude F da força exercida por um coro de
massa m sobre um corpo de massa M é 2r
GmM F , onde G é a constante gravitacional e r é
a distância entre os corpos. (0,5
ponto) 
a) Se os corpos estão se movendo, encontre DF/dr.
b) Suponha sabido que a Terra atrai um objeto com uma força que decresce a uma taxa de 2
N/km quando r = 20.000 km. O quão rápido essa força varia quando r = 10.000?
04. Suponhamos que x e y são funções de uma terceira variável t. (1,0 ponto)
a) Sendo 2x + 3y = 12 e dy/dt = -2, calcule dx/dt.
b) Sendo y = x2 e dx/dt = 3, calcule o valor de dy/dt quando x = -1.
c) Sendo x2 + y2 = 25 e dx/dt = -2, calcule o valor de dy/dt quando x = 3 e y = 4.
d) Sendo x2.y3 = 4/27 e dy/dt = 1/2, calcule o valor de dx/dt quando x = 2.
05. a) Suponha que o raio r e a área A = πr2 de m círculo sejam funções deriváveis de t. Escreva
uma equação que relacione dA/dt a dr/dt. (0,25 ponto) 
b) Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno, seu raio aumenta a uma taxa de
0,01 cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando seu raio for de 50 cm? (0,25 ponto) 
06. Um balão esférico é inflado com gás hélio a uma taxa de 100π pés3/min. Quando o raio do
balão for de 5 pés, qual será a taxa de seu aumento do raio? (0,5 ponto) 
07. Uma menina empina uma pipa a uma altura de 300 pés; o vento afasta a pipa
horizontalmente em relação à menina a uma velocidade de 25 pés/s. Com que velocidade ela
deve soltar a linha quando a pipa estiver a 500 pés de distância? (0,5 ponto) 
08. Um balão sobe verticalmente acima de uma estrada plana a uma velocidade constante de 1
m/s. Quando está a 65 m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade
constante de 17m/s passa sob ele. A que taxa a distância s(t) entre a bicicleta e o balão
aumentará 3 segundos mais tarde? (0,5 ponto)
09. Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o
outro para o oeste a 25 km/h. A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas
depois? (0,5 ponto)
10. Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 4 m/s. Um holofote
localizado no chão a 20 metros do caminho focaliza o homem. A que taxa o holofote está
girando quando o homem está a 15 metros do ponto do caminho mais próximo da luz?. 
 (0,5 ponto)
11. Em cada um dos casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso
afirmativo, achar um número c em ]a, b[, tal que f’(c) = 
ab
afbf

 )()(
. (0,5 ponto)
a) f(x) = x2 + 2x - 1; a = 0, b = 1 b) f(x) = x + 
x
1
; a = 
2
1
, b = 2
12. Dada a função f(x) = 3x2 – 3x + 2, determine: (1,0 ponto)
a) os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
b) os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
c) os intervalos nos quais f é crescente;
d) os intervalos nos quais f é decrescente.
13. Dada a função f(x) = x3 – 9x2 + 15x - 15, determine: (1,0 ponto)
a) os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
b) os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
c) os intervalos nos quais f é crescente;
d) os intervalos nos quais f é decrescente.
14. Dada a função f(x) = -4x3 + 3x2 + 18x, determine: (1,0 ponto)
a) os extremos relativos da função usando o teste da derivada segunda;
b) os pontos de inflexão do gráfico da função;
c) o intervalo onde o gráfico é côncavo para cima;
d) o intervalo onde o gráfico é côncavo para baixo.
15. Dada a função f(x) = x4 - 
3
1
x3 - 
2
3
x2, determine: (1,0
ponto)
a) os extremos relativos da função usando o teste da derivada segunda;
b) os pontos de inflexão do gráfico da função;
c) o intervalo onde o gráfico é côncavo para cima;
d) o intervalo onde o gráfico é côncavo para baixo.
16. Calcule os seguintes limites, se existirem: (1,0 ponto)
a) 
23
ln1lim 31 

 xx
xx
x
 b) 
20
2
11
lim
x
xx
x


 
c) 30
)(lim
x
xsenx
x


 d) 
x
x
x 2
lnlim
