Lista 5 de Cálculo II Regra da Cadeia

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Lista 5 de Cálculo II: Regra da Cadeia
Prof
a
Roberta V. Garcia
Exercícios
Todas as funções são supostas de classe C
1
ou diferenciáveis, quando necessário.
1. Determinar
dz
dt usando a regra da cadeia, dado z = arctan(xy), x = 2t, y = 3t.
2. Dada a função f(x, y) = xy + e
xy
, com x(t) = 1t e y(t) =
√
t, encontrar dhdt onde h(t) = f(x(t), y(t)).
3. Determinar as derivadas parciais
∂z
∂u
e
∂z
∂v
, usando a regra da cadeia:
(a) z =
√
x2 + y3, x = u2 + 1, y =
3
√
v2
(b) z = ex/y, x = u cos(v), y = u sin(v)
4. Suponha que, para todo t, f(t2, 2t) = t3 − 3t. Mostre que ∂f
∂x
(1, 2) = −∂f
∂y
(1, 2).
5. Considere a função F (x, y) = f
(
x
y
,
y
x
)
. Mostre que x
∂F
∂x
+ y
∂F
∂y
= 0.
6. Seja F (u, v) diferenciável em R2, com
∂F
∂v
(u, v) 6= 0, para todo (u, v). Suponha que, para todo (x, y),
F (xy, z) = 0, onde z = z(x, y). Mostre que x
∂z
∂x
− y ∂z
∂y
= 0.
7. Mostre que qualquer função da forma z = f(x+ at) + g(x− at) é uma solução da equação da onda
∂2z
∂t2
= a2
∂2z
∂x2
.
Dica: Faça u = x+ at e v = x− at.
8. Determine
∂z
∂x
e
∂z
∂y
, dado que z = z(x, y) é definida implicitamente por:
(a) cos(xyz) = 1 + x2y2 + z2
(b) yz + x ln y = z2
9. Calcule:
(a)
∂(F,G)
∂(x, y)
, sendo F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 e G(x, y, z) = x+ y + z.
(b)
∂(u, v)
∂(y, z)
, sendo u = xyz e v = x3 + y2.
(c)
∂(x, y)
∂(r, s)
, sendo x = r + 3s+ t2 e y = r2 − s2 − 3t2.
10. Suponha que as funções diferenciáveis y = y(x) e z = z(x) sejam dadas implicitamente pelo sistema{
x2 + z2 = 1
y2 + z2 = 1
Expresse
dy
dx
e
dz
dx
em termos de x, y, z.
1
11. Suponha que x = x(u, v) e y = y(u, v) sejam dadas implicitamente pelo sistema{
u = x+ y
v =
y
x
, x 6= 0
Mostre que
∂x
∂u
(
1 +
y
x
)
= 1.
12. Seja g(u, v) = f(x, y), sendo x = x(u, v) e y = y(u, v) dadas implicitamente pelo sistema
{
u = x2 + y2
v = xy
.
Suponha x
∂f
∂x
− y ∂f
∂y
= 0.
(a) Mostre que
∂y
∂u
= −y
x
∂x
∂u
.
(b) Calcule
∂g
∂u
.
2
Respostas
1.
12t
1+36t4
2.
−3
2t2
√
t
−
√
te
√
t/t
2t2
3. (a)
2u3+2u√
(u2+1)2+v2
, v√
(u2+1)2+v2
(b) 0, −e
cotg(v)
sin2 v
4. Demonstração.
5. Demonstração.
6. Demonstração.
7. Demonstração.
8. (a)
∂z
∂x
= −yz sen(xyz) + 2xy
2
xy sen(xyz) + 2z
e
∂z
∂y
= −xz sen(xyz) + 2x
2y
xy sen(xyz) + 2z
.
(b)
∂z
∂x
=
ln y
2z − y e
∂z
∂y
=
z + xy
2z − y .
9. (a) 2(x− y).
(b) −2xy2.
(c) −2(s+ 3r).
10.
dy
dx
=
x
y
e
dz
dx
= −x
z
.
11. Demonstração.
12. (a) Demonstração.
(b)
∂g
∂u
= 0.
3