Covariância e Propriedades

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Covariaˆncia
Covariaˆncia
Proposic¸a˜o 1: Se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes,
enta˜o
E (g(X )h(Y )) = E (g(X ))E (h(Y )) ,
para quaisquer func¸o˜es g e h.
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Covariaˆncia
Covariaˆncia
Definic¸a˜o: A covartiaˆncia entre X e Y , denotada por Cov(X ,Y ), e´
definida por
Cov(X ,Y ) = E [(X − E [X ]) (Y − E [Y ])] ·
Equivalentemente,
Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ] ·
Se X e Y sa˜o independentes, enta˜o, pela Proposic¸a˜o 1,
Cov(X ,Y ) = 0·
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Covariaˆncia
Covariaˆncia
Exerc´ıcio: Seja X uma v.a. tal que
P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = −1) = 1
3
e defina
Y =
 0, se X 6= 0,1, se X = 0·
Mostre que Cov(X ,Y ) = 0.
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Covariaˆncia
Propriedades de Covariaˆncia
Proposic¸a˜o 2
(i) Cov(X ,Y ) = Cov(Y ,X )
(ii) Cov(X ,X ) = Var(X )
(iii) Cov(aX ,Y ) = aCov(X ,Y )
(iv) Cov
(
n∑
i=1
Xi ,
m∑
j=1
Yj
)
=
n∑
i=1
n∑
j=1
Cov (Xi ,Yj)
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Covariaˆncia
Propriedades de Covariaˆncia
Segue, dos itens (iii) e (iv) da Proposic¸a˜o 2, que
Var
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
Var (Xi ) + 2
∑
i<j
Cov (Xi ,Xj) ·
Se X1,X2, . . . ,Xn sa˜o independentes enta˜o
Var
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
Var (Xi ) ·
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Covariaˆncia
Covariaˆncia
Exerc´ıcio: Sejam X1,X2, . . . ,Xn varia´veis aleato´rias i .i .d . com
me´dia µ e variaˆncia σ2. Sejam X¯n =
n∑
i=1
Xi
n
e S2 =
n∑
i=1
(Xi − X¯n)2
n − 1 ·
Encontre:
(a) Var
(
X¯n
)
(b) E
(
S2
)
Exerc´ıcio: Determine a variaˆncia de uma v.a. X ∼ bin(n, p).
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	Covariância