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IFSP - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAC¸A˜O, CIEˆNCIA E TECNOLOGIA DE SA˜O PAULO CAMPUS BIRIGUI Curso: Engenharia da Computac¸a˜o. Componente Curricular: Ca´lculo Diferencial e Integral II Docente Responsa´vel: Prof. Dr. Re´gis Leandro Braguim Sta´bile. Lista 5 1) Calcule ∫∫∫ E (x2 + yx) dV, onde E = { (x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 0, −1 ≤ z ≤ 1 }. 2) Calcule as integrais iteradas abaixo a) ∫ 1 0 ∫ z 0 ∫ x+z 0 6xz dx dy dz b) ∫ 2 1 ∫ x 0 ∫ 1−y 0 x3y2z dz dy dx c) ∫ 3 0 ∫ 1 0 ∫√1−z2 0 zey dz dy dx d) ∫ 1 0 ∫ z 0 ∫ y 0 ze−y 2 dx dy dz 3) Calcule ∫∫∫ E 6xy dV, onde E esta´ abaixo do plano z = 1 +x+ y e acima da regia˜o do plano xy limitada pelas curvas y = √ x, y = 0 e x = 1. Fac¸a um esboc¸o do so´lido. 4) Calcule ∫∫∫ E x dV, onde E e´ limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e 3x + 2y + z = 6. Fac¸a um esboc¸o do so´lido. 5) Calcule ∫∫∫ E xz dV, onde E e´ o tetraedro de ve´rtices (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Fac¸a um esboc¸o do so´lido. 6) Calcule ∫∫∫ E (x+2y) dV, onde E e´ o so´lido limitado pelo cilindro parabo´lico y = x2 e pelos planos x = z, x = y e z = 0. Fac¸a um esboc¸o do so´lido. 7) Calcule ∫∫∫ E x dV, onde E e´ o so´lido limitado pelo parabolo´ide x = 4y2 + 4z2 e pelo plano x = 4. Fac¸a um esboc¸o do so´lido. 8) Calcule ∫∫∫ E z dV, onde E e´ o so´lido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 3x e z = 0, no primeiro octante. 9) Use integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pleos planos coordenados e pelo plano 2x+ 3y + 6z = 12. 10) Use integral tripla para determinar o volume do so´lido limitado pelo cilindro parabo´lico x = y2 e pelos planos z = 0 e x+ z = 1. 2 11) Use integral tripla para determinar o volume do so´lido contido entre os parabolo´ides z = x2 + y2 e z = 18− x2 − y2. 12) Esboce o so´lido cujo volume e´ dado pela integral ∫ 2 0 ∫ 2−y 0 ∫ 4−y2 0 dx dz dy 13) Fac¸a o esboc¸o do so´lido cujo volume e´ dado pelas integrais triplas abaixo a) ∫ 2pi 0 ∫ 2 0 ∫ 4−r2 0 r dz dr dθ b) ∫ pi/2 0 ∫ pi/2 0 ∫ 1 0 ρ2 sinφ dρ dθ dφ c) ∫ pi/3 0 ∫ 2pi 0 ∫ secφ 0 ρ2 sinφ dρ dθ dφ 13) Utilizando coordenadas cil´ındricas, calcule as integrais triplas dadas abaixo a) ∫∫∫ E √ x2 + y2 dV,onde E e´ a regia˜o contida dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre os planos z = −5 e z = 4. b) ∫∫∫ E (x3 + xy2) dV, onde E e´ o so´lido do primeiro octante que esta´ abaixo do parabolo´ide z = 1− x2 − y2. 14) Utilizando coordenadas esfe´ricas, calcule as integrais triplas dadas abaixo a) ∫∫∫ E (x2 + y2 + z2) dV, onde E e´ a bola unita´ria x2 + y2 + z2 ≤ 1 b) ∫∫∫ E (x2+y2) dV, onde E e´ a regia˜o hemisfe´rica que esta´ acima do plano xy e abaixo da esfera x2+y2+z2 = 1 c) ∫∫∫ E e(x 2+y2+z2)2 dV,onde E e´ o so´lido que esta´ entre as esferas x2 +y2 +z2 = 1 e x2 +y2 +z2 = 4 no primeiro octante. 15) Determine o volume do so´lido E que esta´ acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2+y2+z2 = 1.
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